Mathematik-Matura September 2021 · AHS – Lösungen

AHS
17. September 2021
Mathematik
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 2 /31
Beurteilung der Klausurarbeit
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
32 – 36 Punkte Sehr gut
27 – 31,5 Punkte Gut
22 – 26,5 Punkte Befriedigend
17 – 21,5 Punkte Genügend
0 – 16,5 Punkte Nicht genügend
Best-of-Wertung: Für die Aufgaben 26, 27 und 28 gilt eine Best-of-Wertung. Von diesen drei
Teil-2-Aufgaben wird diejenige Aufgabe, bei der die niedrigste Punkteanzahl erreicht worden ist,
nicht gewertet.
Jahresnoteneinrechnung: Damit die Leistungen der letzten Schulstufe in die Beurteilung des
Prüfungsgebiets einbezogen werden können, muss die Kandidatin / der Kandidat mindestens
11 Punkte erreichen.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://ablauf.srdp.at gesondert bekanntgegeben.

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 3 /31
Handreichung zur Korrektur
Für die Korrektur und die Bewertung sind die am Prüfungstag auf https://korrektur.srdp.at ver
öffentlichten Unterlagen zu verwenden.
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige
Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des
Helpdesks in Anspruch genommen werden. Ausschließlich bei ausgewiesenen Aufgaben
(Kennzeichnung durch: [0/½/1 Punkt] ) können für Teilleistungen halbe Punkte vergeben
werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Bei offenen Aufgabenformaten steht für die Punktevergabe der Nachweis der jeweiligen
Grundkompetenz im Vordergrund. Die dabei fokussierte Grundkompetenz wird im
Korrektur heft ausgewiesen. Punkte sind zu vergeben, wenn die Bearbeitung zeigt, dass
die fokussierte Grundkompetenz in der Bearbeitung erfüllt ist.
b. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind richtig, so ist diese Tei laufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
c. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu ver geben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
d. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten die richtige Lösung ohne Angabe von
Zwischenschritten angeführt, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
e. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
f. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
g. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie
nicht explizit eingefordert ist.

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 4 /31
Aufgabe 1
Differenz zwischen zwei natürlichen Zahlen
n > m
Ein Punkt für das Angeben der richtigen mathematischen Beziehung, wobei auch n ≥ m als richtig
zu werten ist.
Grundkompetenz: AG 1.2

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 5 /31
Aufgabe 2
Quadratische Gleichung
c ∈ (9; ∞)
Ein Punkt für das richtige Ermitteln aller Werte von c .
Grundkompetenz: AG 2.3

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 6 /31
Aufgabe 3
Körpergröße
Der Vektor
1
n
∙ ( K
2
– K
1
) gibt (komponentenweise) für jedes Kind in der Schulklasse die mittlere
Zunahme der Körpergröße in cm pro Monat an.
Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang.
Grundkompetenz: AG 3.1

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 7 /31
Aufgabe 4
Würfel und Vektor
GA
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 8 /31
Aufgabe 5
Vektoren
c
y
x
0 6 5 7 4 3 2 1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7
0
2
1
–2
–3
–4
–5
–1
–6
–7
5
4
7
6
3
a
a
b
Ein Punkt für das richtige Einzeichnen des Vektors b , wobei die Pfeilspitze eingezeichnet sein
muss, die Lage des Pfeiles (mit den richtigen Komponenten) jedoch beliebig ist.
Grundkompetenz: AG 3.3

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 9 /31
Aufgabe 6
Winkel und Seiten von rechtwinkeligen Dreiecken
β < 90°
sin( β ) =
3
5
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 10 /31
Aufgabe 7
Trikots
Der Verkaufspreis eines Trikots beträgt € 60.
Wenn das Unternehmen 400 Trikots produziert und
verkauft, wird ein Gewinn von € 6.000 erzielt.
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 11 /31
Aufgabe 8
Erlösfunktion
E ( x ) = (3 000 − 250 · x ) · x = 3 000 · x − 250 · x
2
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung von E .

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 12 /31
Aufgabe 9
Längenausdehnung einer Brücke
l ( T ) = k ∙ T + d
l (–14) = 300, l (11) = 300,1
l ( T ) = 0,004 ∙ T + 300,056
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung von l .

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 13 /31
Aufgabe 10
Zwei quadratische Funktionen
(1) a < c
(2) b > d
Ein Punkt für das Einsetzen der beiden richtigen Ungleichheitszeichen, ein halber Punkt für nur ein
richtiges Ungleichheitszeichen.

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 14 /31
Aufgabe 11
Medikament
100 = 700 ∙ 0,92
t
t = 23,3... h
Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Anzahl an Stunden.
Grundkompetenz: FA 5.2

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 15 /31
Aufgabe 12
Halbwertszeit
T = 30 Jahre
Ein Punkt für das Angeben des richtigen Wertes von T .
Toleranzintervall: [29 Jahre; 31 Jahre]

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 16 /31
Aufgabe 13
Abkühlung
Zum Zeitpunkt t = 1 beträgt die momentane Änderungsrate der
Temperatur des Körpers –15 °C/h.
Es gilt:
T (3) – T (1)
2
> –15.
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 17 /31
Aufgabe 14
Differenzengleichung
x
1
= 1,2 ∙ x
0
– 2
x
2
= 1,2 ∙ (1,2 ∙ x
0
– 2) – 2
x
2
= 1,44 ∙ x
0
– 4,4
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.
Grundkompetenz: AN 1.4

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 18 /31
Aufgabe 15
Ableitungsfunktion und Stammfunktion
Die Ableitungsfunktion f ′ ist eindeutig bestimmt. Es gibt somit
keine weitere Ableitungsfunktion von f .
Es gilt: F ′ ( a ) = f ( a ) für alle a ∈ ℝ .
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 19 /31
Aufgabe 16
Ableitungen
f ″ (0) > 0
f ′ (1) > 0
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 20 /31
Aufgabe 17
Benzinverbrauch bei der Fahrt auf einer Landstraße
Der Ausdruck V gibt den durchschnittlichen Benzinverbrauch (in L/km) während der (10 km
langen) Fahrt auf dieser Landstraße an.
Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang.
Grundkompetenz: AN 4.1

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 21 /31
Aufgabe 18
Aussagen über bestimmte Integrale
∫
4
0
f ( x ) d x >
∫
5
0
f ( x ) d x
∫
4
3
f ( x ) d x >
∫
5
4
f ( x ) d x
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 22 /31
Aufgabe 19
Ergebnisse einer Mathematikschularbeit
a = 5
b = 2
Ein Punkt für das Angeben der beiden richtigen Werte, ein halber Punkt für nur einen richtigen
Wert.

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 23 /31
Aufgabe 20
Veränderung von Zahlen
arithmetisches Mittel: 66
Spannweite: 74
Ein Punkt für das Angeben der beiden richtigen Werte, ein halber Punkt für nur einen richtigen
Wert.

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 24 /31
Aufgabe 21
Zweistufiges Zufallsexperiment
P ( X ≥ 1) = 1 – P ( X = 0) = 1 – (1 – p )
2
1 – (1 – p )
2
= 0,36
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
p = 0,2
Ein Punkt für das richtige Berechnen von p .
Grundkompetenz: WS 2.3

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 25 /31
Aufgabe 22
Auswahlmöglichkeiten
Die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten beträgt: (
1 000
2
) = 499 500
Ein Punkt für das Angeben der richtigen Anzahl, wobei auch die Angabe des Binomialkoeffizienten
als richtig zu werten ist.

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 26 /31
Aufgabe 23
Kurzsichtigkeit
P („mindestens 2 060 kurzsichtige Personen“) = 0,04
Ein Punkt für das Angeben der richtigen Wahrscheinlichkeit.

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 27 /31
Aufgabe 24
Binomialverteilte Zufallsvariable
p =
80
400
= 0,2
σ =

80 ∙ 0,8 = 8
Ein Punkt für das richtige Berechnen der beiden Werte, ein halber Punkt für nur einen richtigen
Wert.

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 28 /31
Aufgabe 25 (Teil 2)
Maturaball
a1) I : 20 ∙ x + 22 ∙ y = 13 240
II : x + y = 640
a1) Ein Punkt für das richtige Erstellen des Gleichungssystems mit zwei Gleichungen, ein halber
Punkt für nur eine richtige Gleichung.
b1) X ... Anzahl der Gewinne
X ist binomialverteilt mit n = 3, p = 0,25.
P ( X = 2) = 3 ∙ 0,25
2
∙ 0,75 = 0,140625
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.
c1) P ( X = 1 ) =
5
50
·
45
49
+
45
50
·
5
49
c2) Martins Behauptung ist falsch, weil die Wahrscheinlichkeit, dass eine markierte Badeente
ausgewählt wird, nicht konstant bleibt.
oder:
Martins Behauptung ist falsch, weil es sich beim gegebenen Sachzusammenhang um ein
Ziehen ohne Zurücklegen handelt.
c1) Ein Punkt für das Eintragen der richtigen Zahl.
c2) Ein Punkt für das richtige Begründen.

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 29 /31
Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Temperaturveränderungen
a1) 37 = 70 ∙ ℯ
–0,045 ∙ t *
+ 18
t * = 28,9... min
a2)
g (12) – g (10)
12 – 10
= –1,92...
Die Temperatur des Tees sinkt im Intervall [10 min; 12 min] durchschnittlich um rund 1,9 °C/min.
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen von t *.
a2) Ein halber Punkt für das richtige Berechnen der mittleren Änderungsrate, ein halber Punkt
für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang unter Angabe der zuge
hörigen Einheit.
b1) T
t + 1
= T
t
+ 0,08 ∙ (25 – T
t
)
b2) T
1
= 5 + 0,08 ∙ (25 – 5) = 6,6
T
2
= 6,6 + 0,08 ∙ (25 – 6,6) = 8,072
T
3
= 8,072 + 0,08 ∙ (25 – 8,072) = 9,42624
T
3
= 9,4... °C
b1) Ein Punkt für das richtige Ergänzen der Differenzengleichung.
b2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Temperatur zum Zeitpunkt t = 3 min.

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 30 /31
Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Satelliten und ihre Umlaufbahnen
a1) 7 500 =
6,67 ∙ 10
–11
∙ 5,97 ∙ 10
24
r

r = 7 079 093,3... m
a2) 2 ∙ r ∙ π = 7 500 ∙ t
t = 5 930,5... s
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen von r .
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der benötigten Zeit.
b1) cos(81,32°) =
6,37 ∙ 10
6
r
r = 42 208 977,5... m
b2) Entfernung Forschungsstation – Satellit:

r
2
– R
2
= 41 725 542,4... m
41 725 542,4...
300 000 000
= 0,1390...
Das Funksignal benötigt für seinen Weg von der Forschungsstation zum Satelliten
rund 0,139 s.
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen von r .
b2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der benötigten Zeit auf 3 Nachkommastellen.

17. September 2021 / AHS / Mathematik S. 31 /31
Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Speichermedien
a1) N ( F ) =
16 ∙ 1 024 ∙ 1 024
F
=
16 777 216
F
a1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung von N , wobei auch jeder Hinweis
auf das Abrunden von N ( F ) auf die nächstkleinere ganze Zahl als richtig zu werten ist.
b1) 0,75 + 0,25 ∙ 0,75
3
= 0,855...
b2) 0,75
3
+ 3 ∙ 0,25 ∙ 0,75
2
= 0,843...
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.
b2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.
c1) P (0) = 20,1 ⇒ a + 11 = 20,1
P (9) = 11,1 ⇒ a ∙ b
9
+ 11 = 11,1
a = 9,1
b =
9 0,1
9,1

= 0,60579...
c1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der beiden Werte, ein halber Punkt für nur einen richtigen
Wert.