Mathematik-Matura Mai 2020 · HTL Cluster T1 – Lösungen

Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung
BHS
5. Mai 2020
Angewandte Mathematik
Korrekturheft
HTL 1

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 2 /15
Beurteilung der Klausurarbeit
Gemäß § 38 Abs. 3 SchUG (BGBl. Nr. 472/1986 i. d. g. F.) sind die Leistungen der Prüfungskandidatin / des Prüfungskandidaten nach Maßgabe vorliegender Korrektur- und Beurteilungsanleitung
aufgrund von begründeten Anträgen der Prüferin / des Prüfers von der jeweiligen Prüfungskommission zu beurteilen.
Für die Beurteilung ist ein auf einem Punktesystem basierender Beurteilungsschlüssel vorgegeben, der auf den Kriterien des § 18 Abs. 2 bis 4 und 6 SchUG und der Leistungsbeurteilungsverordnung (BGBl. Nr. 371/1974 i. d. g. F. ) beruht und die Beurteilungsstufen (Noten) entsprechend
abbildet.
Beurteilungsschlüssel:
Note Punkte
Genügend 23 – 30 Punkte
Befriedigend 31 – 37 Punkte
Gut 38 – 43 Punkte
Sehr gut 44 – 48 Punkte
Die Arbeit wird mit „Nicht genügend“ beurteilt, wenn insgesamt weniger als 23 Punkte erreicht
wurden.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://ablauf.srdp.at gesondert bekanntgegeben.

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 3 /15
Handreichung zur Korrektur
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des Helpdesks in Anspruch genommen werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Punkte sind zu vergeben, wenn die abgefragte Handlungskompetenz in der Bearbeitung erfüllt ist.
b. Berechnungen ohne nachvollziehbaren Rechenansatz bzw. ohne nachvollziehbare
Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete Ausgangsparameter und die
verwendete Technologiefunktion müssen angegeben sein) sind mit null Punkten zu
bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind korrekt, so ist diese Teilaufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht
vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in
einem Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
h. Jedes Diagramm bzw. jede Skizze, die Lösung einer Handlungsanweisung ist, muss
eine qualitative Achsenbeschriftung enthalten, andernfalls ist dies mit null Punkten zu
bewerten.
i. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie nicht
explizit eingefordert ist.

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 4 /15
Aufgabe 1
Eiffelturm
Möglicher Lösungsweg
a1) 7,3 ∙ 10
6
Kilogramm
a2) 7 300 t = 7 300 000 kg
Volumen des verbauten Metalls in m
3
: V =
7 300 000
7 800
= 935,897...
Höhe des Quaders in m: h =
935,897...
125
2
= 0,059...
Der Quader wäre rund 6 cm hoch.
b1) b ( t ) = k · t + d
k =
3 594 000 – 1 027 000
30
= 85 566,6...
d = 1 027 000
b ( t ) = 85 567 · t + 1 027 000 (Steigung gerundet)
c1)
1
H – h
2
d ∙ tan( α – β )
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A1: für das richtige Eintragen des Exponenten
a2) 1 × A2: für den richtigen Ansatz (richtige Anwendung der Formel zur Berechnung des
Volumens eines Quaders auf den gegebenen Sachverhalt)
1 × B: für das richtige Berechnen der Höhe in Zentimetern
b1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung
c1) 1 × A: für das richtige Ergänzen der beiden Textlücken

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 5 /15
Aufgabe 2
Fressverhalten von Furchenwalen
Möglicher Lösungsweg
a1) s ≈ 40 m
Toleranzbereich: [30; 50]
a2) 15 km/h sind rund 4,2 m/s, aus der Abbildung geht allerdings hervor, dass die Maximalgeschwindigkeit unter 3,5 m/s liegt.
b1) Berechnung des Hochpunkts H von m im gegebenen Intervall mittels Technologieeinsatz:
m ′ ( t ) = 0 ⇒ H = (3 | 8,1)
Die maximale Größe der Maulöffnung beträgt 8,1 m
2
.
c1)
6 5 4 3 2 1 0
60
50
40
30
20
10
0
70 w ′ ( t ) in m 3 /s
t in s
Lösungsschlüssel
a1) 1 × B: für das richtige Abschätzen von s (Toleranzbereich: [30; 50])
a2) 1 × D: für das richtige Nachweisen
b1) 1 × B: für das richtige Ermitteln der maximalen Größe der Maulöffnung
c1) 1 × C: für das richtige Ankreuzen

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 6 /15
Aufgabe 3
Kochzeit von Eiern
Möglicher Lösungsweg
a1) 5 = a ∙ 45
2
⇒ a =
5
45
2
= 0,00246...
a2) W (1,1 ∙ d ) = a ∙ (1,1 ∙ d )
2
= a ∙ 1,21 ∙ d
2
Ist der Durchmesser um 10 % größer, dann ist die Kochzeit um 21 % länger.
Der geforderte Nachweis kann auch mit konkreten Zahlen erfolgen.
b1) Z (4) = 242,976
Z (20) = 199,2
Z (4) – Z (20) = 43,7...
Die Kochzeit ist um rund 44 s kürzer.
c1) X ... Kochzeit für weich gekochte Eier in min
Berechnung des Intervalls mittels Technologieeinsatz:
P ( μ – a ≤ X ≤ μ + a ) = 0,9 ⇒ [4,92 min; 6,08 min]
c2)
P (8 ≤ X ≤ 10) = 1 – P ( X ≥ 10)
Lösungsschlüssel
a1) 1 × B: für das richtige Ermitteln des Parameters a
a2) 1 × D: für das richtige Nachweisen
b1) 1 × B: für das richtige Ermitteln der Zeitdifferenz
c1) 1 × B: für das richtige Ermitteln des Intervalls
c2) 1 × C: für das richtige Ankreuzen

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 7 /15
Aufgabe 4
Standseilbahnen
Möglicher Lösungsweg
a1)
E
a2) Neigungswinkel α = arctan(0,4) = 21,801...°
Höhenunterschied h = 180 ∙ sin( α ) = 66,850...
Der Wagen überwindet einen Höhenunterschied von rund 66,85 m.
b1) 27 ∙ a + 9 ∙ b + 3 ∙ c + d = 1
27 ∙ a + 6 ∙ b + c = 0
b2) d = 2
c1)
834
1,0504
= 793,9...
Der Umsatz im Geschäftsjahr 2014/15 betrug rund 794 Millionen Euro.
Die Angabe des Zusatzes „Millionen Euro“ ist für die Punktevergabe nicht relevant.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A: für das richtige Ankreuzen
a2) 1 × B: für das richtige Berechnen des Höhenunterschieds
b1) 1 × A1: für das richtige Vervollständigen der ersten Gleichung
1 × A2: für das richtige Vervollständigen der zweiten Gleichung
b2) 1 × C: für das richtige Ablesen von d
c1) 1 × B: für das richtige Berechnen des Umsatzes
Die Angabe des Zusatzes „Millionen Euro“ ist für die Punktevergabe nicht relevant.

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 8 /15
Aufgabe 5
Psi-Tests
Möglicher Lösungsweg
a1) X ... Anzahl der Treffer
Binomialverteilung mit n = 13, p = 0,1:
E ( X ) = n ∙ p = 13 ∙ 0,1 = 1,3
a2) P ( X = 0) = 0,9
13
= 0,254... < 1 – P ( X = 0)
a3) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P (7 ≤ X ≤ 13) = 0,000099... = 0,0099... %
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 0,01 %.
b1)
Die Versuchsperson erzielt
mindestens 40 Treffer.
D
Die Versuchsperson erzielt
höchstens 20 Treffer.
B
A
k = 20
∑
50
( )
50
k
· 0,5
k
∙ 0,5
50 – k
B
k = 0
∑
20
( )
50
k
· 0,5
k
∙ 0,5
50 – k
C
k = 0
∑
40
( )
50
k
· 0,5
k
∙ 0,5
50 – k
D
k = 40
∑
50
( )
50
k
· 0,5
k
∙ 0,5
50 – k
c1) P („Versuchsperson gewinnt das Preisgeld nicht“) = (1 – p
1
) + p
1
∙ (1 – p
2
)
oder:
P („Versuchsperson gewinnt das Preisgeld nicht“) = 1 – p
1
∙ p
2
Lösungsschlüssel
a1) 1 × B1: für das richtige Berechnen des Erwartungswerts
a2) 1 × D: für das richtige Nachweisen
a3) 1 × B2: für das richtige Ermitteln der Wahrscheinlichkeit
b1) 1 × C: für das richtige Zuordnen
c1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 9 /15
Aufgabe 6 (Teil B)
Blumentopf
Möglicher Lösungsweg
a1) Die Funktion f ist gerade, weil der Graph symmetrisch zur y -Achse ist.
oder:
Die Funktion f ist gerade, weil f ( x ) = f (– x ).
oder:
Die Funktion f ist gerade, weil f eine Polynomfunktion ist, in der die einzige auftretende
Potenz von x einen geradzahligen Exponenten hat.
a2) Ansatz: π ∙
∫
40
3
x
2
d y
π ∙
∫
40
3
19
2
∙
y – 3
37

3
d y = 31 471,6...
Das Innenvolumen des Blumentopfs beträgt rund 31 472 cm
3
.
b1) σ = 1 cm
Toleranzbereich: [0,7; 1,3]
b2) Wahrscheinlichkeit
Länge der Stangen in cm
153 152 151 150 149 148 147 146 145 0 154
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
F
1 – F (149,5)
0,7
0,5
0,3
0,1
0,9
b3) X ... Länge der Stangen in cm
P ( X ≤ 151) = 0,923
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
σ = 0,70... cm

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 10 /15
c1) E ( x ) = 100 oder 20 ∙ x – 0,12 ∙ x
2
= 100
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
x
1
= 5,15…
x
2
= 161,50…
Intervall: [5,15...; 161,50...]
Lösungsschlüssel
a1) 1 × D: für das richtige Begründen
a2) 1 × A: für den richtigen Ansatz
1 × B: für das richtige Berechnen des Innenvolumens
b1) 1 × C: für das richtige Ablesen der Standardabweichung (Toleranzbereich: [0,7; 1,3])
b2) 1 × A: für das richtige Veranschaulichen der Wahrscheinlichkeit
b3) 1 × B: für das richtige Berechnen der Standardabweichung
c1) 1 × B: für das richtige Ermitteln des Intervalls

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 11 /15
Aufgabe 7 (Teil B)
W-LAN
Möglicher Lösungsweg
a1) Da mit zunehmender Entfernung die Datenübertragungsrate sinkt, muss der Korrelations koeffizient negativ sein.
a2) Ermittlung mittels Technologieeinsatz:
D ( x ) = –12,08 ∙ x + 563 ( Koeffizienten gerundet )
x ... Entfernung in Metern
D ( x ) ... Datenübertragungsrate in einer Entfernung x in MBit/s
a3) Pro Meter, den man sich vom Access-Point entfernt, sinkt die Datenübertragungsrate um
rund 12 Mbit/s.
b1) a =
10
500

45
= 0,9167...
500 = c ∙ a
5
⇒ c = 772,2…
b2)
Wird der Änderungsfaktor a in der Form ℯ
k
geschrieben, muss k positiv sein.

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 12 /15
c1) AP
1
=
( )
–10
2
AP
2
=
( )
15
20
α = arccos
(
AP
1
∙ AP
2
| AP 1
| ∙ | AP 2
|
)
= 115,55...° < 120°
c2) y in m
x in m
O
P
1
P
2
α
P
3
Repeater
R
A
Access-Point
30
50
c3) | AR | = 40
oder:
( x
R
– 30)
2
+ (30 – 0)
2
= 40
2
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
( x
R
)
1
= 3,54... ( ( x
R
)
2
= 56,45...)
Die zweite Lösung ( x
R
)
2
= 56,45… muss nicht berechnet werden.
d1) f ′ ( t ) = 3,6 ∙ ℯ
–0,3 ∙ t
Für alle t ≥ 0 gilt: f ′ ( t ) ≥ 0 , weil ℯ
–0,3 ∙ t
> 0.
Daher ist die Funktion f für alle t ≥ 0 monoton steigend.
d2)
∫
8
0
( 15 – 12 ∙ ℯ
–0,3 ∙ t
) d t = 83,6...
Die gesamte Datenmenge beträgt rund 84 Mbit.
Die Angabe der Einheit „Mbit“ ist für die Punktevergabe nicht relevant.

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 13 /15
Lösungsschlüssel
a1) 1 × D: für das richtige Erklären
a2) 1 × B: für das richtige Ermitteln der Gleichung der Regressionsfunktion
a3) 1 × C: für das richtige Interpretieren der Steigung im gegebenen Sachzusammenhang
b1) 1 × B: für das richtige Berechnen der Parameter a und c der Exponentialfunktion
b2) 1 × C: für das richtige Ankreuzen
c1) 1 × D: für das richtige Nachweisen mithilfe der Vektorrechnung
c2) 1 × A: für das richtige Einzeichnen des Punktes P
3
c3) 1 × B: für das richtige Berechnen von x
R
d1) 1 × D: für das richtige Nachweisen mithilfe der Differenzialrechnung
d2) 1 × B: für das richtige Ermitteln der gesamten Datenmenge
(Die Angabe der Einheit „Mbit“ ist für die Punktevergabe nicht relevant.)

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 14 /15
Aufgabe 8 (Teil B)
Hochstuhl für Kleinkinder
Möglicher Lösungsweg
a1) α = arccos
(
b
2
+ l
2
2
– l
1
2
2 ∙ b ∙ l 2
)
a2)
l
1
h
l
3
l
2
b
α
γ
β
b1) f ′ ( x ) = 4 · a ∙ x
3
+ 2 ∙ b ∙ x
I : f (0) = 10
II : f (21) = 6
III : f ′ (21) = 0
oder:
I : 10 = a · 0
4
+ b · 0
2
+ c
II : 6 = a · 21
4
+ b · 21
2
+ c
III : 0 = 4 · a · 21
3
+ 2 · b · 21
b2) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
a =
4
194 481
= 0,00002056...
b = –
8
441
= –0,01814...
c = 10
b3) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
2 ∙
∫
21
–21
f ( x ) d x = 683,2
Der Flächeninhalt beträgt 683,2 cm².

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 15 /15
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel
a2) 1 × C: für das richtige Markieren der beiden Winkel
b1) 1 × A1: für das richtige Erstellen der Gleichungen mithilfe der Koordinaten der Punkte P
und Q
1 × A2: für das richtige Erstellen der Gleichung mithilfe der 1. Ableitung
b2) 1 × B1: für das richtige Berechnen der Koeffizienten
b3) 1 × B2: für das richtige Ermitteln des Inhalts der Fläche