Mathematik-Matura September 2020 · AHS – Aufgaben

AHS
16. September 2020
Mathematik
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
Name:
Klasse:

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 2 /35
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat!
Das vorliegende Aufgabenheft enthält Teil-1-Aufgaben und Teil-2-Aufgaben (bestehend aus Teilaufgaben). Die
Aufgaben bzw. Teilaufgaben sind unabhängig voneinander bearbeitbar. Ihnen stehen insgesamt 270 Minuten
an reiner Arbeitszeit zur Verfügung.
Verwenden Sie für die Bearbeitung ausschließlich dieses Aufgabenheft und das Ihnen zur Verfügung gestellte
Arbeitspapier. Schreiben Sie Ihren Namen und Ihre Klasse in die dafür vorgesehenen Felder auf dem Deckblatt des Aufgabenhefts sowie Ihren Namen und die fortlaufende Seitenzahl auf jedes verwendete Blatt Arbeitspapier. Geben Sie bei der Beantwortung jeder Teilaufgabe deren Bezeichnung auf dem Arbeitspapier an.
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht durchgestrichen ist. Die Lösung muss dabei klar ersichtlich
sein. Wenn die Lösung nicht klar ersichtlich ist oder verschiedene Lösungen angegeben sind, gilt die Aufgabe
als nicht gelöst.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungs mitglied für die Klausurarbeit freigegebenen Formel sammlung
für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt, sofern keine Kommunikationsmöglichkeit
(z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwerke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im
elektronischen Hilfs mittel nicht möglich ist.
Eine Erläuterung der Antwortformate liegt im Prüfungsraum auf und kann auf Wunsch eingesehen werden.
Das Aufgabenheft und alle von Ihnen verwendeten Blätter sind abzugeben.
Bewertung
Die Aufgaben im Teil 1 werden mit 0 Punkten oder 1 Punkt bzw. 0 Punkten, ½ oder 1 Punkt bewertet. Die zu
erreichenden Punkte pro Aufgabe sind bei jeder Teil-1-Aufgabe im Aufgabenheft angeführt.
Jede Teilaufgabe im Teil 2 wird mit 0, 1 oder 2 Punkten bewertet. Die mit A markierten Aufgabenstellungen
werden mit 0 Punkten oder 1 Punkt bewertet.
Zwei Beurteilungswege
1) Wenn Sie mindestens 16 von 28 Punkten (24 Teil-1-Punkte + 4 A -Punkte aus Teil 2) erreicht haben, gilt der
folgende Beurteilungsschlüssel:
Genügend 16 – 23,5 Punkte
Befriedigend 24 – 32,5 Punkte
Gut 33 – 40,5 Punkte
Sehr gut 41 – 48 Punkte
2) Wenn Sie weniger als 16 von 28 Punkten (24 Teil-1-Punkte + 4 A -Punkte aus Teil 2) erreicht haben, aber
insgesamt 24 Punkte oder mehr (aus Teil-1- und Teil-2-Aufgaben) erreicht haben, dann können Sie auf
diesem Weg ein „Genügend“ oder „Befriedigend“ erreichen:
Genügend 24 – 28,5 Punkte
Befriedigend 29 – 35,5 Punkte
Die Arbeit wird mit „Nicht genügend“ beurteilt, wenn im Teil 1 unter Berücksichtigung der mit A markierten
Aufgabenstellungen aus Teil 2 weniger als 16 Punkte und insgesamt weniger als 24 Punkte erreicht wurden.
Viel Erfolg!
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“ gewählt
und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen
ein.
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“ übermalt
und dann wieder gewählt.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 3 /35
Aufgabe 1
Rechenoperationen
Gegeben sind zwei natürliche Zahlen a und b , wobei gilt: b ≠ 0.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Ausdrücke an, die auf jeden Fall eine natürliche Zahl als Ergebnis liefern.
a + b
a – b
a
b
a · b

a
b
[0 / 1 Punkt]

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 4 /35
Aufgabe 2
Wirkstoff
Ein bestimmtes Medikament wird in flüssiger Form eingenommen. Es beinhaltet pro Milliliter Flüssigkeit 30 Milligramm eines Wirkstoffs. Martin nimmt 85 Milliliter dieses Medikaments ein. Vom
Wirkstoff gelangen 10 % in seinen Blutkreislauf.
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, wie viel Milligramm dieses Wirkstoffs in Martins Blutkreislauf gelangen.
Es gelangen Milligramm des Wirkstoffs in Martins Blutkreislauf.
[0 / 1 Punkt]

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 5 /35
Aufgabe 3
Bewegung eines Körpers
Ein Körper bewegt sich geradlinig mit einer konstanten Geschwindigkeit von 8 m/s und legt dabei
100 m zurück.
Aufgabenstellung:
Interpretieren Sie die Lösung der Gleichung 8 · x – 100 = 0 im gegebenen Kontext.
[0 / 1 Punkt]

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 6 /35
Aufgabe 4
Vektoren
In der nachstehenden Abbildung sind die vier Punkte P , Q , R und S sowie die zwei Vektoren u
und v dargestellt.
R
P
Q
S
u
v
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Vektoren jeweils den entsprechenden Ausdruck (aus A bis F) zu.
PQ
PR
QR
PS
A 2 ∙ u – v
B
2 ∙ v – u
C – v
D
2 ∙ v + u
E 2 ∙ u
F
2 ∙ u + 2 ∙ v
[0 / ½ / 1 Punkt]

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 7 /35
Aufgabe 5
Geraden in ℝ
2
Für die zwei Geraden g und h in ℝ
2
gilt:
• Die Gerade g mit dem Richtungsvektor g hat den Normalvektor n
g
.
• Die Gerade h mit dem Richtungsvektor h hat den Normalvektor n
h
.
• Die Geraden g und h stehen normal aufeinander.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Bedingungen an, die auf jeden Fall gelten.
n
g
· h = 0
n
g
· n
h
= 0
g = r · h mit r ∈ ℝ \{0}
g = r · n
h
mit r ∈ ℝ \{0}
g · n
h
= 0
[0 / 1 Punkt]

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 8 /35
Aufgabe 6
Leiter
Eine 4 m lange Leiter wird auf einem waagrechten Boden aufgestellt und an eine senkrechte
Hauswand angelegt.
Die Leiter muss mit dem Boden einen Winkel zwischen 65° und 75° einschließen, um einerseits
ein Wegkippen und andererseits ein Wegrutschen zu vermeiden.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Mindestabstand und den Höchstabstand des unteren Endes der Leiter von
der Hauswand.
Mindestabstand von der Hauswand: m
Höchstabstand von der Hauswand: m
[0 / ½ / 1 Punkt]

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 9 /35
Aufgabe 7
Graph einer Polynomfunktion
Eine Polynomfunktion f : [–3; 3] → ℝ , x ↦ f ( x ) hat folgende Eigenschaften:
• Der Graph von f ist symmetrisch bezüglich der senkrechten Achse.
• Die Funktion f hat im Punkt (2 | 1) ein lokales Minimum.
• Der Graph von f schneidet die senkrechte Achse im Punkt (0 | 3).
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen einer solchen Funktion f im
Intervall [–3; 3] ein.
f ( x )
x
0 1 2 3 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
–1
–5
–4
–3
–2
[0 / 1 Punkt]

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 10 /35
Aufgabe 8
Futterbedarf
In einem Reitstall werden Pferde für t Tage eingestellt. Der tägliche Futterbedarf jedes dieser
Pferde wird als konstant angenommen und mit c bezeichnet.
Die Funktion f beschreibt den gesamten Futterbedarf f ( p ) für t Tage in Abhängigkeit von der
Anzahl p der Pferde in diesem Reitstall.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an.
f ( p ) = p + t + c
f ( p ) = c + p · t
f ( p ) = c ·
t
p
f ( p ) =
c
p · t
f ( p ) = c · p · t
f ( p ) =
p · t
c
[0 / 1 Punkt]

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 11 /35
Aufgabe 9
Potenzfunktion
Gegeben ist eine Potenzfunktion f : ℝ \{0} → ℝ mit f ( x ) =
a
x
2
mit a ∈ ℝ \{0}.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die auf die Funktion f auf jeden Fall zutreffen.
f
(
1
a
)
= 1
f ( x + 1) =
a
x
2
– 2 ∙ x + 1
f (2 ∙ x ) =
a
4 ∙ x
2
f (2 ∙ a ) =
1
2 ∙ a
f (– x ) = f ( x )
[0 / 1 Punkt]

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 12 /35
Aufgabe 10
Druck und Volumen eines idealen Gases
Bei gleichbleibender Temperatur sind der Druck und das Volumen eines idealen Gases zueinander
indirekt proportional. Die Funktion p ordnet dem Volumen V den Druck p ( V ) zu ( V in m
3
, p ( V ) in
Pascal).
Aufgabenstellung:
Geben Sie p ( V ) mit V ∈ ℝ
+
an, wenn bei einem Volumen von 4 m
3
der Druck 50 000 Pascal beträgt.
p ( V ) =
[0 / 1 Punkt]

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 13 /35
Aufgabe 11
Halbwertszeit
Die Funktion f mit f ( t ) = 80 ∙ b
t
mit b ∈ ℝ
+
beschreibt die Masse f ( t ) einer radioaktiven Substanz
in Abhängigkeit von der Zeit t ( t in h, f ( t ) in mg). Die Halbwertszeit der radioaktiven Substanz
beträgt 4 h.
Eine Messung beginnt zum Zeitpunkt t = 0.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie diejenige Masse (in mg) der radioaktiven Substanz, die nach den ersten 3 Halbwertszeiten vorhanden ist.
[0 / 1 Punkt]

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 14 /35
Aufgabe 12
Wechselstrom
Bei sinusförmigem Wechselstrom ändert sich der Wert der Stromstärke periodisch.
In der nach stehenden Ab bildung ist die Stromstärke I ( t ) in Abhängigkeit von der Zeit t für einen
sinusförmigen Wechselstrom dargestellt ( t in s, I ( t ) in A).
I ( t ) in A
t in s
1
0
2
–1
–2
I
0,04 0,03 0,02 0,01 0,05
Aufgabenstellung:
Geben Sie den Maximalwert der Stromstärke und die (kleinste) Periodenlänge dieses sinus förmigen Wechselstroms an.
Maximalwert: A
(kleinste) Periodenlänge: s
[0 / ½ / 1 Punkt]

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 15 /35
Aufgabe 13
Differenzenquotient und Differenzialquotient
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades f dargestellt.
f ( x )
x f
0 –1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10
0
2
1
3
–2
–3
–4
–5
–1
–6
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.
Im Intervall (0; 2) gibt es eine Stelle a , sodass gilt:
f ( a ) – f (0)
a – 0
= f ′ (0)
Im Intervall (4; 6) gibt es eine Stelle a , sodass gilt:
f ( a ) – f (0)
a – 0
= f ′ (0)
Für alle a ∈ (0; 1) gilt: Je kleiner a ist, desto weniger
unterscheidet sich
f ( a ) – f (0)
a – 0
von f ′ (0).
Für alle a ∈ (2; 5) gilt: Je größer a ist, desto weniger
unterscheidet sich
f ( a ) – f (0)
a – 0
von f ′ (0).
Für alle a ∈ (2; 3) gilt:
f ( a ) – f (0)
a – 0
> f ′ (0)
[0 / 1 Punkt]

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 16 /35
Aufgabe 14
Änderungsraten
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Funktion f im Intervall [1; 7] dargestellt.
f ( x )
x
7 6 5 4 3 2 1 0
7
6
5
4
3
2
1
0
8
f
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie in der obigen Abbildung denjenigen Punkt P des Graphen von f ein, in dem für die
Funktion f der Differenzialquotient dem Differenzenquotienten im Intervall [1; 7] entspricht.
[0 / 1 Punkt]

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 17 /35
Aufgabe 15
Bakterienkultur
Es wird die Anzahl der Bakterien in einer Bakterienkultur in Abhängigkeit von der Zeit t untersucht.
Die Anzahl der Bakterien in dieser Bakterienkultur nimmt jede Minute um den gleichen Prozentsatz zu.
In den unten stehenden Gleichungen ist N ( t ) die Anzahl der Bakterien in dieser Bakterienkultur
zum Zeitpunkt t (in Minuten) und k ∈ (0; 1) eine reelle Zahl.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an.
N ( t + 1) – N ( t ) = – k ∙ N ( t )
N ( t + 1) – N ( t ) = k
N ( t + 1) – N ( t ) = k ∙ N ( t )
N ( t + 1) = k ∙ N ( t )
N ( t + 1) = N ( t ) ∙ (1 + k )
[0 / 1 Punkt]

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 18 /35
Aufgabe 16
Stammfunktion
Gegeben ist eine Funktion f : ℝ → ℝ , x ↦ f ( x ).
Die Funktion g : ℝ → ℝ , x ↦ g ( x ) ist eine Stammfunktion von f .
Für eine Funktion h : ℝ → ℝ , x ↦ h ( x ) und c ∈ ℝ \{0} gilt: h ( x ) = g ( x ) + c .
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, ob h ebenfalls eine Stammfunktion von f ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung.
[0 / 1 Punkt]

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 19 /35
Aufgabe 17
Polynomfunktion
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Polynomfunktion 4. Grades f : x ↦ f ( x ) dargestellt. Die x -Achse ist nicht eingezeichnet.
f
f ( x )
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die für die dargestellte Polynomfunktion f bei jeder Lage der
x -Achse zutreffen.
Es gibt genau zwei Stellen x
1
und x
2
mit f ( x
1
) = 0 und f ( x
2
) = 0.
Es gibt genau zwei Stellen x
1
und x
2
mit f ′ ( x
1
) = 0 und f ′ ( x
2
) = 0.
Es gibt genau eine Stelle x
1
mit f ″ ( x
1
) = 0.
Es gibt genau eine Stelle x
1
mit f ′ ( x
1
) = 0 und f ″ ( x
1
) > 0.
Es gibt genau eine Stelle x
1
mit f ′ ( x
1
) > 0 und f ″ ( x
1
) = 0.
[0 / 1 Punkt]

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 20 /35
Aufgabe 18
Geschwindigkeitsfunktion
Die Funktion v mit v ( t ) = 0,5 ∙ t + 2 ordnet für einen Körper jedem Zeitpunkt t die Geschwindigkeit v ( t ) zu ( t in s, v ( t ) in m/s).
Folgende Berechnung wird durchgeführt:
∫
5
1
(0,5 ∙ t + 2) d t = 14
Aufgabenstellung:
Formulieren Sie mit Bezug auf die Bewegung des Körpers eine Fragestellung, die mit der durchgeführten Berechnung beantwortet werden kann.
[0 / 1 Punkt]

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 21 /35
Aufgabe 19
Boxplots von Körpergrößen
Die nachstehenden Boxplots (Kastenschaubilder) stellen für zwei Klassen (4A und 4B) die Verteilung der Körpergröße der Schulkinder der jeweiligen Klasse dar. Beide Klassen werden von gleich
vielen Schulkindern besucht.
4A
170 165 160 155 150 145 140 135 175
Körpergröße in cm
4A
4B 4B
170 165 160 155 150 145 140 135 175
Körpergröße in cm
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die auf jeden Fall zutreffen.
In der 4A ist mehr als die Hälfte der Schulkinder
kleiner als 150 cm.
In der 4B sind mehr Schulkinder größer als 160 cm
als in der 4A.
Die Spannweite der Körpergröße ist in der 4A
größer als in der 4B.
Das größte Schulkind der beiden Klassen besucht
die 4B.
In der 4A ist 160 cm die häufigste Körpergröße.
[0 / 1 Punkt]

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 22 /35
Aufgabe 20
Schätzwert für eine Wahrscheinlichkeit
Bei einem Würfel mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 ist eine Ecke beschädigt. Deswegen
wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Augenzahl zu werfen, nicht für
alle Augenzahlen gleich hoch ist.
Jemand hat mit dem Würfel zwei Wurfserien mit jeweils 50 Würfen durchgeführt und die absoluten
Häufigkeiten der auftretenden Augenzahlen aufgezeichnet. In der nachstehenden Tabelle sind
diese Aufzeichnungen zusammengefasst.
Augenzahl 1 2 3 4 5 6
Häufigkeit in Wurfserie 1 7 8 7 10 8 10
Häufigkeit in Wurfserie 2 6 9 7 9 10 9
Aufgabenstellung:
Geben Sie anhand der Ergebnisse der beiden Wurfserien einen Schätzwert für die Wahr scheinlichkeit p (in %) an, mit diesem Würfel die Augenzahl 6 zu werfen.
p = %
[0 / 1 Punkt]

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 23 /35
Aufgabe 21
Testaufgaben
Für eine internationale Vergleichsstudie wird eine große Anzahl an Testaufgaben erstellt.
Erfahrungsgemäß werden in einem ersten Begutachtungsverfahren aus formalen Gründen
20 % der Aufgaben verworfen. Die restlichen Aufgaben durchlaufen ein zweites Begutachtungsverfahren. Erfahrungsgemäß werden dabei aus inhaltlichen Gründen 10 % der Aufgaben ver worfen.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine erstellte Aufgabe verworfen wird.
[0 / 1 Punkt]

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 24 /35
Aufgabe 22
Binomialkoeffizient
Eine Gruppe besteht aus 12 Schülerinnen.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen des jeweils richtigen Satzteils so,
dass eine korrekte Aussage entsteht.
Der Binomialkoeffizient (
12
2
) hat den Wert
1
; er kann dazu verwendet werden, die
Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten,
2
, zu berechnen.
1
24
66
144
2
2 Schülerinnen dieser Gruppe auszuwählen, die gemeinsam ein Referat halten sollen
2 Schülerinnen dieser Gruppe 2 unterschiedliche Preise
zu verleihen
die Schülerinnen in 2 Gruppen zu je 6 Schülerinnen
einzuteilen
[0 / ½ / 1 Punkt]

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 25 /35
Aufgabe 23
Wurf einer Münze
Eine Münze zeigt nach einem Wurf entweder Kopf oder Zahl . Die Wahrscheinlichkeit, dass die
Münze Kopf zeigt, ist bei jedem Wurf genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass sie Zahl
zeigt. Die Ergebnisse der Würfe sind voneinander unabhängig. Die Münze wird 20-mal geworfen.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei diesen 20 Würfen die Münze genau 12-mal Kopf
zeigt.
[0 / 1 Punkt]

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 26 /35
Aufgabe 24
Konfidenzintervall
Anhand der relativen Stichprobenhäufigkeit h bei einer repräsentativen Befragung von 500 Personen wurde für den unbekannten relativen Anteil der Befürworter/innen einer Umfahrungsstraße
das 95-%-Konfidenzintervall [ h – 0,04; h + 0,04] ermittelt.
Eine zweite repräsentative Befragung von 2 000 Personen ergibt die gleiche relative Stichprobenhäufigkeit h .
Aufgabenstellung:
Geben Sie für diese zweite Befragung das um h symmetrische 95-%-Konfidenzintervall für den
unbekannten relativen Anteil der Befürworter/innen der Umfahrungsstraße an.
[0 / 1 Punkt]

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 27 /35
Aufgabe 25 (Teil 2)
Solarthermie-Anlagen
Bei Solarthermie-Anlagen wird die Sonnenstrahlung von sogenannten Solarmodulen in Wärme
umgewandelt. Diese Wärme kann beispielsweise zur Warmwassererzeugung oder zur Heizung
von Gebäuden verwendet werden.
Aufgabenstellung:
a) Ein Solarmodul einer Solarthermie-Anlage mit der Länge l schließt mit dem waagrechten
Erd boden den Winkel φ ein. Dieser Winkel φ wird durch eine Stütze mit variabler Länge s so
verändert, dass das Solar modul mit den Sonnenstrahlen einen rechten Winkel einschließt.
Die Sonnenstrahlen treffen unter dem Winkel ε auf den Erdboden auf.
Die Situation ist in der nachstehenden Abbildung modellhaft dargestellt.
s
l
l
φ ε
Solarmodul
Sonnenstrahlen
1) A Geben Sie eine Formel an, mit der s unter Verwendung von l und ε berechnet werden
kann.
s =
Das oben abgebildete Solarmodul hat die Länge l = 1 666 mm. Bei diesem Solarmodul nimmt
der Winkel ε im Laufe eines bestimmten Tages Werte von 14° bis 65° an.
2) Geben Sie den maximalen Wert von s an.
maximaler Wert von s : mm

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 28 /35
b) Die Leistung einer bestimmten Solarthermie-Anlage an einem wolkenfreien Tag wird durch die
Funktion P modelliert. Dabei gilt:
P ( t ) = 0,0136 · a
3
· t
4
– 0,272 · a
2
· t
3
+ 1,36 · a · t
2
t ... Zeit in h, die seit dem Sonnenaufgang ( t = 0) vergangen ist
P ( t ) ... Leistung in kW zur Zeit t
a ... Parameter
Beim Sonnenaufgang und beim Sonnenuntergang beträgt die Leistung der Solarthermie-
Anlage 0 kW. Zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang nimmt die Funktion P positive
Werte an.
1) Ermitteln Sie für diese Solarthermie-Anlage den Wert des Parameters a für einen bestimmten
wolkenfreien Tag, an dem die Sonne um 7:08 Uhr aufgeht und um 18:38 Uhr untergeht.
Die Arbeit, die von der Solarthermie-Anlage zwischen den zwei Zeitpunkten t
1
und t
2
verrichtet
wird, ist
∫
t 2
t 1
P ( t ) d t .
2) Berechnen Sie die an diesem Tag von der Solarthermie-Anlage verrichtete Arbeit (in kWh).

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 29 /35
Aufgabe 26 (Teil 2)
Benzinverbrauch
Der Benzinverbrauch eines bestimmten Kleinwagens kann in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit modellhaft durch die Funktion B beschrieben werden.
B ( v ) = 0,000483 · v
2
– 0,0326 · v + 2,1714 +
66
v
mit 20 < v < 150
v ... Geschwindigkeit in km/h
B ( v ) ... Benzinverbrauch in Litern pro 100 km (L/100 km) bei der Geschwindigkeit v
Aufgabenstellung:
a) 1) Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Benzinverbrauch bei einer Geschwindigkeit von
90 km/h höher als bei einer Geschwindigkeit von 70 km/h ist.
%
Der Benzinverbrauch bei einer Geschwindigkeit von 40 km/h ist um 25 % geringer als der
Benzinverbrauch bei einer Geschwindigkeit v
1
mit 20 < v
1
< 40.
2) Ermitteln Sie die Geschwindigkeit v
1
.
v
1
= km/h
b) Für hohe Geschwindigkeiten soll die Funktion B durch eine lineare Funktion f mit
f ( v ) = k · v + d mit k , d ∈ ℝ angenähert werden, sodass gilt:
f (100) = B (100)
f (130) = B (130)
1) A Ermitteln Sie einen Funktionsterm der Funktion f .
f ( v ) =
Diese Näherung kann verwendet werden, wenn die Abweichung zwischen den Funktions werten von f und B höchstens 0,3 L/100 km beträgt.
2) Geben Sie das größtmögliche Intervall für die Geschwindigkeit an, in dem die Funktion f als
Näherung verwendet werden kann.

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 30 /35
c) 1) Ermitteln Sie mithilfe der Funktion B diejenige Geschwindigkeit v
min
, bei der der Benzin verbrauch am geringsten ist, sowie den zugehörigen Benzinverbrauch B
min
.
v
min
= km/h
B
min
= L/100 km
Der Benzinverbrauch hängt auch vom Reifendruck ab.
Die Funktion g beschreibt den Benzinverbrauch in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v
bei einem etwas zu niedrigen Reifendruck.
Dabei gilt: g ( v ) = 1,02 ∙ B ( v )
2) Berechnen Sie mithilfe der Funktion g , bei welchen beiden Geschwindigkeiten der Benzinverbrauch bei einem etwas zu niedrigen Reifendruck um 2 L/100 km höher als B
min
ist.

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 31 /35
Aufgabe 27 (Teil 2)
Bevölkerungswachstum in Afrika
Afrika hatte Ende 2018 eine Bevölkerung von ca. 1,3 Milliarden Menschen und verzeichnet derzeit
das stärkste Bevölkerungswachstum aller Kontinente.
Aufgabenstellung:
a) Die nachstehende Abbildung zeigt die Alterspyramide der afrikanischen Bevölkerung im Kalenderjahr 2018.
Der Alterspyramide ist z. B. zu entnehmen, dass im Kalenderjahr 2018 galt: 4,5 % der afrikanischen Bevölkerung sind Männer mit einem Lebensalter von 20 bis 24 Jahren und 4,4 % der
afrikanischen Bevölkerung sind Frauen mit einem Lebensalter von 20 bis 24 Jahren. Unter
Lebensalter versteht man die Anzahl vollendeter Lebensjahre.
8 % 6 % 4 % 2 % 0 % 2 % 4 % 6 % 8 % 10 % 10 %
95 – 99
90 – 94
85 – 89
80 – 84
75 – 79
70 – 74
65 – 69
60 – 64
55 – 59
50 – 54
45 – 49
40 – 44
35 – 39
30 – 34
25 – 29
20 – 24
15 – 19
10 – 14
5 – 9
0 – 4
100+ Männer Frauen
7,5 %
6,7 %
5,8 %
5,1 %
4,4 %
3,9 %
3,5 %
2,9 %
2,3 %
1,9 %
1,3 %
1,0 %
0,8 %
0,5 %
0,3 %
0,2 %
0,1%
0,0 %
0,0 %
0,0 %
1,6 %
0,0 %
0,0 %
0,1 %
0,1 %
0,3 %
0,4 %
0,7 %
0,9 %
1,2 %
1,5 %
1,9 %
2,3 %
2,9 %
3,5 %
4,0 %
4,5 %
5,2 %
6,0 %
6,9 %
7,7 %
0,0 %
Datenquelle: https://www.populationpyramid.net/de/afrika/2018 [10.05.2019].
Nehmen Sie modellhaft an, dass in jeder Altersklasse die einzelnen Lebensalter gleich häufig
auftreten.
1) Bestimmen Sie anhand der Alterspyramide den Median m des Lebensalters der afrikanischen Bevölkerung im Kalenderjahr 2018.
m = Jahre
2) Geben Sie die Anzahl an Afrikanerinnen und Afrikanern an, die im Kalenderjahr 2018 jünger
als m Jahre waren.

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 32 /35
b) Die nachstehende Abbildung zeigt die prognostizierte Bevölkerungsentwicklung (Angaben in
Millionen) im Zeitraum von 2010 bis 2050 in ausgewählten afrikanischen Ländern.
Bevölkerung in Millionen
Burkina Faso
Marokko Algerien
Südafrika
Niger
Sudan
Uganda
Tansania Ägypten
Malawi
2010 2050
16,3
32,4 35,4
50,5
15,9
43,2
33,8
45
84,5
15,7
40,8 42,6
49,6
56,8 58,2
75,9
91,3
109,5
129,5
36,6
Datenquelle: https://de.statista.com/statistik/daten/studie/159204/umfrage/prognose-zur-bevoelkerungsentwicklung-in-afrikabis-2050/ [10.05.2019].
1) A Geben Sie von den zehn angeführten Ländern dasjenige Land an, das laut Prognose
im Zeitraum von 2010 bis 2050 am stärksten zum absoluten Bevölkerungswachstum in
Afrika beitragen wird.
2) Geben Sie von den zehn angeführten Ländern dasjenige Land an, in dem laut Prognose im
Zeitraum von 2010 bis 2050 das stärkste relative Bevölkerungswachstum erfolgt.
c) Die nachstehende Tabelle zeigt die Bevölkerungsentwicklung in Nigeria im Zeitraum von 1980
bis 2010.
Kalenderjahr 1980 1990 2000 2010
Bevölkerungszahl in Millionen 73,5 95,3 122,4 158,6
1) Zeigen Sie anhand der Tabelle, dass die Bevölkerungszahl im Zeitraum von 1980 bis 2010
annähernd exponentiell zugenommen hat.
Nehmen Sie an, dass die Bevölkerungszahl von Nigeria weiterhin in dieser Art exponentiell
wachsen wird.
2) Geben Sie unter Verwendung der Daten aus den beiden Kalenderjahren 2000 und 2010
an, in welchem Kalenderjahr die Bevölkerungszahl Nigerias erstmals mehr als 360 Millionen betragen wird.

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 33 /35
d) Die nachstehende Tabelle zeigt, wie sich die durchschnittliche Lebenserwartung der afrikanischen Bevölkerung seit 1953 entwickelt hat.
Kalenderjahr
durchschnittliche
Lebenserwartung
in Jahren
1953 37,5
1958 40,0
1963 42,3
1968 44,4
1973 46,6
1978 48,7
1983 50,5
1988 51,7
1993 51,7
1998 52,3
2003 53,7
2008 57,0
2013 60,2
2018 62,4
1) Berechnen Sie die mittlere jährliche Zunahme k der durchschnittlichen Lebenserwartung im
Zeitraum von 1953 bis 2018.
Es wird angenommen, dass die durchschnittliche Lebenserwartung in Afrika nach dem Kalenderjahr 2018 konstant pro Jahr um den berechneten Wert k zunimmt.
Im Kalenderjahr 2018 betrug die durchschnittliche Lebenserwartung in Europa 78,5 Jahre.
2) Geben Sie an, in welchem Kalenderjahr die durchschnittliche Lebenserwartung in Afrika
unter dieser Annahme den Wert für Europa im Kalenderjahr 2018 erreichen würde.

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 34 /35
Aufgabe 28 (Teil 2)
Sicherheitskontrolle
Beim Einlass in ein bestimmtes Stadion findet bei einer Veranstaltung eine maximal dreistufige
Sicher heitskontrolle bei Personen statt, um mitgeführte Gegenstände zu kontrollieren und un zulässige Gegenstände zu erfassen. Liefert die erste Stufe dieser Sicherheitskontrolle kein ein deutiges Ergebnis, dann wird die zweite Stufe der Sicherheitskontrolle durchgeführt. Liegt dann
noch immer kein eindeutiges Ergebnis vor, kommt die dritte Stufe der Sicherheitskontrolle zum
Einsatz.
Die erste und die zweite Stufe der Sicherheitskontrolle dauern jeweils 15 s, die dritte Stufe dauert 300 s. Ein eindeutiges Ergebnis liefert dabei die erste Stufe mit einer Wahrscheinlichkeit von
90 %, die zweite Stufe mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 %.
Aufgabenstellung:
a) Die Zufallsvariable X beschreibt die Dauer d (in s) der Sicherheitskontrolle bei einer Person.
Wartezeiten, die eventuell auftreten können, werden nicht berück sichtigt.
1) Ergänzen Sie in der nachstehenden Tabelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufalls variablen X .
d
P ( X = d )
2) Ermitteln Sie den Erwartungswert E ( X ).
b) Der Wert p gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Person einen unzulässigen Gegenstand
mit sich führt. Die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 zufällig und unabhängig voneinander ausgewählten Personen beide einen unzulässigen Gegenstand mit sich führen, beträgt 10 %.
1) A Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p .
2) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 10 zufällig und unabhängig voneinander
ausgewählten Personen mindestens 5 Personen einen unzulässigen Gegenstand mit sich
führen.

16. September 2020 / AHS / Mathematik S. 35 /35
c) Die momentane Änderungsrate der Anzahl der Personen im Stadion kann mithilfe der
Funktion A mit A ( t ) = a · t
2
+ b · t + c mit a , b , c ∈ ℝ und 0 ≤ t ≤ 90 in Abhängigkeit von
der Zeit t beschrieben werden, wobei zum Zeitpunkt t = 0 der Einlass ins Stadion beginnt
( t in Minuten, A ( t ) in Personen pro Minute).
Zum Zeitpunkt t = 0 kommt keine Person ins Stadion, 45 min nach Einlassbeginn kommen
15 Personen pro Minute ins Stadion. Zu diesem Zeitpunkt ist die momentane Änderungsrate
der Anzahl der ins Stadion kommenden Personen pro Minute am größten.
1) Berechnen Sie die Werte von a , b und c .
2) Geben Sie die Anzahl der Personen an, die insgesamt bis zum Zeitpunkt t = 90 ins
Stadion gekommen sind.