Mathematik-Matura Jänner 2021 · HAK Cluster W2 – Lösungen

Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung
BHS
12. Jänner 2021
Angewandte Mathematik
Korrekturheft
HAK

12. Jänner 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 2 /15
Beurteilung der Klausurarbeit
Gemäß § 38 Abs. 3 SchUG (BGBl. Nr. 472/1986 i. d. g. F.) sind die Leistungen der Prüfungskandidatin / des Prüfungskandidaten nach Maßgabe vorliegender Korrektur- und Beurteilungsanleitung
aufgrund von begründeten Anträgen der Prüferin / des Prüfers von der jeweiligen Prüfungskommission zu beurteilen.
Für die Beurteilung ist ein auf einem Punktesystem basierender Beurteilungsschlüssel vorgegeben, der auf den Kriterien des § 18 Abs. 2 bis 4 und 6 SchUG und der Leistungsbeurteilungsverordnung (BGBl. Nr. 371/1974 i. d. g. F. ) beruht und die Beurteilungsstufen (Noten) entsprechend
abbildet.
Beurteilungsschlüssel:
Note Punkte
Genügend 23 – 30 Punkte
Befriedigend 31 – 37 Punkte
Gut 38 – 43 Punkte
Sehr gut 44 – 48 Punkte
Die Arbeit wird mit „Nicht genügend“ beurteilt, wenn insgesamt weniger als 23 Punkte erreicht
wurden.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://ablauf.srdp.at gesondert bekanntgegeben.

12. Jänner 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 3 /15
Handreichung zur Korrektur
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des Helpdesks in Anspruch genommen werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Punkte sind zu vergeben, wenn die abgefragte Handlungskompetenz in der Bearbeitung erfüllt ist.
b. Berechnungen ohne nachvollziehbaren Rechenansatz bzw. ohne nachvollziehbare
Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete Ausgangsparameter und die
verwendete Technologiefunktion müssen angegeben sein) sind mit null Punkten zu
bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind korrekt, so ist diese Teilaufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht
vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in
einem Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
h. Jedes Diagramm bzw. jede Skizze, die Lösung einer Handlungsanweisung ist, muss
eine qualitative Achsenbeschriftung enthalten, andernfalls ist dies mit null Punkten zu
bewerten.
i. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie nicht
explizit eingefordert ist.

12. Jänner 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 4 /15
Aufgabe 1
Sicherheit auf dem Schulweg
Möglicher Lösungsweg
a1) Binomialverteilung mit n = 20, p = 0,26
X ... Anzahl der Kfz-Lenker/innen, die sich an das geltende Tempolimit halten
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P ( X > 10) = 0,0054...
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 0,5 %.
b1) 2 958 : 0,85 = 3 480
In dieser Woche wurden insgesamt 3 480 Fahrzeuge kontrolliert.
b2) Diese Aussage kann nicht richtig sein, da bekannt ist, dass 85 % der Fahrzeuge langsamer als 33 km/h fuhren. Daher kann das Quartil q
3
(also diejenige Geschwindigkeit, die von
mindestens 25 % der Fahrzeuge erreicht oder überschritten wurde) nicht größer als 33 km/h
sein.
c1) Beschreibung des Einflusses des Parameters b auf das Monotonieverhalten:
b < 1 ... f ist streng monoton fallend
b > 1 ... f ist streng monoton steigend
c2) Es wurde fälschlich b
0
= 0 angenommen.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × B: für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit
b1) 1 × B: für das richtige Berechnen der Anzahl der Fahrzeuge
b2) 1 × D: für das richtige Erklären
c1) 1 × C1: für das richtige Beschreiben des Einflusses des Parameters b
c2) 1 × C2: für das richtige Beschreiben des Fehlers

12. Jänner 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 5 /15
Aufgabe 2
New Horizons
Möglicher Lösungsweg
a1) 16,2 · 60 · 60 · 24 · 365 · 9 = 4 597 948 800 ≈ 4,6 · 10
9
Der zurückgelegte Weg hat eine Länge von rund 4,6 · 10
9
km.
Das Ergebnis muss nicht in Gleitkommadarstellung angegeben werden.
b1) New Horizons benötigt etwa 6 Jahre, um den gesamten Kuipergürtel zu durchfliegen.
Toleranzbereich: [5,5 Jahre; 6,5 Jahre]
b2)
Entfernung von der Erde in AE
Zeit nach 2006 in Jahren
Kuipergürtel
50
20
10
30
0
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 20
New Horizons
c1)
Sonne
New Horizons
α α
x
r
r
c2) α = 2 ∙ arcsin
(
r
x
)

12. Jänner 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 6 /15
Lösungsschlüssel
a1) 1 × B: für das richtige Berechnen der Länge des zurückgelegten Weges
b1) 1 × C: für das richtige Ablesen der Zeit (Toleranzbereich: [5,5 Jahre; 6,5 Jahre])
b2) 1 × A: für das richtige Einzeichnen
c1) 1 × A1: für das richtige Einzeichnen des Sehwinkels α
c2) 1 × A2: für das richtige Erstellen der Formel zur Berechnung des Sehwinkels α

12. Jänner 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 7 /15
Aufgabe 3
Niederschlagsmessung
Möglicher Lösungsweg
a1)
An mindestens 25 % aller Tage dieses Monats hat es
keinen Niederschlag gegeben.
b1) 1
L
m
2
=
1 dm
3
1 m
2
=
10
6
mm
3
10
6
mm
2
= 1 mm
b2)
79 – 70
70
= 0,128...
Die Niederschlagshöhe im Juni 2016 lag um rund 13 % über dem Normalwert.
c1)
Höhe des Niederschlagsmessgeräts in Metern über dem Boden
900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 1 000
Höhe der Messstation in Metern ü. d. M.
1,5
1
0,5
0
2
Für die Punktevergabe ist entscheidend, dass die horizontalen Abschnitte jeweils in der
richtigen Höhe dargestellt sind. Das Verhalten an den Sprungstellen ist für die Punktevergabe
nicht relevant.

12. Jänner 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 8 /15
Lösungsschlüssel
a1) 1 × C: für das richtige Ankreuzen
b1) 1 × D: für das richtige Zeigen
b2) 1 × B: für das richtige Berechnen des Prozentsatzes
c1) 1 × A: für das richtige Veranschaulichen

12. Jänner 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 9 /15
Aufgabe 4
Torre de Collserola
Möglicher Lösungsweg
a1) maximale Geschwindigkeit: 1,2 m/s
1,2 · 3,6 = 4,32
Die maximale Geschwindigkeit beträgt 4,32 km/h.
b1) k = –
1,2
45
= –0,0266...
b2) k ist die Beschleunigung des Aufzugs in m/s
2
. Das Vorzeichen gibt an, dass die Geschwindigkeit abnimmt.
oder :
Pro Sekunde nimmt die Geschwindigkeit des Aufzugs um rund 0,027 m/s ab.
c1)
∫
30
0
(
–
1
11 250
· t
3
+
1
250
· t
2
)
d t + 1,2 · 75 +
1,2 · 45
2
= 135
oder:
1,2 · 30
2
+ 1,2 · 75 +
1,2 · 45
2
= 135
Der zurückgelegte Weg hat eine Länge von insgesamt 135 m.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × B: für das richtige Ermitteln der maximalen Geschwindigkeit in km/h
b1) 1 × B: für das richtige Ermitteln der Steigung k
b2) 1 × C: für das richtige Interpretieren der Steigung k und ihres Vorzeichens unter Verwendung
der entsprechenden Einheit(en) im gegebenen Sachzusammenhang
c1) 1 × A: für den richtigen Ansatz (Länge des zurückgelegten Weges entspricht dem Inhalt
derjenigen Fläche, die der Graph mit der horizontalen Achse im Intervall [0; 150] einschließt)
1 × B: für das richtige Berechnen der Länge des zurückgelegten Weges

12. Jänner 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 10 /15
Aufgabe 5
Sauna
Möglicher Lösungsweg
a1)
Graph 4
b1) A =
∫
15
0
s ( t ) d t
b2) A ist die Schweißmenge in Gramm, die der Saunagast während des Saunagangs abgesondert hat.
c1) σ = 1,5 min
Toleranzbereich: [1; 2]
c2)
12,5 12 11,5 11 10,5 10 9,5 9 13 13,5 14 14,5 15 15,5 16 16,5 17 17,5 18,5 18
Aufenthaltsdauer in min
d1) In diesen n Wochen besucht sie (mittwochs) mindestens 1-mal die Sauna.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A: für das richtige Ankreuzen
b1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel
b2) 1 × C: für das richtige Beschreiben im gegebenen Sachzusammenhang unter Angabe der
entsprechenden Einheit
c1) 1 × C: für das richtige Ablesen von σ (Toleranzbereich: [1; 2])
c2) 1 × A: für das richtige Veranschaulichen der Wahrscheinlichkeit
d1) 1 × C: für das richtige Beschreiben des Ereignisses im gegebenen Sachzusammenhang

12. Jänner 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 11 /15
Aufgabe 6 (Teil B)
Streaming
Möglicher Lösungsweg
a1) N ( t ) = 1 000 · 1,2
t
a2) N (7) = 3 583,1...
Zur Zeit t = 7 nutzen rund 3 583 Kunden das Angebot.
a3) N ( t ) = 8 000 oder 1 000 · 1,2
t
= 8 000
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t = 11,40...
b1) Ermittlung mittels Technologieeinsatz:
A ( t ) = 5 820 · t – 82 919 (Koeffizienten gerundet)
c1) 27 Monate nach der Markteinführung wächst die Anzahl der Kunden am stärksten.
Toleranzbereich: [25; 29]
c2) f (0) = 1 000 oder
150 000
1 + c
= 1 000 ⇒ c = 149
f (27) = 75 000 oder
150 000
1 + 149 · ℯ
– λ ∙ 27
= 75 000
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
λ = 0,185...
Die Verwendung anderer Punkte auf dem Graphen von f für das Ermitteln des Parameters λ
ist ebenfalls als richtig zu werten.

12. Jänner 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 12 /15
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung
a2) 1 × B1: für das richtige Berechnen der Anzahl der Kunden
a3) 1 × B2: für das richtige Berechnen der Zeitdauer
b1) 1 × B: für das richtige Ermitteln der Gleichung der Regressionsfunktion
c1) 1 × C1: für das richtige Ablesen des Zeitpunkts des stärksten Wachstums (Toleranzbereich: [25; 29])
c2) 1 × B1: für das richtige Ermitteln des Parameters c
1 × B2: für das richtige Ermitteln des Parameters λ

12. Jänner 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 13 /15
Aufgabe 7 (Teil B)
Wohnanlage
Möglicher Lösungsweg
a1) 52 647,60 ·
102
52 + 60 + 78 + 102
= 18 390,60
Der Kostenanteil für die Sanierung der größten Wohnung beträgt € 18.390,60.
b1)
Zeit in Jahren
R R R R R R
€ 20.000
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
b2) 20 000 · (1 + i )
3
= R ·
(1 + i )
6
– 1
i
·
1
(1 + i )
5
Auch eine Verwendung des Aufzinsungsfaktors q = 1 + i ist als richtig zu werten.
b3) Da das Geld früher zurückgezahlt wird, fallen weniger Zinsen an, und damit sind die Raten
weniger als doppelt so hoch.
c1) i =
600
20 000
= 0,03 = 3 %
c2)
Jahr Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld
0 – – – – – – – – – € 20.000,00
1 € 600,00 € 0,00 € 600,00
2 € 600,00 € 5.500,00 € 15.100,00
3 € 5.500,00 € 10.053,00
4 € 5.500,00 € 4.854,59
5 € 145,64 € 4.854,59 € 5.000,23 € 0,00
Lösungsschlüssel
a1) 1 × B: für das richtige Berechnen des Kostenanteils
b1) 1 × A1: für das richtige Veranschaulichen des Zahlungsstroms auf der Zeitachse
b2) 1 × A2: für das richtige Erstellen der Gleichung
b3) 1 × D: für das richtige Argumentieren
c1) 1 × B1: für das richtige Berechnen des Jahreszinssatzes
c2) 1 × A: für das richtige Eintragen des Tilgungsanteils im Jahr 1
1 × B2: für das richtige Eintragen der 3 Beträge in die letzte Zeile des Tilgungsplans

12. Jänner 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 14 /15
Aufgabe 8 (Teil B)
Scharniere
Möglicher Lösungsweg
a1) K ′ ( x ) = 0,25 · x + 5
x ... Produktionsmenge in ME
K ′ ( x ) ... Grenzkosten bei der Produktionsmenge x in GE
a2) K ( x ) =
∫
(0,25 · x + 5) d x = 0,125 · x
2
+ 5 · x + C
K (0) = 50 ⇒ C = 50
K ( x ) = 0,125 · x
2
+ 5 · x + 50
a3)
x in ME
K ′ ( x ), E ′ ( x ) in GE/ME
K ′
50 40 30 20 10 0
25
20
15
10
5
–5
0
E ′
a4) Die Nullstelle der Grenzerlösfunktion ist diejenige Absatzmenge, bei der der Erlös maximal ist.
b1) Bei dieser Produktionsmenge handelt es sich um das Betriebsoptimum.
oder:
Bei dieser Produktionsmenge sind die Durchschnittskosten minimal.
b2)
(
1
x
)
′
= ( x
–1
) ′ = (–1) · x
–2
= –
1
x
2

12. Jänner 2021 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 15 /15
c1)
G ( x ) > 0 und G ′ ( x ) > 0 B
G ( x ) < 0 und G ′ ( x ) < 0 D
A Punkt A
B Punkt B
C Punkt C
D Punkt D
d1) G ( x ) = 0 oder –0,01 · x
3
+ 0,28 · x
2
+ 1,75 · x – 50 = 0
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
x
1
= 13,48... ( x
2
= 27,83...; x
3
= –13,31...)
Die untere Gewinngrenze liegt bei rund 13,5 ME.
d2) G ′ ( x ) = 0 oder –0,03 · x
2
+ 0,56 · x + 1,75 = 0
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
x
1
= 21,39... ( x
2
= –2,72...)
G (21,39...) = 17,67...
Der maximale Gewinn beträgt rund 17,7 GE.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A1: für das richtige Erstellen der Gleichung der Grenzkostenfunktion
a2) 1 × A2: für das richtige Erstellen der Gleichung der Kostenfunktion
a3) 1 × A3: für das richtige Einzeichnen des Graphen der Grenzerlösfunktion
a4) 1 × C: für das richtige Interpretieren der Nullstelle der Grenzerlösfunktion in Bezug auf den
Erlös
b1) 1 × C: für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang
b2) 1 × D: für das richtige Zeigen
c1) 1 × C: für das richtige Zuordnen
d1) 1 × B1: für das richtige Ermitteln der unteren Gewinngrenze
d2) 1 × B2: für das richtige Ermitteln des maximalen Gewinns