Mathematik-Matura September 2020 · HTL Cluster T2 – Lösungen

Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung
BHS
16. September 2020
Angewandte Mathematik
Korrekturheft
HTL 2

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 2 /16
Beurteilung der Klausurarbeit
Gemäß § 38 Abs. 3 SchUG (BGBl. Nr. 472/1986 i. d. g. F.) sind die Leistungen der Prüfungskandidatin / des Prüfungskandidaten nach Maßgabe vorliegender Korrektur- und Beurteilungsanleitung
aufgrund von begründeten Anträgen der Prüferin / des Prüfers von der jeweiligen Prüfungskommission zu beurteilen.
Für die Beurteilung ist ein auf einem Punktesystem basierender Beurteilungsschlüssel vorgegeben, der auf den Kriterien des § 18 Abs. 2 bis 4 und 6 SchUG und der Leistungsbeurteilungsverordnung (BGBl. Nr. 371/1974 i. d. g. F. ) beruht und die Beurteilungsstufen (Noten) entsprechend
abbildet.
Beurteilungsschlüssel:
Note Punkte
Genügend 23 – 30 Punkte
Befriedigend 31 – 37 Punkte
Gut 38 – 43 Punkte
Sehr gut 44 – 48 Punkte
Die Arbeit wird mit „Nicht genügend“ beurteilt, wenn insgesamt weniger als 23 Punkte erreicht
wurden.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://ablauf.srdp.at gesondert bekanntgegeben.

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 3 /16
Handreichung zur Korrektur
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des Helpdesks in Anspruch genommen werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Punkte sind zu vergeben, wenn die abgefragte Handlungskompetenz in der Bearbeitung erfüllt ist.
b. Berechnungen ohne nachvollziehbaren Rechenansatz bzw. ohne nachvollziehbare
Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete Ausgangsparameter und die
verwendete Technologiefunktion müssen angegeben sein) sind mit null Punkten zu
bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind korrekt, so ist diese Teilaufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht
vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in
einem Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
h. Jedes Diagramm bzw. jede Skizze, die Lösung einer Handlungsanweisung ist, muss
eine qualitative Achsenbeschriftung enthalten, andernfalls ist dies mit null Punkten zu
bewerten.
i. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie nicht
explizit eingefordert ist.

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 4 /16
Aufgabe 1
Fahrscheine
Möglicher Lösungsweg
a1)
0,69... % 99,30... %
98,3 % 1,7 %
kontrolliert
nicht
kontrolliert
gültiger
Fahrschein
kein gültiger
Fahrschein
a2) P („kontrolliert und kein gültiger Fahrschein“) = 0,0069... · 0,017 = 0,00011...
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Fahrgast kontrolliert wird und keinen
gültigen Fahrschein hat, beträgt rund 0,01 %.
b1)
A
Die Person wird genau
2-mal kontrolliert.
B
Die Person wird genau
2-mal nicht kontrolliert.
C
Die Person wird mindestens
2-mal nicht kontrolliert.
D
Die Person wird mindestens
2-mal kontrolliert.
( )
300
2
· 0,975
298
· 0,025
2
A
1 – ( )
300
1
· 0,975
299
· 0,025
1
– ( )
300
0
∙ 0,975
300
∙ 0,025
0
D
c1) I : x + y = 150 000
II : 2,6 · x + 1,2 · y = 337 500
c2) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
x = 112 500
y = 37 500

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 5 /16
Lösungsschlüssel
a1) 1 x A: für das richtige Eintragen der Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm
a2) 1 x B: für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit
b1) 1 x C: für das richtige Zuordnen
c1) 1 x A: für das richtige Erstellen des Gleichungssystems
c2) 1 x B: für das richtige Berechnen von x und y

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 6 /16
Aufgabe 2
Rund um die Heizung
Möglicher Lösungsweg
a1) h = r – r ∙ cos
(
α
2
)
a2) V
neu
= (1,2 ∙ r )
2
∙ π ∙ 2 = 1,44 ∙ r
2
∙ π ∙ 2 = 1,44 ∙ V
Das Volumen wäre um 44 % größer.
b1) T (0) = 18
Um 15 Uhr beträgt die Raumtemperatur 18 °C.
b2) T (1) = 21 oder 24 – 6 ∙ ℯ
– λ ∙ 1
= 21
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
λ = ln(2) = 0,693...
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel
a2) 1 × B: für das richtige Berechnen des Prozentsatzes
b1) 1 × B1: für das richtige Bestimmen der Raumtemperatur
b2) 1 × B2: für das richtige Berechnen des Parameters λ

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 7 /16
Aufgabe 3
Kühe auf der Weide
Möglicher Lösungsweg
a1) A =
60 ∙ 20
2
+
∫
320
20
f ( x ) d x –
100 ∙ 20
2
oder A =
∫
320
20
f ( x ) d x – 400
a2) I : f (20) = 60
II : f (320) = 100
oder:
I : a · 20² + b · 20 + 52 = 60
II : a · 320² + b · 320 + 52 = 100
b1)
1
9 000
2
kg/ha
c1) h ( t ) = 115
oder:
0,0024 · t ³ – 0,19 · t ² + 5,73 · t + 73 = 115
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t = 10,50...
Im Alter von rund 10,5 Monaten wird gemäß diesem Modell eine Widerristhöhe von 115 cm
erreicht.
c2) h ″ ( t ) = 0,0144 · t – 0,38
h ″ ist eine steigende lineare Funktion mit der Nullstelle t
0
= 26,38...
Für alle t < t
0
ist h ″ ( t ) negativ. Der Graph von h ist daher für alle t < t
0
(und somit
insbesondere für alle t ∈ [1; 24]) negativ gekrümmt.
c3) Die Widerristhöhe nimmt im Alter von 12 Monaten um rund 2,2 cm/Monat zu.

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 8 /16
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A1: für das richtige Erstellen der Formel
a2) 1 × A2: für das richtige Erstellen des Gleichungssystems
b1) 1 × C: für das richtige Ergänzen der beiden Textlücken
c1) 1 × B: für das richtige Berechnen des Alters
c2) 1 × D: für das richtige Nachweisen mithilfe der 2. Ableitung von h
c3) 1 × C: für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang unter Angabe der
zugehörigen Einheit

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 9 /16
Aufgabe 4
Winterliche Fahrbahnverhältnisse im Straßenverkehr
Möglicher Lösungsweg
a1)
∆ v S ( t )
∆ t
=
–10
7
= –1,428...
Die Beschleunigung beträgt rund –1,43 m/s
2
.
Wird der Betrag der Beschleunigung angegeben, so ist dies ebenfalls als richtig zu werten.
a2)
v
S
( t ), v
T
( t ) in m/s
v
T
v
S
t in s
8 7,5 7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 8,5
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
11
a3) Bremsweg auf schneebedeckter Fahrbahn in m:
10 ∙ 7
2
= 35
Bremsweg auf trockener Fahrbahn in m:
10 ∙ 2,5
2
= 12,5
35 – 12,5 = 22,5
Die Differenz zwischen dem Bremsweg auf schneebedeckter Fahrbahn und dem Bremsweg
auf trockener Fahrbahn beträgt 22,5 m.
b1) s
A
(2) = 44
Der Abstand des PKW A zur Markierungslinie zur Zeit t = 2 beträgt 44 m.
b2) s
A
′ (3) = 8
s
B
′ (3) = 12
oder:
s
A
′ ( t ) = –4 ∙ t + 20
s
B
′ ( t ) = –4 ∙ t + 24
s
A
′ ( t ) < s
B
′ ( t )
PKW A fährt zur Zeit t = 3 langsamer als PKW B .

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 10 /16
Lösungsschlüssel
a1) 1 × C: für das richtige Ermitteln der Beschleunigung auf schneebedeckter Fahrbahn (Wird
der Betrag der Beschleunigung angegeben, so ist dies ebenfalls als richtig zu werten.)
a2) 1 × A: für das richtige Veranschaulichen des Bremswegs auf trockener Fahrbahn
a3) 1 × B: für das richtige Ermitteln der Differenz der Bremswege
b1) 1 × B: für das richtige Berechnen des Abstands
b2) 1 × D: für das richtige Zeigen

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 11 /16
Aufgabe 5
Pflanzenwachstum
Möglicher Lösungsweg
a1) mittlere Änderungsrate der Höhe in Zentimetern pro Tag:
6
20
= 0,3
a2)
Im Zeitintervall [0; 20] ist die 1. Ableitung
streng monoton steigend.
D
Im Zeitintervall [0; 20] ist die 2. Ableitung
immer negativ.
A
A f
B g
C h
D p
b1)
nicht gedüngte Pflanzen
Höhe in cm
37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
gedüngte Pflanzen
b2) a = 12 cm
c1) H = H
0
∙ 1,005
10
oder:
H = H
0
∙ 1,0511...
Lösungsschlüssel
a1) 1 x B: für das richtige Ermitteln der mittleren Änderungsrate
a2) 1 x C: für das richtige Zuordnen
b1) 1 x A: für das richtige Einzeichnen des Boxplots
b2) 1 x C: für das richtige Angeben des Wertes
c1) 1 x A: für das richtige Erstellen der Formel

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 12 /16
Aufgabe 6 (Teil B)
Schlafdauer
Möglicher Lösungsweg
a1) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
x = 7,8 h
a2) Ermittlung mittels Technologieeinsatz:
f ( x ) = –0,5857 · x + 7,3714 (Koeffizienten gerundet)
x … Schlafdauer in Stunden
f ( x ) … Fernsehzeit bei der Schlafdauer x in Stunden
b1) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P (300 < X < 480) = 0,889...
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 89 %.
b2) P ( X ≥ 400) = P ( X ≤ 328 )
c1) μ = 410 min
Toleranzbereich: [405; 415]
c2) Der Graph der zugehörigen Dichtefunktion ist im Vergleich zum abgebildeten Graphen nach
links verschoben.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × B1: für das richtige Berechnen des arithmetischen Mittels
a2) 1 × B2: für das richtige Ermitteln der Gleichung der linearen Regressionsfunktion
b1) 1 × B: für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit
b2) 1 × A: für das richtige Eintragen der fehlenden Zahl
c1) 1 × C1: für das richtige Ablesen des Erwartungswerts (Toleranzbereich: [405; 415])
c2) 1 × C2: für das richtige Beschreiben

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 13 /16
Aufgabe 7 (Teil B)
Wagenheber
Möglicher Lösungsweg
a1) h =

u
2
+ v
2
– 2 ∙ u ∙ v ∙ cos(180° – α ) oder h =

u
2
+ v
2
+ 2 ∙ u ∙ v ∙ cos( α )
a2)
w
sin( α )
=
v
sin( β )
⇒ sin( α ) =
w ∙ sin( β )
v
=
30 ∙ sin(41°)
20
( α
1
= 79,7...°) α
2
= 100,2...°
Für die Punktevergabe ist nur die Angabe des stumpfen Winkels erforderlich.
a3) F
v
= F
G
– F
w
= ( )
0
–0,75
– ( )
–1,18
–0,12
= ( )
1,18
–0,63
a4) γ = arctan
(
1,18
0,63
)
= 61,9...°
b1)
K ( x ), E ( x ) in GE
85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 90
350
300
250
200
150
100
50
0
400
x in ME
E
K
b2) Der maximale Gewinn beträgt 80 GE.
Toleranzbereich: [70; 90]
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel
a2) 1 × B1: für das richtige Berechnen des stumpfen Winkels α
a3) 1 × B2: für das richtige Ermitteln der Kraft F
v
a4) 1 × B3: für das richtige Berechnen des Winkels γ
b1) 1 × A: für das richtige Einzeichnen des Graphen der Kostenfunktion
b2) 1 × C: für das richtige Ablesen des maximalen Gewinns (Toleranzbereich: [70; 90])

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 14 /16
Aufgabe 8 (Teil B)
Elektromagnetische Strahlung
Möglicher Lösungsweg
a1)
d E
d x
= – k ∙ E
a2) Differenzialgleichung mit Störfunktion S :
d E
d x
= – k ∙ E + S
Lösung mithilfe der Methode Trennen der Variablen :
d E
– k ∙ E + S
= d x
(
oder:
E ′
– k ∙ E + S
= 1
)
∫
d E
– k ∙ E + S
=
∫
d x
(
oder:
∫
E ′ ( x )
– k ∙ E ( x ) + S
d x =
∫
1 d x
)
ln |– k ∙ E ( x ) + S |
– k
= x + C
1
– k ∙ E ( x ) + S = C
2
∙ ℯ
– k ∙ x
E ( x ) = C ∙ ℯ
– k ∙ x
+
S
k
b1) I
max
= 3 ∙ 10
7 W
m
2
∙ μm
b2) Für größer werdendes λ nähert sich der relative Anteil dem Wert 0, da der Ausdruck ℯ
–0,0106
λ
4
immer weiter gegen 1 geht.
c1) Der Winkel zwischen S und B beträgt 90°.
c2)
– S = k ∙ ( B × E )

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 15 /16
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A: für das richtige Vervollständigen der Differenzialgleichung
a2) 1 × B: für das richtige Berechnen der allgemeinen Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung mithilfe der Methode Trennen der Variablen
b1) 1 × C: für das richtige Ablesen von I
max
b2) 1 × D: für das richtige mathematische Argumentieren
c1) 1 × C1: für das richtige Angeben des Winkels
c2) 1 × C2: für das richtige Ankreuzen

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 16 /16
Aufgabe 9 (Teil B)
Obstfliegenfalle
Möglicher Lösungsweg
a1) π ∙
0
h
∫
( f ( x ))
2
d x = 50
a2) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
h = 2,04…
b1) p ′ ( x ) = 5 ∙ a ∙ x
4
+ 4 ∙ b ∙ x
3
+ 3 ∙ c ∙ x
2
+ 2 ∙ d ∙ x + e
I : p (1,5) = 3
II : p (9) = 1
III : p ′ (1,5) = 0
IV : p ′ (9) = 0
oder:
I : 7,59375 ∙ a + 5,0625 ∙ b + 3,375 ∙ c + 2,25 ∙ d + 1,5 ∙ e + f = 3
II : 59 049 ∙ a + 6 561 ∙ b + 729 ∙ c + 81 ∙ d + 9 ∙ e + f = 1
III : 25,3125 ∙ a + 13,5 ∙ b + 6,75 ∙ c + 3 ∙ d + e = 0
IV : 32 805 ∙ a + 2 916 ∙ b + 243 ∙ c + 18 ∙ d + e = 0
b2) Zur Berechnung der 6 Koeffizienten der Funktion p wären 6 Gleichungen notwendig.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A: für das richtige Vervollständigen der Gleichung
a2) 1 × B: für das richtige Berechnen von h
b1) 1 × A1: für das richtige Erstellen der Gleichungen mithilfe der Punkte
1 × A2: für das richtige Erstellen der Gleichungen mithilfe der Extremstellen
b2) 1 × D: für das richtige Begründen