Mathematik-Matura Mai 2022 · AHS – Lösungen

AHS
3. Mai 2022
Mathematik
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 2 /31
Beurteilung der Klausurarbeit
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
32 – 36 Punkte Sehr gut
27 – 31,5 Punkte Gut
22 – 26,5 Punkte Befriedigend
17 – 21,5 Punkte Genügend
0 – 16,5 Punkte Nicht genügend
Best-of-Wertung: Für die Aufgaben 26, 27 und 28 gilt eine Best-of-Wertung. Von diesen drei
Teil-2-Aufgaben wird diejenige Aufgabe, bei der die niedrigste Punkteanzahl erreicht worden ist,
nicht gewertet.
Jahresnoteneinrechnung: Damit die Leistungen der letzten Schulstufe in die Beurteilung des
Prüfungsgebiets einbezogen werden können, muss die Kandidatin / der Kandidat mindestens
11 Punkte erreichen.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://www.matura.gv.at/srdp/ablauf gesondert bekanntgegeben.

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 3 /31
Handreichung zur Korrektur
Für die Korrektur und die Bewertung sind die am Prüfungstag auf https://korrektur.srdp.at ver
öffentlichten Unterlagen zu verwenden.
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige
Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des
Helpdesks in Anspruch genommen werden. Ausschließlich bei ausgewiesenen Aufgaben
(Kennzeichnung durch: [0 / ½ / 1 P.] ) können für Teilleistungen halbe Punkte vergeben
werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Bei offenen Aufgabenformaten steht für die Punktevergabe der Nachweis der jeweiligen
Grundkompetenz im Vordergrund. Die dabei fokussierte Grundkompetenz wird im
Korrektur heft ausgewiesen. Punkte sind zu vergeben, wenn die Bearbeitung zeigt, dass
die fokussierte Grundkompetenz in der Bearbeitung erfüllt ist.
b. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind richtig, so ist diese Tei laufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
c. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu ver geben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
d. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten die richtige Lösung ohne Angabe von
Zwischenschritten angeführt, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
e. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
f. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
g. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie
nicht explizit eingefordert ist.

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 4 /31
Aufgabe 1
Werte von Termen
a – 1
a
– a
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 5 /31
Aufgabe 2
Quadratische Gleichung
x ² – 6 ∙ x + a + 4 = 0
3
2
– ( a + 4) > 0
a + 4 < 9
a < 5
Ein Punkt für das richtige Ermitteln aller Werte von a .
Grundkompetenz: AG 2.3

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 6 /31
Aufgabe 3
Punkt einer Geraden
a = –11
Ein Punkt für das richtige Berechnen von a .

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 7 /31
Aufgabe 4
Normalvektoren
(
1,5 ∙ a
3,5
)
(
–6 ∙ a
2
–14 ∙ a
)
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 8 /31
Aufgabe 5
Berechnungen am Dreieck
a B
b F
c E
h D
A b ∙ cos( α )
B
p
cos( β )
C
h
tan( β )
D q ∙ tan( α )
E q +
h
tan( β )
F
q
cos( α )
Ein Punkt für vier richtige Zuordnungen, ein halber Punkt für zwei oder drei richtige Zuordnungen.

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 9 /31
Aufgabe 6
Intervalle
[0°; 90°)
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 10 /31
Aufgabe 7
Eigenschaften reeller Funktionen
Für alle x ∈ ℝ gilt: f ( x ) = f (– x ). B
Für ein bestimmtes m ∈ ℝ
+
gilt:
f ( x + m ) = f ( x ) für alle x ∈ ℝ .
E
Für alle x
1
, x
2
∈ ℝ mit x
1
< x
2
gilt:
f ( x
1
) > f ( x
2
).
D
Für alle x ∈ ℝ gilt: f ( x ) ≠ 0. F
A f ist streng monoton steigend.
B
Der Graph von f ist symmetrisch
zur senkrechten Achse.
C
Der Graph von f hat eine
Asymptote.
D f ist streng monoton fallend.
E f ist periodisch.
F
Der Graph von f hat keinen
Schnittpunkt mit der x Achse.
Ein Punkt für vier richtige Zuordnungen, ein halber Punkt für zwei oder drei richtige Zuordnungen.

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 11 /31
Aufgabe 8
Lineare Funktion
1
f ( x + 2)
2
f ( x ) + 2 ∙ k
Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile.

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 12 /31
Aufgabe 9
Indirekte Proportionalität
x ↦ 3 ∙ x
–1
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 13 /31
Aufgabe 10
Ungerade Funktion
v = – w
Ein Punkt für das Angeben der richtigen Gleichung.
Grundkompetenz: FA 3.2

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 14 /31
Aufgabe 11
Halbwertszeit
m ( T ) =
1
2
· m (0)
m (5 ∙ T ) =
1
2
· m (4 ∙ T )
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 15 /31
Aufgabe 12
Töne
1
g
2
h
Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile, ein halber Punkt, wenn nur ein richtiger
Satzteil angekreuzt ist.

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 16 /31
Aufgabe 13
Körpermasse eines Babys
35,625 %
Ein Punkt für das richtige Berechnen der relativen Änderung in %.

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 17 /31
Aufgabe 14
Mittlere Geschwindigkeit
t
1
= 3 Sekunden
Ein Punkt für das richtige Ermitteln von t
1
.
Toleranzintervall für t
1
: [2,8 s; 3,2 s]

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 18 /31
Aufgabe 15
Regeln des Differenzierens
a
2
∙ f ′ + a
2
∙ g ′
a
2
∙ ( f + g ) ′
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 19 /31
Aufgabe 16
Stammfunktion
f ( x ), F ( x )
x
0 6 4 2 8
0
5
4
3
2
1
6
7
8
–2
–3
–4
–5
–1
–6
–7
–8
5 3 1 7
f
F
Ein halber Punkt für das richtige Skizzieren des Funktionsgraphen von F im Intervall [0; 4]
(linearer Verlauf von (0 | 0) bis (4 | 4)).
Ein halber Punkt für das richtige Skizzieren des Funktionsgraphen von F im Intervall [4; 8]
(rechtsgekrümmter Verlauf von (4 | 4) bis (8 | 6), wobei nicht erkennbar sein muss, dass die
Steigung des Funktionsgraphen von F an der Stelle 8 den Wert 0 hat).

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 20 /31
Aufgabe 17
Polynomfunktion dritten Grades
Die Funktion f ist im Intervall (1; 3) streng
monoton fallend.
Die Funktion f weist im Intervall (0; 2) einen
Monotoniewechsel auf.
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 21 /31
Aufgabe 18
Gartenteich
1
–2
2
absolute Änderung
Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile, ein halber Punkt, wenn nur ein richtiger
Satzteil angekreuzt ist.

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 22 /31
Aufgabe 19
Vermögensverteilung
1
ärmsten 50 %
2
4 %
Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile.

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 23 /31
Aufgabe 20
Durchschnittseinkommen
0,4 ∙ 26 376 + 0,52 ∙ 28 511 + 0,08 ∙ 23 427 = 27 250,28
Das durchschnittliche Nettojahreseinkommen pro Person beträgt € 27.250,28.
Ein Punkt für das richtige Berechnen des durchschnittlichen Nettojahreseinkommens.
Grundkompetenz: WS 1.3

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 24 /31
Aufgabe 21
Neugeborene
5 282
5 282 + 47 152 + 32 370
= 0,06228...
Ein Punkt für das richtige Berechnen des relativen Anteils.
Grundkompetenz: WS 2.2

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 25 /31
Aufgabe 22
Sportwettbewerb
Es gibt 4 845 Möglichkeiten für die Auswahl einer Viererguppe.
oder:
Es gibt 4 845 Möglichkeiten, aus den 20 Personen eine Gruppe von 4 Personen auszuwählen.
Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang.
Grundkompetenz: WS 2.4

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 26 /31
Aufgabe 23
Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen
P ( X = k )
k
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
3 2 1 4
Ein Punkt für das richtige Einzeichnen der fehlenden Werte.

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 27 /31
Aufgabe 24
Binomialverteilte Zufallsvariable
p =
12
30
= 0,4
P (18 ≤ X ≤ 20) = 0,0203...
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 28 /31
Aufgabe 25 (Teil 2)
Fahrradtour
a1)
∫
t 1
0
v ( t ) d t = 10
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t
1
= 0,62...
Bettina benötigt für die ersten 10 km rund 0,6 h.
a2) a ( t ) = v ′ ( t ) = –0,16 ∙ t
v ′ (1) = –0,16
Die Beschleunigung zum Zeitpunkt t = 1 beträgt –0,16 km/h
2
.
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Zeitdauer.
a2) Ein halber Punkt für das richtige Berechnen der Beschleunigung, ein halber Punkt für das
Angeben der richtigen Einheit.
b1) p ( x ) = 9 ⇒ x = 20,0...
p ( x ) = 2 ⇒ x = 60,0...
größtmögliches Intervall: [20,0...; 60,0...]
b2) Der für einen 30 mm breiten Reifen empfohlene Reifendruck ist um rund 2,8 bar geringer als
der für einen 20 mm breiten Reifen empfohlene Reifendruck.
b1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln des größtmöglichen Intervalls.
b2) Ein Punkt für das richtige Interpretieren unter Angabe der zugehörigen Einheiten im gegebe
nen Sachzusammenhang.

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 29 /31
Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Biathlon
a1) b =
2 500
v
1
+
2 500
v
2
+
2 500
v
3
+ 2 ∙ t * +
300
v
S
a1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.
b1) Der Ausdruck beschreibt die durchschnittliche Geschwindigkeit im Zeitintervall [0; T ].
b2)
1
lokale Maximumstellen
2
durchschnittlichen Beschleunigung
b1) Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang.
b2) Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile, ein halber Punkt, wenn nur ein
richtiger Satzteil angekreuzt ist.
c1) P ( X ≥ 4) = 5 ∙ p
4
∙ (1 – p ) + p
5
c1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 30 /31
Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Weltbevölkerung
a1)

2,536
1,260
100
= 1,00701...
oder:

100
2 = 1,00695...
Prozentsatz: rund 0,70 %
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Prozentsatzes.
b1) f ( t ) = k ∙ t + d
k =
6,140 – 3,700
30
= 0,0813
∙
d = f (0) = 3,700
f ( t ) = 0,0813
∙
∙ t + 3,700
b2) f (50) = 7,76
∙
7,76
∙
– 7,790
7,790
= –0,0029...
Abweichung: rund –0,3 %
b1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung von f .
b2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Abweichung in %. Auch die Angabe von 0,3 % ist
richtig.
c1) Maximum der Weltbevölkerung: rund 10,1 Milliarden
Kalenderjahr: 2070
c1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der beiden Werte, ein halber Punkt für nur einen richtigen
Wert.

3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 31 /31
Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Vitamin C
a1) 20 ∙ 1,5 = 30
30 Portionen weisen 100 mg bis 120 mg Vitamin C pro 100 g auf.
a2) 1 –
30
50
∙
29
49
∙
28
48
= 0,7928...
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 79,3 %.
a1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Anzahl.
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.
b1) 250 ml Orangensaft enthalten nur 87,5 mg Vitamin C und somit weniger als 100 mg.
b2) x ... Menge an Birnensaft in einer Flasche in ml
y ... Menge an Orangensaft in einer Flasche in ml
I : 0,2 ∙ x + 0,35 ∙ y = 100
II : x + y = 350
x = 150
y = 200
Es müssen 150 ml Birnensaft mit 200 ml Orangensaft gemischt werden.
b1) Ein Punkt für das richtige Begründen.
b2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der beiden Werte.