Mathematik-Matura Mai 2021 · HTL Cluster T2 – Lösungen

Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung
BHS
Haupttermin 2021
Angewandte Mathematik
Korrekturheft
HTL 2

Haupttermin 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 2 /14
Beurteilung der Klausurarbeit
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
44 – 48 Punkte Sehr gut
38 – 43 Punkte Gut
31 – 37 Punkte Befriedigend
23 – 30 Punkte Genügend
0 – 22 Punkte Nicht genügend
Jahresnoteneinrechnung: Damit die Leistungen der letzten Schulstufe in die Beurteilung des
Prüfungsgebiets einbezogen werden können, muss die Kandidatin / der Kandidat mindestens
14 Punkte erreichen.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://ablauf.srdp.at gesondert bekanntgegeben.

Haupttermin 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 3 /14
Handreichung zur Korrektur
Für die Korrektur und die Bewertung sind die am Prüfungstag auf https://korrektur.srdp.at ver öffentlichten Unterlagen zu verwenden.
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige
Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des Helpdesks in Anspruch genommen werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Punkte sind zu vergeben, wenn die jeweilige Handlungsanweisung in der Bearbeitung
richtig umgesetzt ist.
b. Berechnungen im offenen Antwortformat ohne nachvollziehbaren Rechenansatz
bzw. ohne nachvollziehbare Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete
Ausgangsparameter und die verwendete Technologiefunktion müssen angegeben sein)
sind mit null Punkten zu bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind richtig, so ist diese Teilaufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in
einem Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der
Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
h. Jedes Diagramm bzw. jede Skizze, die Lösung einer Handlungsanweisung ist, muss
eine qualitative Achsenbeschriftung enthalten, andernfalls ist dies mit null Punkten zu
bewerten.
i. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie nicht
explizit eingefordert ist.

Haupttermin 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 4 /14
Aufgabe 1
Zirkus
a1) 65 ∙ x + 57 ∙ y = 1 179
82 ∙ x + 74 ∙ y = 1 502
a2) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
x = 12
y = 7
Der Eintrittspreis für einen Erwachsenen beträgt € 12, der Eintrittspreis für ein Kind beträgt € 7.
a1) Ein Punkt für das richtige Erstellen des Gleichungssystems.
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Eintrittspreise x und y .
b1)
( n + k ) ∙ p ∙ 0,95
b1) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.
c1) X ... Dauer der Zirkusvorstellung in min
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P ( X ≥ 118) = 0,6554...
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 65,5 %.
c2)
1 – F (125)
c1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.
c2) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

Haupttermin 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 5 /14
Aufgabe 2
Bäume
a1) f ( x ), g ( x ) in cm
f
x in cm
O
g
x
N
a2) f ( x ) = 0 oder 0,0047 ∙ x
3
– 0,2 ∙ x
2
+ 1,28 ∙ x = 0
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
x
1
= 0, x
2
= 7,84... , x
3
= 34,70...
x
N
= 7,84...
a3) 2 ∙
∫
7,84...
0
f ( x ) d x = 23,30...
Der Flächeninhalt dieses Blattes beträgt rund 23,3 cm
2
.
a1) Ein Punkt für das richtige Einzeichnen des Graphen der Funktion g .
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Nullstelle x
N
.
a3) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Flächeninhalts.
b1)
30 000 ∙ 2,14 ∙ 14,5
1 000 ∙ 1 000
= 0,9309
Ein solcher Laubbaum produziert an diesem Sommertag rund 0,93 kg Sauerstoff.
b2) n =
0,816
0,9309
∙ x oder n = 0,8765... ∙ x
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der produzierten Sauerstoffmenge in kg.
b2) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.

Haupttermin 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 6 /14
Aufgabe 3
Sonnenlicht und Vitamin D
a1) [73; 273] (in Tagen)
Toleranzbereich für die untere Grenze: [70; 80]
Toleranzbereich für die obere Grenze: [270; 280]
a2) In den ersten 90 Tagen des Jahres steigt der größte Einfallswinkel der Sonnenstrahlen pro
Tag um durchschnittlich 0,3°.
oder:
Die mittlere Änderungsrate des größten Einfallswinkels der Sonnenstrahlen im Zeit inter vall [0; 90] beträgt 0,3° pro Tag.
a1) Ein Punkt für das Ablesen des richtigen Zeitintervalls.
a2) Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang.
b1) 30 = N
0
∙ ℯ
–0,0173 ∙ 60
⇒ N
0
= 84,7...
Die Vitamin-D-Konzentration im Blut zu Herbstbeginn muss (mindestens) rund 85 ng/ml
betragen.
b2)
Nach 160 Tagen ist noch ein Sechzehntel
von N
0
vorhanden.
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der notwendigen Vitamin-D-Konzentration zu Herbstbeginn.
b2) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

Haupttermin 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 7 /14
Aufgabe 4
Steig- bzw. Sinkflug von Flugzeugen
a1) h
1
( t ) = –90 ∙ t + 12 000
t ... Zeit in min
h
1
( t ) ... Flughöhe zur Zeit t in m
a2) Ablesen der Steigung der Funktion h
1
aus der Funktionsgleichung: k
1
= –90
Ablesen der Steigung der Funktion h
2
aus dem Funktionsgraphen: k
2
= –125
| k
1
| < | k
2
|
Das zweite Flugzeug sinkt also schneller als das erste Flugzeug.
a1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung der Funktion h
1
.
a2) Ein Punkt für das richtige nachweisliche Überprüfen.
b1) t
m
= 600 s
Toleranzbereich: [590; 610]
b2) Die Flughöhe des Flugzeugs nimmt im Zeitintervall [1 550; 1 800] um 1 249 m ab.
b1) Ein Punkt für das richtige Ablesen.
b2) Ein Punkt für das richtige Interpretieren des Ergebnisses im gegebenen Sachzusammenhang.

Haupttermin 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 8 /14
Aufgabe 5
Darts
a1)
A 1
A 2
=
d
2
D
2
= 0,570...
Die Fläche des inneren Kreises macht rund 57 % der Fläche des äußeren Kreises aus.
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Prozentsatzes.
b1)
D
L
Dartscheibe
α
b2) α = 2 ∙ arctan
(
D
2 ∙ L
)
b1) Ein Punkt für das richtige Einzeichnen der Größen L und α .
b2) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.
c1) f ′ ( x ) = 2 ∙ a ∙ x + b
I : f (0) = 173
II : f (75) = 182
III : f ′ (75) = 0
oder:
I : c = 173
II : 5 625 ∙ a + 75 ∙ b + c = 182
III : 150 ∙ a + b = 0
c2) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
a = –
1
625
= –0,0016
b =
6
25
= 0,24
c = 173
c1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichungen mithilfe der Koordinaten.
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung mithilfe der 1. Ableitung.
c2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Koeffizienten a , b und c .

Haupttermin 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 9 /14
d1)
Mit dem Ausdruck
(
5
4
)
∙ p
4
∙ (1 – p ) + p
5
wird die Wahrscheinlichkeit berechnet,
dass der Spieler bei 5 Würfen ...
D
Mit dem Ausdruck
1 –
(
5
4
)
∙ p
4
∙ (1 – p ) – p
5
wird die Wahrscheinlichkeit berechnet,
dass der Spieler bei 5 Würfen ...
A
A
... höchstens 3-mal
das Bull’s Eye trifft.
B
... mindestens 3-mal
das Bull’s Eye trifft.
C
... höchstens 4-mal
das Bull’s Eye trifft.
D
... mindestens 4-mal
das Bull’s Eye trifft.
d1) Ein Punkt für das richtige Zuordnen.

Haupttermin 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 10 /14
Aufgabe 6 (Teil B)
Olympische Sommerspiele 2008 in Peking
a1) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
v
B
′ (1) = 4,193...
Die Beschleunigung von Usain Bolt 1 s nach dem Start betrug rund 4,19 m/s
2
.
a2) Es wird die mittlere Geschwindigkeit (in m/s) von Usain Bolt im Zeitintervall [5; 8] berechnet.
a3) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
100 –
∫
9,69
0
v
T
( t ) d t = 2,423...
Richard Thompson war rund 2,42 m von der Ziellinie entfernt, als Usain Bolt diese
überquerte.
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Beschleunigung.
a2) Ein Punkt für das richtige Beschreiben im gegebenen Sachzusammenhang.
a3) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Entfernung.
b1) v
M
= | v
M
| ∙
( )
cos( α )
sin( α )
b2) h ′ ( x ) = 2 ∙ a ∙ x + b
tan( α ) = h ′ (0) = b
b1) Ein Punkt für das Eintragen der richtigen Ausdrücke.
b2) Ein Punkt für das richtige Nachweisen.
c1) Ermittlung mittels Technologieeinsatz:
f ( x ) = 0,18254 ∙ x – 3,4
x ... Distanz in m
f ( x ) ... Zeit bei der Distanz x in s
c2) f (10 000) = 1 822
29 min 54,66 s = 1 794,66 s
|
1 794,66 – 1 822
1 794,66
| = 0,0152...
Der Betrag des relativen Fehlers beträgt rund 1,5 %.
c1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Gleichung der linearen Regressionsfunktion.
c2) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Betrags des relativen Fehlers.

Haupttermin 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 11 /14
Aufgabe 7 (Teil B)
Flughafen
a1)
Zielort Salzburg anderer Zielort
Zielort Salzburg anderer Zielort Zielort Salzburg anderer Zielort
1. Gepäckstück:
2. Gepäckstück:
p
p 1 – p
1 – p
p 1 – p
Der Punkt ist auch zu vergeben, wenn im Baumdiagramm für p = 0,15 und für 1 – p = 0,85
angegeben wird (vgl. Lösung zu a2).
a2) 0,9775 = 1 – p
2
p =

0,0225 = 0,15
a3)
Von 5 zufällig ausgewählten
Gepäckstücken hat keines
den Zielort Salzburg.
A
Von 5 zufällig ausgewählten
Gepäckstücken haben alle
den Zielort Salzburg.
B
A (1 – p )
5
B p
5
C 1 – p
5
D 1 – (1 – p )
5
a1) Ein Punkt für das Eintragen der richtigen Wahrscheinlichkeiten.
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit p .
a3) Ein Punkt für das richtige Zuordnen.

Haupttermin 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 12 /14
b1) X ... Kerosinverbrauch in L/100 km
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P ( μ – a ≤ X ≤ μ + a ) = 0,90 ⇒ [803,8...; 886,1...]
b2) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
Stichprobenmittelwert: x = 829,8
Berechnung des 99-%-Konfidenzintervalls [ μ
u
; μ
o
] mithilfe der Normalverteilung:
μ
u
= 829,8 – 2,576 ∙ 
10
25
= 809,4...
μ
o
= 829,8 + 2,576 ∙ 
10
25
= 850,1...
Daraus ergibt sich folgendes Konfidenzintervall in L/100 km: [809,4...; 850,1...]
b1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Intervalls.
b2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Konfidenzintervalls.
c1) | v | =

1,2
2
+ 0,5
2
= 1,3
1,3 m/s = 78 m/min
c2) v ∙ w = (
1,2
0,5
) ∙ (
–1
y
w
) = 0 ⇒ –1,2 + 0,5 ∙ y
w
= 0 ⇒ y
w
= 2,4
c1) Ein Punkt für das richtige Berechnen von | v | in m/min.
c2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln von y
w
.

Haupttermin 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 13 /14
Aufgabe 8 (Teil B)
Meerwasser und mehr Wasser
a1) Das Volumen nimmt zu, wenn die momentane Änderungsrate
d V
d t
positiv ist. Dies ist dann der
Fall, wenn V kleiner als 350 ist.
a2)
∫
1
350 – V#
d V =
∫
0,001 d t oder
∫
V ′
350 – V#
d t =
∫
0,001 d t
–ln | 350 – V ( t ) | = 0,001 ∙ t + C
1
V ( t ) = 350 + C ∙ ℯ
–0,001 ∙ t
a3) V (0) = 150 ⇒ C = –200
V ( t ) = 350 – 200 ∙ ℯ
–0,001 ∙ t
a1) Ein Punkt für das richtige Argumentieren.
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der allgemeinen Lösung der Differenzialgleichung mithilfe der Methode Trennen der Variablen .
a3) Ein Punkt für das richtige Berechnen der speziellen Lösung der Differenzialgleichung.
b1) h ′ ( t ) = 1 oder 1,5 ∙ t ∙ ℯ
–0,3 ∙ t
= 1
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t
1
= 0,86... und t
2
= 8,47...
Im Zeitintervall [0,86...; 8,47...] beträgt die momentane Änderungsrate des Wasserstands
mindestens 1 mm/min.
b1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Zeitintervalls.
c1) a = 3
b = –1
c1) Ein Punkt für das Angeben des richtigen Parameters a .
Ein Punkt für das Angeben des richtigen Parameters b .

Haupttermin 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 14 /14
Aufgabe 9 (Teil B)
Zahlen können auch komplex sein
a1 und a2)
imaginäre Achse
reelle Achse
0 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4 –5
0
2j
– 2j
– j
– 3j
– 4j
– 5j
j
3j
4j
5j
z
2
z
3
z
1
Auch ein Einzeichnen der komplexen Zahlen als Punkte in der Gauß’schen Zahlenebene
ist als richtig zu werten.
a1) Ein Punkt für das richtige Einzeichnen von z
1
.
a2) Ein Punkt für das richtige Einzeichnen von z
2
und z
3
.
b1) z ∙ z * = ( a + b ∙ j) ∙ ( a – b ∙ j) = a
2
– b
2
∙ j
2
= a
2
+ b
2
Mit a , b ∈ ℝ ist auch a
2
+ b
2
∈ ℝ .
b1) Ein Punkt für das richtige Zeigen.