Mathematik-Matura Mai 2020 · HAK Cluster W2 – Lösungen

Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung
BHS
5. Mai 2020
Angewandte Mathematik
Korrekturheft
HAK

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 2 /12
Beurteilung der Klausurarbeit
Gemäß § 38 Abs. 3 SchUG (BGBl. Nr. 472/1986 i. d. g. F.) sind die Leistungen der Prüfungskandidatin / des Prüfungskandidaten nach Maßgabe vorliegender Korrektur- und Beurteilungsanleitung
aufgrund von begründeten Anträgen der Prüferin / des Prüfers von der jeweiligen Prüfungskommission zu beurteilen.
Für die Beurteilung ist ein auf einem Punktesystem basierender Beurteilungsschlüssel vorgegeben, der auf den Kriterien des § 18 Abs. 2 bis 4 und 6 SchUG und der Leistungsbeurteilungsverordnung (BGBl. Nr. 371/1974 i. d. g. F. ) beruht und die Beurteilungsstufen (Noten) entsprechend
abbildet.
Beurteilungsschlüssel:
Note Punkte
Genügend 23 – 30 Punkte
Befriedigend 31 – 37 Punkte
Gut 38 – 43 Punkte
Sehr gut 44 – 48 Punkte
Die Arbeit wird mit „Nicht genügend“ beurteilt, wenn insgesamt weniger als 23 Punkte erreicht
wurden.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://ablauf.srdp.at gesondert bekanntgegeben.

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 3 /12
Handreichung zur Korrektur
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des Helpdesks in Anspruch genommen werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Punkte sind zu vergeben, wenn die abgefragte Handlungskompetenz in der Bearbeitung erfüllt ist.
b. Berechnungen ohne nachvollziehbaren Rechenansatz bzw. ohne nachvollziehbare
Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete Ausgangsparameter und die
verwendete Technologiefunktion müssen angegeben sein) sind mit null Punkten zu
bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind korrekt, so ist diese Teilaufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht
vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in
einem Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
h. Jedes Diagramm bzw. jede Skizze, die Lösung einer Handlungsanweisung ist, muss
eine qualitative Achsenbeschriftung enthalten, andernfalls ist dies mit null Punkten zu
bewerten.
i. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie nicht
explizit eingefordert ist.

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 4 /12
Aufgabe 1
Eiffelturm
Möglicher Lösungsweg
a1) 7,3 ∙ 10
6
Kilogramm
a2) 7 300 t = 7 300 000 kg
Volumen des verbauten Metalls in m
3
: V =
7 300 000
7 800
= 935,897...
Höhe des Quaders in m: h =
935,897...
125
2
= 0,059...
Der Quader wäre rund 6 cm hoch.
b1) b ( t ) = k · t + d
k =
3 594 000 – 1 027 000
30
= 85 566,6...
d = 1 027 000
b ( t ) = 85 567 · t + 1 027 000 (Steigung gerundet)
c1)
1
H – h
2
d ∙ tan( α – β )
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A1: für das richtige Eintragen des Exponenten
a2) 1 × A2: für den richtigen Ansatz (richtige Anwendung der Formel zur Berechnung des
Volumens eines Quaders auf den gegebenen Sachverhalt)
1 × B: für das richtige Berechnen der Höhe in Zentimetern
b1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung
c1) 1 × A: für das richtige Ergänzen der beiden Textlücken

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 5 /12
Aufgabe 2
Fressverhalten von Furchenwalen
Möglicher Lösungsweg
a1) s ≈ 40 m
Toleranzbereich: [30; 50]
a2) 15 km/h sind rund 4,2 m/s, aus der Abbildung geht allerdings hervor, dass die Maximalgeschwindigkeit unter 3,5 m/s liegt.
b1) Berechnung des Hochpunkts H von m im gegebenen Intervall mittels Technologieeinsatz:
m ′ ( t ) = 0 ⇒ H = (3 | 8,1)
Die maximale Größe der Maulöffnung beträgt 8,1 m
2
.
c1)
6 5 4 3 2 1 0
60
50
40
30
20
10
0
70 w ′ ( t ) in m 3 /s
t in s
Lösungsschlüssel
a1) 1 × B: für das richtige Abschätzen von s (Toleranzbereich: [30; 50])
a2) 1 × D: für das richtige Nachweisen
b1) 1 × B: für das richtige Ermitteln der maximalen Größe der Maulöffnung
c1) 1 × C: für das richtige Ankreuzen

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 6 /12
Aufgabe 3
Kochzeit von Eiern
Möglicher Lösungsweg
a1) 5 = a ∙ 45
2
⇒ a =
5
45
2
= 0,00246...
a2) W (1,1 ∙ d ) = a ∙ (1,1 ∙ d )
2
= a ∙ 1,21 ∙ d
2
Ist der Durchmesser um 10 % größer, dann ist die Kochzeit um 21 % länger.
Der geforderte Nachweis kann auch mit konkreten Zahlen erfolgen.
b1) Z (4) = 242,976
Z (20) = 199,2
Z (4) – Z (20) = 43,7...
Die Kochzeit ist um rund 44 s kürzer.
c1) X ... Kochzeit für weich gekochte Eier in min
Berechnung des Intervalls mittels Technologieeinsatz:
P ( μ – a ≤ X ≤ μ + a ) = 0,9 ⇒ [4,92 min; 6,08 min]
c2)
P (8 ≤ X ≤ 10) = 1 – P ( X ≥ 10)
Lösungsschlüssel
a1) 1 × B: für das richtige Ermitteln des Parameters a
a2) 1 × D: für das richtige Nachweisen
b1) 1 × B: für das richtige Ermitteln der Zeitdifferenz
c1) 1 × B: für das richtige Ermitteln des Intervalls
c2) 1 × C: für das richtige Ankreuzen

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 7 /12
Aufgabe 4
Standseilbahnen
Möglicher Lösungsweg
a1)
E
a2) Neigungswinkel α = arctan(0,4) = 21,801...°
Höhenunterschied h = 180 ∙ sin( α ) = 66,850...
Der Wagen überwindet einen Höhenunterschied von rund 66,85 m.
b1) 27 ∙ a + 9 ∙ b + 3 ∙ c + d = 1
27 ∙ a + 6 ∙ b + c = 0
b2) d = 2
c1)
834
1,0504
= 793,9...
Der Umsatz im Geschäftsjahr 2014/15 betrug rund 794 Millionen Euro.
Die Angabe des Zusatzes „Millionen Euro“ ist für die Punktevergabe nicht relevant.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A: für das richtige Ankreuzen
a2) 1 × B: für das richtige Berechnen des Höhenunterschieds
b1) 1 × A1: für das richtige Vervollständigen der ersten Gleichung
1 × A2: für das richtige Vervollständigen der zweiten Gleichung
b2) 1 × C: für das richtige Ablesen von d
c1) 1 × B: für das richtige Berechnen des Umsatzes
Die Angabe des Zusatzes „Millionen Euro“ ist für die Punktevergabe nicht relevant.

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 8 /12
Aufgabe 5
Psi-Tests
Möglicher Lösungsweg
a1) X ... Anzahl der Treffer
Binomialverteilung mit n = 13, p = 0,1:
E ( X ) = n ∙ p = 13 ∙ 0,1 = 1,3
a2) P ( X = 0) = 0,9
13
= 0,254... < 1 – P ( X = 0)
a3) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P (7 ≤ X ≤ 13) = 0,000099... = 0,0099... %
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 0,01 %.
b1)
Die Versuchsperson erzielt
mindestens 40 Treffer.
D
Die Versuchsperson erzielt
höchstens 20 Treffer.
B
A
k = 20
∑
50
( )
50
k
· 0,5
k
∙ 0,5
50 – k
B
k = 0
∑
20
( )
50
k
· 0,5
k
∙ 0,5
50 – k
C
k = 0
∑
40
( )
50
k
· 0,5
k
∙ 0,5
50 – k
D
k = 40
∑
50
( )
50
k
· 0,5
k
∙ 0,5
50 – k
c1) P („Versuchsperson gewinnt das Preisgeld nicht“) = (1 – p
1
) + p
1
∙ (1 – p
2
)
oder:
P („Versuchsperson gewinnt das Preisgeld nicht“) = 1 – p
1
∙ p
2
Lösungsschlüssel
a1) 1 × B1: für das richtige Berechnen des Erwartungswerts
a2) 1 × D: für das richtige Nachweisen
a3) 1 × B2: für das richtige Ermitteln der Wahrscheinlichkeit
b1) 1 × C: für das richtige Zuordnen
c1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 9 /12
Aufgabe 6 (Teil B)
Sozialausgaben
Möglicher Lösungsweg
a1) Ermittlung mittels Technologieeinsatz:
S
1
( t ) = 2,61 ∙ t + 35,3 (Koeffizienten gerundet)
t ... Zeit in Jahren ( t = 0 für das Jahr 1990)
S
1
( t ) ... Sozialausgaben zur Zeit t in Milliarden Euro
a2) Gemäß diesem Modell steigen die Sozialausgaben um rund 2,61 Milliarden Euro pro Jahr.
a3) S
1
(30) = 2,61 ∙ 30 + 35,3 = 113,64...
Für das Jahr 2020 sind Sozialausgaben in Höhe von rund 113,6 Milliarden Euro zu erwarten.
b1) Im Zeitraum von 2005 bis 2010 stiegen die Sozialausgaben um durchschnittlich rund 4,3 %
pro Jahr.
b2) S
2
( t ) = 102,5 ∙ 1,025
t
c1) Steigung k ≈
340 – 140
25
= 8
Toleranzbereich: [7; 9]
c2) Sozialquote für 2015:
102,5
340
= 0,301...
Toleranzbereich: [0,285; 0,320]
d1) 102,5 ∙
35°
360°
= 9,9...
Für den Bereich „Familie / Kinder“ sind im Jahr 2015 rund 10 Mrd. Euro ausgegeben worden.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × B1: für das richtige Ermitteln der Gleichung der Regressionsfunktion
a2) 1 × C: für das richtige Interpretieren des Wertes der Steigung der Regressionsfunktion im
gegebenen Sachzusammenhang
a3) 1 × B2: für das richtige Ermitteln der Prognose
b1) 1 × C: für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang
b2) 1 × A: für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung
c1) 1 × A: für das richtige Ermitteln des Wertes der Steigung (Toleranzbereich: [7; 9])
c2) 1 × B: für das richtige Ermitteln der Sozialquote (Toleranzbereich: [0,285; 0,320])
d1) 1 × B: für das richtige Ermitteln des Betrags

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 10 /12
Aufgabe 7 (Teil B)
Fruchtsaftproduktion
Möglicher Lösungsweg
a1) K ′ ( x ) = 3 ∙ a ∙ x
2
+ 2 ∙ b ∙ x + 105
Gleichung: K ′ (25) = 30 oder 1 875 ∙ a + 50 ∙ b + 105 = 30
a2) Bei einer Produktionsmenge von 25 hl liegt die Kostenkehre.
oder:
Bei einer Produktionsmenge von 25 hl geht der Kostenverlauf von degressiv zu progressiv
über.
a3) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
a = 0,04; b = –3
b1)
Kostenkehre B
Betriebsminimum C
A Produktionsmenge x
A
B Produktionsmenge x
B
C Produktionsmenge x
C
D Produktionsmenge x
D
c1)
1
negativ
2
nach unten geöffnet ist
c2) E ′ ( x ) = 2 ∙ a ∙ x + b
0 = 2 ∙ a ∙ x
0
+ b
x
0
= –
b
2 ∙ a
oder:
Die Nullstellen der Erlösfunktion sind 0 und –
b
a
.
Die Stelle des Maximums liegt in der Mitte bei –
b
2 ∙ a
.

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 11 /12
d1) G ′ ( x ) = 0 oder –0,12 ∙ x
2
– 4 ∙ x + 220 = 0
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
x
1
= 29,280... ( x
2
= –62,613...)
Der maximale Gewinn wird bei einer Absatzmenge von rund 29,28 hl erzielt.
d2) G ( x ) =
∫
(–0,12 ∙ x
2
– 4 ∙ x + 220) d x = –0,04 ∙ x
3
– 2 ∙ x
2
+ 220 ∙ x + C
Da G (0) = – F , gilt: G ( x ) = –0,04 ∙ x
3
– 2 ∙ x
2
+ 220 ∙ x – 1 215
d3) G ( x ) = 1 000 oder –0,04 ∙ x
3
– 2 ∙ x
2
+ 220 ∙ x – 1 215 = 1 000
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
x
1
= 11,565... x
2
= 44,950... ( x
3
= –106,516...)
Im Bereich [11,57 hl; 44,95 hl] beträgt der Gewinn mindestens 1.000 €.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Gleichung
a2) 1 × C: für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang
a3) 1 × B: für das richtige Berechnen der Koeffizienten
b1) 1 × C: für das richtige Zuordnen
c1) 1 × C: für das richtige Ergänzen der beiden Textlücken
c2) 1 × D: für das richtige Nachweisen
d1) 1 × B1: für das richtige Ermitteln der Absatzmenge, bei der maximaler Gewinn erzielt wird
d2) 1 × A: für das richtige Erstellen der Gleichung der Gewinnfunktion unter Berücksichtigung
der Fixkosten
d3) 1 × B2: für das richtige Ermitteln des Bereichs

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 12 /12
Aufgabe 8 (Teil B)
Parkgarage
Möglicher Lösungsweg
a1) B
nach
= 64 000 ∙
1,04
40
– 1
0,04
∙
1
1,04
40
= 1 266 737,528...
Der Barwert der Betriebskosten beträgt € 1.266.737,53.
b1) B =
W 1
1,04
10
+
W 2
1,04
20
+
W 3
1,04
30
b2) 92 582,56 =
60 000
1,04
10
+
60 000
1,04
20
+
W 3
1,04
30
⇒ W
3
= 79 999,9...
Die Wartungskosten W
3
betragen € 80.000.
c1) 105 ∙ 120 ∙ A = 10 080 ⇒ A = 0,8
Der Auslastungsgrad beträgt 80 %.
d1) Kapitalwert: € 450.000
Toleranzbereich: [€ 410.000; € 490.000]
d2) Werden die Anschaffungskosten für die Parkgarage um € 200.000 gesenkt, wird die Kapitalwertkurve um diesen Betrag nach oben verschoben. Dadurch wird der Kapitalwert für 10 %
positiv, der interne Zinssatz ist dann höher als 10 %.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × B: für das richtige Berechnen des Barwerts
b1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel
b2) 1 × B: für das richtige Berechnen von W
3
c1) 1 × B: für das richtige Ermitteln des Auslastungsgrads
d1) 1 × C: für das richtige Ablesen des Kapitalwerts in Euro
(Toleranzbereich: [€ 410.000; € 490.000])
d2) 1 × D: für das richtige Argumentieren