Mathematik-Matura Jänner 2020 · HAK Cluster W2 – Lösungen

BHS
14. Jänner 2020
Angewandte Mathematik
HAK
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung

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Beurteilung der Klausurarbeit
Gemäß § 38 Abs. 3 SchUG (BGBl. Nr. 472/1986 i. d. g. F.) sind die Leistungen der Prüfungskandidatin / des Prüfungskandidaten nach Maßgabe vorliegender Korrektur- und Beurteilungsanleitung
aufgrund von begründeten Anträgen der Prüferin / des Prüfers von der jeweiligen Prüfungskommission zu beurteilen.
Für die Beurteilung ist ein auf einem Punktesystem basierender Beurteilungsschlüssel vorgegeben, der auf den Kriterien des § 18 Abs. 2 bis 4 und 6 SchUG und der Leistungsbeurteilungsverordnung (BGBl. Nr. 371/1974 i. d. g. F. ) beruht und die Beurteilungsstufen (Noten) entsprechend
abbildet.
Beurteilungsschlüssel:
Note Punkte
Genügend 23 – 30 Punkte
Befriedigend 31 – 37 Punkte
Gut 38 – 43 Punkte
Sehr gut 44 – 48 Punkte
Die Arbeit wird mit „Nicht genügend“ beurteilt, wenn insgesamt weniger als 23 Punkte erreicht
wurden.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://ablauf.srdp.at gesondert bekanntgegeben.

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Handreichung zur Korrektur
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des Helpdesks in Anspruch genommen werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Punkte sind zu vergeben, wenn die abgefragte Handlungskompetenz in der Bearbeitung erfüllt ist.
b. Berechnungen ohne nachvollziehbaren Rechenansatz bzw. ohne nachvollziehbare
Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete Ausgangsparameter und die
verwendete Technologiefunktion müssen angegeben sein) sind mit null Punkten zu
bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind korrekt, so ist diese Teilaufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht
vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in
einem Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
h. Jedes Diagramm bzw. jede Skizze, die Lösung einer Handlungsanweisung ist, muss
eine qualitative Achsenbeschriftung enthalten, andernfalls ist dies mit null Punkten zu
bewerten.
i. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie nicht
explizit eingefordert ist.

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Aufgabe 1
Flüssigkeitsbehälter
Möglicher Lösungsweg
a1) 1 200 =
(
d
2
)
2
∙ π ∙ 15
d =
1 200 ∙ 4
15 ∙ π

= 10,09...
Der Durchmesser beträgt rund 10,1 dm.
b1) A = a
2
– 4 ∙
(
a
4
)
2
∙ π
c1) Es wird diejenige Füllzeit berechnet, zu der sich 900 L Flüssigkeit im Flüssigkeitsbehälter
befinden.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × B: für die richtige Berechnung des Durchmessers d
b1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel für A aus der Seitenlänge a
c1) 1 × C: für die richtige Beschreibung der Bedeutung der Lösung im gegebenen Sachzusammenhang

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Aufgabe 2
Lieblingsfarbe
Möglicher Lösungsweg
a1) X … Anzahl derjenigen Personen, die Rosa als Lieblingsfarbe nennen
Binomialverteilung mit n = 25 und p = 0,13:
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P ( X = 3) = 0,2360…
Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 23,6 % nennen genau 3 der 25 befragten Personen
Rosa als Lieblingsfarbe.
b1) X … Anzahl derjenigen Personen, die Orange als Lieblingsfarbe nennen
Binomialverteilung mit p = 0,07:
P ( X ≥ 1) = 0,9
1 – P ( X = 0) = 0,9
1 – 0,93
n
= 0,9
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
n = 31,7...
Es müssen mindestens 32 Personen befragt werden.
c1) P ( X = 2) = 0,96 – (0,22 + 0,36 + 0,11) = 0,27
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,22
0,27
0,11
0,03
0,01
0,35
0,40
P ( X = k )
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0,36
k
Toleranzbereich für die Höhe der Säule: [0,25; 0,30]
Für die Punktevergabe ist es nicht erforderlich, den Wert von P ( X = 2) anzugeben.

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d1) Addiert man die Prozentsätze für alle Lieblingsfarben, so erhält man ein Ergebnis, das größer
als 100 % ist.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × B: für die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit
b1) 1 × B: für die richtige Berechnung der Mindestanzahl
c1) 1 × A: für das richtige Einzeichnen der fehlenden Säule im Toleranzbereich [0,25; 0,30]
d1) 1 × C: für die richtige Beschreibung

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Aufgabe 3
Wandern
Möglicher Lösungsweg
a1) t =
h
400
+
x
4
a2) 3,25 =
h
400
+
6,7
4
⇒ h = 630
Gemäß der Faustregel wird bei dieser Wanderung eine Höhendifferenz von 630 m über wunden.
b1)
1 650 – 500
3
= 383,33...
Die mittlere Änderungsrate beträgt rund 383 m/h.
Toleranzbereich: [360 m/h; 400 m/h]
b2) Es kann auch sein, dass sich der Wanderer / die Wanderin auf konstanter Höhe („eben“) bewegt hat.
c1) Ablesen der Koordinaten eines beliebigen Punktes des Funktionsgraphen, z. B. (800 | 1):
Es werden insgesamt 800 Höhenmeter überwunden.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A: für das richtige Übertragen der Faustregel in eine Formel
a2) 1 × B: für die richtige Berechnung der Höhendifferenz
b1) 1 × C: für das richtige Ermitteln der mittleren Änderungsrate unter Angabe der Einheit im
Toleranzbereich [360 m/h; 400 m/h]
b2) 1 × D: für die richtige Argumentation
c1) 1 × C: für das richtige Ablesen

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Aufgabe 4
Entwicklung von Katzen und Hunden
Möglicher Lösungsweg
a1) Ablesen von 2 Punkten aus der Abbildung – beispielsweise: (6 | 40) und (11 | 60)
k =
60 – 40
11 – 6
= 4
40 = 4 ∙ 6 + d ⇒ d = 16
K ( t ) = 4 ∙ t + 16 mit t ≥ 2
Toleranzbereich beim Ermitteln der Parameter im Rahmen der Ablesegenauigkeit der verwendeten Punkte
a2) Die beiden Parameter k und k 1 sind gleich, weil die beiden Funktionsgraphen (für t ≥ 2) parallel verlaufen.
b1) X ... Körpermasse in kg
Normalverteilung mit μ = 3,6 kg und σ = 0,7 kg:
P ( X ≥ a ) = 0,1
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
a = 4,49...
Ab einer Körpermasse von rund 4,5 kg wurde eine ausgewachsene Katze in dieser Studie
als übergewichtig bezeichnet.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung (Toleranzbereich beim Ermitteln der
Parameter im Rahmen der Ablesegenauigkeit der verwendeten Punkte)
a2) 1 × D: für das richtige Angeben und die richtige Begründung
b1) 1 × B: für das richtige Bestimmen der Körpermasse, ab der eine ausgewachsene Katze in
dieser Studie als übergewichtig bezeichnet wurde

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Aufgabe 5
Baumhaus
Möglicher Lösungsweg
a1) arcsin
(
2,8
3,2
)
= 61,0...°
Der Winkel beträgt rund 61°.
b1) Flächeninhalt zwischen den Achsen und dem Graphen der Funktion in cm
2
:
∫
40
0
f ( x ) d x = 1 378,66...
Flächeninhalt des Quadrats in cm
2
: A = 1 600
prozentueller Unterschied:
1 378,66... – 1 600
1 600
= – 0,1383...
Die Fensterfläche ist um rund 13,8 % kleiner als die Fensterfläche eines quadratischen Fensters mit der Seitenlänge 40 cm.
c1)
f ( x )
f
x in rad
2 · π
0
c2) y
x
1
–1
–1 1
α
β

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Lösungsschlüssel
a1) 1 × B: für die richtige Berechnung des Winkels
b1) 1 × A: für den richtigen Ansatz (Berechnung des Flächeninhalts mittels Integral)
1 × B: für die richtige Berechnung des prozentuellen Unterschieds
c1) 1 × A1: für das richtige Eintragen der fehlenden Zahl
c2) 1 × A2: für das richtige Einzeichnen des Winkels β im Einheitskreis

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Aufgabe 6
Kontrolle der Geschwindigkeit
Möglicher Lösungsweg
a1) P ( X = a ) =
( )
1 500
a
∙ 0,04
a
∙ 0,96
1 500 – a
b1)
Geschwindigkeit in km/h
80 60 40 20 30 50 70 90
c1) Abschätzen der Länge des zurückgelegten Weges s :
s ≈ 25 ∙ 11 = 275
Die Länge des zurückgelegten Weges beträgt näherungsweise 275 m.
Toleranzbereich: [220; 330]
c2) Höchstgeschwindigkeit: 11 m/s = 39,6 km/h
Toleranzbereich: [37,8; 41,4]
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel
b1) 1 × C: für das richtige Veranschaulichen der Wahrscheinlichkeit
c1) 1 × B: für das richtige Ermitteln der Weglänge im Toleranzbereich [220; 330]
c2) 1 × C: für das richtige Angeben der Höchstgeschwindigkeit in km/h im Toleranzbereich [37,8; 41,4]

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Aufgabe 7 (Teil B)
Käseproduktion
Möglicher Lösungsweg
a1) K ( x ) =
∫
(0,03 ∙ x
2
– 0,5 ∙ x + 5) d x = 0,01 ∙ x
3
– 0,25 ∙ x
2
+ 5 ∙ x + F
K (5) = 120 oder 0,01 ∙ 5
3
– 0,25 ∙ 5
2
+ 5 ∙ 5 + F = 120 ⇒ F = 100
K ( x ) = 0,01 ∙ x
3
– 0,25 ∙ x
2
+ 5 ∙ x + 100
x ... Produktionsmenge in kg
K ( x ) ... Kosten bei der Produktionsmenge x in €
a2) K ″ ( x ) = 0,06 ∙ x – 0,5
K ″ ( x ) = 0 ⇒ x = 8,33...
Die Kostenkehre liegt bei rund 8,3 kg.
a3) Wird die Produktion von 5 kg auf 10 kg gesteigert, so nehmen die Gesamtkosten um durchschnittlich € 3 pro kg zu.
b1) Betriebsoptimum: 22 kg
Toleranzbereich: [21 kg; 23 kg]
b2) kurzfristige Preisuntergrenze: 3,40 €/kg
Toleranzbereich: [3,10 €/kg; 3,70 €/kg]
c1) G ( x ) = a ∙ x
3
+ b ∙ x
2
+ c ∙ x + d
G ′ ( x ) = 3 ∙ a ∙ x
2
+ 2 ∙ b ∙ x + c
I : G (5) = –35
II : G (25) = 200
III : G (30) = 215
IV : G ′ (30) = 0
oder:
I : 5
3
∙ a + 5
2
∙ b + 5 ∙ c + d = –35
II : 25
3
∙ a + 25
2
∙ b + 25 ∙ c + d = 200
III : 30
3
∙ a + 30
2
∙ b + 30 ∙ c + d = 215
IV : 3 ∙ 30
2
∙ a + 2 ∙ 30 ∙ b + c = 0
c2) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
a = –0,01; b = 0,25; c = 12; d = –100

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Lösungsschlüssel
a1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Gleichung der Kostenfunktion (mit Integrationskonstante)
a2) 1 × B: für die richtige Berechnung der Kostenkehre
a3) 1 × C: für die richtige Interpretation im gegebenen Sachzusammenhang
b1) 1 × C1: für das richtige Ablesen des Betriebsoptimums im Toleranzbereich [21 kg; 23 kg] mit
der Angabe der richtigen Einheit
b2) 1 × C2: für das richtige Ablesen der kurzfristigen Preisuntergrenze im Toleranzbereich [3,10 €/kg; 3,70 €/kg] mit der Angabe der richtigen Einheit
c1) 1 × A1: für das richtige Erstellen der Gleichungen mithilfe der Informationen zum Gewinn bei
den Absatzmengen 5 kg, 25 kg und 30 kg
1 × A2: für das richtige Erstellen der Gleichung mithilfe der Ableitungsfunktion G ′
c2) 1 × B: für die richtige Berechnung der Koeffizienten

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Aufgabe 8 (Teil B)
Kredit und Sparbuch
Möglicher Lösungsweg
a1) Bei Kredit 2 wird eine Ratenzahlung ausgesetzt, dadurch muss die verbleibende Raten höhe x
größer sein als die ursprüngliche Ratenhöhe R .
a2) 10 000 = R ∙
1,03
7
– 1
0,03
∙
1
1,03
7
R = 1 605,063...
Die Ratenhöhe R beträgt € 1.605,06.
a3) 10 000 ∙ 1,03
4
– 1 605,06 ∙ 1,03
3
– 1 605,06 ∙ 1,03
2
– 1 605,06 ∙ 1,03 = 6 145,175...
Die Höhe der Restschuld zum Zeitpunkt 4 beträgt € 6.145,18.
Wird bei der Berechnung der Höhe der Restschuld die ungerundete Ratenhöhe verwendet,
so ist dies ebenfalls als richtig zu werten.
b1) B 1 = B ∙ (1 + i ) – R
c1)
6 5 4 3 2 1 0 7 8
Zeit in Jahren
300 300 300 300
150 150 150 150 150 + x
n Abhebungen
c2) K ist das angesparte Kapital nach 6 Jahren.
c3) 1 283,33 = 150 ∙
1,015
n
– 1
0,015
∙
1
1,015
n – 1
Lösung mittels Technologieeinsatz: n = 9,0...
Es finden 9 Abhebungen statt.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × D: für die richtige Argumentation
a2) 1 × B1: für die richtige Berechnung der Ratenhöhe R
a3) 1 × B2: für die richtige Berechnung der Höhe der Restschuld zum Zeitpunkt t = 4 Jahre
b1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel zur Berechnung von B 1
c1) 1 × A: für das richtige Vervollständigen der Zeitachse
c2) 1 × C: für die richtige Beschreibung im gegebenen Sachzusammenhang
c3) 1 × B: für die richtige Berechnung von n

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Aufgabe 9 (Teil B)
Kfz-Bestand
Möglicher Lösungsweg
a1) Ermittlung mittels Technologieeinsatz:
K ( t ) = 0,084 ∙ t + 4,6
t ... Zeit in Jahren, t = 0 für das Ende des Jahres 1992
K ( t ) ... Kfz-Bestand zur Zeit t in Millionen
a2) Gemäß diesem Modell nimmt der Kfz-Bestand um 84 000 Kraftfahrzeuge pro Jahr zu.
a3) K ( t ) = 8 oder 0,084 ∙ t + 4,6 = 8
t = 40,47...
Gemäß diesem Modell ist nach etwa 40,5 Jahren mit einem Kfz-Bestand von 8 Millionen zu
rechnen.
Die Lösung kann entweder als Zeit nach Ende des Jahres 1992 oder als Kalenderjahr angegeben werden.
b1) Gemäß diesem Modell nimmt der Kfz-Bestand pro Jahr um rund 1,7 % zu.
b2) Gemäß diesem Modell verdoppelt sich der Kfz-Bestand nach (jeweils) rund 41,2 Jahren.
c1) KB (0) = 4,5
KB (20) = 6,3
oder:
9 – b = 4,5
9 – b ∙ ℯ
– λ ∙ 20
= 6,3
c2) b = 9 – 4,5 = 4,5
λ =
ln(4,5) – ln(2,7)
20
= 0,025541...
c3) KB (28) = 6,79...
Gemäß diesem Modell beträgt der Kfz-Bestand am Ende des Jahres 2020 rund 6,8 Millionen.
d1) Mit beliebig groß werdendem t geht ℯ
–0,06264 ∙ t
gegen null, der Nenner also gegen 3 und damit
der Funktionswert gegen 7,5.

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Lösungsschlüssel
a1) 1 × B1: für das richtige Ermitteln der Gleichung der linearen Regressionsfunktion
a2) 1 × C: für die richtige Interpretation des Wertes der Steigung im gegebenen Sachzusammenhang
a3) 1 × B2: für die richtige Berechnung derjenigen Zeit, nach der mit einem Kfz-Bestand von
8 Millionen zu rechnen ist
b1) 1 × C1: für die richtige Interpretation der Zahl 1,7 % im gegebenen Sachzusammenhang
b2) 1 × C2: für die richtige Interpretation der Zahl 41,2 im gegebenen Sachzusammenhang
c1) 1 × A: für das richtige Erstellen des Gleichungssystems
c2) 1 × B1: für das richtige Ermitteln der Parameter b und λ
c3) 1 × B2: für das richtige Ermitteln der Prognose für den Kfz-Bestand am Ende des
Jahres 2020
d1) 1 × D: für die richtige mathematische Argumentation