Mathematik-Matura Jänner 2022 · AHS – Lösungen

AHS
12. Jänner 2022
Mathematik
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 2 /31
Beurteilung der Klausurarbeit
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
32 – 36 Punkte Sehr gut
27 – 31,5 Punkte Gut
22 – 26,5 Punkte Befriedigend
17 – 21,5 Punkte Genügend
0 – 16,5 Punkte Nicht genügend
Best-of-Wertung: Für die Aufgaben 26, 27 und 28 gilt eine Best-of-Wertung. Von diesen drei
Teil-2-Aufgaben wird diejenige Aufgabe, bei der die niedrigste Punkteanzahl erreicht worden ist,
nicht gewertet.
Jahresnoteneinrechnung: Damit die Leistungen der letzten Schulstufe in die Beurteilung des
Prüfungsgebiets einbezogen werden können, muss die Kandidatin / der Kandidat mindestens
11 Punkte erreichen.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://ablauf.srdp.at gesondert bekanntgegeben.

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 3 /31
Handreichung zur Korrektur
Für die Korrektur und die Bewertung sind die am Prüfungstag auf https://korrektur.srdp.at ver
öffentlichten Unterlagen zu verwenden.
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige
Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des
Helpdesks in Anspruch genommen werden. Ausschließlich bei ausgewiesenen Aufgaben
(Kennzeichnung durch: [0/½/1 Punkt] ) können für Teilleistungen halbe Punkte vergeben
werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Bei offenen Aufgabenformaten steht für die Punktevergabe der Nachweis der jeweiligen
Grundkompetenz im Vordergrund. Die dabei fokussierte Grundkompetenz wird im
Korrektur heft ausgewiesen. Punkte sind zu vergeben, wenn die Bearbeitung zeigt, dass
die fokussierte Grundkompetenz in der Bearbeitung erfüllt ist.
b. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind richtig, so ist diese Tei laufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
c. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu ver geben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
d. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten die richtige Lösung ohne Angabe von
Zwischenschritten angeführt, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
e. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
f. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
g. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie
nicht explizit eingefordert ist.

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 4 /31
Aufgabe 1
Zahlendarstellungen
Jede rationale Zahl lässt sich als endliche Dezimalzahl
oder als periodische Dezimalzahl darstellen.
Es gibt Quadratwurzeln natürlicher Zahlen, die nicht als
Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können.
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 5 /31
Aufgabe 2
Bremsvorgang
30 – b ∙ t = 0
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung.
Grundkompetenz: AG 2.2

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 6 /31
Aufgabe 3
Parameter einer quadratischen Gleichung
k
1
= 0
k
2
= 16
Ein Punkt für das richtige Ermitteln der beiden Werte, ein halber Punkt für nur einen richtigen
Wert.

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 7 /31
Aufgabe 4
Gleichungssystem
II : 2 · x + y = c mit c ∈ ℝ \{1}
(z. B. II : 2 · x + y = 5)
Ein Punkt für das Angeben der richtigen Gleichung, wobei alle Gleichungen 2 · x + y = c mit
c ∈ ℝ \{1} (und alle dazu äquivalenten Gleichungen) richtig sind.

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 8 /31
Aufgabe 5
Punkt auf einer Geraden
A
B
g
C
Ein Punkt für das richtige Einzeichnen des Punktes C .

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 9 /31
Aufgabe 6
Treppe
kleinstmöglicher Steigungswinkel φ : 19,95...°
größtmöglicher Steigungswinkel φ : 45°
Ein Punkt für das richtige Ermitteln der beiden Steigungswinkel, ein halber Punkt für nur einen
richtigen Steigungswinkel.

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 10 /31
Aufgabe 7
Wertepaare
1
x ∈ [2; 6]
2
f ( x ) ∈ [1; 2]
Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile, ein halber Punkt, wenn nur ein richtiger
Satzteil angekreuzt ist.

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 11 /31
Aufgabe 8
Schnittpunkte einer Geraden mit der x -Achse
Bedingung für k : k = 0
Bedingung für d : d ≠ 0
Ein Punkt für das Angeben der beiden richtigen Bedingungen, ein halber Punkt für nur eine richtige
Bedingung.

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 12 /31
Aufgabe 9
Flächeninhalt von Rechtecken
f ( x ) =
26
x
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung von f .

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 13 /31
Aufgabe 10
Grad einer Polynomfunktion
Die Funktion hat 4 Nullstellen.
oder:
Die Funktion hat 3 Extremstellen.
oder:
Die Funktion hat 2 Wendestellen.
Ein Punkt für das richtige Begründen.
Grundkompetenz: FA 4.4

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 14 /31
Aufgabe 11
Körperliche Leistungsfähigkeit
t ... Jahre ab dem Alter von 55 Jahren
1 650 = 1 800 · a
5
a = 0,9827...
1 200 = 1 800 · 0,9827...
t
t = 23,29...
Ab einem Alter von rund 78,3 Jahren wird Lena voraussichtlich höchstens 1 200 Punkte erreichen.
Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Alters, wobei auch „78 Jahre“ bzw. „79 Jahre“ als richtig
zu werten ist.
Grundkompetenz: FA 5.2

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 15 /31
Aufgabe 12
Bevölkerungszahl
Die Bevölkerungszahl nahm jedes Jahr um
1
10
der
Bevölkerungszahl des jeweiligen Vorjahres zu.
Die Bevölkerungszahl war jedes Jahr um 5 % größer als
im jeweiligen Vorjahr.
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 16 /31
Aufgabe 13
Intervallgrenze
b = 3
Ein Punkt für das richtige Ermitteln von b .

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 17 /31
Aufgabe 14
Traubensaft
Die 1. Ableitung von f hat an der Stelle t
1
einen
positiven Wert.
Die 2. Ableitung von f hat an der Stelle t
2
einen
negativen Wert.
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 18 /31
Aufgabe 15
Zeit-Geschwindigkeit-Funktion
Es gibt einen Zeitpunkt t
0
∈ [0; 30] mit a ( t
0
) = 0.
Für alle t
1
, t
2
∈ [0; 30] mit t
2
> t
1
gilt: s ( t
2
) > s ( t
1
).
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 19 /31
Aufgabe 16
Monotonie- und Krümmungsverhalten
Im Intervall ( x
1
; x
2
) gibt es mindestens eine Stelle x
0
, für die
f ′ ( x
0
) = 0 gilt.
Im Intervall ( x
1
; x
2
) ändert sich das Monotonieverhalten von f .
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 20 /31
Aufgabe 17
Bestimmtes Integral
∫
4
1
g ( x ) d x =
∫
4
1
( f ( x ) + 2) d x = ( F ( x ) + 2 ∙ x ) |
4
1
= F (4) + 8 – ( F (1) + 2) = 15
Ein Punkt für das richtige Berechnen des Integrals.
Grundkompetenz: AN 4.2

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 21 /31
Aufgabe 18
Zufluss und Abfluss
Zum Zeitpunkt t = 2 ist die Flüssigkeitsmenge im
Gefäß am größten.
Zum Zeitpunkt t = 6 befindet sich um 6 L weniger
Flüssigkeit im Gefäß als zum Zeitpunkt t = 0.
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 22 /31
Aufgabe 19
Vokabeltest
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
Anzahl der korrekt übersetzten Vokabel
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 23 /31
Aufgabe 20
Ergänzung von Werten
a = 16
b = 34
Ein Punkt für das Ergänzen der richtigen Werte von a und b , wobei auch zwei andere ganz zahlige Werte, deren Summe 50 ergibt und die sich vom arithmetischen Mittel x = 25 um
mindestens 2 unterscheiden, als richtig zu werten sind.

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 24 /31
Aufgabe 21
Feuerwehreinsatz
h =
4 026
65 270
=
33
535
= 0,0616...
Ein Punkt für das Angeben des richtigen Wertes von h .

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 25 /31
Aufgabe 22
Sektoren eines Glücksrads
Mit (1 – p )
3
kann die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden, dass bei 3 maligem Drehen
nach keiner dieser Drehungen der Zeiger des Glücksrads auf den gelben Sektor zeigt.
Ein Punkt für das richtige Beschreiben im gegebenen Sachzusammenhang.
Grundkompetenz: WS 2.3

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 26 /31
Aufgabe 23
Gewinnspiel
0,01 ∙ 10 + 0,04 ∙ 2 = 0,18
E ( X ) = 0,18 €
Ein Punkt für das richtige Berechnen des Erwartungswerts E ( X ) .
Grundkompetenz: WS 3.1

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 27 /31
Aufgabe 24
Approximation durch die Normalverteilung
P ( μ – σ ≤ X ≤ μ + σ )
P ( μ – 2 ∙ σ ≤ X )
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 28 /31
Aufgabe 25 (Teil 2)
Krankenstände
a1) K ( t ) = –0,18 ∙ t + 12,6
a2) Die durchschnittliche Dauer der Krankenstände hat im Zeitraum von 2000 bis 2015 um
rund 21,4 % abgenommen.
a1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung der Funktion K .
a2) Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang.
b1) E ... „mindestens 1 der beiden Angestellten erkrankt in einem Winter“
b2) X ... Anzahl der Winter mit Erkrankungen des Angestellten A
X ist binomialverteilt mit n = 5, p = 0,2.
P ( X ≤ 1) = P ( X = 0) + P ( X = 1) = 0,8
5
+ 5 ∙ 0,8
4
∙ 0,2 = 0,73728
b1) Ein Punkt für das richtige Beschreiben von E im gegebenen Sachzusammenhang.
b2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 29 /31
Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Hurrikans – tropische Wirbelstürme
a1) S
i
... Schadenspotenzial bei der Hurrikan Kategorie i
S
2
= S
1
+ 9, S
3
= S
2
+ 40
Die absolute Änderung des Schadenspotenzials für zwei aufeinanderfolgende Kategorien ist
nicht konstant.
Der Zusammenhang zwischen der Hurrikan Kategorie und dem Schadenspotenzial ist nicht
linear.
S
2
= S
1
∙ 10, S
3
= S
2
∙ 5
Die relative Änderung des Schadenspotenzials für zwei aufeinanderfolgende Kategorien ist
nicht konstant.
Der Zusammenhang zwischen der Hurrikan Kategorie und dem Schadenspotenzial ist nicht
exponentiell.
a1) Ein Punkt für das richtige Nachweisen bei beiden Zusammenhängen, ein halber Punkt bei
nur einem richtig nachgewiesenen Zusammenhang.
b1) h =
110
45 ∙ x
b2) Näherungswert für x :
1 ∙ 2 + 4 ∙ 20 + 7 ∙ 14 + 10 ∙ 7 + 13 ∙ 1 + 16 ∙ 1
45
= 6,2
b1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.
b2) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Näherungswerts für x .
c1) v = 1,852 ∙ v
k
oder:
v
k
= 0,539... ∙ v
c1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung.

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 30 /31
Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Auslastung von Flügen
a1) n =
477
0,9
= 530
m =
530
1,06
= 500
a2) X ... Anzahl der Personen, die ihr Ticket in Anspruch nehmen
Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 530 und p = 0,9.
P ( X ≥ 501) = 0,00012...
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen von n und m .
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.
b1) V ′ ( d ) = 0
d = 3 507,5... km
( V ″ (3 507,5...) > 0)
b2) V (3 507,5...) = 3,67...
3,67... ∙ 271 ∙ 35,0... = 34 934,1...
Die benötigte Menge an Treibstoff beträgt rund 34 934 L.
b1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Flugdistanz d .
b2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der benötigten Menge an Treibstoff.

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 31 /31
Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Atemstromstärke
a1) t
1
=
6 ∙ π
5
= 3,76...
t
1
= 3,76... s
a2) t
2
=
8 ∙ π
5
= 5,02...
t
2
= 5,02... s
a1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln von t
1
.
a2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln von t
2
.
b1) 2,5 s nach Beginn der Einatmungsphase befinden sich rund 4,29 Liter Luft in der Lunge von
Mathias.
b2) V ( t ) = –0,4 ∙ cos(1,25 ∙ t ) + 0,4
b1) Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang.
b2) Ein Punkt für das Ergänzen der beiden richtigen Zahlen, ein halber Punkt für nur eine richtige
Zahl.