Mathematik-Matura Mai 2020 · AHS – Aufgaben

AHS
5. Mai 2020
Mathematik
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
Name:
Klasse:

S. 2 /36 5. Mai 2020 / AHS / Mathematik
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat!
Das vorliegende Aufgabenheft enthält Teil-1-Aufgaben und Teil-2-Aufgaben (bestehend aus Teilaufgaben). Die
Aufgaben bzw. Teilaufgaben sind unabhängig voneinander bearbeitbar. Ihnen stehen insgesamt 270 Minuten
an reiner Arbeitszeit zur Verfügung.
Verwenden Sie für die Bearbeitung ausschließlich dieses Aufgabenheft und das Ihnen zur Verfügung gestellte
Arbeitspapier. Schreiben Sie Ihren Namen und Ihre Klasse in die dafür vorgesehenen Felder auf dem Deckblatt des Aufgabenhefts sowie Ihren Namen und die fortlaufende Seitenzahl auf jedes verwendete Blatt Arbeitspapier. Geben Sie bei der Beantwortung jeder Teilaufgabe deren Bezeichnung auf dem Arbeitspapier an.
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht durchgestrichen ist. Die Lösung muss dabei klar ersichtlich
sein. Wenn die Lösung nicht klar ersichtlich ist oder verschiedene Lösungen angegeben sind, gilt die Aufgabe
als nicht gelöst.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungs mitglied für die Klausurarbeit freigegebenen Formel sammlung
für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt, sofern keine Kommunikationsmöglichkeit
(z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwerke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im
elektronischen Hilfs mittel nicht möglich ist.
Eine Erläuterung der Antwortformate liegt im Prüfungsraum auf und kann auf Wunsch eingesehen werden.
Das Aufgabenheft und alle von Ihnen verwendeten Blätter sind abzugeben.
Bewertung
Die Aufgaben im Teil 1 werden mit 0 Punkten oder 1 Punkt bzw. 0 Punkten, ½ oder 1 Punkt bewertet. Die zu
erreichenden Punkte pro Aufgabe sind bei jeder Teil-1-Aufgabe im Aufgabenheft angeführt.
Jede Teilaufgabe im Teil 2 wird mit 0, 1 oder 2 Punkten bewertet. Die mit A markierten Aufgabenstellungen
werden mit 0 Punkten oder 1 Punkt bewertet.
Zwei Beurteilungswege
1) Wenn Sie mindestens 16 von 28 Punkten (24 Teil-1-Punkte + 4 A -Punkte aus Teil 2) erreicht haben, gilt der
folgende Beurteilungsschlüssel:
Genügend 16 – 23,5 Punkte
Befriedigend 24 – 32,5 Punkte
Gut 33 – 40,5 Punkte
Sehr gut 41 – 48 Punkte
2) Wenn Sie weniger als 16 von 28 Punkten (24 Teil-1-Punkte + 4 A -Punkte aus Teil 2) erreicht haben, aber
insgesamt 24 Punkte oder mehr (aus Teil-1- und Teil-2-Aufgaben) erreicht haben, dann können Sie auf
diesem Weg ein „Genügend“ oder „Befriedigend“ erreichen:
Genügend 24 – 28,5 Punkte
Befriedigend 29 – 35,5 Punkte
Die Arbeit wird mit „Nicht genügend“ beurteilt, wenn im Teil 1 unter Berücksichtigung der mit A markierten
Aufgabenstellungen aus Teil 2 weniger als 16 Punkte und insgesamt weniger als 24 Punkte erreicht wurden.
Viel Erfolg!
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“ gewählt
und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen
ein.
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“ übermalt
und dann wieder gewählt.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 

5. Mai 2020 / AHS / Mathematik S. 3 /36
Aufgabe 1
Zahlen und Zahlenmengen
Gegeben sind fünf Aussagen zu Zahlen und Zahlenmengen.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.
9
2

ist eine rationale Zahl.
–

100 ist eine ganze Zahl.

15 hat eine endliche Dezimaldarstellung.

2 ist eine rationale Zahl.
–4 ist kein Quadrat einer reellen Zahl.
[0 / 1 Punkt]

S. 4 /36 5. Mai 2020 / AHS / Mathematik
Aufgabe 2
Gewinnaufteilung
Eine Spielgemeinschaft bestehend aus 3 Spielerinnen gewinnt € 10.000. Dieser Gewinn wird wie
folgt aufgeteilt: Spielerin B erhält um 50 % mehr als Spielerin A , Spielerin C erhält um 20 % weniger
als Spielerin B .
Mit x wird der Betrag bezeichnet, den Spielerin A erhält ( x in €).
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Gleichung an, mit der x berechnet werden kann.
[0 / 1 Punkt]

5. Mai 2020 / AHS / Mathematik S. 5 /36
Aufgabe 3
Delegation
Aus einer großen Gruppe von Jugendlichen und Erwachsenen soll eine Delegation gebildet werden.
Dabei gelten die folgenden drei Vorschriften:
1. Die Delegation soll mindestens 8 Mitglieder umfassen.
2. Die Delegation soll höchstens 12 Mitglieder umfassen.
3. In der Delegation sollen mindestens doppelt so viele Jugendliche wie Erwachsene sein.
Zwei der drei Vorschriften sind unten stehend jeweils durch eine Ungleichung beschrieben. Dabei wird die Anzahl der Jugendlichen in dieser Delegation mit J und die Anzahl der Erwachsenen in
dieser Delegation mit E bezeichnet.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Ungleichungen an.
J + E ≤ 12
J ≥ 2 ∙ E
J + E ≤ 8
J – 2 ∙ E < 0
E ≥ 2 ∙ J
[0 / 1 Punkt]

S. 6 /36 5. Mai 2020 / AHS / Mathematik
Aufgabe 4
Himmelsrichtungen
Nachstehend ist eine symmetrische Windrose abgebildet, die Himmelsrichtungen zeigt.
N
S
W O
NO NW
SO SW
y
x
Die Geschwindigkeit eines Schiffes, das in Richtung Nordwest (NW) fährt, wird durch den Vektor
u =
( )
– a
a
mit a ∈ ℝ
+
beschrieben.
Aufgabenstellung:
Geben Sie einen Vektor v an, der die Geschwindigkeit eines Schiffes beschreibt, das in Richtung
Nordost (NO) fährt.
v =
[0 / 1 Punkt]

5. Mai 2020 / AHS / Mathematik S. 7 /36
Aufgabe 5
Skalierung der Koordinatenachsen
Im nachstehenden Koordinatensystem, dessen Achsen unterschiedlich skaliert sind, ist eine
Gerade g dargestellt. Auf der x -Achse ist a und auf der y -Achse ist b markiert. Dabei sind a und b
ganzzahlig.
Die Gerade g wird durch y = –2 ∙ x + 4 beschrieben.
y
x
a 0
b
g
0
Aufgabenstellung:
Geben Sie a und b an.
a =
b =
[0 / ½ / 1 Punkt]

S. 8 /36 5. Mai 2020 / AHS / Mathematik
Aufgabe 6
Bahntrasse
Die Steigung einer geradlinigen Bahntrasse wird in Promille (‰) angegeben. Beispielsweise ist bei
einem Höhenunterschied von 1 m pro 1 000 m zurückgelegter Distanz in horizontaler Richtung
die Steigung 1 ‰.
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Gleichung an, mit der für eine geradlinige Bahntrasse mit der Steigung 30 ‰ der
Steigungswinkel α exakt berechnet werden kann ( α > 0).
[0 / 1 Punkt]

5. Mai 2020 / AHS / Mathematik S. 9 /36
Aufgabe 7
Kostenfunktion
Die Gesamtkosten, die bei der Herstellung eines Produkts anfallen, können mithilfe einer differenzierbaren Kosten funktion K modelliert werden. Dabei ordnet K der Produktionsmenge x die
Kosten K ( x ) zu ( x in Mengeneinheiten (ME), K ( x ) in Geldeinheiten (GE)).
Für eine Kostenfunktion K : [0; x
2
] → ℝ und x
1
mit 0 < x
1
< x
2
gelten nachstehende Bedingungen:
• K ist im Intervall [0; x
2
] streng monoton steigend.
• Die Fixkosten betragen 10 GE.
• Die Kostenfunktion hat im Intervall [0; x
1
) einen degressiven Verlauf, d. h., die Kosten steigen
bei zunehmender Produktionsmenge immer schwächer.
• Bei der Produktionsmenge x
1
liegt die Kostenkehre. Die Kostenkehre von K ist diejenige Stelle, ab der die Kosten immer stärker steigen.
Aufgabenstellung:
Skizzieren Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Verlauf des Graphen einer solchen
Kosten funktion K .
K ( x ) in GE
x
2
x
1
15
10
5
25
20
30
x in ME
0
0
[0 / 1 Punkt]

S. 10 /36 5. Mai 2020 / AHS / Mathematik
Aufgabe 8
Zug
Ein Zug bewegt sich bis zum Zeitpunkt t = 0 mit konstanter Geschwindigkeit vorwärts. Ab dem
Zeitpunkt t = 0 erhöht der Zug seine Geschwindigkeit.
Die Funktion v ordnet dem Zeitpunkt t mit 0 ≤ t ≤ 60 die Geschwindigkeit v ( t ) = a · t + b zu
( t in s, v ( t ) in m/s, a , b ∈ ℝ ).
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen des jeweils richtigen Satzteils so,
dass eine korrekte Aussage entsteht.
Für den Parameter a gilt
1
und für den Parameter b gilt
2
.
1
a < 0
a = 0
a > 0
2
b < 0
b = 0
b > 0
[0 / ½ / 1 Punkt]

5. Mai 2020 / AHS / Mathematik S. 11 /36
Aufgabe 9
Lineare Funktion
Gegeben ist eine lineare Funktion f : ℝ → ℝ mit f ( x ) = k · x + d mit k , d ∈ ℝ und k ≠ 0.
Es gilt:
f (5) – f ( a )
2
= k für ein a ∈ ℝ .
Aufgabenstellung:
Geben Sie a an.
a =
[0 / 1 Punkt]

S. 12 /36 5. Mai 2020 / AHS / Mathematik
Aufgabe 10
Weinlese
Die sogenannte Weinlese (Ernte der Weintrauben) in einem Weingarten erfolgt umso schneller,
je mehr Personen daran beteiligt sind. Die Funktion f modelliert den indirekt proportionalen Zusammenhang zwischen der für die Weinlese benötigten Zeit und der Anzahl der beteiligten
Personen. Dabei ist f ( n ) die benötigte Zeit für die Weinlese, wenn n Personen beteiligt sind
( n ∈ ℕ \{0}, f ( n ) in Stunden).
Aufgabenstellung:
Geben Sie f ( n ) an, wenn bekannt ist, dass die benötigte Zeit für die Weinlese bei einer Anzahl von
8 beteiligten Personen 6 Stunden beträgt.
f ( n ) = mit n ∈ ℕ \{0}
[0 / 1 Punkt]

5. Mai 2020 / AHS / Mathematik S. 13 /36
Aufgabe 11
Anzahl von Tieren
Man nimmt an, dass sich die Anzahl der Tiere einer bestimmten Tierart auf der Erde um 1,8 %
pro Jahr erhöht.
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie diejenige Zeitdauer in Jahren, innerhalb der sich die Anzahl der Tiere dieser Tierart
auf der Erde verdoppelt.
Zeitdauer: ca. Jahre
[0 / 1 Punkt]

S. 14 /36 5. Mai 2020 / AHS / Mathematik
Aufgabe 12
Bewegung auf einem Kreis
Ein Punkt P bewegt sich auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt M = (0 | 0) mit konstanter Geschwindigkeit gegen den Uhrzeigersinn.
Zu Beginn der Bewegung (zum Zeitpunkt t = 0) liegt der Punkt P auf der positiven x -Achse wie in
der nachstehenden Abbildung dargestellt.
y
P
M x
Die Funktion f ordnet der Zeit t die zweite Koordinate f ( t ) = a ∙ sin( b ∙ t ) des Punktes P zur Zeit t
zu ( t in s, f ( t ) in dm, a , b ∈ ℝ
+
). Der in der nachstehenden Abbildung dargestellte Graph von f
verläuft durch den Punkt H , wobei gilt: f ′ (1,5) = 0.
f ( t )
t
f
H = (1,5 | 4)
0
0
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie den Radius des Kreises und die Umlaufzeit des Punktes P (für eine Umrundung).
Radius des Kreises: dm
Umlaufzeit: s
[0 / ½ / 1 Punkt]

5. Mai 2020 / AHS / Mathematik S. 15 /36
Aufgabe 13
Absolute und relative Änderung einer Funktion
Die absolute Änderung einer Funktion f : ℝ → ℝ in einem Intervall [ a ; b ] wird mit A bezeichnet,
die relative Änderung von f im Intervall [ a ; b ] wird mit R bezeichnet. Dabei gilt: f ( a ) ≠ 0 und a < b .
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Gleichung an, die den Zusammenhang zwischen A und R beschreibt.
[0 / 1 Punkt]

S. 16 /36 5. Mai 2020 / AHS / Mathematik
Aufgabe 14
Ölpreis
Die nachstehende Grafik zeigt die Preisentwicklung für Rohöl im Zeitraum vom 8.6.2012 bis
8.9.2012.
70
80
90
100
8.6.2012 – 8.9.2012
8.6. 1.7. 1.9. 8.9.
Preis in Euro pro Barrel Rohöl
Datenquelle: http://www.heizoel24.at/charts/rohoel [14.12.2012] (adaptiert).
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die mittlere Änderungsrate für den Preis pro Barrel Rohöl pro Monat im Zeitraum
vom 1.7.2012 bis 1.9.2012.
mittlere Änderungsrate: Euro pro Barrel Rohöl pro Monat
[0 / 1 Punkt]

5. Mai 2020 / AHS / Mathematik S. 17 /36
Aufgabe 15
Population
Die Anzahl der Rehe in einem Wald am Ende eines Jahres i ( i = 1, 2, 3) wird mit R
i
bezeichnet.
Am Ende des ersten Jahres gibt es 60 Rehe in diesem Wald.
Die nachstehende Gleichung beschreibt die Entwicklung der Population der Rehe.
R
i + 1
= 1,2 · R
i
– 2 für i = 1, 2
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Anzahl der Rehe in diesem Wald am Ende des dritten Jahres.
Die Anzahl der Rehe am Ende des dritten Jahres beträgt .
[0 / 1 Punkt]

S. 18 /36 5. Mai 2020 / AHS / Mathematik
Aufgabe 16
Wachstum einer Pflanze
Zu Beginn eines dreiwöchigen Beobachtungszeitraums ist eine bestimmte Pflanze 15 cm hoch.
Die momentane Änderungsrate der Höhe dieser Pflanze wird durch die Funktion v in Abhängigkeit
von der Zeit t beschrieben.
Dabei gilt:
v ( t ) = 3 – 0,3 ∙ t
2
mit t ∈ [0; 3] in Wochen und v ( t ) in cm/Woche
Die Funktion h ordnet jedem Zeitpunkt t ∈ [0; 3] die Höhe h ( t ) der Pflanze zu ( t in Wochen, h ( t ) in cm).
Aufgabenstellung:
Geben Sie h ( t ) an.
h ( t ) =
[0 / 1 Punkt]

5. Mai 2020 / AHS / Mathematik S. 19 /36
Aufgabe 17
Kurvenverlauf
Die unten links stehenden Abbildungen zeigen jeweils die Tangente t in einem Punkt P = ( x
P
| f ( x
P
))
des Graphen einer Polynomfunktion f . Dabei ist P der einzige gemeinsame Punkt des Graphen
von f und der Tangente t . In der unten rechts stehenden Tabelle sind Aussagen über f ′ ( x
P
) und
f ″ ( x
P
) gegeben.
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Abbildungen jeweils die zutreffende Aussage (aus A bis F) zu.
A f ′ ( x
P
) > 0 und f ″ ( x
P
) > 0
B f ′ ( x
P
) > 0 und f ″ ( x
P
) < 0
C f ′ ( x
P
) < 0 und f ″ ( x
P
) > 0
D f ′ ( x
P
) < 0 und f ″ ( x
P
) < 0
E f ′ ( x
P
) > 0 und f ″ ( x
P
) = 0
F f ′ ( x
P
) < 0 und f ″ ( x
P
) = 0
P
f
t
f ( x )
x
0
P
f
t
f ( x )
x
0
P
f
t
f ( x )
x
0
P
f
t
f ( x )
x
0
[0 / ½ / 1 Punkt]

S. 20 /36 5. Mai 2020 / AHS / Mathematik
Aufgabe 18
Vergleich bestimmter Integrale
Gegeben sind fünf Abbildungen mit Graphen von Polynomfunktionen.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Abbildungen an, für die gilt: ∫
–1
–5
f ( x )d x > ∫
+1
–5
f ( x )d x .
f ( x )
x
f
0 1 2 3 –3 –2 –1 –6 –7 –5 –4
0
1
2
3
–3
–2
–1
–2
f ( x )
x
0 1 2 3 –3 –2 –1 –6 –7 –5 –4
0
1
2
3
–3
–1
f
f
f ( x )
x
0 1 2 3 –3 –2 –1 –6 –7 –5 –4
0
1
2
3
–3
–2
–1
f
f ( x )
x
0 1 2 3 –3 –2 –1 –6 –7 –5 –4
0
1
2
3
–3
–2
–1
f
f ( x )
x
0 1 2 3 –3 –2 –1 –6 –7 –5 –4
0
1
2
3
–3
–2
–1
[0 / 1 Punkt]

5. Mai 2020 / AHS / Mathematik S. 21 /36
Aufgabe 19
BIP 2018
Im Jahr 2018 betrug das Brutto inlandsprodukt (BIP) von Österreich rund 385,71 Milliarden Euro.
Datenquelle: https://de.statista.com/statistik/daten/studie/14390/umfrage/bruttoinlandsprodukt-in-oesterreich/ [21.11.2019].
Übersteigen die Einnahmen aus Exporten die Ausgaben aus Importen, so spricht man von einem
Leistungsbilanzüberschuss, andernfalls von einem Leistungs bilanzdefizit. In der nachstehenden
Abbildung sind für einige Länder diese Überschüsse bzw. Defizite als Leistungs bilanzsalden in
Prozent des jeweiligen BIP für das Jahr 2018 angeführt.
Leistungsbilanzsalden 2018 in % des BIP
11,2
7,7
2,6
2,5
Niederlande
Deutschland
Italien
Österreich
Tschechien
Ungarn
Polen
Frankreich
Slowakei
–0,2
–0,3
–0,4
–0,6
–1,6
Defizite Überschüsse
Datenquelle: https://www.oenb.at/isaweb/report.do?report=10.18 [21.11.2019].
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Leistungsbilanzüberschuss (in Milliarden Euro) von Österreich im Jahr 2018.
Leistungsbilanzüberschuss: Milliarden Euro
[0 / 1 Punkt]

S. 22 /36 5. Mai 2020 / AHS / Mathematik
Aufgabe 20
Zahlenliste
Gegeben ist eine Liste der Zahlen x
1
, x
2
, x
3
, ... , x
40
, für die x
1
< x
2
< ... < x
40
gilt.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie diejenige Zahl an, die zu obiger Liste jedenfalls hinzugefügt werden kann, ohne dass
sich der Median der Liste ändert.
x
1
+ x
20
2
x
1
+ x
40
2
x
20
+ x
21
2
x
20
+ x
40
2
x
20
x
21
[0 / 1 Punkt]

5. Mai 2020 / AHS / Mathematik S. 23 /36
Aufgabe 21
Lieblingsfach
Alle Schulkinder der 1. und der 2. Klassen einer Schule wurden nach ihrem Lieblingsfach befragt.
Bei dieser Befragung war genau ein Lieblingsfach anzugeben. Die nach stehende Tabelle fasst die
erhobenen Daten zusammen.
Lieblingsfach
Mathematik
anderes
Lieblingsfach
Schulkinder der 1. Klassen 47 241
Schulkinder der 2. Klassen 33 287
gesamt 80 528
Ein Schulkind der 1. Klassen wird zufällig ausgewählt. (Dabei haben alle Schul kinder der
1. Klassen die gleiche Wahrscheinlichkeit, ausgewählt zu werden.)
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Schulkind Mathematik als Lieblingsfach angegeben hat.
[0 / 1 Punkt]

S. 24 /36 5. Mai 2020 / AHS / Mathematik
Aufgabe 22
Wahrscheinlichkeitsverteilung
In einer Urne befinden sich ausschließlich weiße und schwarze Kugeln. Drei Kugeln werden ohne
Zurücklegen gezogen. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen weißen Kugeln an.
Durch die nachstehende Tabelle ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X gegeben.
x 1 2 3
P ( X = x ) 0,3 0,6 0,1
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.
Die Wahrscheinlichkeit, höchstens zwei weiße Kugeln zu
ziehen, ist 0,9.
Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine weiße Kugel zu
ziehen, ist 0,3.
Die Wahrscheinlichkeit, mehr als eine weiße Kugel zu
ziehen, ist 0,6.
Die Wahrscheinlichkeit, genau zwei schwarze Kugeln
und eine weiße Kugel zu ziehen, ist 0,1.
Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine schwarze Kugel
zu ziehen, ist 0,9.
[0 / 1 Punkt]

5. Mai 2020 / AHS / Mathematik S. 25 /36
Aufgabe 23
Zimmerbuchung
Ein Hotelmanager geht aufgrund langjähriger Erfahrung davon aus, dass jede Zimmerbuchung,
die unabhängig von anderen Zimmerbuchungen erfolgte, mit 10%iger Wahrscheinlichkeit storniert
wird. Er nimmt für einen bestimmten Termin 40 voneinander unabhängige Zimmerbuchungen an.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an diesem Termin von den 40 Zimmerbuchungen
höchstens 5 % storniert werden.
[0 / 1 Punkt]

S. 26 /36 5. Mai 2020 / AHS / Mathematik
Aufgabe 24
Konditionierungsexperiment
Bei einem Konditionierungsexperiment lernen Schäferhunde die Bedienung eines Mechanismus,
um Futter zu erhalten. Nach einer Trainingsphase, an der 50 Schäferhunde teilnehmen, können
40 von ihnen den Mechanismus bedienen.
Der relative Anteil dieser Schäferhunde, die nach der Trainingsphase den Mechanismus bedienen
können, wird mit h bezeichnet.
Aus diesen Daten wird ein um h symmetrisches Konfidenzintervall [ a ; 0,91] mit a ∈ ℝ für den
unbekannten Anteil p aller Schäferhunde ermittelt, die nach einer solchen Trainingsphase den
Mechanismus bedienen können.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die untere Grenze a des Konfidenzintervalls.
[0 / 1 Punkt]

5. Mai 2020 / AHS / Mathematik S. 27 /36
Aufgabe 25 (Teil 2)
Fallschirmsprung
Bei einem Fallschirmsprung aus einer Höhe von 4 000 m über Grund wird 30 s nach dem Absprung der Fallschirm ge öffnet.
Für t ∈ [0; 30] gibt die Funktion v
1
mit v
1
( t ) = 56 – 56 ∙ ℯ
–
t
4 (unter Berücksichtigung des Luft widerstands) die Fallgeschwindigkeit des Fallschirmspringers zum Zeitpunkt t an ( t in s nach dem
Absprung, v
1
( t ) in m/s).
Für t ≥ 30 gibt die Funktion v
2
mit v
2
( t ) =
51
( t – 29)
2
+ 5 – 56 ∙ ℯ
–7,5
die Fallgeschwindigkeit des Fallschirmspringers zum Zeitpunkt t bis zum Zeitpunkt der Landung an ( t in s nach dem Absprung,
v
2
( t ) in m/s).
Modellhaft wird angenommen, dass der Fallschirmsprung lotrecht ist.
Aufgabenstellung:
a) 1) A Deuten Sie w =
v
1
(10) – v
1
(5)
10 – 5
im gegebenen Kontext.
Für ein t
1
∈ [0; 30] gilt: v
1
′ ( t
1
) = w .
2) Deuten Sie t
1
im gegebenen Kontext.
b) 1) Berechnen Sie mithilfe der Funktion v
1
, in welcher Höhe der Fallschirm geöffnet wird.
2) Berechnen Sie die Zeitdauer des gesamten Fallschirmsprungs vom Absprung bis zur
Landung.
c) Ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands hätte der Fallschirmspringer eine Anfangsgeschwindigkeit von 0 m/s und im Zeitintervall [0; 30] eine konstante Beschleunigung von
9,81 m/s². Die Fallgeschwindigkeit 9 s nach dem Absprung beträgt dann v *.
1) Berechnen Sie, um wie viel v
1
(9) kleiner ist als v *.
2) Berechnen Sie, um wie viel Prozent 9 s nach dem Absprung die Beschleunigung des Fallschirmspringers geringer ist als bei einem Sprung ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands.

S. 28 /36 5. Mai 2020 / AHS / Mathematik
Aufgabe 26 (Teil 2)
Wachstumsprozesse
Im Folgenden werden Wachstumsmodelle betrachtet.
Die nachstehende Differenzengleichung beschreibt ein Wachstum.
N
t + 1
– N
t
= r ∙ ( S – N
t
)
N
t
... Bestand zum Zeitpunkt t
r ... Wachstumskonstante, r ∈ ℝ
+
S ... (obere) Kapazitätsgrenze
Aufgabenstellung:
a) Auf einem Kreuzfahrtschiff mit 2 000 Passagieren erkranken ab dem Zeitpunkt t = 0, zu dem
noch kein Passagier erkrankt ist, jeden Tag 5 % der noch nicht erkrankten Passagiere.
Dabei ist N
t
die Anzahl der erkrankten Passagiere zum Zeitpunkt t mit t in Tagen.
1) Geben Sie eine Differenzengleichung für N
t + 1
an.
2) Ermitteln Sie, nach wie vielen Tagen erstmals mehr als 25 % der Passagiere erkrankt sind.
b) Die Differenzengleichung N
t + 1
– N
t
= r ∙ ( S – N
t
) lässt sich in der Form N
t + 1
= a ∙ N
t
+ b mit
a , b ∈ ℝ darstellen.
1) Drücken Sie r und S durch a und b aus.
r =
S =
Zur Entwicklung eines neuen Impfstoffs wird das Wachstum einer Bakterienkultur in einer
Petri schale untersucht.
In der nachstehenden Tabelle ist der Inhalt N
t
(in cm
2
) derjenigen Fläche angeführt, die von der
Bakterienkultur zum Zeitpunkt t (in h) bedeckt wird.
t in h N
t
in cm
2
0 5,00
1 9,80
2 14,41
2) Ermitteln Sie a und b mithilfe der in der obigen Tabelle angegebenen Werte.

5. Mai 2020 / AHS / Mathematik S. 29 /36
c) Ein Pharmaunternehmen bringt einen neuen Impfstoff auf den Markt. In der ersten Woche
nach der Markteinführung haben bereits 15 000 Personen den Impfstoff gekauft.
Die Anzahl f ( t ) derjenigen Personen, die den Impfstoff innerhalb von t Wochen nach der
Markteinführung gekauft haben, lässt sich modellhaft durch die Funktion f mit
f ( t ) = 1 000 000 ∙ (1 – ℯ
– k ∙ t
) beschreiben ( k ∈ ℝ
+
).
1) A Berechnen Sie k .
2) Ermitteln Sie denjenigen Zeitpunkt t
0
, zu dem erstmals 500 000 Personen diesen Impfstoff
gekauft haben.

S. 30 /36 5. Mai 2020 / AHS / Mathematik
Aufgabe 27 (Teil 2)
Quiz mit Spielbrett
Bei einem Quiz werden hintereinander mehrere Fragen gestellt, die jeweils mit „ja“ oder „nein“
be antwortet werden. Auf einem Spielbrett steht eine Spielfigur zu Beginn eines jeden Spieldurchgangs auf dem Feld mit der Zahl 0. Bei jeder richtigen Antwort wird diese Spielfigur um ein Feld
nach rechts, bei jeder falschen Antwort um ein Feld nach links gezogen. Die Felder des Spielbretts sind mit ganzen Zahlen in aufsteigender Reihenfolge beschriftet (siehe nachstehende Abbildung). Das Spielbrett kann auf beiden Seiten beliebig verlängert werden.
5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 --- --- 6
Spielbrett
Maria und Tom spielen dieses Quiz. Tom befragt Maria.
Aufgabenstellung:
a) Bei einem Spieldurchgang ist das Quiz zu Ende, wenn die Spielfigur auf dem Feld mit der
Zahl 2 zu stehen kommt.
Mit A wird das Ereignis bezeichnet, dass die Spielfigur nach höchstens 4 Fragen auf dem Feld
mit der Zahl 2 steht.
Maria beantwortet jede Frage unabhängig von den anderen Fragen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit p richtig.
1) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit P ( A ) in Abhängigkeit von p an.
P ( A ) =
Wird p erhöht, so vergrößert sich die Wahrscheinlichkeit P ( A ).
2) Geben Sie dasjenige p ∈ [0; 1] an, bei dem die Wahrscheinlichkeit P ( A ) am stärksten
wächst (also die lokale Änderungsrate von P ( A ) am größten ist).

5. Mai 2020 / AHS / Mathematik S. 31 /36
b) Bei einem anderen Spieldurchgang werden Maria genau 100 Fragen gestellt. Sie beantwortet
dabei jede Frage unabhängig von den anderen Fragen mit der Wahrscheinlichkeit 0,8 richtig.
Die Zufallsvariable Y gibt die Zahl des jenigen Feldes an, auf dem die Spielfigur nach der Beantwortung der 100 Fragen steht.
1) Berechnen Sie den Erwartungswert E ( Y ).
E ( Y ) =
Die Zufallsvariable Y wird durch eine normalverteilte Zufallsvariable Z angenähert. Dabei gilt:
E ( Y ) = E ( Z ) und die Standardabweichung σ von Z ist 8.
2) Ermitteln Sie das um den Erwartungswert E ( Z ) symmetrische Intervall [ z
1
; z
2
], für das
P ( z
1
≤ Z ≤ z
2
) = 95,4 % gilt.
c) Bei einem anderen Spieldurchgang beantwortet Maria alle Fragen durch Raten. Sie beantwortet somit jede Frage unabhängig von den anderen Fragen mit der Wahrscheinlichkeit 0,5
richtig.
Für jede gerade Anzahl n an Fragen mit n ≥ 2 gilt:
M ( n ) =
( )
n
n
2
∙ 0,5
n
1) A Interpretieren Sie M ( n ) im gegebenen Kontext.
Für jede gerade Anzahl n an Fragen mit n ≥ 10 kann M ( n ) durch M
~
( n ) =
2
π ∙ n

näherungsweise berechnet werden.
Für jedes gerade n ≥ 10 gibt es ein n *, sodass gilt: M
~
( n *) =
1
2
∙ M
~
( n ).
2) Bestimmen Sie n * in Abhängigkeit von n .
n * =

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Aufgabe 28 (Teil 2)
Ozonmessungen
Das Gas Ozon hat Auswirkungen auf unsere Gesundheit. Aus diesem Grund werden in Messstationen und mithilfe von Wetterballons die jeweiligen Ozonkonzentrationen in unterschiedlichen
Atmosphärenschichten gemessen.
Aufgabenstellung:
a) Auf der Hohen Warte in Wien befindet sich in 220 m Seehöhe eine Wetterstation. Hier wird
für eine Messreihe ein Wetterballon mit einem Ozonmessgerät gestartet. Das Ozonmessgerät
beginnt mit seinen Aufzeichnungen, wenn der Wetterballon eine Seehöhe von 2 km erreicht hat.
Nehmen Sie an, dass der Wetterballon (mit der Anfangsgeschwindigkeit 0 m/s) lotrecht in die
Höhe steigt und dabei gleichmäßig mit 0,125 m/s
2
beschleunigt, bis er zu einem Zeitpunkt t
1
eine Geschwindigkeit von 6 m/s erreicht. Die Zeit wird dabei in Sekunden und die Seehöhe in
Metern gemessen.
1) Ermitteln Sie die Höhe des Wetterballons über der Wetterstation zum Zeitpunkt t
1
.
Ab dem Zeitpunkt t
1
steigt der Wetterballon mit der konstanten Geschwindigkeit von 6 m/s
lotrecht weiter.
2) Ermitteln Sie, wie viele Sekunden nach dem Start das Messgerät mit seinen Aufzeichnungen
beginnt.
b) Ein Wetterballon hat bei einem Luftdruck von 1 013,25 hPa ein Volumen von 6,3 m
3
. Durch die
Abnahme des Luftdrucks während des Aufstiegs dehnt sich der Wetterballon immer weiter
aus und wird näherungsweise kugelförmig. Bei einem Durchmesser von d Metern zerplatzt er.
Der Luftdruck kann in Abhängigkeit von der Seehöhe h durch eine Funktion p modelliert werden.
Dabei ordnet die Funktion p der Seehöhe h den Luftdruck p ( h ) zu.
Es gilt: p ( h ) = 1 013,25 ∙
(
1 –
0,0065 ∙ h
288,15
)
5,255
mit h in m, p ( h ) in hPa
Gehen Sie davon aus, dass der Luftdruck p ( h ) und das Volumen V ( h ) des Wetterballons
in direkt proportional zueinander sind. Dabei ist V ( h ) das Volumen des Wetterballons in der
Seehöhe h .
1) Drücken Sie das Volumen V ( h ) durch die Seehöhe h aus.
V ( h ) = mit h in m, V ( h ) in m
3
Der Wetterballon zerplatzt in einer Seehöhe von h = 27 873,6 m.
2) Berechnen Sie den Durchmesser d des Wetterballons in Metern, bei dem dieser zerplatzt.

5. Mai 2020 / AHS / Mathematik S. 33 /36
c) Das sogenannte Gesamtozon ist ein Maß für die Dicke der Ozonschicht und wird in sogenannten Dobson-Einheiten (DU) angegeben.
Die von einem Wetterballon aufgezeichneten Messdaten können modellhaft durch eine qua dratische Funktion f beschrieben werden. Dabei ordnet f der Höhe h die Gesamtozondichte f ( h )
zu ( h in km, f ( h ) in DU/km).
Der höchste Wert von 36 DU/km wird in einer Seehöhe von 22 km gemessen. In einer See höhe von 37 km beträgt der gemessene Wert 1 DU/km.
1) A Ermitteln Sie f ( h ).
f ( h ) =
In der Erdatmosphäre entspricht 1 DU einer 0,01 mm dicken Schicht reinen Ozons an der
Erdoberfläche. Die Dicke derjenigen Schicht reinen Ozons an der Erdober fläche, die dem
Gesamtozon zwischen 7 km und 37 km Seehöhe entspricht, ist
∫
37
7
f ( h ) d h .
2) Berechnen Sie die Dicke dieser Schicht.
Dicke dieser Schicht: mm

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5. Mai 2020 / AHS / Mathematik S. 35 /36

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