Mathematik-Matura September 2021 · HTL Cluster T2 – Aufgaben

Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung
BHS
17. September 2021
Angewandte Mathematik
HTL 2
Name:
Klasse/Jahrgang:

17. September 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 2 /19
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Liebe Kandidatin! Lieber Kandidat!
Es gilt folgender Beurteilungsschlüssel:
44–48 Punkte Sehr gut
38– 43 Punkte Gut
31– 37 Punkte Befriedigend
23–30 Punkte Genügend
0–22 Punkte Nicht genügend Viel Erfolg!
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum
Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“ gewählt und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen
ein.
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“ übermalt und dann wieder gewählt.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
Das vorliegende Aufgabenheft enthält Teil-A-Auf gaben und Teil-B-Aufgaben mit jeweils unterschiedlich vielen Teil aufgaben. Die Teilaufgaben
sind unabhängig voneinander bearbeitbar.
Verwenden Sie für die Bearbeitung ausschließlich
dieses Aufgabenheft und das Ihnen zur Verfügung gestellte Arbeitspapier. Schreiben Sie Ihren
Namen und Ihren Jahrgang bzw. Ihre Klasse in
die dafür vorgesehenen Felder auf dem Deckblatt
des Aufgabenhefts sowie Ihren Namen und die
fortlaufende Seitenzahl auf jedes verwendete Blatt
Arbeitspapier. Geben Sie bei der Beantwortung
jeder Teilaufgabe deren Bezeichnung (z. B.: 3d1)
auf dem Arbeitspapier an.
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht
durchgestrichen ist. Streichen Sie Notizen durch.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungs mitglied für die Klausurarbeit freigegebenen
Formel sammlung für die SRDP in Angewandter
Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung
von elektronischen Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger
Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt, sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth,
Mobilfunknetzwerke etc.) gegeben ist und der
Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfs mittel nicht möglich ist.
Eine Erläuterung der Antwortformate liegt im Prüfungsraum zur Durchsicht auf.
Handreichung für die Bearbeitung
– Jede Berechnung ist mit einem nachvollziehbaren Rechenansatz und einer nachvollziehbaren
Dokumentation des Technologieeinsatzes (die
verwendeten Ausgangsparameter und die verwendete Technologiefunktion müssen angegeben werden) durchzuführen.
– Selbst gewählte Variablen sind zu erklären und
gegebenenfalls mit Einheiten zu benennen.
– Ergebnisse sind eindeutig hervorzuheben.
– Ergebnisse sind mit entsprechenden Einheiten
anzugeben, wenn dies in der Handlungsan weisung explizit gefordert wird.
– Werden Diagramme oder Skizzen als Lösungen
erstellt, so sind die Achsen zu skalieren und zu
beschriften.
– Werden geometrische Skizzen erstellt, so sind
die lösungsrelevanten Teile zu beschriften.
– Vermeiden Sie frühzeitiges Runden.
– Legen Sie allfällige Computerausdrucke der
Lösung mit Ihrem Namen beschriftet bei.
– Wird eine Aufgabe mehrfach gerechnet, so sind
alle Lösungswege bis auf einen zu streichen.

17. September 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 3 /19
Aufgabe 1
Speerwurf
a) Der Wurfbereich beim Speerwurf hat die Form eines Kreissektors (siehe nachstehende nicht
maßstabgetreue Abbildung in der Ansicht von oben).
Symmetrieachse
w
b
r
M
P
L
α
z ist die Differenz aus der tatsächlichen Wurfweite w = ML und der Streckenlänge MP .
1) Stellen Sie unter Verwendung von w und α eine Formel zur Berechnung von z auf.
z = [0 / 1 P.]
Für die Bogenlänge b des Kreissektors und den Öffnungswinkel α des Kreissektors gilt:
b = 48,08 m
α = 29°
2) Berechnen Sie den Radius r des Kreissektors. [0 / 1 P.]
b) Ein Teil des Graphen der Funktion f beschreibt die Flugbahn der Speerspitze bei einem bestimmten Wurf.
f ( x ) = – 0,01 · x
2
+ 0,7 · x + 1,8 mit x ≥ 0
x ... horizontale Entfernung vom Abwurfpunkt in m
f ( x ) ... Höhe über dem Boden bei der horizontalen Entfernung x in m
1) Berechnen Sie die horizontale Entfernung vom Abwurfpunkt, in der die Speerspitze bei
diesem Wurf auf dem Boden auftrifft. [0 / 1 P.]

17. September 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 4 /19
c) Die quadratische Funktion h beschreibt die Höhe der Speerspitze während eines bestimmten
Wurfes in Abhängigkeit von der Zeit t (siehe nachstehende Abbildung).
Höhe h ( t ) in m
Zeit t in s
h
t
1 0
0
1) Ordnen Sie den beiden Satzanfängen jeweils eine Fortsetzung aus A bis D so zu, dass
zutreffende Aussagen entstehen. [0 / 1 P.]
Die momentane Änderungsrate
von h zur Zeit t ist negativ für
Die momentane Änderungsrate
von h zur Zeit t ist null für
A t = 0
B t = t
1
C t < t
1
D t > t
1

17. September 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 5 /19
Aufgabe 2
Kartenspiel
a) Ein Kartenstapel besteht aus 20 Diener -Karten und 10 Zauber -Karten. Sabine zieht zufällig
ohne Zurücklegen 3 Karten aus diesem Kartenstapel.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sabine dabei genau 1 Zauber -Karte zieht.
[0 / 1 P.]
2) Beschreiben Sie ein Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet wird.
P ( E ) = 1 –
20
30
∙
19
29
∙
18
28
= 0,719... [0 / 1 P.]
b) Lukas wählt für 40 % seiner Spiele eine aggressive Strategie, für die restlichen Spiele wählt er
eine defensive Strategie.
Spiele, für die er eine aggressive Strategie wählt, gewinnt er mit der Wahrscheinlichkeit p .
Spiele, für die er eine defensive Strategie wählt, gewinnt er mit einer Wahrscheinlichkeit von
54 %.
1) Vervollständigen Sie das nachstehende Baumdiagramm so, dass es den beschriebenen
Sachverhalt wiedergibt. [0 / 1 P.]
Die Wahrscheinlichkeit, dass Lukas ein zufällig ausgewähltes Spiel gewinnt, beträgt 53,2 %.
2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p . [0 / 1 P.]

17. September 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 6 /19
Aufgabe 3
Leuchtdioden
Leuchtdioden (LEDs) werden häufig als Beleuchtungsmittel verwendet.
a) LEDs haben einen begrenzten Öffnungswinkel. Für eine sogenannte Rundum-Beleuchtung
werden daher mehrere LEDs benötigt. Die Anzahl der LEDs gleicher Bauart, die für eine
Rundum-Beleuchtung benötigt werden, kann gemäß der nachstehenden Vorschrift berechnet
werden.
Dividiere 1 durch den Sinus von einem Viertel des Öffnungswinkels.
Quadriere die erhaltene Zahl.
Ist das nun erhaltene Ergebnis nicht ganzzahlig, dann runde es auf die nächstgrößere ganze
Zahl auf.
1) Berechnen Sie die Anzahl der LEDs mit einem Öffnungswinkel von 40°, die man gemäß
der obigen Vorschrift für eine Rundum-Beleuchtung benötigt. [0 / 1 P.]
b) Die Lebensdauer von LEDs ist abhängig von der Temperatur am LED-Chip. Auf einer Website
ist dieser Zusammenhang grafisch dargestellt (siehe nachstehende Abbildung).
Lebensdauer in Betriebsstunden
180 160 140 120 100 80 200 220
60 000
50 000
40 000
30 000
20 000
10 000
0
70 000
Temperatur am
LED-Chip in °C
Quelle: https://www.led-studien.de/wp-content/uploads/2015/10/Lebensdauer-nach-LED-Temperatur.png [16.08.2019] (adaptiert).
1) Ermitteln Sie die mittlere Änderungsrate der Lebensdauer bei Erhöhung der Temperatur
von 140 °C auf 160 °C. [0 / 1 P.]
2) Begründen Sie, warum es sich bei der in der obigen Abbildung dargestellten Kurve nicht
um den Graphen einer Funktion handeln kann. [0 / 1 P.]

17. September 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 7 /19
c) Ein Maß für die Helligkeit einer Lichtquelle ist der sogenannte Lichtstrom . Dieser wird in der
Einheit Lumen angegeben.
Man geht davon aus, dass der maximale Lichtstrom von LEDs durch technische Weiterentwicklung exponentiell ansteigen wird.
Dabei gilt: Alle 10 Jahre steigt der maximale Lichtstrom von LEDs auf das 20-Fache.
Diese Entwicklung kann durch eine Exponentialfunktion L modelliert werden.
L ( t ) = L
0
∙ a
t
t … Zeit in Jahren
L ( t ) … maximaler Lichtstrom zur Zeit t in Lumen
L
0
... maximaler Lichtstrom zur Zeit t = 0 in Lumen
a ... positiver Parameter
1) Berechnen Sie den Parameter a . [0 / 1 P.]
2) Interpretieren Sie den Wert des Parameters a im gegebenen Sachzusammenhang. [0 / 1 P.]

17. September 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 8 /19
Aufgabe 4
Kosmetikartikel
a) Ein Parfum wird in bestimmte Fläschchen abgefüllt. Das Füllvolumen wird dabei als annähernd
normalverteilt mit der Standardabweichung σ = 1,5 ml angenommen.
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Verteilungsfunktion dargestellt.
Füllvolumen in ml
Wahrscheinlichkeit
77 76 75 74 73 72 71 70 0 78 79
0,9
0,6
0,4
0,2
0,8
0,7
0,5
0,3
0,1
0
1
1) Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Erwartungswert μ des Füllvolumens ab.
μ = ml [0 / 1 P.]
2) Ermitteln Sie dasjenige um μ symmetrische Intervall, in dem das Füllvolumen eines zufällig
ausgewählten Fläschchens mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % liegt. [0 / 1 P.]
3) Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass das Füllvolumen
eines zufällig ausgewählten Fläschchens höchstens 76 ml beträgt. [0 / 1 P.]

17. September 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 9 /19
b) Ein bestimmter Kosmetikartikel wurde sowohl von männlichen als auch von weiblichen Kunden
gekauft.
Eine Erhebung zum Alter aller Kunden, die diesen Kosmetikartikel gekauft haben, ist in der
nachstehenden Abbildung in Form zweier Boxplots zusammengefasst.
Alter in Jahren
85 80 75 70 65 60 55 50
weibliche Kunden
männliche Kunden
1) Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an. [1 aus 5] [0 / 1 P.]
Die Spannweite des Alters der weiblichen Kunden
ist kleiner als diejenige der männlichen Kunden.
Die jüngste Person, die den Kosmetikartikel gekauft
hat, ist männlich.
Der Median des Alters der männlichen Kunden ist
größer als derjenige der weiblichen Kunden.
Mehr als die Hälfte der weiblichen Kunden ist älter
als 65 Jahre.
Das 3. Quartil des Alters der weiblichen Kunden ist
größer als dasjenige der männlichen Kunden.

17. September 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 10 /19
Aufgabe 5
Holzfeuchte und Holztrocknung
a) Beim Trocknen verkürzen sich die Seitenlängen eines feuchten quaderförmigen Holzstücks.
a
b
c
a , b , c ... Seitenlängen des quaderförmigen Holzstücks in feuchtem Zustand
In trockenem Zustand ist die Seitenlänge a um 0,5 %, die Seitenlänge b um 10 % und die
Seitenlänge c um 5 % kürzer als in feuchtem Zustand.
1) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Volumens V des quaderförmigen Holzstücks in
trockenem Zustand auf. Verwenden Sie dabei die Seitenlängen a , b und c .
V = [0 / 1 P.]
2) Ermitteln Sie, um wie viel Prozent das Volumen des quaderförmigen Holzstücks in trockenem
Zustand kleiner als in feuchtem Zustand ist. [0 / 1 P.]
b) Holzbretter der gleichen Holzsorte mit verschiedenen Dicken trocknen unterschiedlich schnell.
Dieser Zusammenhang kann näherungsweise durch die nachstehende Formel beschrieben
werden.
T
t
=
(
D
d
)
1,5
Dicke Trockenzeit
Holzbrett 1 d t
Holzbrett 2 D T
1) Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der nicht dem obigen Zusammenhang entspricht.
[1 aus 5] [0 / 1 P.]
T
t
=
(
D
d
)
3
2
T
t
=
(
d
D
)
–1,5
T
t
=

(
D
d
)
3
t
T
=
(
d
D
)
–
3
2
t
T
=
(
d
D
)
1,5

17. September 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 11 /19
c) Im nachstehenden Diagramm ist der Zusammenhang zwischen der relativen Luftfeuchtigkeit x
(in Prozent) und dem Wassergehalt w ( x ) (in Prozent) einer bestimmten Holzsorte bei der Lagerung dargestellt.
5 0 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
5
10
15
20
25
30
0
x in %
w ( x ) in %
w
1) Kennzeichnen Sie im obigen Diagramm denjenigen Punkt P = ( x
0
| w ( x
0
)), für den gilt:
w ′ ( x
0
) = 1 [0 / 1 P.]
Der im obigen Diagramm dargestellte Zusammenhang soll im Intervall [45; 55] mithilfe der
Punkte A = (45 | 7,8) und B = (55 | 9,4) durch eine lineare Funk tion modelliert werden.
2) Stellen Sie eine Gleichung dieser linearen Funktion auf. [0 / 1 P.]

17. September 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 12 /19
Aufgabe 6
Bordcomputer
Ein Bordcomputer hat 12 min lang die Geschwindigkeit eines PKW aufgezeichnet. Der Graph
der so ermittelten Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v ist im nachstehenden Diagramm modellhaft
dargestellt.
Geschwindigkeit in km/min
Zeit in min
4 2 0 10 8 6 12
1,5
1
0,5
0
2
2,5
v
a) Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von v und der Zeitachse im Intervall [8 min; 12 min]
kann durch den Flächeninhalt eines Vierecks angenähert werden. Die gekennzeichneten Gitterpunkte sind die Eckpunkte dieses Vierecks.
1) Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Vierecks. [0 / 1 P.]
2) Interpretieren Sie diesen Flächeninhalt im gegebenen Sachzusammenhang. Geben Sie
dabei auch die zugehörige Einheit an. [0 / 1 P.]
b) Ein Motorrad ist in diesen 12 min mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1,75 km/min
gefahren.
1) Zeichnen Sie im obigen Diagramm den Graphen der Geschwindigkeit-Zeit-Funktion dieses
Motorrads ein. [0 / 1 P.]
c) 1) Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an. [1 aus 5] [0 / 1 P.]
Der vom PKW zurückgelegte Weg nimmt im Intervall [4 min; 8 min] ab.
Die Geschwindigkeit des PKW nimmt im Intervall
[4 min; 8 min] zu.
Die Beschleunigung des PKW ist im Intervall
[4 min; 8 min] negativ.
Die mittlere Geschwindigkeit des PKW ist im Intervall [4 min; 8 min] geringer als 1,5 km/min.
Es gibt einen Zeitpunkt im Intervall [4 min; 8 min],
zu dem der PKW mit 75 km/h fährt.

17. September 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 13 /19
Aufgabe 7 (Teil B)
Tunnelvortrieb
Für eine Eisenbahnstrecke wird ein Tunnel gegraben.
a) In der nebenstehenden Abbildung 1 ist ein Bagger für
den Tunnelbau dargestellt.
B
A
C
b
a
Abbildung 1
In der nachstehenden Abbildung 2 ist eine bestimmte Baggerposition dargestellt.
B
A
C
b
d
a
α
γ
β
Abbildung 2
1) Veranschaulichen Sie in Abbildung 2 diejenige Länge s , die durch den nachstehenden
Ausdruck berechnet werden kann.
s = a ∙ cos( α ) [0 / 1 P.]
Es gilt:
a = 4,65 m
b = 4,50 m
β = 110°
2) Berechnen Sie die Länge d . [0 / 1 P.]
3) Kreuzen Sie die richtige Formel zur Berechnung des Winkels γ an. [1 aus 5] [0 / 1 P.]
γ = α – arccos
(
a
d
)
γ = α – arcsin
(
b ∙ sin( β )
d
)
γ = arcsin
(
a ∙ sin( α )
d
)
γ = α –
(
180° – β
2
)
γ = arccos
(
b
2
+ d
2
– a
2
2 ∙ b ∙ d
)

17. September 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 14 /19
b) Ein Teil des anfallenden Materials wird aufgeschüttet. Der dabei entstehende Schüttkegel hat
einen Neigungswinkel von 32° (siehe nachstehende Abbildungen).
32°
r
Bildquelle: Anton, CC BY-SA 3.0, https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Schuettwinkelrp.jpg [06.04.2021] (adaptiert).
1) Berechnen Sie den Radius r eines solchen Schüttkegels mit einem Volumen von 200 m
3
.
[0 / 1 P.]

17. September 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 15 /19
c) Beim Ausbau des Tunnels werden vorgefertigte Betonelemente eingesetzt. Die Breite dieser
Betonelemente ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 5 m und der
Standardab weichung σ = 0,005 m.
Zur Qualitätssicherung werden Zufallsstichproben mit dem Stichprobenumfang n = 10 entnommen und die Stichprobenmittelwerte der Breiten ermittelt.
1) Geben Sie den Erwartungswert μ
x
und die Standardabweichung σ
x
für die Verteilung
dieser Stichprobenmittelwerte an.
μ
x
= m
σ
x
= m [0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Stichprobenmittelwerte zwischen
4,996 m und 5,004 m liegen. [0 / 1 P.]
f
1
ist die Dichtefunktion für die Verteilung der Stichprobenmittelwerte mit dem Stichproben umfang n
1
= 6.
f
2
ist die Dichtefunktion für die Verteilung der Stichprobenmittelwerte mit dem Stichproben umfang n
2
.
3) Ermitteln Sie mithilfe der nachstehenden Abbildung den Stichprobenumfang n
2
. [0 / 1 P.]
Wendepunkt von f
2
Wendepunkt von f
1
Stichprobenmittelwerte der
Breiten der Betonelemente
μ
f
2
f
1
–
1
μ σ +
1
μ σ + μ
1 σ
2
– μ
1 σ
2

17. September 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 16 /19
Aufgabe 8 (Teil B)
Attersee
a) Der zeitliche Verlauf der Temperatur des Attersees kann modellhaft durch die Funktion f beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).
f ( t ) in °C
f
t in Tagen
330 300 270 240 210 180 150 120 90 60 30 0 360
3
0
23 f ( t ) = a · sin
(
b · t –
2 ∙ π
3
)
+ c
mit 0 ≤ t ≤ 360
t ... Zeit in Tagen
f ( t ) ... Temperatur zur Zeit t in °C
a , b , c ... Parameter
1) Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung den Parameter b . [0 / 1 P.]
2) Ordnen Sie den beiden Größen jeweils den zutreffenden Zahlenwert aus A bis D zu.
[0 / 1 P.]
Amplitude von f
linearer Mittelwert (Integralmittelwert) von f im Intervall [30; 210]
A 10
B 12
C 13
D 23
Zur Zeit t = 120 betrug die tatsächlich gemessene Temperatur 12 °C.
3) Geben Sie den Betrag des absoluten Fehlers an, der entsteht, wenn man statt der tatsächlich gemessenen Temperatur den Funktionswert an der Stelle t = 120 verwendet.
[0 / 1 P.]
Zur Überprüfung der Qualität der Modellfunktion f werden 1 000 Messwerte y
i
der Temperatur
zu verschiedenen Zeiten t
i
erhoben.
Für jeden dieser Messpunkte ( t
i
| y
i
) wird die Differenz des Messwerts y
i
zum Funktionswert f ( t
i
)
ermittelt. Diese Differenzen werden jeweils quadriert und danach aufsummiert. Die so erhaltene
Summe wird mit s bezeichnet.
4) Vervollständigen Sie die nachstehende Formel zur Berechnung von s .
s =
i = 1
∑
1 000
[0 / 1 P.]

17. September 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 17 /19
b) Der pH-Wert von Wasser wird mithilfe der Konzentration c der Wasserstoffionen berechnet.
Auf der nachstehenden logarithmischen Skala ist die Konzentration c
1
einer Wasserprobe aus
dem Attersee eingetragen.
c in mol/L
c
1
10
–9
10
–10
1) Lesen Sie den Wert von c
1
ab.
c
1
= mol/L [0 / 1 P.]
Für den Zusammenhang zwischen der Konzentration c und dem pH-Wert gilt: pH = –lg( c ).
Eine andere Wasserprobe wird untersucht. Das Messgerät zeigt dabei einen pH-Wert von 8,0
an. Aufgrund der Messungenauigkeit muss der tatsächliche pH-Wert der Wasserprobe zwischen 7,9 und 8,1 liegen. Die Konzentration, die einem pH-Wert von 8,0 entspricht, wird mit
c
2
bezeichnet.
2) Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Konzentration der Wasserprobe höchstens unter
bzw. über der Konzentration c
2
liegt. [0 / 1 P.]
c) Die beiden Orte Nußdorf und Weyregg liegen auf einander gegenüberliegenden Ufern des
Attersees.
Die Schiffsanlegestellen Nußdorf ( N ) und Weyregg ( W ) sind im nachstehenden Koordinatensystem dargestellt.
y
x
N
W
O
NW
Die Entfernung zwischen den Punkten N und W beträgt 3,5 km.
Die Gerade durch die Punkte N und W hat den Richtungsvektor v =
(
4
3
)
.
1) Ermitteln Sie den Vektor NW . [0 / 1 P.]

17. September 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 18 /19
Aufgabe 9 (Teil B)
Förderband
Ein neues Förderband wird geplant (siehe unten stehende Abbildung). Es soll bis zum Punkt P
horizontal verlaufen, dann einen Höhenunterschied von 1 m überwinden und ab dem Punkt Q
wieder horizontal verlaufen. Im Intervall 0 ≤ x ≤ 8 soll der Verlauf des Förderbands mithilfe einer
Funktion h beschrieben werden.
h ( x ) in m
x in m
P = (0 | 1)
Q = (8 | 2)
h
0 4 8
0
1
2
3
Für die Modellierung der Funktion h werden verschiedene Varianten überlegt. Der Graph der
Funktion h soll durch die Punkte P und Q verlaufen und dort jeweils eine waagrechte Tangente
haben.
a) Im Modell A wird der Verlauf des Förderbands im Intervall 0 ≤ x ≤ 8 durch die Polynom funktion 3. Grades h mit h ( x ) = a ∙ x
3
+ b ∙ x
2
+ c ∙ x + d beschrieben.
1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten von h . [0 / 1 / 2 P.]
2) Berechnen Sie diese Koeffizienten. [0 / 1 P.]
b) Im Modell B wird der Verlauf des Förderbands im Intervall 0 ≤ x ≤ 8 durch die Funktion h mit
h ( x ) = a ∙ cos
(
π
8
∙ x
)
+ d beschrieben.
1) Geben Sie mithilfe der obigen Abbildung die Parameter a und d an.
a =
d = [0 / 1 / 2 P.]
Das Förderband soll an keiner Stelle eine Steigung von mehr als 20 % haben.
2) Überprüfen Sie nachweislich, ob diese Vorgabe im Modell B eingehalten wird. [0 / 1 P.]

17. September 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 19 /19
c) Nach dem Punkt Q verläuft das Förderband 4 m horizontal bis zum Punkt R . Vom Punkt R
bis zum Punkt S wird der Verlauf des Förderbands durch die Funktion h
1
beschrieben. (Siehe
nachstehende Abbildung.)
h ( x ), h
1
( x ) in m
x in m
P
Q R
h
0 4 20 16 12 8
0
1
2
3
h
1
S
Der Graph der Funktion h
1
entsteht durch Verschiebung des Graphen der Funktion h .
1) Kreuzen Sie die richtige Funktionsgleichung von h
1
an. [1 aus 5] [0 / 1 P.]
h
1
( x ) = h ( x – 12) – 1
h 1 ( x ) = h ( x – 4) – 1
h
1
( x ) = h ( x + 4) + 1
h 1 ( x ) = h ( x + 12) + 1
h
1
( x ) = h ( x – 12) + 1
2) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Länge L des Förderbands vom Punkt P bis
zum Punkt S auf.
L = [0 / 1 P.]