Mathematik-Matura Jänner 2021 · AHS – Lösungen

AHS
12. Jänner 2021
Mathematik
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 2 /33
Beurteilung der Klausurarbeit
Gemäß § 38 Abs. 3 SchUG (BGBl. Nr. 472/1986 i. d. g. F.) sind die Leistungen der Prüfungskandidatin / des Prüfungskandidaten nach Maßgabe vorliegender Korrektur- und Beurteilungsanleitung
aufgrund von begründeten Anträgen der Prüferin / des Prüfers von der jeweiligen Prüfungskommission zu beurteilen.
Für die Beurteilung ist ein auf einem Punktesystem basierender Beurteilungsschlüssel vorgegeben, der auf den Kriterien des § 18 Abs. 2 bis 4 und 6 SchUG und der Leistungsbeurteilungsverordnung (BGBl. Nr. 371/1974 i. d. g. F. ) beruht und die Beurteilungsstufen (Noten) entsprechend
abbildet.
Zwei Beurteilungswege
1) Wenn mindestens 16 von 28 Punkten (24 Teil-1-Punkte + 4 A -Punkte aus Teil 2) erreicht
wurden, gilt der folgende Beurteilungsschlüssel:
Note Punkte
Genügend 16 – 23,5 Punkte
Befriedigend 24 – 32,5 Punkte
Gut 33 – 40,5 Punkte
Sehr gut 41 – 48 Punkte
2) Wenn weniger als 16 von 28 Punkten (24 Teil-1-Punkte + 4 A -Punkte aus Teil 2) erreicht wurden, aber insgesamt 24 Punkte oder mehr (aus Teil-1- und Teil-2-Aufgaben), gilt folgender
Beurteilungsschlüssel:
Note Punkte
Genügend 24 – 28,5 Punkte
Befriedigend 29 – 35,5 Punkte
Die Arbeit wird mit „Nicht genügend“ beurteilt, wenn im Teil 1 unter Berücksichtigung der mit A
markierten Aufgabenstellungen aus Teil 2 weniger als 16 Punkte und insgesamt weniger als
24 Punkte erreicht wurden.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://ablauf.srdp.at gesondert bekanntgegeben.

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 3 /33
Handreichung zur Korrektur
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des Helpdesks in Anspruch genommen werden. Ausschließlich bei ausgewiesenen Aufgaben
(Kennzeichnung durch: [0/½/1 Punkt] ) können für Teilleistungen halbe Punkte vergeben
werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Bei offenen Aufgabenformaten steht für die Punktevergabe der Nachweis der jeweiligen Grundkompetenz im Vordergrund. Die dabei fokussierte Grundkompetenz wird im
Korrektur heft ausgewiesen. Punkte sind zu vergeben, wenn die Bearbeitung zeigt, dass
die fokussierte Grundkompetenz in der Bearbeitung erfüllt ist.
b. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind korrekt, so ist diese Tei laufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
c. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu ver geben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
d. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten die richtige Lösung ohne Angabe von Zwischenschritten angeführt, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
e. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
f. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
g. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie
nicht explizit eingefordert ist.

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 4 /33
Aufgabe 1
Dreieck verschieben
Lösungserwartung:
C
1
= (5 | 6)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der beiden richtigen Koordinaten des Punktes C
1
.
Bei nur einer richtigen Koordinate ist ein halber Punkt zu geben.

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 5 /33
Aufgabe 2
Lösung einer Gleichung
Lösungserwartung:
[3; ∞)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich das laut Lösungserwartung richtige
Intervall angekreuzt ist.

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 6 /33
Aufgabe 3
Radfahrer
Lösungserwartung:
Alexander ist bis zur Begegnung mit Bernhard 30 Minuten
unterwegs.
Alexander legt bis zur Begegnung mit Bernhard 9 km
zurück.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 7 /33
Aufgabe 4
Quadratische Gleichung
Lösungserwartung:
mögliche Vorgehensweise:
(–4 ∙ a + 7)
2
= 25 ⇒ –4 ∙ a + 7 = ±5 ⇒ a
1,2
=
±5 – 7
–4
⇒ a
1
=
1
2
, a
2
= 3
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der beiden richtigen Werte.
Grundkompetenz: AG 2.3

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 8 /33
Aufgabe 5
Parameterdarstellung
Lösungserwartung:
t = 1
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
Grundkompetenz: AG 3.4

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 9 /33
Aufgabe 6
Leiter
Lösungserwartung:
mögliche Vorgehensweise:
6
cos(20°)
= 6,385...
Die Länge der Leiter beträgt ca. 6,39 m.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „m“ nicht angegeben sein muss.
Grundkompetenz: AG 4.1

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 10 /33
Aufgabe 7
Geografische Breite
Lösungserwartung:
W = [0; 6 370]
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Intervall.

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 11 /33
Aufgabe 8
Eigenschaften von Funktionen
Lösungserwartung:
f
1
( x ) = a ∙ b
x
F
f
2
( x ) = a ∙ x + b A
f
3
( x ) = a ∙ sin( b ∙ x ) C
f
4
( x ) = a ∙ x
3
+ b E
A
– kein Monotoniewechsel
– konstante Steigung
– kein Krümmungswechsel
B
– genau eine lokale Extremstelle x
0
– symmetrisch zur Geraden x = x
0
– maximal zwei Nullstellen
C
– unendlich viele lokale Extremstellen
– unendlich viele Wendestellen
– keine Asymptote
D
– nur für x ∈ [0; ∞) definierbar
– überall rechtsgekrümmt (negativ
gekrümmt)
– keine lokalen Extrem- oder Wendestellen
E
– keine lokale Extremstelle
– genau eine Nullstelle
– genau eine Wendestelle
F
– kein Monotoniewechsel
– die x -Achse ist Asymptote
– kein Krümmungswechsel
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jeder der vier Funktionsgleichungen ausschließlich der
laut Lösungserwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist. Bei zwei oder drei richtigen Zuordnungen ist ein halber Punkt zu geben.

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 12 /33
Aufgabe 9
Verlauf des Graphen einer linearen Funktion
Lösungserwartung:
k < 0 und d < 0
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die laut Lösungserwartung richtige
Aussage angekreuzt ist.

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 13 /33
Aufgabe 10
Polynomfunktion
Lösungserwartung:
1
5. Grades
2
mindestens eine Wendestelle
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der laut
Lösungs erwartung richtige Satzteil angekreuzt ist.

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 14 /33
Aufgabe 11
Halbwertszeit
Lösungserwartung:
f ( t ) in % der Ausgangsmenge
t in Jahren
60 50 40 30 20 10 0
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
100
f
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für den richtigen Graphen von f , wobei der Graph eine Exponentialfunktion darstellen
und durch die Punkte (0 | 100), (30 | 50) und (60 | 25) verlaufen muss.
Grundkompetenz: FA 5.5

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 15 /33
Aufgabe 12
Winkelfunktion
Lösungserwartung:
a = 3
b =
π
2
oder:
a = –3
b = –
π
2
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der beiden richtigen (zusammengehörigen) Werte. Für die Angabe von
nur einem richtigen Wert ist ein halber Punkt zu geben.
Bei der Angabe a = 3 sind für die Angabe von b alle Werte
π
2
+ 2 ∙ k ∙ π mit k ∈ ℤ und auch
alle Werte 90° + k ∙ 360° mit k ∈ ℤ als richtig zu werten.
Bei der Angabe a = –3 sind für die Angabe von b alle Werte
3 ∙ π
2
+ 2 ∙ k ∙ π mit k ∈ ℤ und
auch alle Werte 270° + k ∙ 360° mit k ∈ ℤ als richtig zu werten.

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 16 /33
Aufgabe 13
Messung der Geschwindigkeit
Lösungserwartung:
Der Grenzwert gibt die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit des Körpers 3 Sekunden nach Beginn der Messung an.
Der Grenzwert gibt die momentane Beschleunigung des Körpers
3 Sekunden nach Beginn der Messung an.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 17 /33
Aufgabe 14
Experiment
Lösungserwartung:
mittlere Änderungsrate: 1,1 °C/min
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 18 /33
Aufgabe 15
Wachstum einer Sonnenblume
Lösungserwartung:
1
ist annähernd konstant
2
H
t + 1
= H
t
+ k mit k ∈ ℝ
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der laut
Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist. Ist nur für eine der beiden Lücken der richtige
Satzteil angekreuzt, ist ein halber Punkt zu geben.

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 19 /33
Aufgabe 16
Stammfunktionen
Lösungserwartung:
G
2
= c + F
G
3
= F – c
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Funktionen angekreuzt sind.

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 20 /33
Aufgabe 17
Fläche zwischen Graph und x -Achse
Lösungserwartung:
2,5 · ( f (0) + f (2,5) + f (5) + f (7,5) + f (10) + f (12,5))
∫
15
0
f ( x ) d x
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Ausdrücke angekreuzt sind.

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 21 /33
Aufgabe 18
Arbeit bei der Dehnung einer Schraubenfeder
Lösungserwartung:
mögliche Vorgehensweise:
W =
∫
0,08
0
40 ∙ s d s = 20 ∙ s
2
|
0,08
0
= 0,128
⇒ W = 0,128 Joule
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „Joule“ nicht angegeben sein muss.
Grundkompetenz: AN 4.2

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 22 /33
Aufgabe 19
Boxplot und statistische Kennzahlen
Lösungserwartung:
arithmetisches Mittel
Modus
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
statistischen Kennzahlen angekreuzt sind.

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 23 /33
Aufgabe 20
Schätzwert
Lösungserwartung:
p =
b
a
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Formel.

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 24 /33
Aufgabe 21
Wahrscheinlichkeiten
Lösungserwartung:
P ( X < 2) = 0,4
P ( X ≥ 1) = 0,7
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 25 /33
Aufgabe 22
Defekte Geräte
Lösungserwartung:
mögliche Vorgehensweise:
20 = n ∙ 0,025
n = 800
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 26 /33
Aufgabe 23
Schokoladefiguren
Lösungserwartung:
mögliche Vorgehensweise:
X ... Anzahl der fehlerhaften Schokoladefiguren
Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 500 und p = 0,01:
P ( X ≤ 2) = P ( X = 0) + P ( X = 1) + P ( X = 2) = 0,1233...
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen der Lösung sind ebenfalls als richtig zu
werten.
Grundkompetenz: WS 3.2

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 27 /33
Aufgabe 24
Wahlprognose
Lösungserwartung:
mögliche Vorgehensweise:
0,35 + z ∙
0,35 ∙ 0,65
500

= 0,385
z = 1,640... ⇒ γ ≈ 90 %
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen der Lösung sind ebenfalls als richtig zu
werten.
Grundkompetenz: WS 4.1

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 28 /33
Aufgabe 25 (Teil 2)
Tee
a) Lösungserwartung:
a1) Exponentialfunktion
a2) 33 · 1,02
10
· 0,95 = 38,21...
In Österreich werden im Jahr 2026 pro Kopf ca. 38,2 L Tee mittels Teebeuteln zubereitet.
Lösungsschlüssel:
a1) Ein Ausgleichspunkt für die Angabe des richtigen Funktionstyps.
Grundkompetenzpunkt: FA 1.9
a2) Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „L“ nicht angegeben sein muss.
b) Lösungserwartung:
b1) g (0) = 1,55, g (6) = 2,55
g ( t ) =
1
6
· t + 1,55
b2) Jahr: 2013
Betrag der absoluten Abweichung: 0,03
∙
Millionen Tonnen
Lösungsschlüssel:
b1) Ein Punkt für eine richtige Funktionsgleichung. Äquivalente Funktionsgleichungen sind als
richtig zu werten.
b2) Ein Punkt für die Angabe des richtigen Jahres und der richtigen Lösung.

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 29 /33
c) Lösungserwartung:
c1) mögliche Vorgehensweise:
65 = 70 ∙ ℯ
– k ∙ 10
+ 20
k =
ln
(
45
70
)
–10
= 0,0441...
k ≈ 0,044 min
–1
c2) mögliche Vorgehensweise:
45 = (90 – T
U
) ∙ ℯ
– k ∙ t
+ T
U
35 = (70 – T
U
) ∙ ℯ
– k ∙ t
+ T
U
⇒
45 – T U
90 – T U
=
35 – T U
70 – T U
⇒ T
U
= 0 °C
Lösungsschlüssel:
c1) Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „min
–1
“ nicht angegeben sein muss.
c2) Ein Punkt für die richtige Lösung.

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 30 /33
Aufgabe 26 (Teil 2)
Erderwärmung
a) Lösungserwartung:
a1) T ′ ( t
0
) = 0 ⇒ t
0
= 41,06...
( T ″ ( t
0
) > 0)
a2) mögliche Begründung:
Die globale Mitteltemperatur steigt ab t
0
immer schneller an, weil für alle t > t
0
der Graph
von T linksgekrümmt ist.
Lösungsschlüssel:
a1) Ein Ausgleichspunkt für die richtige Lösung, wobei ein Nachweis, dass t
0
eine lokale
Minimum stelle ist, nicht erbracht werden muss.
Grundkompetenz: AN 3.3
a2) Ein Punkt für eine richtige Begründung.
b) Lösungserwartung:
b1) mögliche Vorgehensweise:
T (200) = 18,473... ≈ 18,47
14,31 + 1,5 ≤ 18,47 ≤ 14,31 + 4,5
Die Funktion T mit a = 2,7 bestätigt diese Studien.
b2) Zunahme um 1,5 °C: T (200) = 15,81
Zunahme um 4,5 °C: T (200) = 18,81
a
min
= 2,162...
a
max
= 2,768...
Lösungsschlüssel:
b1) Ein Punkt für einen richtigen Nachweis.
b2) Ein Punkt für die Angabe der beiden richtigen Werte.

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 31 /33
c) Lösungserwartung:
c1) k =
15,3 – 14,72
2100 – 2015
= 0,00682...
k ≈ 0,0068 °C/Jahr
c2) M ( t ) = 0,0068 · t + 14,72
Lösungsschlüssel:
c1) Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „°C/Jahr“ nicht angegeben sein
muss.
c2) Ein Punkt für eine richtige Gleichung. Äquivalente Gleichungen sind als richtig zu werten.

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 32 /33
Aufgabe 27 (Teil 2)
Elektromobilität
a) Lösungserwartung:
a1) a = 1,37...
b = 2 168,1...
a2) mögliche Vorgehensweise:
B
3
= 14 618 ∙ 1,37... + 2 168,1... = 22 226,7...
22 226,7... – 18 459 = 3 767,7...
Der Bestand an Elektroautos hätte im Jahr 2018 noch um ca. 3 768 Elektroautos erhöht
werden müssen, damit die angegebene Differenzengleichung auch für das Jahr 2018 zutreffend wäre.
Lösungsschlüssel:
a1) Ein Punkt für die Angabe der beiden richtigen Werte.
a2) Ein Punkt für die richtige Lösung.
b) Lösungserwartung:
b1) f ( P ) =
22
P
b2) Zeitintervall: [5,94... h; 9,56... h]
Lösungsschlüssel:
b1) Ein Ausgleichspunkt für eine richtige Funktionsgleichung. Äquivalente Funktions gleichungen sind als richtig zu werten.
b2) Ein Punkt für ein richtiges Intervall, wobei die Einheit „h“ nicht angegeben sein muss.
c) Lösungserwartung:
c1) E ( v ) = 0,2 ∙ v – 1,1
c2) E ( v
1
) = 41 – 30,22 = 10,78 ⇒ v
1
= 59,4 km/h
Lösungsschlüssel:
c1) Ein Punkt für eine richtige Funktionsgleichung. Äquivalente Funktionsgleichungen sind als
richtig zu werten.
c2) Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „km/h“ nicht angegeben sein muss.

12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 33 /33
Aufgabe 28 (Teil 2)
Müsliriegel
a) Lösungserwartung:
a1) mögliche Vorgehensweise:
G ( x ) ... Gewinn bei einer Produktion von x Müsliriegeln
G (100 000) = p · 100 000 – 100 000 – (9 000 ∙ 2 + 900 ∙ 5 + 100 ∙ 65)
G (100 000) = 80 000 ⇒ p = € 2,09
a2) p
1
· 100 000 – 100 000 = 80 000 ⇒ p
1
= € 1,80
0,29
2,09
= 0,1387... ≈ 13,9 %
Lösungsschlüssel:
a1) Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „€“ nicht angegeben sein muss.
a2) Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen der Lösung sind ebenfalls als
richtig zu werten.
b) Lösungserwartung:
b1) E ( X ) = 0,09 · 2 + 0,009 · 5 + 0,001 · 65
E ( X ) = € 0,29
b2) mögliche Vorgehensweise:
1 –
90 000
100 000
∙
89 999
99 999
∙
89 998
99 998
∙
89 997
99 997
= 0,3439...
Lösungsschlüssel:
b1) Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „€“ nicht angegeben sein muss.
b2) Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die näherungsweise Berechnung mit
1 – 0,9
4
ebenfalls als richtig zu werten ist.
c) Lösungserwartung:
c1) σ ( Y ) =

1 000 · 0,95 · (1 – 0,95) = 6,892...
c2) mögliche Interpretation:
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 933 Müsliriegel die vorgegebene Mindestmasse
haben, beträgt ca. 99 %.
Lösungsschlüssel:
c1) Ein Ausgleichspunkt für die richtige Lösung.
c2) Ein Punkt für eine richtige Interpretation.