Mathematik-Matura September 2020 · AHS – Lösungen

AHS
16. September 2020
Mathematik
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 2 /33
Beurteilung der Klausurarbeit
Gemäß § 38 Abs. 3 SchUG (BGBl. Nr. 472/1986 i. d. g. F.) sind die Leistungen der Prüfungskandidatin / des Prüfungskandidaten nach Maßgabe vorliegender Korrektur- und Beurteilungsanleitung
aufgrund von begründeten Anträgen der Prüferin / des Prüfers von der jeweiligen Prüfungskommission zu beurteilen.
Für die Beurteilung ist ein auf einem Punktesystem basierender Beurteilungsschlüssel vorgegeben, der auf den Kriterien des § 18 Abs. 2 bis 4 und 6 SchUG und der Leistungsbeurteilungsverordnung (BGBl. Nr. 371/1974 i. d. g. F. ) beruht und die Beurteilungsstufen (Noten) entsprechend
abbildet.
Zwei Beurteilungswege
1) Wenn mindestens 16 von 28 Punkten (24 Teil-1-Punkte + 4 A -Punkte aus Teil 2) erreicht
wurden, gilt der folgende Beurteilungsschlüssel:
Note Punkte
Genügend 16 – 23,5 Punkte
Befriedigend 24 – 32,5 Punkte
Gut 33 – 40,5 Punkte
Sehr gut 41 – 48 Punkte
2) Wenn weniger als 16 von 28 Punkten (24 Teil-1-Punkte + 4 A -Punkte aus Teil 2) erreicht wurden, aber insgesamt 24 Punkte oder mehr (aus Teil-1- und Teil-2-Aufgaben), gilt folgender
Beurteilungsschlüssel:
Note Punkte
Genügend 24 – 28,5 Punkte
Befriedigend 29 – 35,5 Punkte
Die Arbeit wird mit „Nicht genügend“ beurteilt, wenn im Teil 1 unter Berücksichtigung der mit A
markierten Aufgabenstellungen aus Teil 2 weniger als 16 Punkte und insgesamt weniger als
24 Punkte erreicht wurden.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://ablauf.srdp.at gesondert bekanntgegeben.

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 3 /33
Handreichung zur Korrektur
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des Helpdesks in Anspruch genommen werden. Ausschließlich bei ausgewiesenen Aufgaben
(Kennzeichnung durch: [0/½/1 Punkt] ) können für Teilleistungen halbe Punkte vergeben
werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Bei offenen Aufgabenformaten steht für die Punktevergabe der Nachweis der jeweiligen Grundkompetenz im Vordergrund. Die dabei fokussierte Grundkompetenz wird im
Korrektur heft ausgewiesen. Punkte sind zu vergeben, wenn die Bearbeitung zeigt, dass
die fokussierte Grundkompetenz in der Bearbeitung erfüllt ist.
b. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind korrekt, so ist diese Tei laufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
c. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu ver geben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
d. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten die richtige Lösung ohne Angabe von Zwischenschritten angeführt, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
e. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
f. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
g. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie
nicht explizit eingefordert ist.

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 4 /33
Aufgabe 1
Rechenoperationen
Lösungserwartung:
a + b
a · b
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Ausdrücke angekreuzt sind.

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 5 /33
Aufgabe 2
Wirkstoff
Lösungserwartung:
Es gelangen 255 Milligramm des Wirkstoffs in Martins Blutkreislauf.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 6 /33
Aufgabe 3
Bewegung eines Körpers
Lösungserwartung:
mögliche Interpretation:
Die Lösung der Gleichung gibt die Zeit (in s) an, die der Körper für diese Bewegung benötigt.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine richtige Interpretation, wobei die Einheit „s“ nicht angeführt sein muss.
Grundkompetenz: AG 2.2

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 7 /33
Aufgabe 4
Vektoren
Lösungserwartung:
PQ
E
PR
A
QR
C
PS
D
A 2 ∙ u – v
B
2 ∙ v – u
C – v
D
2 ∙ v + u
E 2 ∙ u
F
2 ∙ u + 2 ∙ v
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jedem der vier Vektoren ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist. Bei zwei oder drei richtigen Zuordnungen ist ein
halber Punkt zu geben.

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 8 /33
Aufgabe 5
Geraden in ℝ
2
Lösungserwartung:
n
g
· n
h
= 0
g = r · n
h
mit r ∈ ℝ \{0}
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Bedingungen angekreuzt sind.

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 9 /33
Aufgabe 6
Leiter
Lösungserwartung:
mögliche Vorgehensweise:
cos( α ) =
d
4
⇒ d = 4 ∙ cos( α )
α ... Winkel zwischen der Leiter und dem Boden
d ... Abstand des unteren Endes der Leiter von der Hauswand
Mindestabstand von der Hauswand: ca. 1,04 m
Höchstabstand von der Hauswand: ca. 1,69 m
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der beiden richtigen Werte.
Für die Angabe von nur einem richtigen Wert ist ein halber Punkt zu geben.

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 10 /33
Aufgabe 7
Graph einer Polynomfunktion
Lösungserwartung:
möglicher Graph:
f ( x )
x
0 1 2 3 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
–1
f
–5
–4
–3
–2
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Darstellung des Graphen einer solchen Funktion f , wobei die in der Angabe
angeführten Eigenschaften klar erkennbar sein müssen.
Grundkompetenz: FA 1.5

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 11 /33
Aufgabe 8
Futterbedarf
Lösungserwartung:
f ( p ) = c · p · t
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die laut Lösungserwartung richtige
Gleichung angekreuzt ist.

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 12 /33
Aufgabe 9
Potenzfunktion
Lösungserwartung:
f (2 ∙ x ) =
a
4 ∙ x
2
f (– x ) = f ( x )
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 13 /33
Aufgabe 10
Druck und Volumen eines idealen Gases
Lösungserwartung:
p ( V ) =
200 000
V
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen der Lösung sind ebenfalls als richtig zu
werten.

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 14 /33
Aufgabe 11
Halbwertszeit
Lösungserwartung:
10 mg
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „mg“ nicht angeführt sein muss.
Grundkompetenz: FA 5.5

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 15 /33
Aufgabe 12
Wechselstrom
Lösungserwartung:
Maximalwert: 2 A
(kleinste) Periodenlänge: 0,02 s
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der beiden richtigen Werte.
Für die Angabe von nur einem richtigen Wert ist ein halber Punkt zu geben.

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 16 /33
Aufgabe 13
Differenzenquotient und Differenzialquotient
Lösungserwartung:
Für alle a ∈ (0; 1) gilt: Je kleiner a ist, desto weniger
unterscheidet sich
f ( a ) – f (0)
a – 0
von f ′ (0).
Für alle a ∈ (2; 3) gilt:
f ( a ) – f (0)
a – 0
> f ′ (0)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 17 /33
Aufgabe 14
Änderungsraten
Lösungserwartung:
f ( x )
x
7 6 5 4 3 2 1 0
7
6
5
4
3
2
1
0
8
f
P
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Ergänzung von P , wobei P ein Punkt auf dem Graphen von f und die
x -Koordinate von P im Intervall [3,5; 4,5] sein muss.
Grundkompetenz: AN 1.3

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 18 /33
Aufgabe 15
Bakterienkultur
Lösungserwartung:
N ( t + 1) – N ( t ) = k ∙ N ( t )
N ( t + 1) = N ( t ) ∙ (1 + k )
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Gleichungen angekreuzt sind.

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 19 /33
Aufgabe 16
Stammfunktion
Lösungserwartung:
Ja, h ist ebenfalls eine Stammfunktion von f .
mögliche Begründungen:
Zwei differenzierbare Funktionen, die sich nur um eine additive Konstante unterscheiden, haben
die gleiche Ableitung.
oder:
Für alle x ∈ ℝ gilt: h ′ ( x ) = g ′ ( x ) = f ( x )
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Entscheidung und eine richtige Begründung.
Grundkompetenz: AN 3.1

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 20 /33
Aufgabe 17
Polynomfunktion
Lösungserwartung:
Es gibt genau eine Stelle x
1
mit f ′ ( x
1
) = 0 und f ″ ( x
1
) > 0.
Es gibt genau eine Stelle x
1
mit f ′ ( x
1
) > 0 und f ″ ( x
1
) = 0.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 21 /33
Aufgabe 18
Geschwindigkeitsfunktion
Lösungserwartung:
mögliche Fragestellung:
Welche Wegstrecke legt der Körper im Zeitintervall von t
1
= 1 s bis t
2
= 5 s zurück?
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine entsprechende Fragestellung, wobei der Bezug auf die Bewegung des Körpers
gegeben sein muss.
Grundkompetenz: AN 4.3

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 22 /33
Aufgabe 19
Boxplots von Körpergrößen
Lösungserwartung:
In der 4B sind mehr Schulkinder größer als 160 cm
als in der 4A.
Die Spannweite der Körpergröße ist in der 4A
größer als in der 4B.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 23 /33
Aufgabe 20
Schätzwert für eine Wahrscheinlichkeit
Lösungserwartung:
p = 19 %
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 24 /33
Aufgabe 21
Testaufgaben
Lösungserwartung:
mögliche Vorgehensweise:
0,2 + 0,8 ∙ 0,1 = 0,28
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen der Lösung sind ebenfalls als richtig zu
werten.
Grundkompetenz: WS 2.3

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 25 /33
Aufgabe 22
Binomialkoeffizient
Lösungserwartung:
1
66
2
2 Schülerinnen dieser Gruppe auszuwählen, die gemeinsam ein Referat halten sollen
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der laut
Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist. Ist nur für eine der beiden Lücken der richtige
Satzteil angekreuzt, ist ein halber Punkt zu geben.

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 26 /33
Aufgabe 23
Wurf einer Münze
Lösungserwartung:
Die mit den Parametern n und p binomialverteilte Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Würfe
der Münze, bei denen Kopf geworfen wird.
n = 20
p = 0,5
P ( X = 12) = (
20
12
) ∙ 0,5
12
∙ 0,5
8
= 0,120... ≈ 0,12
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen der Lösung sind ebenfalls als richtig zu
werten.
Grundkompetenz: WS 3.2

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 27 /33
Aufgabe 24
Konfidenzintervall
Lösungserwartung:
[ h – 0,02; h + 0,02]
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
Grundkompetenz: WS 4.1

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 28 /33
Aufgabe 25 (Teil 2)
Solarthermie-Anlagen
a) Lösungserwartung:
a1) s = 2 · l · sin (
90° – ε
2
)
a2) 2 · 1 666 · sin (
90° – 14°
2
) = 2 051,3... ≈ 2 051
maximaler Wert von s : ca. 2 051 mm
Lösungsschlüssel:
a1) Ein Ausgleichspunkt für eine richtige Formel. Äquivalente Formeln sind als richtig zu
werten.
a2) Ein Punkt für die richtige Lösung.
b) Lösungserwartung:
b1) Mit P (11,5) = 0 erhält man den Parameter a =
20
23
.
b2)
∫
11,5
0
P ( t ) d t = 59,9... ≈ 60
Die an diesem Tag von der Solarthermie-Anlage verrichtete Arbeit beträgt ca. 60 kWh.
Lösungsschlüssel:
b1) Ein Punkt für die richtige Lösung.
b2) Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „kWh“ nicht angegeben sein muss.

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 29 /33
Aufgabe 26 (Teil 2)
Benzinverbrauch
a) Lösungserwartung:
a1)
B (90) – B (70)
B (70)
= 0,2138... ≈ 21,4 %
a2) B ( v
1
) · 0,75 = B (40)
v
1
= 24,24... km/h
Lösungsschlüssel:
a1) Ein Punkt für die richtige Lösung.
a2) Ein Punkt für die richtige Lösung.
b) Lösungserwartung:
b1) mögliche Vorgehensweise:
f (100) = B (100) = 4,40...
f (130) = B (130) = 6,60...
f ( v ) = 0,0734... ∙ v – 2,9399...
b2) mögliche Vorgehensweise:
D ( v ) = B ( v ) – f ( v )
D ( v ) = 0,3
( v
1
= –10,94...)
v
2
= 87,08...
v
3
= 143,34...
Da die Funktion D an der Stelle v = 114,91... km/h eine Minimumstelle mit dem
Funktionswert –0,1 > –0,3 hat, erhält man das Intervall [87,1 km/h; 143,3 km/h].
Lösungsschlüssel:
b1) Ein Ausgleichspunkt für einen richtigen Funktionsterm. Äquivalente Funktionsterme sind
als richtig zu werten.
b2) Ein Punkt für das richtige Intervall, wobei die Einheit „km/h“ nicht angeführt sein muss.

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 30 /33
c) Lösungserwartung:
c1) v
min
= 55,73... km/h
B
min
= 3,03... L/100 km
c2) g ( v ) = B
min
+ 2
v
1
= 20,41... km/h
v
2
= 108,67... km/h
Bei Geschwindigkeiten von ca. 20,4 km/h und ca. 108,7 km/h ist der Benzinverbrauch
bei einem etwas zu niedrigen Reifendruck um 2 L/100 km höher als B
min
.
Lösungsschlüssel:
c1) Ein Punkt für die beiden richtigen Werte.
c2) Ein Punkt für die beiden richtigen Geschwindigkeiten, wobei die Einheit „km/h“ nicht angeführt sein muss.

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 31 /33
Aufgabe 27 (Teil 2)
Bevölkerungswachstum in Afrika
a) Lösungserwartung:
a1) m = 19 Jahre
a2) Aufgrund der Annahme, dass in jeder Altersklasse die einzelnen Lebensalter gleich häufig
auftreten, sind 4,16 % der afrikanischen Bevölkerung im Kalenderjahr 2018 Männer im
Alter von 15 bis 18 Jahren und 4,08 % der afrikanischen Bevölkerung im Kalenderjahr
2018 Frauen im Alter von 15 bis 18 Jahren.
7,7 % + 7,5 % + 6,9 % + 6,7 % + 6,0 % + 5,8 % + 4,16 % + 4,08 % = 48,84 %
1,3 ∙ 10
9
∙ 0,4884 = 6,3492 ∙ 10
8
≈ 635 Millionen Menschen
Lösungsschlüssel:
a1) Ein Punkt für die richtige Lösung.
a2) Ein Punkt für die richtige Lösung.
b) Lösungserwartung:
b1) Tansania
b2) Niger
Lösungsschlüssel:
b1) Ein Ausgleichspunkt für die Angabe des richtigen Landes.
b2) Ein Punkt für die Angabe des richtigen Landes.

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 32 /33
c) Lösungserwartung:
c1) mögliche Begründungen:
Die (mittleren) jährlichen Wachstumsraten sind im Zeitraum von 1980 bis 2010 annähernd
konstant:
1980 bis 1990: ca. 2,6 %
1990 bis 2000: ca. 2,5 %
2000 bis 2010: ca. 2,6 %
oder:
Die prozentuellen Wachstumsraten sind in den 10-Jahres-Zeiträumen von 1980 bis 2010
annähernd konstant:
1980 bis 1990: ca. 30 %
1990 bis 2000: ca. 28 %
2000 bis 2010: ca. 30 %
oder:
Die gegebenen Daten können gut mit einer Exponentialfunktion N mit der Gleichung
N ( t ) = N
0
· 1,026
t
beschrieben werden. Die Funktionswerte weichen nur geringfügig von
den Tabellenwerten ab.
c2) 360 = 122,4 ∙ 1,0262...
t
⇒ t = 41,6... ≈ 42
Unter dieser Annahme wird im Kalenderjahr 2042 die Bevölkerungszahl Nigerias erstmals
mehr als 360 Millionen betragen.
Lösungsschlüssel:
c1) Ein Punkt für eine richtige Begründung.
c2) Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei auch das Kalenderjahr 2041 als richtig zu werten
ist.
d) Lösungserwartung:
d1) k =
62,4 – 37,5
65
= 0,3830... ⇒ k ≈ 0,383 Lebensjahre pro Kalenderjahr
d2) 62,4 + t · 0,3830... = 78,5
t = 42,028... ≈ 42,03
Unter dieser Annahme wird im Kalenderjahr 2060 in Afrika die durchschnittliche Lebenserwartung den Wert 78,5 Jahre erreichen.
Lösungsschlüssel:
d1) Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „Lebensjahre pro Kalenderjahr“ nicht
angegeben sein muss.
d2) Ein Punkt für die Angabe des richtigen Kalenderjahrs, wobei auch die Kalenderjahre
2058, 2059 und 2061 als richtig zu werten sind.

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 33 /33
Aufgabe 28 (Teil 2)
Sicherheitskontrolle
a) Lösungserwartung:
a1)
d 15 30 330
P ( X = d ) 0,9 0,1 · 0,6 = 0,06 0,1 · 0,4 = 0,04
a2) E ( X ) = 15 · 0,9 + 30 · 0,06 + 330 · 0,04 = 28,5
Lösungsschlüssel:
a1) Ein Punkt für die Ergänzung der richtigen Werte in der Tabelle.
a2) Ein Punkt für die richtige Lösung.
b) Lösungserwartung:
b1) p
2
= 0,1 ⇒ p = 0,31622... ≈ 0,3162
b2) Y ... Anzahl der Personen, die einen unzulässigen Gegenstand mit sich führen
Y ist binomialverteilt mit n = 10, p = 0,31622...
P ( Y ≥ 5) = 0,1794... ≈ 0,179
Lösungsschlüssel:
b1) Ein Ausgleichspunkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen der Lösung sind
ebenfalls als richtig zu werten.
Grundkompetenz: WS 2.3
b2) Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen der Lösung sind ebenfalls als
richtig zu werten.
c) Lösungserwartung:
c1) A (0) = 0, A (45) = 15, A ′ (45) = 0
a = –
1
135
, b =
2
3
, c = 0
c2)
∫
90
0
A ( t ) d t = 900
Lösungsschlüssel:
c1) Ein Punkt für die Angabe der drei richtigen Werte.
c2) Ein Punkt für die richtige Lösung.