Mathematik-Matura Jänner 2020 · AHS – Aufgaben

AHS
14. Jänner 2020
Mathematik
Teil-1- und Teil-2-Aufgaben
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
Name:
Klasse:

2
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat!
Das vorliegende Aufgabenheft enthält Teil-1-Aufgaben und Teil-2-Aufgaben (bestehend aus Teilaufgaben). Die
Aufgaben bzw. Teilaufgaben sind unabhängig voneinander bearbeitbar. Ihnen stehen insgesamt 270 Minuten
an reiner Arbeitszeit zur Verfügung.
Verwenden Sie für die Bearbeitung ausschließlich dieses Aufgabenheft und das Ihnen zur Verfügung gestellte
Arbeitspapier. Schreiben Sie Ihren Namen und Ihre Klasse in die dafür vorgesehenen Felder auf dem Deckblatt des Aufgabenhefts sowie Ihren Namen und die fortlaufende Seitenzahl auf jedes verwendete Blatt Arbeitspapier. Geben Sie bei der Beantwortung jeder Teilaufgabe deren Bezeichnung auf dem Arbeitspapier an.
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht durchgestrichen ist. Die Lösung muss dabei klar ersichtlich
sein. Wenn die Lösung nicht klar ersichtlich ist oder verschiedene Lösungen angegeben sind, gilt die Aufgabe
als nicht gelöst.
Sie dürfen die für diesen Klausurtermin freigegebene Formelsammlung sowie zugelassene elektronische Hilfsmittel verwenden, sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Bluetooth, Mobilfunknetzwerke
etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendaten im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich ist.
Eine Erläuterung der Antwortformate liegt im Prüfungsraum auf und kann auf Wunsch eingesehen werden.
Das Aufgabenheft und alle von Ihnen verwendeten Blätter sind abzugeben.
Bewertung
Die Aufgaben im Teil 1 werden mit 0 Punkten oder 1 Punkt bzw. 0 Punkten, ½ oder 1 Punkt bewertet. Die zu
erreichenden Punkte pro Aufgabe sind bei jeder Teil-1-Aufgabe im Aufgabenheft angeführt.
Jede Teilaufgabe im Teil 2 wird mit 0, 1 oder 2 Punkten bewertet. Die mit A markierten Aufgabenstellungen
werden mit 0 Punkten oder 1 Punkt bewertet.
Zwei Beurteilungswege
1) Wenn Sie mindestens 16 von 28 Punkten (24 Teil-1-Punkte + 4 A -Punkte aus Teil 2) erreicht haben, gilt der
folgende Beurteilungsschlüssel:
Genügend 16 – 23,5 Punkte
Befriedigend 24 – 32,5 Punkte
Gut 33 – 40,5 Punkte
Sehr gut 41 – 48 Punkte
2) Wenn Sie weniger als 16 von 28 Punkten (24 Teil-1-Punkte + 4 A -Punkte aus Teil 2) erreicht haben, aber
insgesamt 24 Punkte oder mehr (aus Teil-1- und Teil-2-Aufgaben) erreicht haben, dann können Sie auf
diesem Weg ein „Genügend“ oder „Befriedigend“ erreichen:
Genügend 24 – 28,5 Punkte
Befriedigend 29 – 35,5 Punkte
Ab 36 erreichten Punkten gilt der unter 1) angeführte Beurteilungsschlüssel.
Die Arbeit wird mit „Nicht genügend“ beurteilt, wenn im Teil 1 unter Berücksichtigung der mit A markierten
Aufgabenstellungen aus Teil 2 weniger als 16 Punkte und insgesamt weniger als 24 Punkte erreicht wurden.
Viel Erfolg!
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“ gewählt
und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen
ein.
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“ übermalt
und dann wieder gewählt.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 

3
Aufgabe 1
Äquivalente Gleichungen
Gegeben ist die Gleichung
x
2
– 4 = 3 in x ∈ ℝ .
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden nachstehenden Gleichungen in x ∈ ℝ an, die zur gegebenen Gleichung
äquivalent sind.
x – 4 = 6
x
2
= –1
x
2
– 3 = 4
x – 8
2
= 3
(
x
2
– 4
)
2
= 9
[0 / 1 Punkt]

4
Aufgabe 2
Verkehrsunfallstatistik
Die nachstehenden Angaben beziehen sich auf Straßenverkehrsunfälle im Zeitraum von 2014 bis
2016.
A ... Anzahl der Straßenverkehrsunfälle im Jahr 2014, davon a % mit Personenschaden
B ... Anzahl der Straßenverkehrsunfälle im Jahr 2015, davon b % mit Personenschaden
C ... Anzahl der Straßenverkehrsunfälle im Jahr 2016, davon c % mit Personenschaden
Aufgabenstellung:
Geben Sie einen Term für die Gesamtanzahl N der Straßenverkehrsunfälle mit Personenschaden
im Zeitraum von 2014 bis 2016 an.
N =
[0 / 1 Punkt]

5
Aufgabe 3
Löwenrudel
Ein Rudel von Löwen besteht aus Männchen und Weibchen. Die Anzahl der Männchen in diesem
Rudel wird mit m bezeichnet, jene der Weibchen mit w .
Die beiden nachstehenden Gleichungen enthalten Informationen über dieses Rudel.
m + w = 21
4 ∙ m + 1 = w
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die auf dieses Rudel zutreffen.
In diesem Rudel sind mehr Männchen als Weibchen.
Die Anzahl der Weibchen ist mehr als viermal so
groß wie die Anzahl der Männchen.
Die Anzahl der Männchen ist um 1 kleiner als die
Anzahl der Weibchen.
Insgesamt sind mehr als 20 Löwen (Männchen und
Weibchen) in diesem Rudel.
Das Vierfache der Anzahl der Männchen ist um 1
größer als die Anzahl der Weibchen.
[0 / 1 Punkt]

6
Aufgabe 4
Quadratische Gleichung
Gegeben ist die quadratische Gleichung x
2
+ r · x + s = 0 in x ∈ ℝ mit r , s ∈ ℝ .
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Lösungsfällen jeweils diejenige Aussage über die Parameter r und s (aus A
bis F) zu, bei der stets der jeweilige Lösungsfall vorliegt.
A
r
2
4
= s
B
r
2
4
– s > 0 mit r , s ≠ 0
C r ∈ ℝ , s > 0
D r = 0, s < 0
E r ≠ 0, s = 0
F r = 0, s > 0
Die quadratische Gleichung hat keine
reelle Lösung.
Die quadratische Gleichung hat nur eine
reelle Lösung x = –
r
2
.
Die quadratische Gleichung hat die reellen
Lösungen x
1
= 0 und x
2
= – r .
Die quadratische Gleichung hat die reellen
Lösungen x
1
= – √ – s und x
2
= √ – s .
[0 / ½ / 1 Punkt]

7
Aufgabe 5
Parallele Gerade durch einen Punkt
Im nachstehenden Koordinatensystem ist eine Gerade g abgebildet. Die gekennzeichneten
Punkte der Geraden g haben ganzzahlige Koordinaten.
y
x
0 4 3 2 1 5 –2 –3 –4 –5 –1
g
0
3
2
1
4
–2
–3
–4
–1
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Parameterdarstellung einer zu g parallelen Geraden h durch den Punkt (3 | –1) an.
h : X =
[0 / 1 Punkt]

8
Aufgabe 6
Räumliches Sehen
Betrachtet man einen Gegenstand, so schließen die Blickrichtungen der beiden Augen einen
Winkel ε ein. In der nachstehend dargestellten Situation hat der Gegenstand G zu den beiden
Augen A
1
und A
2
den gleichen Abstand g . Der Augenabstand wird mit d bezeichnet.
ε
A
2
A
1
d
g
g
G
Aufgabenstellung:
Geben Sie den Abstand g in Abhängigkeit vom Augenabstand d und vom Winkel ε an.
g =
[0 / 1 Punkt]

9
Aufgabe 7
Gewinnfunktion
Die unten stehende Abbildung zeigt eine lineare Kostenfunktion K : x ↦ K ( x ) und eine lineare
Erlösfunktion E : x ↦ E ( x ) mit x ∈ [0; 6].
Für die Gewinnfunktion G : x ↦ G ( x ) gilt für alle x ∈ [0; 6]: G ( x ) = E ( x ) – K ( x ).
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung den Graphen von G ein.
E
K
x
K ( x ), E ( x ), G ( x )
0 6 5 4 3 2 1
7
6
5
4
3
2
1
0
–8
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
8
[0 / 1 Punkt]

10
Aufgabe 8
Funktionale Zusammenhänge
Gegeben ist die Gleichung w =
y · z
2
2 · x
mit w , x , y , z ∈ ℝ
+
.
Die gegebene Gleichung beschreibt funktionale Zusammenhänge zwischen zwei Variablen, wenn
die beiden anderen Variablen als konstant angenommen werden.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.
Betrachtet man z in Abhängigkeit von x , so ist
z : ℝ
+
→ ℝ
+
, x ↦ z ( x ) eine Exponentialfunktion.
Betrachtet man w in Abhängigkeit von z , so ist
w : ℝ
+
→ ℝ
+
, z ↦ w ( z ) eine quadratische Funktion.
Betrachtet man w in Abhängigkeit von x , so ist
w : ℝ
+
→ ℝ
+
, x ↦ w ( x ) eine lineare Funktion.
Betrachtet man y in Abhängigkeit von z , so ist
y : ℝ
+
→ ℝ
+
, z ↦ y ( z ) eine Polynomfunktion vom Grad 2.
Betrachtet man x in Abhängigkeit von y , so ist
x : ℝ
+
→ ℝ
+
, y ↦ x ( y ) eine lineare Funktion.
[0 / 1 Punkt]

11
Aufgabe 9
Graph zeichnen
Von einer linearen Funktion f sind nachstehende Eigenschaften bekannt:
• Die Steigung von f ist –0,4.
• Der Funktionswert von f an der Stelle 2 ist 1.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen von f auf dem Intervall [–7; 7]
ein.
f ( x )
x 0
7
6
5
4
3
2
1
8
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–1
7 6 5 4 3 2 1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –1 –8 8 0
[0 / 1 Punkt]

12
Aufgabe 10
Bruttogehalt und Nettogehalt
Auf der Website des Finanzministeriums findet man einen Brutto-Netto-Rechner, der für jedes
monatliche Bruttogehalt das entsprechende Nettogehalt berechnet.
Folgende Tabelle gibt Auskunft über einige Gehälter:
Bruttogehalt in € 1 500 2 000 2 500
Nettogehalt in € 1 199 1 483 1 749
Aufgabenstellung:
Zeigen Sie unter Verwendung der in der obigen Tabelle angeführten Werte, dass zwischen dem
Brutto gehalt und dem Nettogehalt kein linearer Zusammenhang besteht.
[0 / 1 Punkt]

13
Aufgabe 11
Verzinsung
Ein Kapital K
0
wird auf einem Sparbuch mit 1 % p. a. (pro Jahr) verzinst.
Für die nachstehende Aufgabenstellung gilt die Annahme, dass allfällige Steuern oder Gebühren
nicht gesondert berücksichtigt werden müssen und dass keine weiteren Einzahlungen oder Auszahlungen erfolgen.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie, in wie vielen Jahren sich das Kapital K
0
bei gleichbleibendem Zinssatz verdoppelt.
[0 / 1 Punkt]

14
Aufgabe 12
Sinusfunktion
Gegeben ist eine Funktion f : ℝ → → ℝ mit f ( x ) = a · sin (
π ∙ x
b
) mit a , b ∈ ℝ
+
.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie in der nachstehenden Abbildung a und b auf der jeweils entsprechenden Achse so,
dass der abgebildete Graph dem Graphen der Funktion f entspricht.
x
f
f ( x )
0
0
[0 / 1 Punkt]

15
Aufgabe 13
Differenzenquotient und Differenzialquotient
Nachstehend ist der Graph einer Polynomfunktion f zweiten Grades abgebildet. Zusätzlich sind
vier Punkte auf dem Graphen mit den x -Koordinaten x
1
, x
2
, x
3
und x
4
eingezeichnet.
f ( x )
x
f
x
1
x
2
x
3
x
4
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden auf die Funktion f zutreffenden Aussagen an.
Der Differenzenquotient für das Intervall [ x
1
; x
2
] ist
kleiner als der Differenzialquotient an der Stelle x
1
.
Der Differenzenquotient für das Intervall [ x
1
; x
3
] ist
kleiner als der Differenzialquotient an der Stelle x
3
.
Der Differenzenquotient für das Intervall [ x
1
; x
4
] ist
kleiner als der Differenzialquotient an der Stelle x
2
.
Der Differenzenquotient für das Intervall [ x
2
; x
4
] ist
größer als der Differenzialquotient an der Stelle x
2
.
Der Differenzenquotient für das Intervall [ x
3
; x
4
] ist
größer als der Differenzialquotient an der Stelle x
4
.
[0 / 1 Punkt]

16
Aufgabe 14
Bewegung
Ein Körper startet seine geradlinige Bewegung zum Zeitpunkt t = 0.
Die Funktion v ordnet jedem Zeitpunkt t die Geschwindigkeit v ( t ) des Körpers zum Zeitpunkt t zu
( t in s, v ( t ) in m/s).
Aufgabenstellung:
Interpretieren Sie die Gleichung v ′ (3) = 1 im gegebenen Kontext unter Verwendung der ent sprechenden Einheit.
[0 / 1 Punkt]

17
Aufgabe 15
Konzentration eines Arzneistoffs
Einer Patientin wird täglich um 8:00 Uhr ein Arzneistoff intravenös verabreicht.
Die Konzentration des Arzneistoffs im Blut der Patientin am Tag t unmittelbar vor der
Verabreichung des Arzneistoffs wird mit c
t
bezeichnet ( c
t
in Milligramm/Liter).
Für t ∈ ℕ gilt: c
t + 1
= 0,3 ∙ ( c
t
+ 4)
Aufgabenstellung:
Interpretieren Sie den in der Gleichung auftretenden Zahlenwert 4 im gegebenen Kontext unter
Verwendung der entsprechenden Einheit.
[0 / 1 Punkt]

18
Aufgabe 16
Graphen von Ableitungsfunktionen
Unten stehend sind die vier Graphen der Funktionen f
1
bis f
4
sowie die Graphen von sechs
Funktionen (A bis F) abgebildet.
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Graphen der Funktionen f
1
bis f
4
jeweils denjenigen Graphen (aus A bis F) zu,
der die Ableitung dieser Funktion darstellt.
f
1
( x )
f
1
x
0
f
2
( x )
f
2
x
0
f
3
( x )
f
3
x
0
f
4
( x )
f
4
x
0
A
f
i
′
( x )
f
i
′
x
0
B
f
i
′
( x )
f
i
′
x
0
C
f
i
′
( x )
f
i
′
x
0
D
f
i
′
( x )
f
i
′
x
0
E
f
i
′
( x )
f
i
′
x
0
F
f
i
′
( x )
f
i
′
x
0
[0 / ½ / 1 Punkt]

19
Aufgabe 17
Eigenschaften einer Polynomfunktion
Es sei f : ℝ → ℝ eine Polynomfunktion und a , b ∈ ℝ mit a < b .
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen des jeweils richtigen Satzteils so,
dass jedenfalls eine korrekte Aussage entsteht.
Wenn für alle x ∈ ( a ; b )
1
gilt, dann ist die Funktion f im Intervall ( a ; b )
2
.
1
f ( x ) > 0
f ′ ( x ) < 0
f ″ ( x ) > 0
2
streng monoton fallend
rechtsgekrümmt (negativ gekrümmt)
streng monoton steigend
[0 / 1 Punkt]

20
Aufgabe 18
Bestimmte Integrale
Nachstehend ist der Graph einer Polynomfunktion f mit den Nullstellen x
1
= –1, x
2
= 0, x
3
= 2
und x
4
= 4 dargestellt.
Für die mit A
1
, A
2
und A
3
gekennzeichneten Flächeninhalte gilt:
A
1
= 0,4, A
2
= 1,5 und A
3
= 3,2.
f ( x )
x
f
A
3
A
2
A
1
0 3 2 1 –1 4
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Gleichungen an, die wahre Aussagen sind.
∫
2
–1
f ( x ) d x = 1,9
∫
4
0
f ( x ) d x = 1,7
∫
4
–1
f ( x ) d x = 5,1
∫
2
0
f ( x ) d x = 1,5
∫
4
2
f ( x ) d x = 3,2
[0 / 1 Punkt]

21
Aufgabe 19
Histogramm
Ein Betrieb hat insgesamt 200 Beschäftigte. In der nachstehenden Tabelle sind die Stundenlöhne
dieser Beschäftigten in Klassen zusammengefasst.
Stundenlohn x in Euro Anzahl der Beschäftigten
6 ≤ x < 10 20
10 ≤ x < 15 80
15 ≤ x < 20 60
20 ≤ x ≤ 30 40
Der Flächeninhalt eines Rechtecks im unten stehenden Histogramm ist der relative Anteil der Beschäftigten in der jeweiligen Klasse.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie im nachstehenden Histo gramm die fehlende Säule so, dass die obigen Daten dargestellt sind.
x in Euro
0 2 4 6 8 12 10 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
10 %
40 %
30 %
4 %
2 %
0 %
12 %
10 %
8 %
6 %
14 %
18 %
16 %
20 %
[0 / 1 Punkt]

22
Aufgabe 20
Statistische Kennzahlen
Eine Datenliste wird um genau einen Datenwert ergänzt, der größer als alle bisher erfassten
Datenwerte ist. Zwei der unten stehenden statistischen Kennzahlen werden dadurch jedenfalls
größer.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden statistischen Kennzahlen an.
Spannweite
Modus
Median
3. Quartil
arithmetisches Mittel
[0 / 1 Punkt]

23
Aufgabe 21
Grippe in Österreich
Die Medizinische Universität Wien hat die Daten einer Grippe-Virusinfektion für eine bestimmte
Woche veröffentlicht. Dazu wurden Blutproben von Personen, die in dieser Woche an Grippe
erkrankt waren, untersucht. Von den 1 954 untersuchten Blutproben waren 547 Blutproben mit
dem Virus A(H1N1) , 117 Blutproben mit dem Virus A(H3N2) und die restlichen Blutproben mit
dem Virus Influenza B infiziert.
Aufgabenstellung:
Verwenden Sie die obigen Häufigkeitsangaben als Wahrscheinlichkeiten und bestimmen Sie unter
dieser Voraussetzung die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte an Grippe erkrankte Person mit dem Virus Influenza B infiziert ist.
[0 / 1 Punkt]

24
Aufgabe 22
Basketball
Martin und Sebastian werfen beim Basketball nacheinander je einmal in Richtung des Korbes.
Martin trifft mit der Wahrscheinlichkeit 0,7 in den Korb und Sebastian trifft mit der Wahrscheinlichkeit 0,8 (unabhängig davon, ob Martin getroffen hat) in den Korb.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau einer der beiden Spieler in den
Korb trifft.
[0 / 1 Punkt]

25
Aufgabe 23
Drei Würfe mit einem Kegel
Wirft man einen Kegel, kann dieser entweder auf der Mantelfläche oder auf der Grundfläche zu
liegen kommen.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Kegel auf der Grundfläche zu liegen kommt, beträgt bei
jedem Wurf unabhängig von den anderen Würfen 30 %.
Der Kegel wird im Zuge eines Zufallsexperiments dreimal geworfen. Die Zufallsvariable X beschreibt, wie oft der Kegel dabei auf der Grundfläche zu liegen kommt.
Die unten stehende Tabelle soll die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X angeben.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die fehlenden Werte.
X Wahrscheinlichkeit (gerundet)
0 0,343
1 0,441
2
3
[0 / 1 Punkt]

26
Aufgabe 24
Frühstück
Im Rahmen einer Studie gaben 252 von 450 Jugendlichen eines Bundeslandes an, dass sie
immer frühstücken, bevor sie in die Schule gehen. Der Anteil dieser Jugendlichen wird mit h bezeichnet.
Der Anteil aller Jugendlichen dieses Bundeslandes, die immer frühstücken, bevor sie in die Schule
gehen, wird mit p bezeichnet.
Aufgabenstellung:
Geben Sie auf Basis dieser Studie für p ein um h symmetrisches 95-%-Konfidenzintervall an.
[0 / 1 Punkt]

27
Aufgabe 25 (Teil 2)
Einsatz von Antibiotika
Die Entwicklung einer Bakterienpopulation kann durch die Zufuhr von Antibiotika beeinflusst werden,
was letztlich durch die Giftwirkung von Antibiotika zum Aussterben der Bakterienpopulation führen
soll.
In bestimmten Fällen kann diese Entwicklung näherungsweise durch eine Funktion B : ℝ
+
0
→ → ℝ
beschrieben werden:
B ( t ) = b · ℯ
k ∙ t –
c
2
· t
2
mit b , c , k ∈ ℝ
+
t ... Zeit in Stunden
B ( t ) ... Anzahl der Bakterien in Millionen zum Zeitpunkt t
b ... Anzahl der Bakterien in Millionen zum Zeitpunkt t = 0
k ... Konstante
c ... Parameter für die Giftwirkung
Aufgabenstellung:
a) Die Funktion B hat genau eine positive Extremstelle t
1
.
1) Bestimmen Sie t
1
in Abhängigkeit von k und c .
2) Geben Sie an, welche Auswirkungen eine Vergrößerung von c bei gegebenem k auf die
Lage der Extremstelle t
1
der Funktion B hat.
b) Die Funktion B
1
: ℝ
+
0
→ → ℝ mit B
1
( t ) = 20 · ℯ
2 ∙ t – 0,45 · t
2
beschreibt die Anzahl der Bakterien einer
bestimmten Bakterienpopulation in Millionen in Abhängigkeit von der Zeit t .
Zum Zeitpunkt t
2
≠ 0 erreicht die Bakterienpopulation ihre ursprüngliche Anzahl von 20 Millionen.
1) A Geben Sie t
2
an.
2) Deuten Sie B
1
′ ( t
2
) im vorliegenden Kontext unter Verwendung der entsprechenden Einheit.
c) Die Funktion B
2
: ℝ
+
0
→ → ℝ mit B
2
( t ) = 5 · ℯ
4 ∙ t –
t 2
2 beschreibt die Anzahl der Bakterien einer
anderen Bakterienpopulation in Millionen, die zum Zeitpunkt t = 4 ihr Maximum aufweist.
1) Bestimmen Sie denjenigen Zeitpunkt t
3
, zu dem die stärkste Abnahme der Bakterien population stattfindet.
2) Geben Sie an, wie viel Prozent der maximalen Anzahl an Bakterien zum Zeitpunkt t
3
noch
vorhanden sind.

28
Aufgabe 26 (Teil 2)
Tennis
Tennis ist ein Rückschlagspiel zwischen zwei oder vier Personen, bei dem ein Tennisball über
ein Netz geschlagen werden muss. Das Spielfeld ist rechteckig und wird durch ein Netz in zwei
Hälften geteilt (siehe Abbildung 1). Für ein Spiel zwischen zwei Personen ist der Platz 23,77 m
lang und 8,23 m breit. Das Spielfeld wird durch die Grundlinien und die Seitenlinien begrenzt. Das
Netz weist eine maximale Höhe von 1,07 m auf.
Abbildung 1:
23,77 m
8,23 m
Netz Seitenlinie
Grundlinie
Aufgabenstellung:
a) Die Funktion f : ℝ
+
0
→ → ℝ mit f ( x ) = –0,0007 · x
3
+ 0,005 · x
2
+ 0,2 · x + 0,4 beschreibt eine
Bahnkurve eines Tennisballs bis zu derjenigen Stelle, an der der Tennisball erstmals den
Boden berührt. Dabei gibt x die waag rechte Entfernung des Tennisballs vom Abschlagpunkt
und f ( x ) die Flughöhe des Tennisballs über dem Boden an ( x und f ( x ) in m). Die Flugbahn
des Tennisballs startet zwischen den Seitenlinien an der Grundlinie und die Ebene, in der die
Flugbahn liegt, verläuft parallel zur Seitenlinie des Tennisfelds.
1) A Geben Sie an, in welcher waagrechten Entfernung vom Abschlagpunkt der Tennisball
seine maximale Höhe erreicht.
waagrechte Entfernung vom Abschlagpunkt: m
2) Überprüfen Sie rechnerisch, ob der Tennisball im gegnerischen Spielfeld oder hinter der
Grundlinie landet.

29
b) Fällt ein Tennisball lotrecht (ohne Drehung) auf den Boden, so springt er wieder lotrecht zurück.
Der Restitutionskoeffizient r ist ein Maß für die Sprungfähigkeit des Tennisballs.
Es gilt: r =
v
2
v
1
, wobei v
1
der Betrag der Geschwindigkeit des Tennisballs vor und v
2
der Betrag
der Geschwindigkeit des Tennisballs nach dem Aufprall ist.
Die Differenz der vertikalen Geschwindigkeiten unmittelbar vor und nach dem Aufprall ist
aufgrund der unterschiedlichen Bewegungsrichtungen des Tennisballs definiert durch:
∆ v = v
2
– (– v
1
).
1) Geben Sie ∆ v in Abhängigkeit von v
1
und r an.
∆ v =
Ein Tennisball trifft mit der Geschwindigkeit v
1
= 4,4 m/s lotrecht auf dem Boden auf. Der
Restitutionskoeffizient beträgt für diesen Tennisball r = 0,6. Die Kontaktzeit mit dem Boden
beträgt 0,01 s.
2) Berechnen Sie die durchschnittliche Beschleunigung a (in m/s
2
) des Tennisballs in vertikaler
Richtung beim Aufprall (während der Kontaktzeit).
a = m/s
2
c) Bei einem Fünf-Satz-Tennismatch gewinnt ein Spieler, sobald er drei Sätze gewonnen hat. Für
einen Satzgewinn müssen in der Regel sechs Games gewonnen werden, wobei es für jedes
gewonnene Game einen Punkt gibt.
Für unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten p für ein gewonnenes Game wurden die daraus
resultierenden Wahrscheinlichkeiten m für einen Matchgewinn bei einem Fünf-Satz-Match
ermittelt. In der nachstehenden Tabelle sind diese Wahrscheinlichkeiten angeführt.
p m
0,5 0,5
0,51 0,6302
0,55 0,9512
0,6 0,9995
0,7 1,000
Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler A ein Game gewinnt, ist um 2 Prozentpunkte höher als
die Wahrscheinlichkeit, dass sein Gegenspieler B ein Game gewinnt.
1) Geben Sie an, um wie viel Prozentpunkte die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler A ein Fünf-
Satz-Match gewinnt, höher ist als jene für seinen Gegenspieler B .
Gegenüber einem anderen, schwächeren Gegenspieler C hat Spieler A einen Vorteil von
10 Prozentpunkten, ein Game zu gewinnen.
2) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler A ein Fünf-Satz-Match gegen Gegenspieler C gewinnt, um 50,94 Prozent höher ist als bei einem Fünf-Satz-Match gegen B .

30
Aufgabe 27 (Teil 2)
Aufzugsfahrt
Die Geschwindigkeiten von Personenaufzügen können sich je nach Bauart und Gebäudehöhe
sehr stark unterscheiden.
Die nachstehende Abbildung zeigt das Zeit-Beschleunigung-Diagramm für eine 20 s dauernde
Aufzugsfahrt. Zu Beginn und am Ende der Fahrt steht der Aufzug still. Die Zeit t wird in Sekunden,
die Beschleunigung a ( t ) in m/s
2
angegeben. Die Beschleunigungswerte wurden mithilfe eines
Sensors ermittelt und der Verlauf der Beschleunigung wurde mit einer differenzierbaren Funktion a
modelliert.
a ( t )
a
t
0,5
0
–0,5
1
–1
0 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 20
Aufgabenstellung:
a) 1) A Geben Sie für jeden im Folgenden genannten Abschnitt der dargestellten Aufzugsfahrt
das entsprechende Zeitintervall an.
Aufzug bremst ab:
Aufzug fährt mit konstanter Geschwindigkeit:
Kim behauptet, dass die Geschwindigkeit des Aufzugs im Zeitintervall [1,5 s; 2 s] konstant
bleibt.
2) Geben Sie an, ob Kim recht hat, und begründen Sie Ihre Entscheidung.
b) 1) Ermitteln Sie anhand der gegebenen Abbildung näherungsweise die Höchstgeschwindigkeit v
max
während der dargestellten Aufzugsfahrt.
Der Graph der Funktion a schließt mit der t -Achse in den Zeitintervallen [0; 3,5] und [17; 20]
jeweils ein Flächenstück ein.
2) Begründen Sie, warum im gegebenen Kontext die Inhalte dieser beiden Flächenstücke
gleich groß sein müssen.

31
c) Ein Produzent von Aufzugsanlagen plant die Herstellung eines neuen Aufzugs.
Die Beschleunigung dieses Aufzugs wird in den ersten 3 Sekunden durch die differenzierbare
Funktion a
1
: [0; 3] → → ℝ mit
0,6 ∙ t
2
∙ (3 – 2 ∙ t ) für 0 ≤ t < 1
a
1
( t ) = 0,6 für 1 ≤ t < 2
0,6 ∙ ( t – 3)
2
∙ (2 ∙ t – 3) für 2 ≤ t ≤ 3
beschrieben ( t in s, a
1
( t ) in m/s
2
).
1) Berechnen Sie die Geschwindigkeitszunahme dieses Aufzugs im Zeitintervall [0; 3].
Für den Verlauf der Fahrt müssen bestimmte Bedingungen für die Beschleunigung eingehalten
werden. Der sogenannte Ruck , die momentane Änderungsrate der Beschleunigung, soll bei
einer Fahrt mit einem Aufzug Werte zwischen –1 m/s
3
und 1 m/s
3
annehmen.
2) Überprüfen Sie, ob dieser Aufzug bei t = 1 die angeführten Bedingungen für den Ruck
einhält.

32
Aufgabe 28 (Teil 2)
E-Book
Ein Buch in digitaler Form wird als E-Book (von engl. electronic book ) bezeichnet.
Die beiden folgenden auf Deutschland bezogenen Grafiken stellen Schätzwerte für die
Entwicklung des Markts für E-Books dar:
Umsatz im Markt für E-Books
in Millionen Euro
2019 2018 2017 2016 2015 2020
800
600
400
200
0
1 000
349
446
550
659
773
869
Nutzer im Markt für E-Books
in Millionen
2019 2018 2017 2016 2015 2020
8
6
4
2
0
10
7
7,8
8,2
8,5 8,8
9,1
Quelle: http://www.e-book-news.de/20-prozent-wachstum-pro-jahr-statista-sieht-deutschen-e-book-markt-im-aufwind/ [19.06.2019]
(adaptiert).
Aufgabenstellung:
a) 1) Berechnen Sie für den geschätzten Umsatz pro Nutzer in Deutschland die absolute und
die relative Änderung für den Zeitraum von 2015 bis 2020.
absolute Änderung: €
relative Änderung:
2) Berechnen Sie den Differenzenquotienten des geschätzten Umsatzes pro Nutzer in
Deutschland für den Zeitraum von 2015 bis 2020.

33
b) Die geschätzte Steigerung des Umsatzes im Markt für E-Books von 349 Millionen Euro im
Jahr 2015 auf 869 Millionen Euro im Jahr 2020 wird in der oben angeführten Quelle wie folgt
beschrieben:
„20 Prozent Wachstum pro Jahr“
1) A Geben Sie an, wie die Umsatzschätzung U (2017) für das Jahr 2017 hätte lauten
müssen, wenn der Umsatz ausgehend vom Schätzwert von 2015 tatsächlich jährlich um
20 % zugenommen hätte.
U (2017) = Millionen Euro
Jemand beschreibt die geschätzte Steigerung des Umsatzes im Markt für E-Books von
349 Millionen Euro im Jahr 2015 auf 869 Millionen Euro im Jahr 2020 wie folgt:
„ a Millionen Euro Wachstum pro Jahr“
2) Berechnen Sie a .
c) Im Jahr 2015 betrug die Einwohnerzahl von Deutschland ungefähr 82,18 Millionen, jene von
Österreich ungefähr 8,58 Millionen. Jemand stellt sich die folgende Frage: „Wie groß ist die
Anzahl der Personen aus Österreich, die im Jahr 2015 schon E-Book-Nutzer waren?“
1) Beantworten Sie diese Frage unter der Annahme, dass Österreich im Jahr 2015 den
gleichen (geschätzten) Anteil an E-Book-Nutzern wie Deutschland hatte.
Anzahl: Personen
Im Jahr 2020 werden 500 Personen aus Österreich zufällig ausgewählt.
Die als binomialverteilt angenommene Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Personen aus
dieser Auswahl an, die E-Book-Nutzer sind. Dabei wird die Wahrscheinlichkeit, dass eine
Person E-Book-Nutzer ist, mit 12 % angenommen.
2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 50 E-Book-Nutzer in dieser
Auswahl sind.