Mathematik-Matura Mai 2022 · HTL Cluster T1 – Aufgaben

Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung
Name:
Klasse/Jahrgang:
BHS
3. Mai 2022
Angewandte Mathematik
HTL 1

S. 2 /24 3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat!
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
44 – 48 Punkte Sehr gut
38 – 43 Punkte Gut
31 – 37 Punkte Befriedigend
23 – 30 Punkte Genügend
0 – 22 Punkte Nicht genügend
Viel Erfolg!
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum
Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“ gewählt und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen
ein.
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“ übermalt und dann wieder gewählt.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
Das vorliegende Aufgabenheft enthält Teil-A-Auf gaben und Teil-B-Aufgaben mit jeweils unterschiedlich vielen Teil aufgaben. Die Teilaufgaben
sind unabhängig voneinander bearbeitbar.
Verwenden Sie für die Bearbeitung ausschließlich
dieses Aufgabenheft und das Ihnen zur Verfügung gestellte Arbeitspapier. Schreiben Sie Ihren
Namen und Ihren Jahrgang bzw. Ihre Klasse in
die dafür vorgesehenen Felder auf dem Deckblatt
des Aufgabenhefts sowie Ihren Namen und die
fortlaufende Seitenzahl auf jedes verwendete Blatt
Arbeitspapier. Geben Sie bei der Beantwortung
jeder Handlungsanweisung deren Bezeichnung
(z. B.: 3d1) auf dem Arbeitspapier an.
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht
durchgestrichen ist.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungs mitglied für die Klausurarbeit freigegebenen
Formel sammlung für die SRDP in Angewandter
Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung
von elektronischen Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger
Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt, sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth,
Mobilfunknetzwerke etc.) gegeben ist und der
Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfs mittel nicht möglich ist.
Eine Erläuterung der Antwortformate liegt im Prüfungsraum zur Durchsicht auf.
Handreichung für die Bearbeitung
– Bei Aufgaben mit offenem Antwortformat ist
jede Berechnung mit einem nachvoll ziehbaren
Rechenansatz bzw. mit einer nachvollziehbaren
Dokumentation des Technologieeinsatzes (die
verwendeten Ausgangsparameter und die
verwendete Technologie funktion müssen ange geben werden) durchzuführen.
– Lösungen müssen jedenfalls eindeutig als
solche erkennbar sein.
– Lösungen müssen jedenfalls mit zugehörigen
Einheiten angegeben werden, wenn dazu in der
Handlungsanweisung explizit aufgefordert wird.
Für die Bearbeitung wird empfohlen:
– selbst gewählte Variablen zu erklären und
gegebenenfalls mit den zugehörigen
Einheiten anzugeben,
– frühzeitiges Runden zu vermeiden,
– Diagramme oder Skizzen zu beschriften.

3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 3 /24
Aufgabe 1
Winterdienst
a) In der nachstehenden Abbildung ist ein Schneepflug mit einem Räumschild mit der Breite b
auf einer 3,25 m breiten Straße in der Ansicht von oben modellhaft dargestellt.
3,25 m
b
Der Winkel α kann mit der nachstehenden Formel berechnet werden.
α = arcsin (
3,25
b
)
1) Kennzeichnen Sie in der obigen Abbildung den Winkel α . [0 / 1 P.]

S. 4 /24 3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1
b) Beim Winterdienst werden LKWs mit Auftausalz befüllt. Die Füllmenge pro LKW in m
3
ist annähernd normalverteilt.
In den unten stehenden Abbildungen ist jeweils der Graph der zugehörigen Dichtefunktion
dargestellt. Die in den Abbildungen grau markierten Flächen entsprechen jeweils der Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis.
1) Ordnen Sie den beiden Ereignissen jeweils die passende Abbildung aus A bis D zu.
[0 / 1 P.]
Ein zufällig ausgewählter LKW wird
mit mehr als 6,0 m
3
befüllt.
Ein zufällig ausgewählter LKW wird mit
höchstens 5,7 m
3
befüllt.
A
Füllmenge pro LKW in m
3
6,1 6,0 5,9 5,8 5,7 5,6 5,5 5,4 6,2
B
Füllmenge pro LKW in m
3
6,1 6,0 5,9 5,8 5,7 5,6 5,5 5,4 6,2
C
Füllmenge pro LKW in m
3
6,1 6,0 5,9 5,8 5,7 5,6 5,5 5,4 6,2
D
Füllmenge pro LKW in m
3
6,1 6,0 5,9 5,8 5,7 5,6 5,5 5,4 6,2

3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 5 /24
c) Auf einer Straße wird Auftausalz gestreut. Durch den nachfolgenden Verkehr nimmt die Salzmenge auf der Straße allerdings wieder ab.
Die Salzmenge auf der Straße in Prozent der gestreuten Salzmenge hängt von der Anzahl der
Fahrzeuge, die die Straße befahren, ab. Sie kann näherungsweise durch die Exponentialfunktion f beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).
x ... Anzahl der Fahrzeuge
f ( x ) ... Salzmenge auf der Straße nach x Fahrzeugen in %
f ( x ), g ( x ) in %
x
f
1 100 1 000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 1 200
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Q
P
1) Stellen Sie mithilfe der Punkte P und Q eine Gleichung der Exponentialfunktion f auf.
[0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie, nach wie vielen Fahrzeugen die Salzmenge auf der Straße auf 10 % der
gestreuten Salzmenge gesunken ist. [0 / 1 P.]
Bei einem anderen Auftausalz sinkt die Salzmenge auf der Straße nach 600 Fahrzeugen auf
die Hälfte der gestreuten Salzmenge. Dieser Zusammenhang kann durch die Exponentialfunktion g beschrieben werden.
3) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Graphen der Funktion g im Intervall [0; 1 200]
ein. [0 / 1 P.]

S. 6 /24 3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1
Aufgabe 2
Papier
a) Normales Schreibpapier hat pro Quadratmeter eine Masse von 80 g.
Ein Blatt im Format A4 misst 210 mm × 297 mm.
Eva möchte einen Brief versenden, der aus 3 Blättern normalem Schreibpapier im Format A4
und einem Briefumschlag besteht. Der Briefumschlag wiegt 4 g.
Ein Standardbrief darf inklusive Briefumschlag höchstens 20 g wiegen.
1) Überprüfen Sie nachweislich, ob Eva diesen Brief als Standardbrief versenden kann.
[0 / 1 P.]
b) Im Jahr 2019 betrug die weltweite Gesamtproduktion von Papier 412 Millionen Tonnen.
Im Folgenden sind die Produktionsmengen der vier Staaten mit der größten Papierproduktion
im Jahr 2019 angegeben.
China: 109 Millionen Tonnen
USA: 69 Millionen Tonnen
Japan: 25 Millionen Tonnen
Deutschland: 22 Millionen Tonnen
Datenquelle: DIE PAPIERINDUSTRIE – Leistungsbericht PAPIER 2021
1) Berechnen Sie, wie viel Prozent der weltweiten Gesamtproduktion von Papier im Jahr
2019 von diesen vier Staaten insgesamt hergestellt wurden. [0 / 1 P.]
Der mittlere Energieverbrauch für die Herstellung von 1 kg Papier in Deutschland wird mit
2,5 Kilowattstunden (kWh) angegeben.
2) Berechnen Sie den Gesamtenergieverbrauch für die Papierherstellung in Deutschland im
Jahr 2019 in Gigawattstunden (GWh). [0 / 1 P.]
c) In der nachstehenden Tabelle ist die Gesamtproduktion von Papier in Österreich für die Jahre
1990, 2000 und 2012 angegeben.
Jahr 1990 2000 2012
Gesamtproduktion von Papier
in Millionen Tonnen
2,93 4,39 5,00
Datenquelle: Austropapier
1) Zeigen Sie mithilfe des Differenzenquotienten, dass sich die Entwicklung der Gesamt produktion von Papier in Österreich im Zeitraum von 1990 bis 2012 nicht durch ein
lineares Modell beschreiben lässt. [0 / 1 P.]

3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 7 /24
d) Zur Papierherstellung wird gebleichter Zellstoff benötigt. Dieser wurde lange Zeit haupt sächlich
mit Chlor gebleicht.
Die weltweite Produktionsmenge von Zellstoff, der mit Chlor gebleicht wurde, kann in den
Jahren ab 1990 durch die Funktion C modelliert werden.
t … Zeit ab 1990 in Jahren
C ( t ) … weltweite Produktionsmenge zur Zeit t in Millionen Tonnen pro Jahr
Der Graph der Funktion C ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
10
20
30
40
50
60
70 C ( t )
C
t
1) Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung den Wert des nachstehenden Ausdrucks.
| C (10) – C (0)| ≈ Millionen Tonnen pro Jahr [0 / 1 P.]
Die Funktion C ist eine quadratische Funktion. Eine der unten stehenden Abbildungen zeigt
den Graphen der Ableitungsfunktion C ′ .
2) Kreuzen Sie die zutreffende Abbildung an. [1 aus 5] [0 / 1 P.]
C ′ ( t )
t
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
4
2
0
–2
–4
6
C ′ ( t )
t
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
4
2
0
–2
–4
6
C ′ ( t )
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
4
2
0
–2
–4
6
t
C ′ ( t )
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
4
2
0
–2
–4
6
t
C ′ ( t )
t
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
4
2
0
–2
–4
6

S. 8 /24 3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1
Aufgabe 3
Stand-up-Paddling
Stand-up-Paddling ist eine Wassersportart, bei der man aufrecht auf einem Board steht und
paddelt.
a) In der nachstehenden Abbildung ist der Entwurf für ein zweifärbiges Board in der Ansicht von
oben dargestellt.
x in m
y in m
f
g
O
4 m
2,8 m
b
1) Stellen Sie mithilfe der Funktionen f und g eine Formel zur Berechnung des Inhalts A der
grau markierten Fläche auf.
A = [0 / 1 P.]
Der Entwurf ist symmetrisch bezüglich der x -Achse.
Für die Funktion f gilt:
f ( x ) = –0,0125 ∙ x
3
+ 0,02 ∙ x
2
+ 0,07 ∙ x + 0,2 mit 0 ≤ x ≤ 4
2) Berechnen Sie die maximale Breite b des Boards. [0 / 1 P.]

3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 9 /24
b) Barbaras Stand-up-Paddling-Trainingsstrecke verläuft um 3 Bojen herum (siehe nachstehende
Abbildung).
y in m
H
T
p
1
x in m
p
2
Ziel
Start
0 160 80
0
In einem Modell kann der Verlauf von Barbaras Trainingsstrecke durch die Graphen der
Funktionen p
1
und p
2
beschrieben werden.
Es gilt:
p
1
( x ) = a ∙ x
3
+ b ∙ x
2
+ c ∙ x + d mit 0 ≤ x < 80
Die Punkte H = (25 | 200) und T = (70 | 60) sind Extrempunkte des Graphen der Funktion p
1
.
1) Erstellen Sie mithilfe der Informationen zu H und T ein Gleichungssystem zur Berechnung
der Koeffizienten a , b , c und d . [0 / 1 / 2 P.]
Der Graph der quadratischen Funktion p
2
beschreibt den Verlauf von Barbaras Trainings strecke für 80 ≤ x ≤ 160 (siehe obige Abbildung).
2) Kreuzen Sie diejenige Ungleichung an, die auf die Funktion p
2
nicht zutrifft. [1 aus 5]
[0 / 1 P.]
p 2 ′ (150) < 0
p
2
′ (90) > 0
p 2 ″ (90) > 0
p 2 (150) > 0
p 2 ″ (150) < 0

S. 10 /24 3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1
Aufgabe 4
Kleingartensiedlung
a) In einem Plan ist ein Grundstück durch 3 gerade Seiten und durch den Graphen der
Funktion f begrenzt (siehe unten stehende Abbildung).
f ( x ) = 0,01 · x
2
+ 0,01 · x + 16 mit 0 ≤ x ≤ 20
x , f ( x ) ... Koordinaten in m
Das Grundstück soll so halbiert werden, dass 2 Kleingärten mit gleich großem Flächeninhalt
entstehen.
Die Halbierung soll – wie in der nachstehenden Abbildung dargestellt – an der Stelle a erfolgen.
x in m
f ( x ) in m
f
a 0 20
0
1) Berechnen Sie die Stelle a . [0 / 1 / 2 P.]

3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 11 /24
b) Ein Gartenhaus mit einem Pultdach hat eine rechteckige Grundfläche mit den Seiten a und b
(siehe nachstehende Abbildungen).
h
a
a
H
α
h
b
a
H
30 cm 30 cm
Abbildung 1 Abbildung 2
a , b , h , H ... Längen in cm
1) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Höhe H auf. Verwenden Sie dabei a und h
sowie den Winkel α .
H = [0 / 1 P.]
In der obigen Abbildung 2 ist das Pultdach als graues Rechteck dargestellt, das auf allen
4 Seiten jeweils gleich weit über den Rand reicht.
2) Kreuzen Sie den richtigen Ausdruck für den Inhalt der Fläche des grauen Rechtecks an.
[1 aus 5] [0 / 1 P.]
b ∙

( H – h )
2
– a
2
+ 60 ∙ 60

( H – h + a )
2
∙ ( b + 60)
(

( H – h )
2
+ a
2
+ 60) ∙ ( b + 60)
60 ∙ b +

H
2
– h
2
+ a
2
∙ b
(60 + ( H
2
– h
2
+ a
2
)) ∙ b

S. 12 /24 3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1
Aufgabe 5
Bluthochdruck bei Erwachsenen
a) Der Blutdruck wird in der Einheit Millimeter Quecksilbersäule (mmHg) angegeben. Ab einem
(systolischen) Blutdruck von 140 mmHg spricht man von Bluthochdruck .
Der Blutdruck der Bevölkerung eines bestimmten Landes ist annähernd normalverteilt mit
dem Erwartungswert μ = 130 mmHg und der Standardabweichung σ = 11,9 mmHg. In der
nachstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Dichtefunktion dargestellt.
180 160 140 120 100 80
Blutdruck in mmHg
Bluthochdruck
1) Berechnen Sie, wie viel Prozent der Bevölkerung dieses Landes Bluthochdruck haben.
[0 / 1 P.]
Laut einer Studie der Weltgesundheitsorganisation ist der Blutdruck im Idealfall normalverteilt
mit dem Erwartungswert 115 mmHg und einer kleineren Standardabweichung.
2) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. [0 / 1 P.]
Für den Graphen der Dichtefunktion im Idealfall gilt im Vergleich zum oben dargestellten
Graphen: Der Hochpunkt liegt
1
und
2
.
1
weiter links
weiter rechts
an der gleichen Stelle
2
höher
niedriger
auf der gleichen Höhe

3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 13 /24
b) In einem bestimmten Land beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte
Person Bluthochdruck hat, p .
Es werden 20 Personen zufällig und unabhängig voneinander ausgewählt.
1) Kreuzen Sie das Ereignis E an, für dessen Wahrscheinlichkeit gilt:
P ( E ) =
(
20
2
)
∙ p
2
∙ (1 – p )
18
+
(
20
1
)
∙ p
1
∙ (1 – p )
19
+
(
20
0
)
∙ p
0
∙ (1 – p )
20
[1 aus 5]
[0 / 1 P.]
Mindestens 2 Personen haben Bluthochdruck.
Höchstens 2 Personen haben Bluthochdruck.
Genau 2 Personen haben Bluthochdruck.
Mindestens 2 Personen haben keinen Bluthochdruck.
Höchstens 2 Personen haben keinen Bluthochdruck.
250 Personen werden zufällig und unabhängig voneinander ausgewählt. Jemand berechnet
den Erwartungswert der Anzahl der Personen, die Bluthochdruck haben.
2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p , bei der sich ein Erwartungswert von 55 ergibt.
[0 / 1 P.]
c) Im Jahr 1975 hatten in einer bestimmten Stadt 40,8 % aller Männer Bluthochdruck. Im Jahr
2015 hatten in dieser Stadt nur noch 25,2 % aller Männer Bluthochdruck.
Jemand argumentiert: „Im Jahr 1975 war die Anzahl der Männer mit Bluthochdruck in dieser
Stadt daher sicher größer als jene im Jahr 2015.“
1) Begründen Sie, warum diese Argumentation unzulässig ist. [0 / 1 P.]

S. 14 /24 3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1
Aufgabe 6 (Teil B)
Werkzeuge
a) Ein Werkzeugset besteht aus 6 verschieden langen Innensechskantschlüsseln (siehe nach stehendes Symbolfoto).
ℓ
1
ℓ
2
ℓ
3
ℓ
6
Nummer: 1 2 3 4 5 6
Bildquelle: Scott Ehardt – own work, public domain, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Allen_keys.jpg [01.07.2020] (adaptiert).
Das Verhältnis der Länge eines Innensechskantschlüssels zur Länge des nächstgrößeren beträgt jeweils 10 zu 11.
1) Vervollständigen Sie die nachstehende Formel zur Berechnung der Länge ℓ
3
aus der
Länge ℓ
2
.
ℓ
3
= ∙ ℓ
2
[0 / 1 P.]
2) Ermitteln Sie die Länge ℓ
6
des längsten Innensechskantschlüssels, wenn der kürzeste die
Länge ℓ
1
= 9 cm hat. [0 / 1 P.]

3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 15 /24
b) In der nachstehenden Abbildung ist ein Teil eines Sägeblatts vereinfacht dargestellt.
a b h
s φ ε
1) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Länge s auf. Verwenden Sie dabei die Winkel ε
und φ sowie die Länge b .
s = [0 / 1 P.]
Für ein bestimmtes Sägeblatt gilt:
a = 23,7 mm, b = 10,4 mm, s = 18,8 mm
2) Berechnen Sie den Winkel φ . [0 / 1 P.]
3) Kreuzen Sie die auf das obige Dreieck nicht zutreffende Aussage an. [1 aus 5] [0 / 1 P.]
a
b
=
sin( φ )
sin( ε )
cos( φ – 90°) =
h
b
s
2
= a
2
+ b
2
– 2 ∙ a ∙ b ∙ cos(180° – ε – φ )
h
sin( ε )
=
a
sin( φ )
s ∙ b ∙ sin( φ )
2
=
h ∙ s
2

S. 16 /24 3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1
c) Stahlnägel werden in Packungen abgefüllt.
Die Masse der Packungen ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 1 000 g
und der Standardabweichung σ = 6 g.
Im Zuge einer Qualitätskontrolle werden Stichproben zu jeweils n Packungen entnommen.
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Dichtefunktion der Verteilung der Stich probenmittelwerte dargestellt.
W
2
W
1
Masse in g 1 000 998 1 002
W
1
, W
2
... Wendepunkte der Dichtefunktion
1) Geben Sie die Anzahl n der Packungen an, aus denen diese Stichproben jeweils bestehen.
n = Packungen [0 / 1 P.]
Bei einer anderen Sorte von Stahlnägeln ist die Masse der Packungen ebenfalls annähernd
normalverteilt. Bei einer Stichprobe von 8 zufällig ausgewählten Packungen wurden die nachstehenden Werte (in g) gemessen.
500,8 499,4 500,2 501,6 502,5 500,5 499,8 501,4
2) Ermitteln Sie den zweiseitigen 95-%-Vertrauensbereich für den Erwartungswert der Masse
der Packungen dieser Sorte von Stahlnägeln. [0 / 1 P.]

3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 17 /24
d) In einem Labor werden Bohrmaschinen eines bestimmten Modells einem Langzeittest unterzogen. Die Lebensdauer dieser Bohrmaschinen ist annähernd normalverteilt.
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Verteilungsfunktion F dargestellt.
0
1
0,5
Wahrscheinlichkeit
Lebensdauer in Betriebsstunden
F
n 0
Die zugehörige Dichtefunktion wird mit f bezeichnet.
1) Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Wahrscheinlichkeit
∫
n
–∞
f ( x ) d x . [0 / 1 P.]
2) Beschreiben Sie ein Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang, für dessen Wahrscheinlichkeit gilt:
P ( E ) = 1 – F ( n ) [0 / 1 P.]

S. 18 /24 3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1
Aufgabe 7 (Teil B)
Fässer
Fässer können modellhaft durch Rotation des Graphen einer quadratischen Funktion f im Intervall [ –
h
2
;
h
2
] um die x -Achse beschrieben werden.
f ( x ) in dm
f
r r
R
h
2
h
2
O
x in dm
r , R , h ... Abmessungen in dm
a) Für das Fass A mit den Abmessungen r
A
, R
A
und h
A
wird die obere Begrenzungslinie durch
die Funktion f
A
mit f
A
( x ) = a · x
2
+ b · x + c beschrieben.
1) Erklären Sie, warum b = 0 gilt. [0 / 1 P.]
Es gilt: r
A
= 2,5 dm, R
A
= 3,2 dm, h
A
= 8 dm.
2) Ermitteln Sie die Koeffizienten a und c . [0 / 1 P.]
b) Für das Fass B mit den Abmessungen r
B
, R
B
und h
B
wird die obere Begrenzungslinie durch
die Funktion f
B
beschrieben.
f
B
( x ) = –
1
16
· x
2
+ 3 mit – 4 ≤ x ≤ 4
x , f
B
( x ) ... Koordinaten in dm
Es gilt: h
B
= 8 dm.
1) Berechnen Sie das Volumen des Fasses B . [0 / 1 P.]
Jemand behauptet: „Das Volumen des Fasses B lässt sich auch als Volumen eines Zylinders
mit der Höhe h
B
, dessen Radius das arithmetische Mittel aus r
B
und R
B
ist, berechnen.“
2) Überprüfen Sie nachweislich, ob diese Behauptung richtig ist. [0 / 1 P.]

3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 19 /24
c) Um die Länge L des Graphen der Funktion f im Intervall
[
–
h
2
;
h
2
]
abzuschätzen, berechnet
man die Gesamtlänge L
1
der zwei strichlierten Strecken (siehe nachstehende Abbildung).
f ( x ) in dm
f
r r
R
h
2
h
2
O
x in dm
1) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Gesamtlänge L
1
auf.
Verwenden Sie dabei r , R und h .
L
1
= [0 / 1 P.]
Folgende Berechnung wird für das Fass C durchgeführt:
L 1
L
– 1 = –0,015
2) Beschreiben Sie die Bedeutung des Wertes –0,015 im gegebenen Sachzusammenhang.
Beachten Sie dabei insbesondere das Vorzeichen. [0 / 1 P.]

S. 20 /24 3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1
Aufgabe 8 (Teil B)
Rasenmähroboter
Immer öfter erledigen Rasenmähroboter die Mäharbeiten in Gärten.
a) In der unten stehenden Abbildung ist eine rechteckige Rasenfläche in einem Koordinaten system dargestellt.
Ein Rasenmähroboter startet bei der Ladestation im Punkt A . Seine Fahrt kann durch die
Vektoren a , b , c und d beschrieben werden.
x in m
y in m
E
B
O A
a
b
c
d
Es gilt: a = (
–8
10
) , b = (
3
12
) , c = (
12
–9
) .
1) Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
E =
( | )
[0 / 1 P.]
2) Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
d =
( )
[0 / 1 P.]
Bei einer anderen Fahrt startet der Rasenmähroboter ebenfalls bei der Ladestation im Punkt A
und fährt entlang des Vektors a zum Punkt B . Im Punkt B ändert er allerdings seine Richtung
so, dass er dann geradlinig zum Punkt E fährt.
3) Zeigen Sie rechnerisch, dass der Rasenmähroboter seine Fahrtrichtung im Punkt B um 90°
ändert. [0 / 1 P.]

3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 21 /24
b) Für die ersten zwei Phasen der Bewegung eines Rasenmähroboters gilt modellhaft:
Zeit t in s Beschleunigung in m/s
2
Phase 1 0 ≤ t < 2 0,2
Phase 2 2 ≤ t < 33 0
Zur Zeit t = 0 beträgt die Geschwindigkeit des Rasenmähroboters 0 m/s.
1) Ordnen Sie den beiden Satzanfängen jeweils die zutreffende Fortsetzung aus A bis D zu.
[0 / 1 P.]
Die Geschwindigkeit
in der Phase 1 ...
Die Geschwindigkeit
in der Phase 2 ...
A
... wird durch die konstante Funktion v
mit v ( t ) = 0 beschrieben.
B
... wird durch eine konstante Funktion v
mit v ( t ) = c beschrieben ( c ≠ 0).
C
... wird durch eine lineare Funktion v mit
v ( t ) = k ∙ t beschrieben ( k ≠ 0).
D
... wird durch eine quadratische
Funk tion v mit v ( t ) = a
1
∙ t
2
+ a
2
∙ t + a
3
beschrieben ( a
1
≠ 0).
2) Berechnen Sie die Länge des Weges, den der Rasenmähroboter in der Phase 2 zurücklegt. [0 / 1 P.]

S. 22 /24 3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1
c) Die Kosten für die Herstellung von Rasenmährobotern werden modellhaft durch die streng
monoton steigende Kosten funk tion K beschrieben.
K ( x ) = a ∙ x
3
+ b ∙ x
2
+ c ∙ x + d mit a > 0, d > 0
x ... Produktionsmenge in ME
K ( x ) ... Kosten bei der Produktionsmenge x in GE
1) Ordnen Sie den beiden angegebenen Funktionen jeweils den passenden Funktions graphen aus A bis D zu. [0 / 1 P.]
Kostenfunktion K
Grenzkostenfunktion K ′
A
O
x in ME
B
O
x in ME
C
O
x in ME
D
O
x in ME

3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 23 /24
d) Die nachstehende Tabelle zeigt die Preisentwicklung für ein bestimmtes Rasenmähroboter-
Modell.
Zeit ab Beginn des
Jahres 2015 in Monaten
3 6 12 18 24 36 48
Verkaufspreis in € 1 204 1 199 1 137 1 089 1 032 985 889
Der Verkaufspreis soll in Abhängigkeit von der Zeit t durch die lineare Funktion p beschrieben
werden.
1) Stellen Sie mithilfe der Regressionsrechnung eine Gleichung der linearen Funktion p auf.
Wählen Sie t = 0 für den Beginn des Jahres 2015. [0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie, nach welcher Zeit der Rasenmähroboter gemäß der linearen Funktion p
einen Verkaufspreis von € 700 hat. [0 / 1 P.]

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