Mathematik-Matura Jänner 2022 · AHS – Aufgaben

AHS
12. Jänner 2022
Mathematik
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
Name:
Klasse:

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 2 /32
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat!
Das vorliegende Aufgabenheft enthält Teil-1-Aufgaben und Teil-2-Aufgaben (bestehend aus Teilaufgaben). Die
Aufgaben bzw. Teilaufgaben sind unabhängig voneinander bearbeitbar.
Verwenden Sie für die Bearbeitung ausschließlich dieses Aufgabenheft und das Ihnen zur Verfügung gestellte
Arbeitspapier. Schreiben Sie Ihren Namen und Ihre Klasse in die dafür vorgesehenen Felder auf dem Deckblatt
des Aufgabenhefts sowie Ihren Namen und die fortlaufende Seitenzahl auf jedes verwendete Blatt Arbeitspapier.
Geben Sie bei der Beantwortung jeder Teilaufgabe deren Bezeichnung (z. B.: 25a1) auf dem Arbeitspapier an.
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht durchgestrichen ist. Die Lösung muss dabei klar ersichtlich sein. Wenn die Lösung nicht klar ersichtlich ist oder verschiedene Lösungen angegeben sind, gilt die
Aufgabe als nicht gelöst.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungs mitglied für die Klausurarbeit freigegebenen Formel sammlung
für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen Hilfsmitteln (z. B. grafik fähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt, sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwerke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien
im elektronischen Hilfs mittel nicht möglich ist.
Eine Erläuterung der Antwortformate liegt im Prüfungsraum auf und kann auf Wunsch eingesehen werden.
Das Aufgabenheft und alle von Ihnen verwendeten Arbeitsblätter sind abzugeben.
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“ gewählt
und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
6 + 6 = 10 
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen
ein.
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“ übermalt
und dann wieder gewählt.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
6 + 6 = 10 
Bewertung
Jede Aufgabe im Teil 1 und jede Teilaufgabe im Teil 2 wird mit 0 Punkten oder 1 Punkt bzw. 0 Punkten, ½ oder
1 Punkt bewertet. Die jeweils zu erreichenden Punkte sind bei jeder (Teil-)Aufgabe angeführt.
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
32 – 36 Punkte Sehr gut
27 – 31,5 Punkte Gut
22 – 26,5 Punkte Befriedigend
17 – 21,5 Punkte Genügend
0 – 16,5 Punkte Nicht genügend
Best-of-Wertung: Für die Aufgaben 26, 27 und 28 gilt eine Best-of-Wertung. Von diesen drei Teil-2-Aufgaben
wird diejenige Aufgabe, bei der die niedrigste Punkteanzahl erreicht worden ist, nicht gewertet.
Viel Erfolg!

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 3 /32
Aufgabe 1
Zahlendarstellungen
Für Zahlen gibt es verschiedene Darstellungsmöglichkeiten. So ist etwa
1
2
= 0,5 als endliche
Dezi malzahl oder
1
6
= 0,16
∙
als periodische Dezimalzahl darstellbar.
Unten stehend sind Aussagen zu Darstellungsmöglichkeiten verschiedener Zahlen gegeben.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
Jede rationale Zahl lässt sich als endliche Dezimalzahl
oder als periodische Dezimalzahl darstellen.
Jede reelle Zahl kann als Bruch zweier ganzer Zahlen
dargestellt werden.
Jeder Bruch zweier ganzer Zahlen kann als endliche
Dezimalzahl dargestellt werden.
Es gibt rationale Zahlen, die man nicht als Bruch zweier
ganzer Zahlen darstellen kann.
Es gibt Quadratwurzeln natürlicher Zahlen, die nicht als
Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können.
[0 / 1 P.]

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 4 /32
Aufgabe 2
Bremsvorgang
Ein PKW fährt mit einer Geschwindigkeit von 30 m/s und soll mit einer Bremsung zum Stillstand
gebracht werden. Seine Geschwindigkeit nimmt dabei pro Sekunde um b m/s ab.
Mit t wird die Zeitdauer vom Beginn des Bremsvorgangs bis zum Stillstand des PKWs bezeichnet
( t in s).
Aufgabenstellung:
Stellen Sie eine Gleichung auf, die den Zusammenhang zwischen t und b beschreibt.
[0 / 1 P.]

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 5 /32
Aufgabe 3
Parameter einer quadratischen Gleichung
Gegeben ist die quadratische Gleichung x
2
+ k ∙ x + 4 ∙ k = 0 mit dem Parameter k ∈ ℝ .
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die zwei unterschiedlichen Werte k
1
und k
2
von k , für die die gegebene Gleichung
genau eine Lösung hat.
k
1
=
k
2
=
[0 / ½ / 1 P.]

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 6 /32
Aufgabe 4
Gleichungssystem
Von einem linearen Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in den zwei Variablen x und y ist die
Gleichung I gegeben.
I : 2 · x + y = 1
Die Lösungsmenge des Gleichungssystems soll leer sein.
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine passende Gleichung II in x und y an.
II :
[0 / 1 P.]

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 7 /32
Aufgabe 5
Punkt auf einer Geraden
Die Gerade g verläuft durch die Punkte A und B und kann durch g : X = A + t ∙ AB mit t ∈ ℝ beschrieben werden.
Für den Punkt C ∈ g gilt: t = –1,5.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung den Punkt C ein.
A
B
g
[0 / 1 P.]

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 8 /32
Aufgabe 6
Treppe
In der nachstehenden Abbildung ist eine Treppe mit der Stufenhöhe h (in cm), der Stufenlänge l
(in cm) und dem Steigungswinkel φ dargestellt.
h
h
l
l
φ
h
l
h
l
Es sollen folgende Bedingungen erfüllt sein:
• 2 ∙ h + l = 63
• Die Stufenlänge l liegt im Intervall [21 cm; 36,5 cm].
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie den kleinstmöglichen und den größtmöglichen Steigungswinkel φ (in °), bei dem die
oben genannten Bedingungen erfüllt sind.
kleinstmöglicher Steigungswinkel φ : °
größtmöglicher Steigungswinkel φ : °
[0 / ½ / 1 P.]

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 9 /32
Aufgabe 7
Wertepaare
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der quadratischen Funktion f .
Die gekennzeichneten Punkte des Graphen haben ganzzahlige Koordinaten.
f ( x )
f
x
6 5 4 3 2 1 0 7
7
6
5
4
3
2
1
0
8
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Für
1
gilt f ( x ) ≤ 5; für x ∈ [3; 5] gilt
2
.
1
x ∈ [1; 5]
x ∈ [2; 6]
x ∈ [3; 7]
2
f ( x ) ∈ [1; 2]
f ( x ) ∈ [0; 1]
f ( x ) ∈ [2; 5]
[0 / ½ / 1 P.]

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 10 /32
Aufgabe 8
Schnittpunkte einer Geraden mit der x -Achse
Jede Gleichung der Form y = k · x + d mit k , d ∈ ℝ beschreibt eine Gerade in der Ebene.
Aufgabenstellung:
Geben Sie diejenigen Bedingungen an, die die Parameter k und d einer solchen Geraden auf jeden
Fall erfüllen müssen, damit diese keinen Schnittpunkt mit der x -Achse hat.
Bedingung für k :
Bedingung für d :
[0 / ½ / 1 P.]

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 11 /32
Aufgabe 9
Flächeninhalt von Rechtecken
Die Funktion f ordnet der Breite x (mit x > 0) eines Rechtecks mit dem Flächeninhalt 26 cm
2
die
Länge f ( x ) zu ( x , f ( x ) in cm).
Aufgabenstellung:
Stellen Sie eine Funktionsgleichung von f auf.
f ( x ) =
[0 / 1 P.]

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 12 /32
Aufgabe 10
Grad einer Polynomfunktion
Nachstehend ist der Graph der Polynomfunktion f abgebildet. Außerhalb des dargestellten Bereichs hat f keine Null-, keine Extrem- und keine Wendestellen.
f ( x )
x
f
O
Aufgabenstellung:
Begründen Sie, warum der Grad von f mindestens 4 sein muss.
[0 / 1 P.]

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 13 /32
Aufgabe 11
Körperliche Leistungsfähigkeit
Im Rahmen einer Studie wird jährlich die körperliche Leistungsfähigkeit bestimmter Personen
untersucht. Das Ergebnis wird in Punkten angegeben. Modellhaft wird angenommen, dass diese
Punktzahl mit zunehmendem Alter exponentiell abnimmt.
Lena ist eine dieser Personen. Von ihr sind folgende Daten bekannt:
Alter in Jahren 55 60
Punktzahl 1 800 1 650
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie unter Verwendung eines exponentiellen Modells, ab welchem Alter Lena voraussichtlich höchstens 1 200 Punkte erreichen wird.
[0 / 1 P.]

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 14 /32
Aufgabe 12
Bevölkerungszahl
Es wurde erhoben, wie sich die Bevölkerungszahl in verschiedenen Städten in den vergangenen
fünf Jahren verändert hat.
Zwei der unten angeführten Situationen können als exponentielles Wachstum der jeweiligen Bevölkerungszahl beschrieben werden.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Situationen an, die jeweils mithilfe einer Exponentialfunktion angemessen
beschrieben werden können. [2 aus 5]
Die Bevölkerungszahl nahm jedes Jahr um
1
10
der
Bevölkerungszahl des jeweiligen Vorjahres zu.
Die Bevölkerungszahl hat im ersten Jahr um 10 000, im
zweiten um 20 000, im dritten um 30 000, im vierten um
40 000 und im letzten Jahr um 50 000 zugenommen.
Die Bevölkerungszahl war jedes Jahr um 5 % größer als
im jeweiligen Vorjahr.
Die Bevölkerungszahl war jedes Jahr um 20 000 größer
als im jeweiligen Vorjahr.
Die Bevölkerungszahl war in den ersten zwei Jahren
jedes Jahr um 5 % größer als im jeweiligen Vorjahr, dann
jedes Jahr um 15 % größer als im jeweiligen Vorjahr.
[0 / 1 P.]

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 15 /32
Aufgabe 13
Intervallgrenze
Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f ( x ) = – x
2
+ 3 · x + 2.
Im Intervall [0; b ] (mit b > 0) ist die mittlere Änderungsrate von f gleich null.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die Intervallgrenze b .
b =
[0 / 1 P.]

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 16 /32
Aufgabe 14
Traubensaft
Ein bestimmter Behälter wird mit Traubensaft befüllt. Die Funktion f beschreibt den Füllstand des
Trauben safts im Behälter in Abhängigkeit von der Zeit t . Dabei gilt:
• Der Füllvorgang erfolgt ohne Unterbrechung.
• Die Zunahme des Füllstands nimmt laufend (d. h. streng monoton) ab.
t ... Zeit seit Beginn des Füllvorgangs in s
f ( t ) ... Füllstand des Traubensafts im Behälter zur Zeit t in cm
t
1
, t
2
... zwei bestimmte Zeitpunkte während des Füllvorgangs mit t
1
< t
2
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
Die 1. Ableitung von f hat an der Stelle t
1
einen
positiven Wert.
Die 1. Ableitung von f hat an der Stelle t
2
einen
negativen Wert.
Die 1. Ableitung von f hat an der Stelle t
1
den gleichen
Wert wie die 1. Ableitung von f an der Stelle t
2
.
Die 2. Ableitung von f hat an der Stelle t
1
einen
positiven Wert.
Die 2. Ableitung von f hat an der Stelle t
2
einen
negativen Wert.
[0 / 1 P.]

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 17 /32
Aufgabe 15
Zeit-Geschwindigkeit-Funktion
Für die Bewegung eines bestimmten Körpers gibt v ( t ) die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t an
( t in s, v ( t ) in m/s). Der Graph von v ist im Zeitintervall [0; 30] in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
v ( t ) in m/s
v
0 25 20 15 10 5 30
t in s
0
5
10
Unten stehend sind Aussagen über die Zeit-Weg-Funktion s und die Zeit-Beschleunigung-
Funktion a für diese Bewegung angeführt ( t in s, s ( t ) in m, a ( t ) in m/s
2
).
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
Es gilt: s (10) < 10.
Es gibt einen Zeitpunkt t
0
∈ [0; 30] mit a ( t
0
) = 0.
Zum Zeitpunkt t = 15 ist die Beschleunigung maximal.
Es gilt: s (30) – s (0) > 300.
Für alle t
1
, t
2
∈ [0; 30] mit t
2
> t
1
gilt: s ( t
2
) > s ( t
1
).
[0 / 1 P.]

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 18 /32
Aufgabe 16
Monotonie- und Krümmungsverhalten
Gegeben sind eine Polynomfunktion f und zwei Stellen x
1
und x
2
mit x
1
< x
2
.
Für die 1. Ableitung f ′ von f gilt:
f ′ ( x
1
) < 0 und f ′ ( x
2
) > 0
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die auf jeden Fall zutreffen. [2 aus 5]
Im Intervall ( x
1
; x
2
) gibt es mindestens eine Stelle x
0
, für die
f ′ ( x
0
) = 0 gilt.
Die Funktion f hat im Intervall ( x
1
; x
2
) eine lokale Maximumstelle.
Die Funktion f hat im Intervall ( x
1
; x
2
) eine Wendestelle.
Im Intervall ( x
1
; x
2
) schneidet der Graph von f mindestens
einmal die x -Achse.
Im Intervall ( x
1
; x
2
) ändert sich das Monotonieverhalten von f .
[0 / 1 P.]

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 19 /32
Aufgabe 17
Bestimmtes Integral
Die Polynomfunktion f : ℝ → → ℝ hat eine bestimmte Stammfunktion F . Von dieser Stammfunktion F
sind nachstehend einige Wertepaare gegeben.
x F ( x )
0 0
1 1
2 3
3 6
4 10
5 15
Weiters ist die Funktion g : ℝ → → ℝ mit g ( x ) = f ( x ) + 2 gegeben.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie
∫
4
1
g ( x ) d x .
[0 / 1 P.]

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 20 /32
Aufgabe 18
Zufluss und Abfluss
Die Flüssigkeitsmenge in einem bestimmten Gefäß ändert sich durch Zufluss und Abfluss.
Die reelle Funktion r ordnet jedem Zeitpunkt t ∈ [0; 6] die momentane Änderungsrate r ( t ) der
Flüssigkeitsmenge in diesem Gefäß zu ( t in h, r ( t ) in L/h).
5 4 3 2 1 6 0
r ( t ) in L/h
t in h
r
2
1
3
0
–1
–2
–3
Dabei gilt:
∫
2
0
r ( t ) d t = 2 und
∫
6
2
r ( t ) d t = –8
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
Es ist möglich, dass sich zum Zeitpunkt t = 0 genau
5 L Flüssigkeit im Gefäß befinden.
Zum Zeitpunkt t = 2 befinden sich genau 2 L Flüssigkeit im Gefäß.
Zum Zeitpunkt t = 2 ist die Flüssigkeitsmenge im
Gefäß am größten.
Zum Zeitpunkt t = 4 befindet sich weniger Flüssigkeit
im Gefäß als zum Zeitpunkt t = 6.
Zum Zeitpunkt t = 6 befindet sich um 6 L weniger
Flüssigkeit im Gefäß als zum Zeitpunkt t = 0.
[0 / 1 P.]

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 21 /32
Aufgabe 19
Vokabeltest
Bei einem Test sollen 16 Schülerinnen
und Schüler jeweils 10 Vokabel übersetzen.
Das nebenstehende Säulendiagramm
stellt das Ergebnis dieses Tests dar.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie denjenigen Boxplot an, der die Daten aus dem Säulendiagramm passend wiedergibt.
[1 aus 6]
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
Anzahl der korrekt übersetzten Vokabel
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
Anzahl der korrekt übersetzten Vokabel
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
Anzahl der korrekt übersetzten Vokabel
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
Anzahl der korrekt übersetzten Vokabel
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
Anzahl der korrekt übersetzten Vokabel
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
Anzahl der korrekt übersetzten Vokabel
[0 / 1 P.]
Anzahl der Schülerinnen
und Schüler
Anzahl der korrekt übersetzten Vokabel
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
4
3
2
1
0
5

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 22 /32
Aufgabe 20
Ergänzung von Werten
Eine Datenliste enthält folgende Werte:
17, 20, 22, 25, 27, 28, 30, 31
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Datenliste um zwei ganzzahlige Werte a und b so, dass der Median m = 26
und das arithmetische Mittel x = 25 gleich bleiben.
a =
b =
[0 / 1 P.]

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 23 /32
Aufgabe 21
Feuerwehreinsatz
Die Feuerwehren in Niederösterreich veröffentlichten im Jahr 2017 folgende Daten über die Anzahl der Einsätze:
Gesamtzahl 65 270
Davon werden besonders erwähnt:
Menschenrettung 2 395
Brandeinsatz 4 026
Brandsicherheitswache 12 708
Fehl- und Täuschungsalarm 5 283
Datenquelle: https://www.noen.at/niederoesterreich/chronik-gericht/bilanz-noe-feuerwehren-mussten-im-vorjahr-65-000-mal-ausrueckenbilanz-feuerwehr-noe-feuerwehreinsaetze-79417723 [23.09.2019].
Aufgabenstellung:
Geben Sie anhand der angeführten Daten die relative Häufigkeit h dafür an, dass es sich bei einem
Feuerwehreinsatz um einen Brandeinsatz handelt.
h =
[0 / 1 P.]

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 24 /32
Aufgabe 22
Sektoren eines Glücksrads
Ein bestimmtes Glücksrad hat drei unterschiedlich große Sektoren. Einer dieser Sektoren ist grün
markiert, einer ist rot markiert und einer ist gelb markiert.
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeiger des Glücksrads nach einer Drehung auf den gelben Sektor
zeigt, beträgt für jede Drehung des Glücksrads (unabhängig von den vorangegangenen Drehungen)
konstant p .
Aufgabenstellung:
Beschreiben Sie ein mögliches Ereignis im gegebenen Sachzusammenhang, dessen Wahrscheinlichkeit durch (1 – p )
3
berechnet werden kann.
[0 / 1 P.]

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 25 /32
Aufgabe 23
Gewinnspiel
Auf dem Etikett einer Getränkeflasche ist ein Code für ein Gewinnspiel aufgedruckt.
• Die Wahrscheinlichkeit, mit diesem Code einen Gewinn von € 10 zu erzielen, beträgt 1 %.
• Die Wahrscheinlichkeit, mit diesem Code einen Gewinn von € 2 zu erzielen, beträgt 4 %.
Es gibt keine weiteren Gewinne.
Die Zufallsvariable X gibt den Gewinn (in €) für einen Code an.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Erwartungswert E ( X ).
[0 / 1 P.]

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 26 /32
Aufgabe 24
Approximation durch die Normalverteilung
Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsvariable, die durch die normalverteilte Zufallsvariable X
mit dem Erwartungswert μ und der Standardabweichung σ approximiert wird.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Ausdrücke an, deren Wert mindestens 66 % beträgt. [2 aus 5]
P (0 ≤ X ≤ μ )
P ( μ ≤ X )
P ( X ≤ μ – σ )
P ( μ – σ ≤ X ≤ μ + σ )
P ( μ – 2 ∙ σ ≤ X )
[0 / 1 P.]

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 27 /32
Aufgabe 25 (Teil 2)
Krankenstände
Die durchschnittliche Dauer der Krankenstände von Angestellten in einem bestimmten Betrieb ist
in den letzten Jahren gesunken.
Aufgabenstellung:
a) In der nachstehenden Tabelle ist für das Jahr 2000 und für das Jahr 2015 jeweils die durchschnittliche Dauer der Krankenstände in Tagen angegeben.
Jahr
durchschnittliche Dauer der
Krankenstände in Tagen
2000 12,6
2015 9,9
Mithilfe dieser Daten soll eine lineare Funktion K erstellt werden, die die durchschnittliche Dauer
der Krankenstände in Abhängigkeit von der Zeit t ab dem Jahr 2000 beschreibt.
1) Stellen Sie eine Gleichung der linearen Funktion K auf. [0 / 1 P.]
K ( t ) =
t ... Zeit in Jahren mit t = 0 für das Jahr 2000
K ( t ) ... durchschnittliche Dauer der Krankenstände zur Zeit t in Tagen
Es wird folgende Berechnung durchgeführt:
9,9 – 12,6
12,6
≈ –0,214
2) Interpretieren Sie das Ergebnis dieser Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / 1 P.]
b) Aus langjähriger Erfahrung ist bekannt, dass im Winter der Angestellte A mit einer Wahrscheinlichkeit von 20 % und der Angestellte B mit einer Wahrscheinlichkeit von 30 % erkrankt.
Dabei wird modellhaft angenommen, dass alle Erkrankungen unabhängig voneinander erfolgen.
1) Beschreiben Sie ein im gegebenen Sachzusammenhang mögliches Ereignis E , dessen
Wahrscheinlichkeit mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet wird.
P ( E ) = 1 – 0,8 ∙ 0,7 [0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Angestellte A in höchstens 1 von 5 Wintern
erkrankt. [0 / 1 P.]

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 28 /32
Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Hurrikans – tropische Wirbelstürme
Die Saffir-Simpson-Hurrikan-Skala teilt Hurrikans anhand ihrer Windgeschwindigkeit in fünf Kategorien – von Kategorie 1 (schwach) bis Kategorie 5 (verwüstend) – ein.
Aufgabenstellung:
a) Den einzelnen Hurrikan-Kategorien dieser Skala sind unterschiedliche Schadenspotenziale
zugeordnet, die den verursachten Schaden beschreiben:
Hurrikan-Kategorie 1 2 3 4 5
Schadenspotenzial 1 10 50 250 500
Datenquelle: Pielke Jr., Roger A. und Christopher W. Landsea: Normalized Hurricane Damages in the United States: 1925–95. In: Weather
and Forecasting 13(3) (1998), S. 621 – 631.
1) Weisen Sie unter Verwendung der Werte aus der Tabelle nach, dass der Zusammenhang
zwischen der Hurrikan-Kategorie und dem Schadenspotenzial nicht linear und auch nicht
exponentiell ist. [0 / ½ / 1 P.]

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 29 /32
b) Im 45-jährigen Zeitraum von 1972 bis 2016 traten 110 Große Hurrikans auf (das sind Hurrikans,
die auf der Saffir-Simpson-Hurrikan-Skala in eine der Kategorien 3, 4 und 5 fallen).
Für den Zeitraum von 1972 bis 2016 wird die Anzahl aller Hurrikans pro Jahr untersucht.
x ... arithmetisches Mittel der Anzahl aller Hurrikans pro Jahr
h ... relativer Anteil der Großen Hurrikans an der Gesamtzahl aller Hurrikans von 1972 bis 2016
1) Stellen Sie unter Verwendung von x eine Formel zur Berechnung von h auf.
h = [0 / 1 P.]
Die nachstehende Tabelle gibt einen Überblick über die Anzahl aller Hurrikans pro Jahr für den
Zeitraum von 1972 bis 2016.
Anzahl aller Hurrikans pro Jahr Anzahl der Jahre
0 bis 2 2
3 bis 5 20
6 bis 8 14
9 bis 11 7
12 bis 14 1
15 bis 17 1
Datenquelle: Landsea, Christopher W., Gabriel A. Vecchi et al.: Impact of Duration Thresholds on Atlantic Tropical Cyclone Counts.
In: Journal of Climate 23(10) (2010), S. 2 508 – 2 519.
Eine exakte Berechnung des arithmetischen Mittels x der Anzahl aller Hurrikans pro Jahr ist
anhand der in der obigen Tabelle zusammengefassten Daten nicht möglich. Mithilfe der
Klassenmitten aus der linken Spalte kann jedoch ein Näherungswert für x berechnet werden.
Dabei wird z. B. für „9 bis 11“ als Klassenmitte der Wert 10 verwendet.
2) Berechnen Sie diesen Näherungswert für x .
Näherungswert für x : [0 / 1 P.]
c) Windgeschwindigkeiten werden oft in Kilometern pro Stunde (km/h) oder Knoten (kn) ange geben.
Es gilt:
1 kn = 1,852 km/h
Zwischen der Windgeschwindigkeit v (in km/h) und der Windgeschwindigkeit v
k
(in kn) besteht
ein direkt proportionaler Zusammenhang.
1) Stellen Sie eine Gleichung auf, die diesen Zusammenhang beschreibt. [0 / 1 P.]

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 30 /32
Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Auslastung von Flügen
Für Fluggesellschaften ist eine hohe Auslastung ihrer Flüge wichtig.
Aufgabenstellung:
a) Häufig werden bei Flügen nicht alle verkauften Tickets in Anspruch genommen. Daher werden
üblicherweise mehr Tickets verkauft, als Plätze zur Verfügung stehen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person (unabhängig von den anderen Personen) ihr Ticket
in Anspruch nimmt, beträgt 90 %.
Für einen bestimmten Flug werden 6 % mehr Tickets verkauft, als Plätze zur Verfügung stehen.
Es stehen m Plätze zur Verfügung.
Es werden n Tickets verkauft.
Bei n verkauften Tickets beträgt der Erwartungswert für die in Anspruch genommenen
Tickets 477.
1) Berechnen Sie n und m .
n =
m = [0 / 1 P.]
Folgendes Ereignis E wird betrachtet:
E ... „für mindestens 1 Person, die ihr Ticket in Anspruch nehmen möchte, steht kein Platz zur
Verfügung“
2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P ( E ). [0 / 1 P.]
b) Für einen bestimmten Flug eines voll besetzten Flugzeugs kann der Zusammenhang
zwischen der Flug distanz s und dem Treibstoffverbrauch V ( s ) näherungsweise durch die
Funktion V : [2 000; 10 000] → ℝ
+
beschrieben werden.
V ( s ) = 4 +
(
s
128 000
–
1
4
)
∙
s
1 000
∙ ℯ
–
s
4 000 mit 2 000 ≤ s ≤ 10 000
s ... Flugdistanz in km
V ( s ) ... Treibstoffverbrauch bei der Flugdistanz s in Litern pro Fluggast pro 100 km
1) Ermitteln Sie die Flugdistanz d (in km), bei der der Treibstoffverbrauch am geringsten ist.
[0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie die Menge an Treibstoff (in L), die dieses Flugzeug für die Flugdistanz d
benötigt, wenn es mit 271 Fluggästen voll besetzt ist. [0 / 1 P.]

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 31 /32
Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Atemstromstärke
Unter Atemstromstärke versteht man die pro Zeiteinheit ein- bzw. ausgeatmete Luftmenge. Sie
wird modellhaft durch die Funktion f in Abhängigkeit von der Zeit t beschrieben ( t in s, f ( t ) in L/s).
Für die Atemstromstärke von Mathias gilt modellhaft:
f ( t ) = 0,5 ∙ sin(1,25 ∙ t )
Ein Atemzyklus besteht aus einer vollständigen Ein atmungsphase und einer vollständigen
Ausatmungsphase. Die Beobachtung beginnt bei t = 0.
In der nachstehenden Abbildung ist ein Atemzyklus dargestellt.
f ( t ) in L/s
t in s
O
Einatmungsphase Ausatmungsphase
f
Aufgabenstellung:
a) In der Ausatmungsphase des betrachteten Atemzyklus von Mathias hat die Funktion f an der
Stelle t
1
eine Extremstelle.
1) Ermitteln Sie t
1
(in s).
t
1
= s [0 / 1 P.]
Im betrachteten Atemzyklus gibt t
2
mit t
2
> 0 denjenigen Zeitpunkt an, zu dem das Luft volumen in der Lunge von Mathias erstmals nach Beginn des Atemzyklus minimal ist.
2) Ermitteln Sie t
2
(in s).
t
2
= s [0 / 1 P.]

12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 32 /32
b) Zu Beginn einer Einatmungsphase befinden sich 3,5 Liter Luft in der Lunge von Mathias.
1) Interpretieren Sie die nachstehende Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang.
∫
2,5
0
f ( t ) d t + 3,5 ≈ 4,29 [0 / 1 P.]
Die Funktion V beschreibt das Volumen V ( t ) der eingeatmeten Luft von Mathias während einer
Einatmungsphase in Abhängigkeit von der Zeit t (Beginn der Einatmungsphase bei t = 0 und
V (0) = 0, t in s, V ( t ) in L).
2) Ergänzen Sie die beiden fehlenden Zahlen in der nachstehenden Funktionsgleichung von V .
V ( t ) = –0,4 ∙ cos( ∙ t ) + [0 / ½ / 1 P.]