Mathematik-Matura Mai 2021 · HAK Cluster W2 – Lösungen

Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung
BHS
Haupttermin 2021
Angewandte Mathematik
Korrekturheft
HAK

Haupttermin 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 2 /15
Beurteilung der Klausurarbeit
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
44 – 48 Punkte Sehr gut
38 – 43 Punkte Gut
31 – 37 Punkte Befriedigend
23 – 30 Punkte Genügend
0 – 22 Punkte Nicht genügend
Jahresnoteneinrechnung: Damit die Leistungen der letzten Schulstufe in die Beurteilung des
Prüfungsgebiets einbezogen werden können, muss die Kandidatin / der Kandidat mindestens
14 Punkte erreichen.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://ablauf.srdp.at gesondert bekanntgegeben.

Haupttermin 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 3 /15
Handreichung zur Korrektur
Für die Korrektur und die Bewertung sind die am Prüfungstag auf https://korrektur.srdp.at ver öffentlichten Unterlagen zu verwenden.
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige
Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des Helpdesks in Anspruch genommen werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Punkte sind zu vergeben, wenn die jeweilige Handlungsanweisung in der Bearbeitung
richtig umgesetzt ist.
b. Berechnungen im offenen Antwortformat ohne nachvollziehbaren Rechenansatz
bzw. ohne nachvollziehbare Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete
Ausgangsparameter und die verwendete Technologiefunktion müssen angegeben sein)
sind mit null Punkten zu bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind richtig, so ist diese Teilaufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in
einem Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der
Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
h. Jedes Diagramm bzw. jede Skizze, die Lösung einer Handlungsanweisung ist, muss
eine qualitative Achsenbeschriftung enthalten, andernfalls ist dies mit null Punkten zu
bewerten.
i. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie nicht
explizit eingefordert ist.

Haupttermin 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 4 /15
Aufgabe 1
Zirkus
a1) 65 ∙ x + 57 ∙ y = 1 179
82 ∙ x + 74 ∙ y = 1 502
a2) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
x = 12
y = 7
Der Eintrittspreis für einen Erwachsenen beträgt € 12, der Eintrittspreis für ein Kind beträgt € 7.
a1) Ein Punkt für das richtige Erstellen des Gleichungssystems.
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Eintrittspreise x und y .
b1)
( n + k ) ∙ p ∙ 0,95
b1) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.
c1) X ... Dauer der Zirkusvorstellung in min
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P ( X ≥ 118) = 0,6554...
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 65,5 %.
c2)
1 – F (125)
c1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.
c2) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

Haupttermin 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 5 /15
Aufgabe 2
Bäume
a1) f ( x ), g ( x ) in cm
f
x in cm
O
g
x
N
a2) f ( x ) = 0 oder 0,0047 ∙ x
3
– 0,2 ∙ x
2
+ 1,28 ∙ x = 0
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
x
1
= 0, x
2
= 7,84... , x
3
= 34,70...
x
N
= 7,84...
a3) 2 ∙
∫
7,84...
0
f ( x ) d x = 23,30...
Der Flächeninhalt dieses Blattes beträgt rund 23,3 cm
2
.
a1) Ein Punkt für das richtige Einzeichnen des Graphen der Funktion g .
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Nullstelle x
N
.
a3) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Flächeninhalts.
b1)
30 000 ∙ 2,14 ∙ 14,5
1 000 ∙ 1 000
= 0,9309
Ein solcher Laubbaum produziert an diesem Sommertag rund 0,93 kg Sauerstoff.
b2) n =
0,816
0,9309
∙ x oder n = 0,8765... ∙ x
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der produzierten Sauerstoffmenge in kg.
b2) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.

Haupttermin 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 6 /15
Aufgabe 3
Sonnenlicht und Vitamin D
a1) [73; 273] (in Tagen)
Toleranzbereich für die untere Grenze: [70; 80]
Toleranzbereich für die obere Grenze: [270; 280]
a2) In den ersten 90 Tagen des Jahres steigt der größte Einfallswinkel der Sonnenstrahlen pro
Tag um durchschnittlich 0,3°.
oder:
Die mittlere Änderungsrate des größten Einfallswinkels der Sonnenstrahlen im Zeit inter vall [0; 90] beträgt 0,3° pro Tag.
a1) Ein Punkt für das Ablesen des richtigen Zeitintervalls.
a2) Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang.
b1) 30 = N
0
∙ ℯ
–0,0173 ∙ 60
⇒ N
0
= 84,7...
Die Vitamin-D-Konzentration im Blut zu Herbstbeginn muss (mindestens) rund 85 ng/ml
betragen.
b2)
Nach 160 Tagen ist noch ein Sechzehntel
von N
0
vorhanden.
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der notwendigen Vitamin-D-Konzentration zu Herbstbeginn.
b2) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

Haupttermin 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 7 /15
Aufgabe 4
Steig- bzw. Sinkflug von Flugzeugen
a1) h
1
( t ) = –90 ∙ t + 12 000
t ... Zeit in min
h
1
( t ) ... Flughöhe zur Zeit t in m
a2) Ablesen der Steigung der Funktion h
1
aus der Funktionsgleichung: k
1
= –90
Ablesen der Steigung der Funktion h
2
aus dem Funktionsgraphen: k
2
= –125
| k
1
| < | k
2
|
Das zweite Flugzeug sinkt also schneller als das erste Flugzeug.
a1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung der Funktion h
1
.
a2) Ein Punkt für das richtige nachweisliche Überprüfen.
b1) t
m
= 600 s
Toleranzbereich: [590; 610]
b2) Die Flughöhe des Flugzeugs nimmt im Zeitintervall [1 550; 1 800] um 1 249 m ab.
b1) Ein Punkt für das richtige Ablesen.
b2) Ein Punkt für das richtige Interpretieren des Ergebnisses im gegebenen Sachzusammenhang.

Haupttermin 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 8 /15
Aufgabe 5
Darts
a1)
A 1
A 2
=
d
2
D
2
= 0,570...
Die Fläche des inneren Kreises macht rund 57 % der Fläche des äußeren Kreises aus.
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Prozentsatzes.
b1)
D
L
Dartscheibe
α
b2) α = 2 ∙ arctan
(
D
2 ∙ L
)
b1) Ein Punkt für das richtige Einzeichnen der Größen L und α .
b2) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.
c1) f ′ ( x ) = 2 ∙ a ∙ x + b
I : f (0) = 173
II : f (75) = 182
III : f ′ (75) = 0
oder:
I : c = 173
II : 5 625 ∙ a + 75 ∙ b + c = 182
III : 150 ∙ a + b = 0
c2) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
a = –
1
625
= –0,0016
b =
6
25
= 0,24
c = 173
c1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichungen mithilfe der Koordinaten.
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung mithilfe der 1. Ableitung.
c2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Koeffizienten a , b und c .

Haupttermin 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 9 /15
d1)
Mit dem Ausdruck
(
5
4
)
∙ p
4
∙ (1 – p ) + p
5
wird die Wahrscheinlichkeit berechnet,
dass der Spieler bei 5 Würfen ...
D
Mit dem Ausdruck
1 –
(
5
4
)
∙ p
4
∙ (1 – p ) – p
5
wird die Wahrscheinlichkeit berechnet,
dass der Spieler bei 5 Würfen ...
A
A
... höchstens 3-mal
das Bull’s Eye trifft.
B
... mindestens 3-mal
das Bull’s Eye trifft.
C
... höchstens 4-mal
das Bull’s Eye trifft.
D
... mindestens 4-mal
das Bull’s Eye trifft.
d1) Ein Punkt für das richtige Zuordnen.

Haupttermin 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 10 /15
Aufgabe 6 (Teil B)
Möbel
a1)
y in GE
x in ME
0
0
a1) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.
b1) Im Produktionsintervall [0; 400[ ist der Verlauf der Kostenfunktion degressiv.
Toleranzbereich für die obere Intervallgrenze [325; 475]
Auch die Angabe als abgeschlossenes oder offenes Intervall ist als richtig zu werten.
b2) K
1
(200) =
K 1
(200)
200
=
70 000
200
= 350
Die Stückkosten betragen € 350 pro Stück.
b3) Die Grenzkostenfunktion ist die Ableitung der Kostenfunktion. Die Fixkosten fallen beim
Ableiten als konstantes Glied weg.
b1) Ein Punkt für das Ablesen des richtigen Produktionsintervalls.
b2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Stückkosten.
b3) Ein Punkt für das richtige Begründen.

Haupttermin 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 11 /15
c1) 0,001 ∙ 100
3
– 0,9 ∙ 100
2
+ a ∙ 100 + 3 000 = 35 000 ⇒ a = 400
c2) K
2
( x ) =
K 2
( x )
x
= 0,001 ∙ x
2
– 0,9 ∙ x + 400 +
3 000
x
K
2
′ ( x ) = 0,002 ∙ x – 0,9 –
3 000
x
2
K
2
′ ( x ) = 0
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
x = 457,1…
Das Betriebsoptimum liegt bei einer Produktion von rund 457 Kommoden.
c3) K
2
(60) = 23 976
p =
23 976
60
= 399,6
Der Preis beträgt 399,60 GE pro Kommode.
c1) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Koeffizienten a .
c2) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Betriebsoptimums.
c3) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Preises.

Haupttermin 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 12 /15
Aufgabe 7 (Teil B)
Reisebus
a1)
Jahr Einnahmen in € Ausgaben in €
0 180 000
1 50 000 20 000
2 50 000 20 000
3 50 000 20 000
4 50 000 20 000
5 50 000 20 000
6 90 000 20 000
a2) Da die Summe der Einnahmen (€ 340.000) höher als die Summe der Ausgaben (€ 300.000)
ist, könnte die Investition vorteilhaft sein.
a3) C
0
= –180 000 +
30 000
1,04
+
30 000
1,04
2
+
30 000
1,04
3
+
30 000
1,04
4
+
30 000
1,04
5
+
70 000
1,04
6
= 8 876,6...
Der Kapitalwert beträgt rund € 8.877.
a1) Ein Punkt für das richtige Übertragen aller Einnahmen und Ausgaben.
a2) Ein Punkt für das richtige Erklären.
a3) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Kapitalwerts.

Haupttermin 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 13 /15
b1)
Zeit in Jahren
3 2 1 0
€ 20.000 R R R R
6 7 8 5 4
€ 60.000
b2) R = (60 000 – 20 000 ∙ 1,021
8
) ∙
1,021 – 1
(1,021
4
– 1) ∙ 1,021
2
= 8 455,200...
Die Höhe von R beträgt € 8.455,20.
b1) Ein Punkt für das richtige Eintragen der vier Zahlungen.
b2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Höhe von R .
c1)
Jahr Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld
2 € 35.331,00
3 € 1.059,93 € 2.440,07 € 3.500,00
c2) 35 331 = 3 500 ∙
1,03
n
– 1
1,03 – 1
∙
1
1,03
n
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
n = 12,204...
(
35 331 – 3 500 ∙
1,03
12
– 1
1,03 – 1
∙
1
1,03
12 )
∙ 1,03
13
= 722,498...
Die Höhe des Restbetrags beträgt € 722,50.
c1) Ein Punkt für das Eintragen der richtigen Höhe der Annuität.
c2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Höhe des Restbetrags.

Haupttermin 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 14 /15
Aufgabe 8 (Teil B)
Handyproduktion
a1) A = R ∙ S = (
25
5
33
9
)
a2) 5 ∙ 5 + 7 ∙ x = 46 ⇒ x = 3
1 ∙ 5 + 2 ∙ x = 11 ⇒ x = 3
Für die Punktevergabe ist eine der beiden Gleichungen ausreichend.
a1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Matrix A .
a2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln von x .
b1) Es wird die Anzahl der Mikrochips M
1
und M
2
berechnet, die für die Produktion von
x
1
Handys vom Modell H
1
und x
2
Handys vom Modell H
2
benötigt werden.
b2) Zeilenanzahl: 1
Spaltenanzahl: 1
b1) Ein Punkt für das richtige Beschreiben im gegebenen Sachzusammenhang.
b2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Zeilen- und der Spaltenanzahl.
c1)
R
1
R
2
M
1
H
1
H
2
M
2
6
5
7
1
2
5
1
4
c2) Es werden insgesamt 3 000 Mikrochips täglich nachgefragt.
c1) Ein Punkt für das richtige Vervollständigen des Gozinto-Graphen.
c2) Ein Punkt für das Ablesen der richtigen Anzahl.

Haupttermin 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 15 /15
d1) Mindestens einer der beiden Fehler tritt auf.
d2) Die Ereignisse „Displayfehler“ ( D ) und „Akkufehler“ ( A ) sind unabhängig, wenn gilt:
P ( D ) ∙ P ( A ) = P ( D ∩ A )
P ( D ∩ A ) = 0,01
P ( D ) ∙ P ( A ) = 0,02 ∙ 0,03 = 0,0006 ≠ 0,01
Daher sind die beiden Ereignisse nicht unabhängig.
d3) P ( A | D ) =
P ( A ∩ D )
P ( D )
=
0,01
0,02
=
1
2
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter dieser Bedingung ein Akkufehler auftritt, beträgt 50 %.
d1) Ein Punkt für das richtige Beschreiben im gegebenen Sachzusammenhang.
d2) Ein Punkt für das richtige nachweisliche Überprüfen.
d3) Ein Punkt für das richtige Berechnen der bedingten Wahrscheinlichkeit.