Mathematik-Matura Mai 2020 · HAK Cluster W2 – Aufgaben

Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung
Name:
Klasse/Jahrgang:
BHS
5. Mai 2020
Angewandte Mathematik
HAK

S. 2 /24 5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Liebe Kandidatin! Lieber Kandidat!
Es gilt folgender Beurteilungsschlüssel:
44–48 Punkte Sehr gut
38– 43 Punkte Gut
31– 37 Punkte Befriedigend
23–30 Punkte Genügend
0–22 Punkte Nicht genügend Viel Erfolg!
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum
Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“ gewählt und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen
ein.
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“ übermalt und dann wieder gewählt.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
Das vorliegende Aufgabenheft enthält Teil-A-Auf gaben und Teil-B-Aufgaben mit jeweils unterschiedlich vielen Teil aufgaben. Die Teilaufgaben
sind unabhängig voneinander bearbeitbar. Ihnen
stehen insgesamt 270 Minuten an reiner Arbeitszeit zur Verfügung.
Verwenden Sie für die Bearbeitung ausschließlich
dieses Aufgabenheft und das Ihnen zur Verfügung gestellte Arbeitspapier. Schreiben Sie Ihren
Namen und Ihren Jahrgang bzw. Ihre Klasse in
die dafür vorgesehenen Felder auf dem Deckblatt
des Aufgabenhefts sowie Ihren Namen und die
fortlaufende Seitenzahl auf jedes verwendete Blatt
Arbeitspapier. Geben Sie bei der Beantwortung
jeder Teilaufgabe deren Bezeichnung (z. B.: 3d1)
auf dem Arbeitspapier an.
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht
durchgestrichen ist. Streichen Sie Notizen durch.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungs mitglied für die Klausurarbeit freigegebenen
Formel sammlung für die SRDP in Angewandter
Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung
von elektronischen Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger
Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt, sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth,
Mobilfunknetzwerke etc.) gegeben ist und der
Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfs mittel nicht möglich ist.
Eine Erläuterung der Antwortformate liegt im Prüfungsraum zur Durchsicht auf.
Handreichung für die Bearbeitung
– Jede Berechnung ist mit einem nachvollziehbaren Rechenansatz und einer nachvollziehbaren
Dokumentation des Technologieeinsatzes (die
verwendeten Ausgangsparameter und die verwendete Technologiefunktion müssen angegeben werden) durchzuführen.
– Selbst gewählte Variablen sind zu erklären und
gegebenenfalls mit Einheiten zu benennen.
– Ergebnisse sind eindeutig hervorzuheben.
– Ergebnisse sind mit entsprechenden Einheiten
anzugeben, wenn dies in der Handlungsan weisung explizit gefordert wird.
– Werden Diagramme oder Skizzen als Lösungen
erstellt, so sind die Achsen zu skalieren und zu
beschriften.
– Werden geometrische Skizzen erstellt, so sind
die lösungsrelevanten Teile zu beschriften.
– Vermeiden Sie frühzeitiges Runden.
– Legen Sie allfällige Computerausdrucke der
Lösung mit Ihrem Namen beschriftet bei.
– Wird eine Aufgabe mehrfach gerechnet, so sind
alle Lösungswege bis auf einen zu streichen.

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 3 /24
Bitte umblättern.

S. 4 /24 5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK
Aufgabe 1
Eiffelturm
Der Eiffelturm ist ein Wahrzeichen der Stadt Paris.
a) Die Metallkonstruktion des Eiffelturms hat eine Masse von 7 300 Tonnen, das sind
7,3 ∙ 10 Kilogramm.
1) Tragen Sie den fehlenden Exponenten in das obige Kästchen ein. [1 Punkt]
Die Masse m ist das Produkt aus Dichte ϱ und Volumen V , also m = ϱ · V .
Das Metall des Eiffelturms hat eine Dichte von 7 800 kg/m
3
.
Die Grundfläche des Eiffelturms ist quadratisch und hat eine Seitenlänge von 125 m.
Stellen Sie sich vor, die Metallkonstruktion des Eiffelturms würde eingeschmolzen und zu
einem Quader mit der gleichen Grundfläche gegossen.
2) Berechnen Sie die Höhe dieses Quaders in Zentimetern. [2 Punkte]
b) Im Jahr 1950 besuchten rund 1 027 000 Personen den Eiffelturm, im Jahr 1980 waren es
rund 3 594 000 Personen.
Für den Zeitraum von 1950 bis 1980 kann die Anzahl der Personen, die den Eiffelturm pro
Jahr besuchten, näherungsweise durch eine lineare Funktion b beschrieben werden.
t … Zeit in Jahren mit t = 0 für das Jahr 1950
b ( t ) … Anzahl der Personen, die den Eiffelturm pro Jahr besuchten, zur Zeit t
1) Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion b . Wählen Sie t = 0 für das Jahr 1950. [1 Punkt]

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 5 /24
c) Von Punkt P aus sieht man den höchsten Punkt des H Meter hohen Eiffelturms unter dem
Höhenwinkel α und die h Meter hohe Spitze unter dem Sehwinkel β (siehe nachstehende
Abbildung).
β
α
h
H
d
P
1) Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen des jeweils richtigen
Satzteils so, dass eine korrekte Aussage entsteht. [Lückentext] [1 Punkt]
Die Höhe
1
ist durch den Ausdruck
2
gegeben.
1
H
h
H – h
2
d ∙ tan( α + β )
d ∙ tan( α – β )
d ∙ tan( β )

S. 6 /24 5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK
Aufgabe 2
Fressverhalten von Furchenwalen
Bei einem Beutestoß nehmen Furchenwale mit weit geöffnetem Maul eine große Menge
Meerwasser und die darin enthaltene Beute auf. Forscher/innen beobachteten dieses Fress
verhalten. Sie ermittelten mithilfe von Sensoren die Geschwindigkeit des Furchenwals bei
einem Beutestoß, die Größe der Maulöffnung und das gesamte Wasservolumen, das dabei
aufgenommen wird.
a) Die Geschwindigkeit eines Furchenwals bei einem Beutestoß, der insgesamt 20 s dauert,
kann näherungsweise durch die Funktion v beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).
Geschwindigkeit in m/s
v
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 20
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
3,5
Zeit seit Beginn des Beutestoßes in s
1) Schätzen Sie die Länge s desjenigen Weges ab, der bei diesem Beutestoß zurückgelegt
wird.
s ≈ m [1 Punkt]
Ein Forscher behauptet:
„Der Furchenwal erreicht bei diesem Beutestoß eine maximale Geschwindigkeit von 15 km/h.“
2) Weisen Sie nach, dass diese Behauptung falsch ist. [1 Punkt]
b) Die Größe der Maulöffnung bei einem Beutestoß eines Furchenwals kann näherungsweise
durch die Funktion m beschrieben werden:
m ( t ) =
1
175
∙ (–17 ∙ t
4
+ 204 ∙ t
3
– 922,5 ∙ t
2
+ 1 863 ∙ t ) mit 0 ≤ t ≤ 6
t ... Zeit seit Beginn des Öffnens des Mauls in s
m ( t ) ... Größe der Maulöffnung zur Zeit t in m
2
1) Ermitteln Sie die maximale Größe der Maulöffnung. [1 Punkt]

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 7 /24
c) Die Funktion w beschreibt näherungsweise das gesamte Wasservolumen, das ein Furchenwal
während eines Beutestoßes aufnimmt (siehe nachstehende Abbildung).
w ( t ) in m
3
t in s
6 5 4 3 2 1 0
60
50
40
30
20
10
0
70
w
t ... Zeit seit Beginn der Wasseraufnahme in s
w ( t ) ... gesamtes aufgenommenes Wasservolumen bis zur Zeit t in m
3
1) Kreuzen Sie den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion w ′ an. [1 aus 5] [1 Punkt]
w ′ ( t ) in m 3 /s
t in s
6 5 4 3 2 1 0
0
–10
–20
–30
–40
–50
–60
10
w ′ ( t ) in m
3
/s
t in s
6 5 4 3 2 1 0
60
50
40
30
20
10
0
70
6 5 4 3 2 1 0
60
50
40
30
20
10
0
70 w ′ ( t ) in m
3
/s
t in s
6 5 4 3 2 1 0
60
50
40
30
20
10
0
70 w ′ ( t ) in m 3 /s
t in s
6 5 4 3 2 1 0
60
50
40
30
20
10
0
70 w ′ ( t ) in m
3
/s
t in s

S. 8 /24 5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK
Aufgabe 3
Kochzeit von Eiern
Der Physiker Werner Gruber hat mit Hühnereiern experimentiert.
Er hat festgestellt, dass die Kochzeit von Eiern
unter anderem abhängt von:
d
• dem Durchmesser d des Eies (siehe nebenstehende Abbildung)
• der Lagertemperatur x vor dem Kochen
Datenquelle: Gruber, Werner: Die Genussformel. Kulinarische Physik. Salzburg: Ecowin 2008, S. 79 – 84.
a) Ein Ei soll weich gekocht werden. Die Kochzeit kann in Abhängigkeit vom Durchmesser d
unter bestimmten Bedingungen näherungsweise durch die quadratische Funktion W beschrieben werden:
W ( d ) = a ∙ d
2
d ... Durchmesser des Eies in mm
W ( d ) ... Kochzeit bei einem Durchmesser d in min
a ... positiver Parameter
Bei einem Durchmesser von 45 mm ergibt sich eine Kochzeit von 5 min.
1) Ermitteln Sie den Parameter a . [1 Punkt]
Zwei Eier mit unterschiedlichen Durchmessern werden weich gekocht. Der Durchmesser von
Ei B ist um 10 % größer als der Durchmesser von Ei A .
2) Zeigen Sie, dass die Kochzeit von Ei B um mehr als 10 % länger ist als die Kochzeit von
Ei A . [1 Punkt]
b) Die quadratische Funktion Z beschreibt näherungsweise die Kochzeit für ein weich gekochtes
Ei in Abhängigkeit von der Lagertemperatur:
Z ( x ) = –0,024 ∙ x
2
– 2,16 ∙ x + 252
x ... Lagertemperatur in °C
Z ( x ) ... Kochzeit bei der Lagertemperatur x in s
Ein Ei wird anstatt bei einer Temperatur von 4 °C (Kühlschranktemperatur) bei einer Temperatur von 20 °C (Raumtemperatur) gelagert.
1) Ermitteln Sie, um wie viele Sekunden die Kochzeit dadurch kürzer ist. [1 Punkt]

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 9 /24
c) Die Kochzeit für weich gekochte Eier ist unter bestimmten Bedingungen annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 5,5 min und der Standardabweichung σ = 0,35 min.
1) Ermitteln Sie dasjenige um den Erwartungswert symmetrische Intervall, in dem die Kochzeit für ein zufällig ausgewähltes Ei mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % liegt. [1 Punkt]
Die Kochzeit für hart gekochte Eier ist unter bestimmten Bedingungen annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 9 min und der Standardabweichung σ = 0,5 min. Der Graph
der zugehörigen Dichtefunktion ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
Kochzeit für hart gekochte Eier in min
10,5 10 9,5 9 8,5 8 7,5 7 11
X ... Kochzeit für hart gekochte Eier in min
2) Kreuzen Sie die auf diese Dichtefunktion nicht zutreffende Aussage an. [1 aus 5] [1 Punkt]
P ( X ≥ 9) = 0,5
P ( X ≥ 10) = P ( X ≤ 8)
P (8,5 ≤ X ≤ 9,5) ≈ 0,68
P (8 ≤ X ≤ 10) = 1 – P ( X ≥ 10)
P (7 ≤ X ≤ 11) ≈ 1

S. 10 /24 5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK
Aufgabe 4
Standseilbahnen
Die Wägen von Standseilbahnen fahren auf Schienen und können große Steigungen be
wältigen.
a) Eine bestimmte Standseilbahn hat eine konstante Steigung von 40 %. Der Streckenverlauf
dieser Bahn soll im unten stehenden Koordinatensystem dargestellt werden.
Die beiden Achsen des Koordinatensystems haben die gleiche Skalierung.
Die Talstation der Bahn liegt im Koordinatenursprung. Nur einer der Punkte A , B , C , D und E
kommt als Bergstation der Bahn infrage.
Talstation
A
E
D
C
B
horizontale Entfernung von der Talstation
Höhenunterschied zur Talstation
1) Kreuzen Sie denjenigen Punkt an, der als Bergstation infrage kommt. [1 aus 5] [1 Punkt]
A
B
C
D
E
2) Berechnen Sie, welchen Höhenunterschied ein Wagen dieser Bahn überwindet, wenn er
von der Talstation bis zur Bergstation eine Fahrstrecke von 180 m zurücklegt. [1 Punkt]

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 11 /24
b) Bei den meisten Standseilbahnen gibt es in der Mitte der Strecke eine Ausweichstelle, bei der
der talwärts fahrende Wagen dem bergwärts fahrenden Wagen ausweichen kann.
In der nachstehenden Abbildung ist eine solche Ausweichstelle modellhaft dargestellt.
–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1
2
3
f
y in m
x in m
Der Funktionsgraph von f schließt an den Stellen 0 und 3 knickfrei an die eingezeichneten
Geradenstücke an. „Knickfrei“ bedeutet, dass die Funktionen an denjenigen Stellen, an denen
ihre Graphen aneinander anschließen, den gleichen Funktionswert und die gleiche Steigung
haben.
Für die Funktion f gilt:
f ( x ) = a ∙ x ³ + b ∙ x ² + c ∙ x + d
x , f ( x ) … Koordinaten in m
Die Koeffizienten a , b , c und d können mithilfe eines linearen Gleichungssystems berechnet
werden. Der Ansatz für zwei der benötigten Gleichungen lautet:
27 ∙ a + 9 ∙ b + 3 ∙ c + d =
27 ∙ a + 6 ∙ b + c =
1) Vervollständigen Sie mithilfe der obigen Abbildung die beiden Gleichungen, indem Sie
jeweils die fehlende Zahl in das dafür vorgesehene Kästchen schreiben. [2 Punkte]
2) Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Wert des Koeffizienten d ab. [1 Punkt]
c) Der Umsatz des Weltmarktführers im Seilbahnbau betrug im Geschäftsjahr 2015/16 rund
834 Millionen Euro und lag somit um 5,04 % über dem Umsatz im Geschäftsjahr 2014/15.
1) Berechnen Sie den Umsatz im Geschäftsjahr 2014/15 in Millionen Euro. [1 Punkt]

S. 12 /24 5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK
Aufgabe 5
Psi Tests
Seit vielen Jahren hat die GWUP (Gesellschaft zur wissenschaftlichen Untersuchung von
Parawissenschaften e. V.) ein Preisgeld für den Nachweis einer paranormalen (übersinnlichen)
Fähigkeit aus geschrieben.
Die behaupteten Fähigkeiten einer Versuchsperson werden dabei mit verschiedenen Tests
überprüft.
a) Eine Versuchsperson muss auf Basis ihrer paranormalen Fähigkeiten angeben, unter welcher
von 10 Schachteln ein Glas Wasser versteckt ist. Der Versuch wird 13-mal durchgeführt, wobei das Glas Wasser jedes Mal neu versteckt wird. Um die Testphase zu bestehen, müssen
bei 13 Durchführungen des Versuchs 7 oder mehr Treffer erzielt werden.
Es wird angenommen, dass die Versuchsperson keine paranormalen Fähigkeiten besitzt
und daher bei jeder Durchführung des Versuchs mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % einen
Treffer erzielt.
1) Berechnen Sie den Erwartungswert für die Anzahl der Treffer. [1 Punkt]
2) Zeigen Sie, dass es wahrscheinlicher ist, dass diese Versuchsperson mindestens 1 Treffer
erzielt, als dass sie gar keinen Treffer erzielt. [1 Punkt]
3) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der die Versuchsperson die Testphase besteht.
[1 Punkt]
b) Eine Versuchsperson muss auf Basis ihrer paranormalen Fähigkeiten angeben, ob in einem
Kabel Strom fließt oder nicht. Dieser Versuch wird 50-mal durchgeführt. Um die Testphase zu
bestehen, müssen bei 50 Durchführungen des Versuchs 40 oder mehr Treffer erzielt werden.
Es wird angenommen, dass die Versuchsperson keine paranormalen Fähigkeiten besitzt
und daher bei jeder Durchführung des Versuchs mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % einen
Treffer erzielt.
1) Ordnen Sie den beiden Ereignissen jeweils die zutreffende Wahrscheinlichkeit aus A bis D
zu. [2 zu 4] [1 Punkt]
Die Versuchsperson erzielt
mindestens 40 Treffer.
Die Versuchsperson erzielt
höchstens 20 Treffer.
A
k = 20
∑
50
( )
50
k
· 0,5
k
∙ 0,5
50 – k
B
k = 0
∑
20
( )
50
k
· 0,5
k
∙ 0,5
50 – k
C
k = 0
∑
40
( )
50
k
· 0,5
k
∙ 0,5
50 – k
D
k = 40
∑
50
( )
50
k
· 0,5
k
∙ 0,5
50 – k

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 13 /24
c) Sollte eine Versuchsperson die 1. Testphase bestehen, so muss die Versuchsperson die
2. Testphase ebenfalls bestehen, um das Preisgeld zu gewinnen.
Dieser Sachverhalt ist im nachstehenden Baumdiagramm dargestellt.
1 – p
1
p
1
1 – p
2
p
2
1. Testphase bestanden 1. Testphase nicht bestanden
2. Testphase bestanden 2. Testphase nicht bestanden
1) Erstellen Sie mithilfe von p 1 und p 2 eine Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit,
dass die Versuchsperson das Preisgeld nicht gewinnt.
P („Versuchsperson gewinnt das Preisgeld nicht“) = [1 Punkt]

S. 14 /24 5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK
Aufgabe 6 (Teil B)
Sozialausgaben
Sozialausgaben sind Geldleistungen, die der Staat Personen in bestimmten Lebens lagen zur
Verfügung stellt.
Die Sozialausgaben in Österreich für ausgewählte Jahre im Zeitraum von 1990 bis 2015 sind
in der nach stehenden Tabelle angegeben (Werte gerundet).
Jahr
Sozialausgaben
in Milliarden Euro
1990 35,5
1995 51,0
2000 59,8
2005 71,2
2010 87,8
2015 102,5
Datenquelle: Statistik Austria (Hrsg.): Statistisches Jahrbuch Österreichs 2017. Wien: Verlag Österreich 2016, S. 224.
a) Die Sozialausgaben sollen in Abhängigkeit von der Zeit t in Jahren ab 1990 näherungsweise
durch eine lineare Funktion beschrieben werden.
1) Ermitteln Sie eine Gleichung der zugehörigen linearen Regressionsfunktion S 1 .
Wählen Sie t = 0 für das Jahr 1990. [1 Punkt]
2) Interpretieren Sie den Wert der Steigung von S 1 im gegebenen Sachzusammenhang.
[1 Punkt]
3) Ermitteln Sie mithilfe von S 1 eine Prognose für die Sozialaus gaben im Jahr 2020. [1 Punkt]
b) 1) Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang:
87,8
71,2

5
– 1 ≈ 0,043 [1 Punkt]
Eine Sozialwissenschaftlerin geht von der Annahme aus, dass die Sozialausgaben in Österreich seit dem Jahr 2015 jährlich um 2,5 % bezogen auf das jeweilige Vorjahr steigen.
Dieses Modell soll durch eine Funktion S 2 beschrieben werden.
t ... Zeit ab 2015 in Jahren
S 2 ( t ) ... Sozialausgaben zur Zeit t in Milliarden Euro
2) Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion S 2 .
Wählen Sie t = 0 für das Jahr 2015. [1 Punkt]

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 15 /24
c) In der nachstehenden Abbildung sind das Bruttoinlandsprodukt und die Sozialausgaben
Österreichs für den Zeitraum von 1990 bis 2015 dargestellt.
Weiters ist die Regressionsgerade für das Bruttoinlandsprodukt für diesen Zeitraum eingezeichnet.
Beträge in Mrd. €
Bruttoinlandsprodukt
Sozialausgaben
Jahr
2010 2005 2000 1995 1990 2015
300
250
200
150
100
50
0
350
1) Ermitteln Sie den Wert der Steigung der Regressionsgeraden für das Bruttoinlandsprodukt.
[1 Punkt]
Die Sozialquote ist das Verhältnis der Sozialausgaben zum Bruttoinlandsprodukt.
2) Ermitteln Sie die Sozialquote für das Jahr 2015. [1 Punkt]

S. 16 /24 5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK
d) Die Verteilung der Sozialausgaben von insgesamt 102,5 Milliarden Euro für das Jahr 2015 ist
in der nach stehenden Abbildung dargestellt. Der Bereich „Familie / Kinder“ ist markiert.
35°
Krankheit / Gesundheitsversorgung
Familie / Kinder
Hinterbliebene
Invalidität / Gebrechen
Alter
Arbeitslosigkeit
Wohnen
1) Ermitteln Sie den Betrag, der im Jahr 2015 für den Bereich „Familie / Kinder“ ausgegeben
worden ist. [1 Punkt]

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 17 /24
Aufgabe 7 (Teil B)
Fruchtsaftproduktion
Ein Unternehmen produziert den Fruchtsaft Mangomix .
a) Die Kosten bei der Produktion des Fruchtsafts Mangomix können durch eine ertragsgesetzliche
Kostenfunktion K beschrieben werden:
K ( x ) = a ∙ x
3
+ b ∙ x
2
+ 105 ∙ x + 1 215
x ... Produktionsmenge in hl
K ( x ) ... Kosten bei der Produktionsmenge x in €
Von der Kostenfunktion ist bekannt:
I : Die Grenzkosten bei einer Produktionsmenge von 25 hl betragen 30 €/hl.
II : K ″ (25) = 0
1) Erstellen Sie eine Gleichung, die die Bedingung I beschreibt. [1 Punkt]
2) Interpretieren Sie die Bedeutung der Zahl 25 in der Gleichung II im gegebenen Sachzusammenhang. [1 Punkt]
3) Berechnen Sie die Koeffizienten a und b . [1 Punkt]
b) In der nachstehenden Abbildung sind die Graphen der Grenzkostenfunktion K ′ , der Durchschnittskostenfunktion K und der variablen Durchschnittskostenfunktion K v für den Fruchtsaft
Mangomix dargestellt.
Vier Produktionsmengen, xA bis xD ,
sind auf der horizontalen Achse markiert.
x in hl
x
A
x
B
x
C
x
D
K ′ ( x ), K ( x ), K
v
( x ) in €/hl
K ′
K
K
v
1) Ordnen Sie den beiden Begriffen jeweils die zutreffende Produktionsmenge aus A bis D zu.
[2 zu 4] [1 Punkt]
Kostenkehre
Betriebsminimum
A Produktionsmenge xA
B Produktionsmenge xB
C Produktionsmenge xC
D Produktionsmenge xD

S. 18 /24 5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK
c) Der Erlös beim Verkauf des Fruchtsafts Mangomix kann durch eine quadratische Funktion E
beschrieben werden:
E ( x ) = a ∙ x
2
+ b ∙ x mit x ≥ 0
x ... Absatzmenge in hl
E ( x ) ... Erlös bei der Absatzmenge x in €
1) Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen des jeweils richtigen
Satzteils so, dass eine korrekte Aussage entsteht. [Lückentext] [1 Punkt]
Der Koeffizient a muss
1
sein, weil der Graph von E
2
.
1
positiv
negativ
gleich null
2
durch den Ursprung geht
keinen Wendepunkt hat
nach unten geöffnet ist
2) Weisen Sie nach, dass der maximale Erlös bei der Absatzmenge x
0
= –
b
2 ∙ a
erzielt wird.
[1 Punkt]
d) Der Grenzgewinn für den Fruchtsaft Mangomix kann durch die Funktion G ′ beschrieben
werden:
G ′ ( x ) = –0,12 ∙ x
2
– 4 ∙ x + 220
x ... Absatzmenge in hl
G ′ ( x ) ... Grenzgewinn bei der Absatzmenge x in €/hl
1) Ermitteln Sie diejenige Absatzmenge, bei der der maximale Gewinn erzielt wird. [1 Punkt]
Die Fixkosten betragen 1.215 €.
2) Erstellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Gewinnfunktion G unter Berücksichtigung der
Fixkosten. [1 Punkt]
Es soll derjenige Bereich für die Absatzmenge ermittelt werden, in dem der Gewinn mindestens 1.000 € beträgt.
3) Ermitteln Sie diesen Bereich. [1 Punkt]

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 19 /24
Aufgabe 8 (Teil B)
Parkgarage
Eine Baugesellschaft errichtet eine Parkgarage.
Es wird eine Nutzungsdauer von 40 Jahren angenommen.
Die Baugesellschaft rechnet mit einem kalkulatorischen Zinssatz von 4 % p. a.
a) Die Baugesellschaft rechnet mit jährlich nachschüssigen Betriebskosten in Höhe von jeweils
€ 64.000.
1) Berechnen Sie den Barwert der Betriebskosten für die gesamte Nutzungsdauer. [1 Punkt]
b) Die Wartungskosten (in €) werden mit W 1 nach 10 Jahren, W 2 nach 20 Jahren und W 3 nach
30 Jahren veranschlagt.
1) Erstellen Sie mithilfe von W 1 , W 2 und W 3 eine Formel zur Berechnung des Barwerts B der
gesamten Wartungskosten.
B = [1 Punkt]
W 1 und W 2 werden mit jeweils € 60.000 veranschlagt. Der Barwert B beträgt € 92.582,56.
2) Berechnen Sie W 3 . [1 Punkt]
c) Die monatliche Miete für einen Parkgaragenplatz wird mit € 105 veranschlagt.
Die Parkgarage verfügt über 120 Plätze.
Die Baugesellschaft rechnet mit monatlichen Mieteinnahmen in Höhe von € 10.080.
Der Auslastungsgrad gibt an, wie viel Prozent der Parkgaragenplätze vermietet sind.
1) Ermitteln Sie den Auslastungsgrad der Parkgarage, mit dem die Baugesellschaft rechnet.
[1 Punkt]

S. 20 /24 5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK
d) In der nachstehenden Abbildung ist der Kapitalwert für die Parkgarage (in € 1.000) in Abhängigkeit vom kalkulatorischen Zinssatz (in Prozent) dargestellt:
Kapitalwert in € 1.000
kalkulatorischer Zinssatz in %
0 16 14 12 10 8 6 4 2 18
–200
1 400
1 200
1 000
800
600
400
200
0
1 600
–400
1) Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Kapitalwert für den kalkulatorischen Zinssatz 4 %
ab. Geben Sie das Ergebnis in Euro an.
Kapitalwert: € [1 Punkt]
Die Baugesellschaft senkt die Anschaffungskosten für die Parkgarage um € 200.000.
2) Argumentieren Sie, dass der interne Zinssatz dadurch auf über 10 % steigt. [1 Punkt]

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 21 /24

S. 22 /24 5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK

5. Mai 2020 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 23 /24

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