Mathematik-Matura Mai 2021 · AHS – Lösungen

AHS
Haupttermin 2021
Mathematik
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 2 /31
Beurteilung der Klausurarbeit
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
32 – 36 Punkte Sehr gut
27 – 31,5 Punkte Gut
22 – 26,5 Punkte Befriedigend
17 – 21,5 Punkte Genügend
0 – 16,5 Punkte Nicht genügend
Best-of-Wertung: Für die Aufgaben 26, 27 und 28 gilt eine Best-of-Wertung. Von diesen drei
Teil-2-Aufgaben wird diejenige Aufgabe, bei der die niedrigste Punkteanzahl erreicht worden ist,
nicht gewertet.
Jahresnoteneinrechnung: Damit die Leistungen der letzten Schulstufe in die Beurteilung des
Prüfungsgebiets einbezogen werden können, muss die Kandidatin / der Kandidat mindestens
11 Punkte erreichen.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://ablauf.srdp.at gesondert bekanntgegeben.

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 3 /31
Handreichung zur Korrektur
Für die Korrektur und die Bewertung sind die am Prüfungstag auf https://korrektur.srdp.at ver
öffentlichten Unterlagen zu verwenden.
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige
Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des
Helpdesks in Anspruch genommen werden. Ausschließlich bei ausgewiesenen Aufgaben
(Kennzeichnung durch: [0/½/1 Punkt] ) können für Teilleistungen halbe Punkte vergeben
werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Bei offenen Aufgabenformaten steht für die Punktevergabe der Nachweis der jeweiligen
Grundkompetenz im Vordergrund. Die dabei fokussierte Grundkompetenz wird im
Korrektur heft ausgewiesen. Punkte sind zu vergeben, wenn die Bearbeitung zeigt, dass
die fokussierte Grundkompetenz in der Bearbeitung erfüllt ist.
b. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind richtig, so ist diese Tei laufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
c. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu ver geben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
d. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten die richtige Lösung ohne Angabe von
Zwischenschritten angeführt, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
e. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
f. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
g. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie
nicht explizit eingefordert ist.

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 4 /31
Aufgabe 1
Rationale Zahlen
Zu jeder rationalen Zahl a gibt es eine rationale Zahl b so, dass
gilt: a + b = 0.
Es gibt rationale Zahlen a und b mit a ∙ b < b .
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 5 /31
Aufgabe 2
Kleidungsstück
49,9 –
49,9
1,178
= 7,540...
Geldbetrag: rund € 7,54
Ein Punkt für das richtige Berechnen des Geldbetrags.
Grundkompetenz: AG 2.1

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 6 /31
Aufgabe 3
Schulsportwoche
Es werden genau 12 Zimmer gebucht.
Es werden Betten für genau 56 Personen gebucht.
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 7 /31
Aufgabe 4
Parameterdarstellung von Geraden
A = C + s ∙ v + t ∙ w
B = Q + t ∙ w
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 8 /31
Aufgabe 5
Quadrat
A = (1 | 5)
B = (–1 | –1)
Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Koordinaten beider Eckpunkte, ein halber Punkt für die
richtigen Koordinaten nur eines Eckpunkts.

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 9 /31
Aufgabe 6
Rampe
d =
h
sin( α )
d =
h
cos(90° – α )
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 10 /31
Aufgabe 7
Ideales Gas
p ( T )
T
p
0
0
Ein Punkt für das richtige Skizzieren des Graphen.
Grundkompetenz: FA 1.2

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 11 /31
Aufgabe 8
Funktionstypen
A
x f
1
( x )
–2 –0,91
–1 –0,84
0 0
1 0,84
2 0,91
B
x f
2
( x )
–2 8
–1 2
0 0
1 2
2 8
C
x f
3
( x )
–2 –7
–1 –1
0 0
1 1
2 9
D
x f
4
( x )
–2 0,25
–1 0,5
0 1
1 2
2 4
E
x f
5
( x )
–2 –3
–1 –1
0 1
1 3
2 5
F
x f
6
( x )
–2 –0,5
–1 –1
0 nicht definiert
1 1
2 0,5
lineare Funktion E
quadratische Funktion B
Exponentialfunktion D
Sinusfunktion A
Ein Punkt für vier richtige Zuordnungen, ein halber Punkt für zwei oder drei richtige Zuordnungen.

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 12 /31
Aufgabe 9
Direkte Proportionalität
x
A
= 4,5
Ein Punkt für das richtige Bestimmen der Koordinate x
A
.

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 13 /31
Aufgabe 10
Quadratische Funktionen
a = – c
– f ( x ) = g ( x ) für alle x ∈ ℝ
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 14 /31
Aufgabe 11
Halbwertszeiten von Zerfallsprozessen
τ
3
< τ
1
< τ
2
Ein Punkt für das richtige Ordnen der Halbwertszeiten.
Werden statt der Bezeichnungen der Halbwertszeiten die Bezeichnungen der zugehörigen
Exponentialfunktionen verwendet, ist dies ebenso als richtig zu werten.

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 15 /31
Aufgabe 12
Funktionsterm
f ( x ) = 2 ∙ 1,5
x
oder:
f ( x ) = 3 ∙ 1,5
x – 1
Ein Punkt für das Angeben des richtigen Funktionsterms.

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 16 /31
Aufgabe 13
Diät
absolute Änderung: –7 kg
relative Änderung: rund –8 %
Ein Punkt für das Angeben der beiden richtigen Werte, ein halber Punkt für nur einen richtigen
Wert. Das Vorzeichen „–“ muss nicht angegeben sein.
Toleranzintervall für die absolute Änderung: [–7,25 kg; –6,75 kg]
Toleranzintervall für die relative Änderung: [–8,3 %; –7,6 %]

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 17 /31
Aufgabe 14
Änderungsraten einer Polynomfunktion
f ( x )
f
x
P
A A = ( x
1
| f ( x
1
))
0
0
Ein Punkt für das Kennzeichnen des richtigen Punktes P . Das Kennzeichnen der Stelle x
2
ist
ebenso als richtig zu werten.
Grundkompetenz: AN 1.3

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 18 /31
Aufgabe 15
Karpfen
F ( n + 1) = F ( n ) + 0,07 ∙ (800 – F ( n ))
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 19 /31
Aufgabe 16
Bestimmtes Integral
F (5) – F (2)
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 20 /31
Aufgabe 17
Funktionseigenschaften
Im Intervall [–3; 3] ist die Funktion f streng monoton steigend.
Die Funktion f hat im Intervall [–3; 3] mindestens eine Wendestelle.
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 21 /31
Aufgabe 18
Wasserzufluss
120 Liter
Ein Punkt für das richtige Berechnen.

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 22 /31
Aufgabe 19
Aufnahmetest
a = 5
b = 8
Ein Punkt für das richtige Bestimmen der beiden Werte, ein halber Punkt für nur einen richtigen
Wert.

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 23 /31
Aufgabe 20
Gehälter
höchstmögliches Gehalt: € 1.500
Ein Punkt für das Angeben des richtigen Gehalts.
Grundkompetenz: WS 1.4

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 24 /31
Aufgabe 21
Münzwurf
1
2
∙
1
2
∙
1
2
∙
1
2
+
1
2
∙
1
2
∙
1
2
∙
1
2
∙ 4 =
5
16
= 0,3125
oder:
(
4
0
) ∙
(
1
2
)
0
∙
(
1
2
)
4
+ (
4
1
) ∙
(
1
2
)
1
∙
(
1
2
)
3
= 0,3125
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.
Grundkompetenz: WS 2.3

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 25 /31
Aufgabe 22
Wahrscheinlichkeiten einer Zufallsvariablen
a = 0,1
b = 0,6
Ein Punkt für das Angeben der beiden richtigen Werte, ein halber Punkt für nur einen richtigen
Wert.

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 26 /31
Aufgabe 23
Rauchverhalten
Der Ausdruck gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass unter 200 zufällig ausgewählten Perso
nen, die rauchen, 57 Personen mit dem Rauchen aufhören wollen.
Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang.
Grundkompetenz: WS 3.2

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 27 /31
Aufgabe 24
Korkender Wein
0,06 ± 1,96 ∙
0,06 ∙ 0,94
200

95 % Konfidenzintervall: [0,027; 0,093]
Ein Punkt für das Angeben des richtigen Konfidenzintervalls.
Grundkompetenz: WS 4.1

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 28 /31
Aufgabe 25 (Teil 2)
Koffein
a1) 36 min
a2)
1
eine Extremstelle
2
Steigung
a1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Wertes.
Toleranzintervall: [33 min; 39 min]
a2) Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile, ein halber Punkt, wenn nur ein
richtiger Satzteil angekreuzt ist.
b1) f ( T + 10) = 6,42 ∙ ℯ
0,05 · ( T + 10)
= 6,42 ∙ ℯ
0,05 · T
∙ ℯ
0,05 · 10
= 6,42 ∙ ℯ
0,05 · T
∙ 1,648... = f ( T ) ∙ 1,648...
⇒ Die Behauptung ist richtig.
b2) Die Lösung der Gleichung ist die Temperaturerhöhung, bei der sich die Löslichkeit von
Koffein in Wasser jeweils verdoppelt („Verdoppelungstemperatur“).
oder:
Die Lösung der Gleichung ist diejenige Temperatur, bei der die Löslichkeit von Koffein in Was
ser doppelt so hoch ist wie bei einer Temperatur von 0 °C.
b1) Ein Punkt für das richtige rechnerische Überprüfen. Auch ein Nachweis mit konkreten Zah
len ist als richtig zu werten.
b2) Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang.

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 29 /31
Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
CO
2
und Klimaschutz
a1) b =
7,9 · 2,32 · s
100 ∙ 500
a2) 5 =
x · 2,32 · 15 000
100 ∙ 500
⇒ x = 7,18...
durchschnittlicher Benzinverbrauch: rund 7,18 Liter pro 100 km
a1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen des durchschnittlichen Benzinverbrauchs.
b1) e = 7,8... Tonnen pro Person
b2) Das arithmetische Mittel x ist größer, weil die für die einzelnen Staaten angegebenen Werte
der CO
2
Äquivalente für Staaten mit einer geringeren Einwohnerzahl größer sind als für jene
mit einer höheren Einwohnerzahl.
oder:
Wenn man die jeweilige Einwohnerzahl der einzelnen Staaten beim Übergang vom unge
wichteten zum gewichteten arithmetischen Mittel berücksichtigt, erhöht sich das Gewicht
jedes Staates mit einem Wert der CO
2
Äquivalente kleiner als x und verringert sich das Ge
wicht jedes Staates mit einem Wert der CO
2
Äquivalente größer als x .
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen.
b2) Ein Punkt für das richtige Erklären.

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 30 /31
Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm
a1) d = 36 +
∫
t 1
6
v
2
( t ) d t
oder:
d = 36 + 12 ∙ ( t
1
– 6)
a2) 36 + 12 ∙ 4 –
∫
10
0
0,12 ∙ t
2
d t = 44
Die Strecke ist um 44 m länger.
a1) Ein Punkt für das Angeben der richtigen Formel.
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen.
b1) I : v
1
(6) = 12
II : v
1
′ (0) = 0
III : v
1
″ (3) = 0
oder:
I : 216 ∙ p + 36 ∙ q + 6 ∙ r = 12
II : r = 0
III : 18 ∙ p + 2 ∙ q = 0
b1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen des Gleichungssystems mit drei Gleichungen, ein halber
Punkt für nur zwei richtige Gleichungen.
c1)
0 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2
5
4
3
2
1
0
6
–1
a
3
( t ) in m/s
2
t in s
a
3
c1) Ein Punkt für das richtige Einzeichnen des Graphen.

Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 31 /31
Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Würfelspiel
a1) Kombinationen der Augenzahlen: „2 und 6“ oder „3 und 5“ oder „4 und 4“
1
6
∙
1
3
+
1
3
∙
1
3
+
1
3
∙
1
3
=
5
18
= 0,27
∙
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.
b1) E ( X
C
) = 5
b2) σ ( X
A
) = σ ( X
B
) = 1,067...
b1) Ein Punkt für das Angeben des richtigen Erwartungswerts.
b2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Standardabweichung.
c1) μ
n
= n ∙
1
3
σ
n
=

n ∙
1
3
∙
2
3
c1) Ein Punkt für das Angeben der beiden richtigen Werte, ein halber Punkt für nur einen richtigen
Wert.