Mathematik-Matura September 2020 · HLFS/HUM Cluster W1 – Lösungen

Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung
BHS
16. September 2020
Angewandte Mathematik
Korrekturheft
HLFS, HUM

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 2 /16
Beurteilung der Klausurarbeit
Gemäß § 38 Abs. 3 SchUG (BGBl. Nr. 472/1986 i. d. g. F.) sind die Leistungen der Prüfungskandidatin / des Prüfungskandidaten nach Maßgabe vorliegender Korrektur- und Beurteilungsanleitung
aufgrund von begründeten Anträgen der Prüferin / des Prüfers von der jeweiligen Prüfungskommission zu beurteilen.
Für die Beurteilung ist ein auf einem Punktesystem basierender Beurteilungsschlüssel vorgegeben, der auf den Kriterien des § 18 Abs. 2 bis 4 und 6 SchUG und der Leistungsbeurteilungsverordnung (BGBl. Nr. 371/1974 i. d. g. F. ) beruht und die Beurteilungsstufen (Noten) entsprechend
abbildet.
Beurteilungsschlüssel:
Note Punkte
Genügend 23 – 30 Punkte
Befriedigend 31 – 37 Punkte
Gut 38 – 43 Punkte
Sehr gut 44 – 48 Punkte
Die Arbeit wird mit „Nicht genügend“ beurteilt, wenn insgesamt weniger als 23 Punkte erreicht
wurden.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://ablauf.srdp.at gesondert bekanntgegeben.

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 3 /16
Handreichung zur Korrektur
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des Helpdesks in Anspruch genommen werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Punkte sind zu vergeben, wenn die abgefragte Handlungskompetenz in der Bearbeitung erfüllt ist.
b. Berechnungen ohne nachvollziehbaren Rechenansatz bzw. ohne nachvollziehbare
Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete Ausgangsparameter und die
verwendete Technologiefunktion müssen angegeben sein) sind mit null Punkten zu
bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind korrekt, so ist diese Teilaufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht
vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in
einem Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
h. Jedes Diagramm bzw. jede Skizze, die Lösung einer Handlungsanweisung ist, muss
eine qualitative Achsenbeschriftung enthalten, andernfalls ist dies mit null Punkten zu
bewerten.
i. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie nicht
explizit eingefordert ist.

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 4 /16
Aufgabe 1
Fahrscheine
Möglicher Lösungsweg
a1)
0,69... % 99,30... %
98,3 % 1,7 %
kontrolliert
nicht
kontrolliert
gültiger
Fahrschein
kein gültiger
Fahrschein
a2) P („kontrolliert und kein gültiger Fahrschein“) = 0,0069... · 0,017 = 0,00011...
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Fahrgast kontrolliert wird und keinen
gültigen Fahrschein hat, beträgt rund 0,01 %.
b1)
A
Die Person wird genau
2-mal kontrolliert.
B
Die Person wird genau
2-mal nicht kontrolliert.
C
Die Person wird mindestens
2-mal nicht kontrolliert.
D
Die Person wird mindestens
2-mal kontrolliert.
( )
300
2
· 0,975
298
· 0,025
2
A
1 – ( )
300
1
· 0,975
299
· 0,025
1
– ( )
300
0
∙ 0,975
300
∙ 0,025
0
D
c1) I : x + y = 150 000
II : 2,6 · x + 1,2 · y = 337 500
c2) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
x = 112 500
y = 37 500

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 5 /16
Lösungsschlüssel
a1) 1 x A: für das richtige Eintragen der Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm
a2) 1 x B: für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit
b1) 1 x C: für das richtige Zuordnen
c1) 1 x A: für das richtige Erstellen des Gleichungssystems
c2) 1 x B: für das richtige Berechnen von x und y

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 6 /16
Aufgabe 2
Rund um die Heizung
Möglicher Lösungsweg
a1) h = r – r ∙ cos
(
α
2
)
a2) V
neu
= (1,2 ∙ r )
2
∙ π ∙ 2 = 1,44 ∙ r
2
∙ π ∙ 2 = 1,44 ∙ V
Das Volumen wäre um 44 % größer.
b1) T (0) = 18
Um 15 Uhr beträgt die Raumtemperatur 18 °C.
b2) T (1) = 21 oder 24 – 6 ∙ ℯ
– λ ∙ 1
= 21
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
λ = ln(2) = 0,693...
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel
a2) 1 × B: für das richtige Berechnen des Prozentsatzes
b1) 1 × B1: für das richtige Bestimmen der Raumtemperatur
b2) 1 × B2: für das richtige Berechnen des Parameters λ

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 7 /16
Aufgabe 3
Kühe auf der Weide
Möglicher Lösungsweg
a1) A =
60 ∙ 20
2
+
∫
320
20
f ( x ) d x –
100 ∙ 20
2
oder A =
∫
320
20
f ( x ) d x – 400
a2) I : f (20) = 60
II : f (320) = 100
oder:
I : a · 20² + b · 20 + 52 = 60
II : a · 320² + b · 320 + 52 = 100
b1)
1
9 000
2
kg/ha
c1) h ( t ) = 115
oder:
0,0024 · t ³ – 0,19 · t ² + 5,73 · t + 73 = 115
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t = 10,50...
Im Alter von rund 10,5 Monaten wird gemäß diesem Modell eine Widerristhöhe von 115 cm
erreicht.
c2) h ″ ( t ) = 0,0144 · t – 0,38
h ″ ist eine steigende lineare Funktion mit der Nullstelle t
0
= 26,38...
Für alle t < t
0
ist h ″ ( t ) negativ. Der Graph von h ist daher für alle t < t
0
(und somit
insbesondere für alle t ∈ [1; 24]) negativ gekrümmt.
c3) Die Widerristhöhe nimmt im Alter von 12 Monaten um rund 2,2 cm/Monat zu.

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 8 /16
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A1: für das richtige Erstellen der Formel
a2) 1 × A2: für das richtige Erstellen des Gleichungssystems
b1) 1 × C: für das richtige Ergänzen der beiden Textlücken
c1) 1 × B: für das richtige Berechnen des Alters
c2) 1 × D: für das richtige Nachweisen mithilfe der 2. Ableitung von h
c3) 1 × C: für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang unter Angabe der
zugehörigen Einheit

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 9 /16
Aufgabe 4
Winterliche Fahrbahnverhältnisse im Straßenverkehr
Möglicher Lösungsweg
a1)
∆ v S ( t )
∆ t
=
–10
7
= –1,428...
Die Beschleunigung beträgt rund –1,43 m/s
2
.
Wird der Betrag der Beschleunigung angegeben, so ist dies ebenfalls als richtig zu werten.
a2)
v
S
( t ), v
T
( t ) in m/s
v
T
v
S
t in s
8 7,5 7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 8,5
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
11
a3) Bremsweg auf schneebedeckter Fahrbahn in m:
10 ∙ 7
2
= 35
Bremsweg auf trockener Fahrbahn in m:
10 ∙ 2,5
2
= 12,5
35 – 12,5 = 22,5
Die Differenz zwischen dem Bremsweg auf schneebedeckter Fahrbahn und dem Bremsweg
auf trockener Fahrbahn beträgt 22,5 m.
b1) s
A
(2) = 44
Der Abstand des PKW A zur Markierungslinie zur Zeit t = 2 beträgt 44 m.
b2) s
A
′ (3) = 8
s
B
′ (3) = 12
oder:
s
A
′ ( t ) = –4 ∙ t + 20
s
B
′ ( t ) = –4 ∙ t + 24
s
A
′ ( t ) < s
B
′ ( t )
PKW A fährt zur Zeit t = 3 langsamer als PKW B .

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 10 /16
Lösungsschlüssel
a1) 1 × C: für das richtige Ermitteln der Beschleunigung auf schneebedeckter Fahrbahn (Wird
der Betrag der Beschleunigung angegeben, so ist dies ebenfalls als richtig zu werten.)
a2) 1 × A: für das richtige Veranschaulichen des Bremswegs auf trockener Fahrbahn
a3) 1 × B: für das richtige Ermitteln der Differenz der Bremswege
b1) 1 × B: für das richtige Berechnen des Abstands
b2) 1 × D: für das richtige Zeigen

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 11 /16
Aufgabe 5
Pflanzenwachstum
Möglicher Lösungsweg
a1) mittlere Änderungsrate der Höhe in Zentimetern pro Tag:
6
20
= 0,3
a2)
Im Zeitintervall [0; 20] ist die 1. Ableitung
streng monoton steigend.
D
Im Zeitintervall [0; 20] ist die 2. Ableitung
immer negativ.
A
A f
B g
C h
D p
b1)
nicht gedüngte Pflanzen
Höhe in cm
37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
gedüngte Pflanzen
b2) a = 12 cm
c1) H = H
0
∙ 1,005
10
oder:
H = H
0
∙ 1,0511...
Lösungsschlüssel
a1) 1 x B: für das richtige Ermitteln der mittleren Änderungsrate
a2) 1 x C: für das richtige Zuordnen
b1) 1 x A: für das richtige Einzeichnen des Boxplots
b2) 1 x C: für das richtige Angeben des Wertes
c1) 1 x A: für das richtige Erstellen der Formel

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 12 /16
Aufgabe 6 (Teil B)
Strandbar
Möglicher Lösungsweg
a1) I : 2 ∙ x + 3 ∙ y ≤ 80
II : x + y ≤ 30
a2) Es ist nicht möglich, weil die Ungleichung I in diesem Fall nicht erfüllt ist.
2 ∙ 5 + 3 ∙ 25 > 80
b1) p
2
= 1,2 ∙ p
1
b2) 72 = p
1
∙ 10 + (1,2 ∙ p
1
) ∙ 5 ⇒ p
1
= 4,5
p
2
= 1,2 ∙ 4,5 = 5,4
c1) x + 2 ∙ y = 80
c2) G ( x , y ) = 3,5 ∙ x + 4,5 ∙ y
c3) G (0, 35) = 157,5
G (10, 35) = 192,5
G (20, 30) = 205
G (50, 0) = 175
Der maximale Gewinn wird bei einem Verkauf von 20 Eiskaffees und 30 Bananensplits erzielt.
Eine grafische Lösungsmethode ist ebenfalls zulässig.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A: für das richtige Erstellen des Ungleichungssystems
Die Angabe der Nichtnegativitätsbedingungen ist nicht erforderlich.
a2) 1 × D: für das richtige nachweisliche Überprüfen
b1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel
b2) 1 × B: für das richtige Ermitteln von p
1
und p
2
c1) 1 × A1: für das richtige Vervollständigen der Gleichung
c2) 1 × A2: für das richtige Erstellen der Gleichung der Zielfunktion
c3) 1 × B: für das richtige Ermitteln der Verkaufsmengen, bei denen der Gewinn maximal ist

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 13 /16
Aufgabe 7 (Teil B)
Obsthändler
Möglicher Lösungsweg
a1)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
Auszahlung: € 60.000
Rückzahlungen:
Zeit in Jahren
€ 15.000 € 20.000 R R R R R R
a2) 60 000 =
15 000
1,03
2
+
20 000
1,03
6
+ R ∙
1,03
6
– 1
0,03
∙
1
1,03
13
⇒ R = 6 609,203...
Die Ratenhöhe beträgt € 6.609,20.
b1) q
12
... monatlicher Aufzinsungsfaktor
60 000 = 2 400 ∙
q
12
24
– 1
q
12
– 1
Berechnung mittels Technologieeinsatz: q
12
= 1,00353...
i = q
12
12
– 1 = 0,04319...
Der effektive Jahreszinssatz beträgt rund 4,32 %.
b2) Im Falle vorschüssiger Einzahlungen wird jede Einzahlung 1 Monat länger verzinst. Da der
Endwert gleich hoch ist, muss im Vergleich zu nachschüssigen Einzahlungen der zugehörige
effektive Jahreszinssatz niedriger sein.

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 14 /16
c1) μ = 16 ME
P ( X ≤ 14) = 0,2
c2) Berechnung mittels Technologieeinsatz: σ = 2,376...
Die Standardabweichung beträgt rund 2,38 ME.
c3)
5 – 2
5
= 0,6
Ablesen derjenigen Menge q , für die gilt: P ( X ≤ q ) = 0,6
q ≈ 16,6 ME
Toleranzbereich: [16,4; 16,8]
c4)
Wenn sowohl p als auch c verdoppelt werden, bleibt der Wert des
Ausdrucks
p – c
p
unverändert.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A1: für das richtige Veranschaulichen der Rückzahlungen
a2) 1 × A2: für den richtigen Ansatz
1 × B: für das richtige Berechnen der Ratenhöhe
b1) 1 × B: für das richtige Berechnen des effektiven Jahreszinssatzes
b2) 1 × D: für das richtige Begründen
c1) 1 × C1: für das richtige Ablesen des Erwartungswerts und der Wahrscheinlichkeit
c2) 1 × B: für das richtige Ermitteln der Standardabweichung
c3) 1 × C2: für das richtige Ermitteln der optimalen Bestandsmenge (Toleranzbereich: [16,4; 16,8])
c4) 1 × C3: für das richtige Ankreuzen

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 15 /16
Aufgabe 8 (Teil B)
Produktion von CD-Rohlingen und DVD-Rohlingen
Möglicher Lösungsweg
a1)
x in ME
K
G
0 90 80 70 60 50 40 30 20 10 100
16
14
12
–6
10
8
6
4
2
0
–2
–4
18
E
K ( x ), G ( x ), E ( x ) in GE
a2) p =
E (100)
100
=
18
100
= 0,18
Der Preis beträgt 0,18 GE/ME.
Toleranzbereich: [0,16; 0,20]
a3) G
max
≈ 1 GE
Toleranzbereich: [0,8; 1,2]
b1)
–
b
a

16. September 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 16 /16
c1) k = 1,2 GE/ME
c2) Wird bei einem Absatz von 10 ME der Absatz um 1 ME erhöht, dann steigt der Erlös um
rund 1,2 GE.
c3)
A
y in GE/ME
x in ME
0 40 30 20 10 50
1
0
2
–1
–2
B
y in GE/ME
x in ME
0 40 30 20 10 50
1
0
2
–1
–2
C
y in GE/ME
x in ME
0 40 30 20 10 50
1
0
2
–1
–2
D
y in GE/ME
x in ME
0 40 30 20 10 50
1
0
2
–1
–2
Grenzerlösfunktion E ′ D
Preisfunktion der Nachfrage p
N
C
Lösungsschlüssel
a1) 1 × B1: für das richtige Einzeichnen des Graphen der Erlösfunktion
a2) 1 × B2: für das richtige Ermitteln des Preises (Toleranzbereich: [0,16; 0,20])
a3) 1 × C: für das richtige Ablesen des maximalen Gewinns (Toleranzbereich: [0,8; 1,2])
b1) 1 × C: für das richtige Ankreuzen
c1) 1 × C1: für das richtige Bestimmen der Steigung
c2) 1 × C2: für das richtige Interpretieren des Wertes der Steigung im gegebenen Sachzusammenhang
c3) 1 × C3: für das richtige Zuordnen