Mathematik-Matura Jänner 2022 · HTL Cluster T2 – Lösungen

Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung
BHS
12. Jänner 2022
Angewandte Mathematik
Korrekturheft
HTL 2

12. Jänner 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 2 /17
Beurteilung der Klausurarbeit
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
44 – 48 Punkte Sehr gut
38 – 43 Punkte Gut
31 – 37 Punkte Befriedigend
23 – 30 Punkte Genügend
0 – 22 Punkte Nicht genügend
Jahresnoteneinrechnung: Damit die Leistungen der letzten Schulstufe in die Beurteilung des
Prüfungsgebiets einbezogen werden können, muss die Kandidatin / der Kandidat mindestens
14 Punkte erreichen.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://ablauf.srdp.at gesondert bekanntgegeben.

12. Jänner 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 3 /17
Handreichung zur Korrektur
Für die Korrektur und die Bewertung sind die am Prüfungstag auf https://korrektur.srdp.at ver öffentlichten Unterlagen zu verwenden.
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige
Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des Helpdesks in Anspruch genommen werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Punkte sind zu vergeben, wenn die jeweilige Handlungsanweisung in der Bearbeitung
richtig umgesetzt ist.
b. Berechnungen im offenen Antwortformat ohne nachvollziehbaren Rechenansatz
bzw. ohne nachvollziehbare Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete
Ausgangsparameter und die verwendete Technologiefunktion müssen angegeben sein)
sind mit null Punkten zu bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind richtig, so ist diese Teilaufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in
einem Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der
Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
h. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie
nicht explizit eingefordert ist.

12. Jänner 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 4 /17
Aufgabe 1
Zirbenholzbetten
a1) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
A =
∫
1
–1
f ( x ) d x = 1,096
Der Inhalt der grau markierten Fläche beträgt 1,096 m
2
.
a2) m = 400 ∙ 1,096 ∙ 0,05 = 21,92
Die Masse des Kopfteils beträgt 21,92 kg.
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Inhalts der grau markierten Fläche.
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Masse unter Angabe der zugehörigen Einheit.
b1) Die Funktion g ist eine Polynomfunktion, in der nur Potenzen von x mit geradzahligen Exponenten auftreten.
b1) Ein Punkt für das richtige Argumentieren.

12. Jänner 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 5 /17
c1) Die Kurve k stellt keine eindeutige Zuordnung dar; beispielsweise gibt es an der eingezeichneten Stelle zwei Kurvenpunkte.
y
k
x
2 ∙ r r O
s
r
A
1
A
2
r
α α
s
c2)
y
k
x
2 ∙ r r O
s
r
A
1
A
2
r
α α
β
s
c3)
A
2
=
r
2
tan( α )
c1) Ein Punkt für das richtige Begründen.
c2) Ein Punkt für das Kennzeichnen des richtigen Winkels β .
c3) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

12. Jänner 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 6 /17
Aufgabe 2
Erkältung
a1)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
0
20 000
40 000
60 000
80 000
100 000
120 000
140 000
t in Wochen
N ( t )
N
a1) Ein Punkt für das richtige Einzeichnen des Graphen im Intervall [0; 13].
b1)
A 0,2 · 0,8
9
B 10 · 0,2 · 0,8
9
C 1 – 0,2
10
D 1 – 0,8
10
In einer Zufallsstichprobe von
10 erkälteten Personen hat mindestens 1 Person auch Fieber.
D
In einer Zufallsstichprobe von
10 erkälteten Personen hat genau
1 Person auch Fieber.
B
b2) 700 ∙ 0,2 = 140
b1) Ein Punkt für das richtige Zuordnen.
b2) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Erwartungswerts.
c1) An 3 Tagen wurde bei mindestens der Hälfte der erkälteten Personen eine Körpertemperatur
von mehr als 37 °C gemessen.
c2) Die Aussage ist richtig, da das Maximum der gemessenen Körpertemperaturen am Tag 9
größer als am Tag 3 ist.
c1) Ein Punkt für das richtige Ablesen.
c2) Ein Punkt für das richtige Begründen.

12. Jänner 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 7 /17
Aufgabe 3
Trinkwasser
a1)
210 m
100 km
a2) 1 Tag = 86 400 s
210 000
86 400
= 2,43...
Durch die II. Wiener Hochquellenleitung fließen pro Sekunde durchschnittlich
rund 2,4 m
3
Wasser.
a1) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wassermenge.
b1) –log
10
( a ) = log
10 (
a
–1
)
= log
10 (
1
a )
b2) z = –13
b1) Ein Punkt für das richtige Vervollständigen der Umformung.
b2) Ein Punkt für das Angeben der richtigen Zahl z .

12. Jänner 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 8 /17
c1)
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42
2
0
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
y in cm
x in cm
P
Wasserbecken
f
Der Graph der quadratischen Funktion muss durch den Punkt P verlaufen und an der
Stelle x = 10 ein lokales Maximum haben.
c1) Ein Punkt für das richtige Skizzieren des Graphen einer quadratischen Funktion durch den
Punkt P mit der lokalen Maximumstelle x = 10 .

12. Jänner 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 9 /17
Aufgabe 4
Infusion
a1) 4 mg/ml ∙ 60 ml = 240 mg
m =
240
3
= 80
Die Körpermasse von Herrn Wagner beträgt 80 kg.
a2)
240
450 + 60
= 0,470...
Die Forderung wird erfüllt, da die Wirkstoffkonzentration niedriger als 0,5 mg/ml ist.
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Körpermasse m .
a2) Ein Punkt für das richtige nachweisliche Überprüfen.
b1) Innenvolumen in cm
3
:
V = π ∙ r
2
∙ h = π ∙ 0,15
2
∙ 200 = 14,1...
14,1... cm
3
= 14,1... ml
Das Innenvolumen des Schlauchs beträgt rund 14 ml.
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Innenvolumens in Millilitern.
c1)
Flüssigkeitsvolumen V ( t )
Zeit t
0
0
t
1
c1) Ein Punkt für das richtige Einzeichnen des Graphen.

12. Jänner 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 10 /17
d1)
mit Wirkstoff ohne Wirkstoff
Besserung keine Besserung Besserung keine Besserung
50 % 50 %
65 % 35 % 55 % 45 %
d2) Eine zufällig ausgewählte Person verspürte eine Besserung.
d1) Ein Punkt für das richtige Vervollständigen des Baumdiagramms.
d2) Ein Punkt für das richtige Beschreiben im gegebenen Sachzusammenhang.

12. Jänner 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 11 /17
Aufgabe 5
Schiffsfähre
a1) b = 60 ∙ tan(76°) = 240,6...
d =

190
2
+ b
2
=

190
2
+ 240,6...
2
= 306,6...
Die Entfernung d beträgt rund 307 m.
a1) Ein Punkt für den richtigen Ansatz.
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Entfernung d .
b1)
Die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [0; 100] ist geringer als
die momentane Geschwindigkeit bei 100 s Fahrzeit.
b1) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.
c1) 5 ∙ a + 2 ∙ b + 1,5 ∙ c = 26,5
b = 2 ∙ c
c1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der beiden Gleichungen.

12. Jänner 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 12 /17
Aufgabe 6 (Teil B)
Körpermaße
a1) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
x = 36,85 cm
s
n – 1
= 0,814… cm
a2) zweiseitigen 95-%-Vertrauensbereich mithilfe der t -Verteilung bestimmen:
x ± t
f ; 1 –
α
2
∙
sn – 1

n
n = 9 ⇒ f = 8
t
8; 0,975
= 2,306...
Daraus ergibt sich folgender Vertrauensbereich für μ in cm: 34,39... ≤ μ ≤ 35,00...
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Stichprobenmittelwerts und der Stichproben standardabweichung.
a2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Vertrauensbereichs.
b1) g ( x ) = 0,082 ∙ x + 20,98 (Koeffizienten gerundet)
x ... Körpergröße in cm
g ( x ) ... Oberarmlänge bei der Körpergröße x in cm
b2) Da der Korrelationskoeffizient r = 0,935... nahe bei 1 liegt, kann ein starker positiver linearer
Zusammenhang zwischen der Körpergröße und der Oberarmlänge bei Mädchen dieser
Altersgruppe vermutet werden.
b3) Nimmt die Körpergröße um 1 cm zu, so nimmt die Oberarmlänge gemäß diesem Modell um
0,082 cm zu.
b1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung der linearen Regressionsfunktion.
b2) Ein Punkt für das richtige Beurteilen mithilfe des Korrelationskoeffizienten.
b3) Ein Punkt für das richtige Interpretieren des Wertes der Steigung im gegebenen Sach zusammenhang.

12. Jänner 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 13 /17
c1) I : f (10) = 18,9
II : f (12) = 17,8
III : f (14) = 14,1
IV : f (16) = 15,7
oder:
I : a ∙ 10
3
+ b ∙ 10
2
+ c ∙ 10 + d = 18,9
II : a ∙ 12
3
+ b ∙ 12
2
+ c ∙ 12 + d = 17,8
III : a ∙ 14
3
+ b ∙ 14
2
+ c ∙ 14 + d = 14,1
IV : a ∙ 16
3
+ b ∙ 16
2
+ c ∙ 16 + d = 15,7
c2) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
a =
79
480
= 0,1645…
b = –
25
4
= –6,25
c =
1 849
24
= 77,04…
d = –
2 911
10
= –291,1
c3) Das Vorzeichen der Diskriminante ist positiv, weil die quadratische Funktion h ′ zwei Null stellen hat.
c1) Ein Punkt für das richtige Erstellen des Gleichungssystems.
c2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Koeffizienten.
c3) Ein Punkt für das richtige Angeben und Begründen.

12. Jänner 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 14 /17
Aufgabe 7 (Teil B)
Sinkgeschwindigkeit von Fässern
a1)
d v S
d t
= k · ( S – v
S
)
a1) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.
b1) zugehörige homogene Differenzialgleichung:
d v h
d t
+ 0,25 ∙ v h = 0
d v h
d t
= –0,25 ∙ v
h
∫
d v h
v
h
=
∫
–0,25 d t
(
oder:
∫
v ′ h ( t )
v
h
( t )
d t =
∫
–0,25 d t
)
ln| v
h
( t ) | = –0,25 ∙ t + C
1
v
h
( t ) = C ∙ ℯ
–0,25 · t
b2) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
v ( t ) = C ∙ ℯ
–0,25 · t
+ 8
oder:
Lösungsansatz zur Ermittlung der partikulären Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung:
v
p
( t ) = a ⇒ v
p
′ ( t ) = 0
0,25 ∙ a = 2
a = 8
v ( t ) = v
h
( t ) + v
p
( t ) = C ∙ ℯ
–0,25 · t
+ 8
b1) Ein Punkt für das richtige Zeigen mithilfe der Methode Trennen der Variablen .
b2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der allgemeinen Lösung der inhomogenen Differenzial gleichung.

12. Jänner 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 15 /17
c1) v
1
(0) = 3
Die Sinkgeschwindigkeit der Fässer beim Eintauchen ins Wasser beträgt 3 m/s.
c2) a
1
( t ) = v
1
′ ( t ) = 1,25 ∙ ℯ
–0,25 · t
Die Funktion a
1
ist streng monoton fallend, daher ist die Beschleunigung an der Stelle t = 0
maximal.
c3) 100 =
∫
t 1
0
v
1
( t ) d t
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t
1
= 14,94...
Ein solches Fass erreicht nach etwa 14,9 s eine Wassertiefe von 100 m.
c1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Sinkgeschwindigkeit.
c2) Ein Punkt für das richtige mathematische Argumentieren.
c3) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Zeit, nach der ein solches Fass eine Wassertiefe
von 100 m erreicht.

12. Jänner 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 16 /17
Aufgabe 8 (Teil B)
Grundstücke und Gebäude
a1) FG =
( )
–5
10
0
BC =
( )
–10
20
0
= 2 ∙ FG Die beiden Kanten sind daher parallel.
a2) EF ∙ FG =
( )
6
3
1
∙
( )
–5
10
0
= 6 ∙ (–5) + 3 ∙ 10 + 1 ∙ 0 = 0
Das Viereck EFGH hat daher im Punkt F einen rechten Winkel.
a3) BF =
( )
–7,5
2,5
14,5
; BD =
( )
–22
14
–2
α = arccos
(
BF ∙ BD
| BF | ∙ | BD |
)
= 66,67...°
a1) Ein Punkt für das richtige Nachweisen der Parallelität.
a2) Ein Punkt für das richtige Zeigen, dass im Punkt F ein rechter Winkel vorliegt.
a3) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Winkels.
b1) F =
1
2
∙ a ∙ b ∙ sin( β ) +
1
2
∙ c ∙ d ∙ sin( δ )
oder:
F =
1
2
∙ a ∙ d ∙ sin( α ) +
1
2
∙ b ∙ c ∙ sin( γ )
b2) BD =

a
2
+ d
2
– 2 ∙ a ∙ d ∙ cos( α ) =

40
2
+ 30
2
– 2 ∙ 40 ∙ 30 ∙ cos(60°) = 36,0...
Die Länge der Diagonalen BD beträgt rund 36 m.
b1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.
b2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Länge der Diagonalen BD .

12. Jänner 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 17 /17
c1) cos(45°) =
13 – hP
10,62
h
P
= 5,49... m
Der Punkt P befindet sich rund 5,5 m über dem Boden.
c2) a = 10,62
c = 13
c3) ω =
π
5
φ = –
π
4
oder φ = –
π
4
+ 2 ∙ k ∙ π mit k ∈ ℤ
c1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Höhe des Punktes P über dem Boden.
c2) Ein Punkt für das Angeben der richtigen Werte der Parameter a und c .
c3) Ein Punkt für das Angeben der richtigen Werte der Parameter ω und φ .