Mathematik-Matura September 2019 · HTL Cluster T2 – Aufgaben

Name:
Klasse/Jahrgang:
BHS
20. September 2019
Angewandte Mathematik
HTL 2
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung

2
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Liebe Kandidatin! Lieber Kandidat!
Es gilt folgender Beurteilungsschlüssel:
44–48 Punkte Sehr gut
38– 43 Punkte Gut
31– 37 Punkte Befriedigend
23–30 Punkte Genügend
0–22 Punkte Nicht genügend Viel Erfolg!
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum
Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“ gewählt und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen
ein.
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“ übermalt und dann wieder gewählt.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
Das vorliegende Aufgabenheft enthält Teil-A-Auf gaben und Teil-B-Aufgaben mit jeweils unterschiedlich vielen Teil aufgaben. Die Teilaufgaben
sind unabhängig voneinander bearbeitbar. Ihnen
stehen insgesamt 270 Minuten an reiner Arbeitszeit zur Verfügung.
Verwenden Sie für die Bearbeitung ausschließlich
dieses Aufgabenheft und das Ihnen zur Verfügung gestellte Arbeitspapier. Schreiben Sie Ihren
Namen und Ihren Jahrgang bzw. Ihre Klasse in
die dafür vorgesehenen Felder auf dem Deckblatt
des Aufgabenhefts sowie Ihren Namen und die
fortlaufende Seitenzahl auf jedes verwendete Blatt
Arbeitspapier. Geben Sie bei der Beantwortung
jeder Teilaufgabe deren Bezeichnung (z. B.: 3d1)
auf dem Arbeitspapier an.
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht
durchgestrichen ist. Streichen Sie Notizen durch.
Die Verwendung von approbierten Formelheften
bzw. von der Formel sammlung für die SRDP in
Angewandter Mathematik und von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder
andere entsprechende Technologie) ist erlaubt,
sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via
Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwerke
etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien
im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich ist.
Eine Erläuterung der Antwortformate liegt im Prüfungsraum zur Durchsicht auf.
Handreichung für die Bearbeitung
– Jede Berechnung ist mit einem nachvollziehbaren Rechenansatz und einer nachvollziehbaren
Dokumentation des Technologieeinsatzes (die
verwendeten Ausgangsparameter und die verwendete Technologiefunktion müssen angegeben werden) durchzuführen.
– Selbst gewählte Variablen sind zu erklären und
gegebenenfalls mit Einheiten zu benennen.
– Ergebnisse sind eindeutig hervorzuheben.
– Ergebnisse sind mit entsprechenden Einheiten
anzugeben, wenn dies in der Handlungsan weisung explizit gefordert wird.
– Werden Diagramme oder Skizzen als Lösungen
erstellt, so sind die Achsen zu skalieren und zu
beschriften.
– Werden geometrische Skizzen erstellt, so sind
die lösungsrelevanten Teile zu beschriften.
– Vermeiden Sie frühzeitiges Runden.
– Legen Sie allfällige Computerausdrucke der
Lösung mit Ihrem Namen beschriftet bei.
– Wird eine Aufgabe mehrfach gerechnet, so sind
alle Lösungswege bis auf einen zu streichen.

3
Aufgabe 1
Mathematik-Olympiade
Die Mathematik-Olympiade ist ein bekannter Wettbewerb für Schü ler/innen.
a) Beim Bundeswettbewerb der Mathematik-Olympiade kann man im ersten Teil maximal
32 Punkte erreichen. Die nachstehenden Boxplots zeigen die erreichte Punkteanzahl der
Teilnehmer/innen im Jahr 2014 und im Jahr 2015.
2014
2015
31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 32 1 0
erreichte Punkteanzahl
Lara hat in beiden Jahren beim Bundeswettbewerb teilgenommen. Im Jahr 2014 hat sie
29 Punkte erreicht, im Jahr 2015 waren es 18 Punkte.
1) Argumentieren Sie, dass Lara im Jahr 2015 im Vergleich zu den anderen Teilnehmerinnen
und Teilnehmern ein besseres Ergebnis als im Jahr 2014 erzielt hat. [1 Punkt]
2) Kreuzen Sie die nicht zutreffende Aussage an. [1 aus 5] [1 Punkt]
Der Interquartilsabstand im Jahr 2014 ist mehr als doppelt so
groß wie der Interquartilsabstand im Jahr 2015.
Im Jahr 2015 erreichten mindestens 75 % der Teilnehmer/innen
mindestens 17 Punkte.
Die Spannweite im Jahr 2015 ist um rund 17 % kleiner als die
Spannweite im Jahr 2014.
Im Jahr 2015 ist der Median um 10,5 Punkte kleiner als im
Jahr 2014.
Im Jahr 2015 erreichten mindestens 75 % der Teilnehmer/innen
maximal 17 Punkte.

4
b) 8 Jugendliche haben am Bundeswettbewerb der Mathematik-Olympiade teilgenommen.
Sie möchten das arithmetische Mittel und die Standard abweichung ihrer erreichten Punkte anzahlen berechnen. Für die Varianz s
2
ergibt sich die nach stehende Berechnung.
s
2
=
1
8
·
(
(16 – 16)
2
+ (22 – 16)
2
+ (21 – 16)
2
+ (30 – 16)
2
+ (4 – 16)
2
+ (11 – 16)
2
+ (9 – 16)
2
+ (15 – 16)
2
)
1) Lesen Sie aus der obigen Berechnung das arithmetische Mittel ab. [1 Punkt]
c) Die nachstehende Häufigkeitstabelle zeigt die erreichten Punkteanzahlen der 40 Teilnehmer/innen des Bundeswettbewerbs der Mathematik-Olympiade im Jahr 2016.
erreichte
Punkteanzahl
Anzahl der
Teilnehmer/innen
0 – 8 7
9 – 16 22
17 – 24 9
25 – 32 2
1) Berechnen Sie, wie viel Prozent der Teilnehmer/innen mindestens 17 Punkte er reicht
haben. [1 Punkt]

5
Aufgabe 2
Der Pauliberg
Der Pauliberg ist Österreichs jüngster erloschener Vulkan und ein beliebtes Ausflugsziel im
Burgenland.
a) Beim Pauliberg befindet sich eine Fundstätte von großen Brocken aus vulkanischem Gestein.
Für die nachfolgenden Aufgaben wird vereinfacht von kugelförmigen Brocken ausgegangen.
Ein bestimmter Brocken hat eine Masse von 4,5 t.
Die Dichte des Gesteins beträgt 3 000 kg/m
3
.
Die Masse m ist das Produkt aus Volumen V und Dichte ϱ , also m = V · ϱ .
1) Berechnen Sie den Durchmesser dieses Brockens. [1 Punkt]
Von zwei solchen Brocken mit gleicher Dichte und verschiedener Masse kennt man jeweils
den Durchmesser:
Brocken 1 Brocken 2
Masse in kg m
1
m
2
Durchmesser 1 m 1 dm
2) Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an. [1 aus 5] [1 Punkt]
m
1
ist das Zehnfache von m
2
.
m
1
und m
2
stehen im Verhältnis 10 000 : 1.
m
2
= 1 000 · π · m
1
m
1
und m
2
stehen im Verhältnis 100 : 1.
m
1
= 1 000 · m
2

6
b) Beim Pauliberg gibt es einen beliebten Wanderweg.
Sarah benötigt für die a Kilometer lange Wanderung b Stunden. Leonie wandert auf der
gleichen Strecke, startet aber 1,5 Stunden später. Sarah und Leonie erreichen gleichzeitig das
Ziel.
1) Erstellen Sie aus a und b eine Formel zur Berechnung der mittleren Geschwindigkeit v von
Leonie in km/h.
v = [1 Punkt]
c) Unweit des Paulibergs liegt die Burgruine Landsee. Diese kann für private Veranstaltungen
gemietet werden.
Die Raummiete für eine Veranstaltung beträgt € 450. Zusätzlich sind pro teilnehmender
Person € 1,50 zu bezahlen.
Die Gesamtkosten (in €) sollen in Abhängigkeit von der Anzahl der teilnehmenden Personen x
durch eine lineare Kostenfunktion K beschrieben werden.
1) Erstellen Sie eine Funktionsgleichung von K . [1 Punkt]
Der Vermieter schlägt eine neue Preisgestaltung vor. Zur Veranschaulichung wurde das folgende Diagramm erstellt:
Gesamtkosten in €
Anzahl der teilnehmenden Personen
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 100
500
400
300
200
100
0
600
2) Ermitteln Sie, ab welcher Anzahl an teilnehmenden Personen die Gesamtkosten mit der
neuen Preisgestaltung höher als bisher sind. [1 Punkt]

7
Aufgabe 3
Pelletsheizung
Pellets sind Heizmaterial aus gepressten Sägespänen.
a) Die Gesamtkosten für eine Pelletslieferung setzen sich aus einer fixen Grundgebühr und den
Kosten für die Liefermenge zusammen. Dabei ist für jede Tonne Pellets der gleiche Preis zu
bezahlen.
Ein Pelletshändler bietet auf seiner Website einen Online-Rechner an. Eine Kundin verwendet
diesen Online-Rechner und notiert die Gesamtkosten für drei verschiedene Liefermengen:
Liefermenge in Tonnen Gesamtkosten in Euro
2 500
4 960
5,5 1 260
1) Überprüfen Sie nachweislich, ob der Online-Rechner die Gesamtkosten wie oben beschrieben berechnet. [1 Punkt]

8
b) Die Temperatur, auf die das Wasser eines Heizsystems erwärmt wird, bezeichnet man als
Vorlauftemperatur . Bei einer Pelletsheizung ist die Vorlauftemperatur abhängig von der Außentemperatur.
Den Graphen der zugehörigen Funktion V nennt man Heizkurve . In der nachstehenden Abbildung ist eine solche Heizkurve für Außentemperaturen von –15 °C bis 20 °C dargestellt.
Außentemperatur x in °C
Vorlauftemperatur V ( x ) in °C
V
15 10 5 0 20 –10 –15 –20 –5
0
60
50
40
30
20
10
70
1) Kreuzen Sie die auf die Funktion V im Intervall ]0; 20[ zutreffende Aussage an. [1 aus 5]
[1 Punkt]
V ( x ) > 0 und V ′ ( x ) > 0
V ′ ( x ) > 0 und V ″ ( x ) < 0
V ( x ) < 0 und V ″ ( x ) < 0
V ′ ( x ) < 0 und V ″ ( x ) < 0
V ( x ) < 0 und V ″ ( x ) > 0
Die Funktion V soll im Intervall [–15; 20] durch eine lineare Funktion ersetzt werden. Diese soll
an den Randpunkten des Intervalls die gleichen Funktionswerte wie V haben.
2) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Graphen dieser linearen Funktion ein. [1 Punkt]
3) Geben Sie an, um wie viel Grad Celsius die Vorlauftemperatur bei einer Außentemperatur
von 0 °C geringer ist, wenn anstelle der Funktion V die lineare Funktion verwendet wird.
[1 Punkt]

9
c) Bei einer Lieferung werden die Pellets in einer Höhe von 2 m durch einen Einblasstutzen in
einen Lagerraum waagrecht eingeblasen. Eine aufgehängte Schutzmatte soll dabei verhindern, dass die Pellets brechen, wenn die Einblasgeschwindigkeit zu groß ist. Die Flugbahn
eines Pellets kann modellhaft durch den Graphen der folgenden quadratischen Funktion
beschrieben werden:
h ( x ) = –
5 · x
2
v
0
2
+ 2
x ... waagrechte Entfernung vom Einblasstutzen in m
h ( x ) ... Flughöhe eines Pellets über dem Boden bei der Entfernung x in m
v
0
... Einblasgeschwindigkeit in m/s
1) Zeichnen Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen der Funktion h für eine
Einblasgeschwindigkeit von v
0
= 4 m/s ein. [1 Punkt]
Schutzmatte h ( x ) in m
x in m
Boden
Einblasstutzen
2
1,5
1
0,5
0
2,5
3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 3,5
Bei einer anderen Einblasgeschwindigkeit trifft das Pellet gerade noch das untere Ende der
1 m langen Schutzmatte.
2) Bestimmen Sie diese Einblasgeschwindigkeit. [1 Punkt]

10
Aufgabe 4
Gewitter
a) In drei verschiedenen Städten – A , B und C – werden am Nachmittag laut Wetter prognose
unabhängig voneinander mit folgenden Wahrscheinlichkeiten Gewitter auftreten:
Stadt A B C
Wahrscheinlichkeit für ein Gewitter 50 % 80 % 80 %
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in mindestens einer der drei Städte kein
Gewitter auftreten wird. [1 Punkt]
b) Um Gebäude vor Blitzeinschlägen zu schützen, werden Blitzableiter verwendet. Dabei wird
eine Metallstange, die sogenannte Fangstange , auf dem Gebäude senkrecht montiert.
Der höchste Punkt einer solchen Fangstange kann als Spitze eines drehkegelförmigen Schutz
bereichs angesehen werden. Alle Objekte, die sich vollständig innerhalb dieses Schutzbereichs
befinden, sind vor direkten Blitzeinschlägen geschützt.
h … Höhe der Fangstange
α … Schutzwinkel
r … Radius der Grundfläche des
Schutzbereichs
Grundfläche des
Schutzbereichs
r
h
α
Fangstange
Flachdach
1) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Radius r aus α und h . [1 Punkt]
r =
Auf einem Flachdach ist eine 2 m hohe Fangstange senkrecht montiert. 3 m vom Fußpunkt
der Fang stange entfernt steht eine 1,2 m hohe Antenne senkrecht auf dem Flachdach. Der
Schutzwinkel beträgt 77°.
2) Überprüfen Sie nachweislich, ob sich diese Antenne vollständig innerhalb des Schutz
bereichs befindet. [1 Punkt]

11
c) Während eines Nachmittags, an dem es ein Gewitter gab, wurde die Veränderung der Tem
peratur ermittelt. Die Funktion T ′ beschreibt die momentane Änderungsrate der Temperatur in
Abhängigkeit von der Zeit t (siehe nachstehende Abbildung).
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
T ′ ( t ) in °C/h
T ′
0 0,5 0,75 1 1,25 1,5 0,25
t in h
t
0
t … Zeit seit Beginn der Messung in h
T ′ ( t ) … momentane Änderungsrate der Temperatur zur Zeit t in °C/h
Die Funktion T ′ hat an der Stelle t
0
eine Nullstelle (siehe obige Abbildung).
1) Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an. [1 aus 5] [1 Punkt]
Jede Stammfunktion von T ′ hat an der
Stelle t
0
eine Maximumstelle.
Jede Stammfunktion von T ′ hat an der
Stelle t
0
eine Minimumstelle.
Jede Stammfunktion von T ′ hat an der
Stelle t
0
eine Nullstelle.
Jede Stammfunktion von T ′ hat an der
Stelle t
0
eine Wendestelle.
Jede Stammfunktion von T ′ hat an der
Stelle t
0
eine positive Steigung.
Die absolute Temperaturänderung in einem Zeitintervall [ t
1
; t
2
] kann durch das Integral
∫
t 2
t 1
T ′ ( t ) d t
berechnet werden.
2) Bestimmen Sie mithilfe der obigen Abbildung näherungsweise die absolute Temperatur
änderung im Zeitintervall [1,25; 1,5]. [1 Punkt]

12
Aufgabe 5
Luftverschmutzung
a) Die Belastung der Luft durch Schwefeldioxid entsteht unter anderem durch Verbrennung von
Heizöl und Kohle. Als gesetzliche Obergrenze für den Schwefeldioxidgehalt der Luft gilt ein
Tagesmittelwert von 120 μg/m
3
. Im Jahr 1986 wurde dieser Wert am „schwarzen Freitag“ in
Linz um 857 % überschritten.
1) Berechnen Sie den Tagesmittelwert des Schwefeldioxidgehalts der Luft in μg/m
3
an diesem Tag in Linz. [1 Punkt]
b) In Linz ist die Staubbelastung der Luft im Zeitraum von 1985 bis 1996 stark zurückgegangen.
Im Jahr 1985 wurde die Luft in Linz mit 11 000 t Staub belastet. Im Jahr 1996 waren es nur
noch 3 000 t.
Im Zuge eines Forschungsprojekts hat man erkannt, dass die Funktion S , die die Staubbelastung S ( t ) in Tonnen in Abhängigkeit von der Zeit t in Jahren angibt, annähernd linear ist.
1) Erstellen Sie mithilfe der obigen Daten eine Gleichung dieser linearen Funktion. Wählen Sie
t = 0 für das Jahr 1985. [1 Punkt]
2) Berechnen Sie den Funktionswert für das Jahr 2001 gemäß diesem Modell. [1 Punkt]
3) Erklären Sie, warum der berechnete Funktionswert für das Jahr 2001 im gegebenen
Sachzusammenhang nicht sinnvoll ist. [1 Punkt]

13
c) Kohlenstoffmonoxid entsteht bei Verbrennungsprozessen und ist für Menschen giftig.
Der Kohlenstoffmonoxidausstoß im Jahr t in einer Region kann näherungsweise folgender maßen beschrieben werden:
c ( t ) = 1,29 · 0,9659
t
t ... Zeit in Jahren, t = 0 entspricht dem Jahr 1990
c ( t ) ... Kohlenstoffmonoxidausstoß im Jahr t in Tonnen
1) Kreuzen Sie die auf dieses Modell zutreffende Aussage an. [1 aus 5] [1 Punkt]
Der Kohlenstoffmonoxidausstoß nimmt um
29 % pro Jahr zu.
Der Kohlenstoffmonoxidausstoß nimmt im
Laufe der Zeit immer schneller ab.
Der Kohlenstoffmonoxidausstoß nimmt
linear ab.
Der Kohlenstoffmonoxidausstoß nimmt um
3,41 % pro Jahr ab.
Der Kohlenstoffmonoxidausstoß nimmt um
96,59 % pro Jahr ab.

14
Aufgabe 6 (Teil B)
Auf dem Laufband
Die nachstehende Abbildung zeigt modellhaft den Verlauf der Geschwindigkeit eines Läufers
während einer Trainingseinheit von 25 min. Die abschnittsweise definierte lineare Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v setzt sich aus 8 Abschnitten zusammen.
Geschwindigkeit v ( t ) in m/min
Zeit t in min
200
160
120
80
40
0
240
27 26 28 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
8
7
6
5
4
3
2
1
a) 1) Geben Sie an, in welchem der 8 Abschnitte die Beschleunigung am größten ist. [1 Punkt]
2) Erstellen Sie eine Gleichung der Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v für den Abschnitt 5 ,
also für das Zeitintervall [11 min; 13 min]. [1 Punkt]
b) 1) Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Länge desjenigen Weges, den der Läufer in den ersten 11 min zurücklegt. [1 Punkt]
2) Ermitteln Sie die Länge dieses Weges in Kilometern. [1 Punkt]
c) Der im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm dargestellte Verlauf kann im Zeitintervall [0 min; 25 min]
durch die Funktion v beschrieben werden.
1) Beschreiben Sie, was mit dem nachstehenden Ausdruck im gegebenen Sachzusammenhang berechnet wird. Geben Sie dabei die entsprechende Einheit an.
1
25
∙
∫
25
0
v ( t ) d t [1 Punkt]

15
d) Die nachstehende Abbildung zeigt vereinfacht die Seitenansicht eines Laufbands.
y
x
h
g
f
y
B
m
C
A
α
x
1
P
1) Beschriften Sie im Dreieck ABC die Länge z und den Winkel φ so, dass gilt:
m
sin( φ )
=
z
sin( α )
[1 Punkt]
Folgende Größen sind bekannt: m = 155 cm, α = 13° und AB = 150 cm
2) Berechnen Sie die Höhe AC des Laufbands. [1 Punkt]
Die Darstellung des Haltegriffs in der obigen Abbildung setzt sich aus den Graphen der Funktionen f , g und h zusammen.
f ist eine lineare Funktion mit der Steigung k .
f und g schneiden einander im Punkt P .
Der Winkel β wird mit folgender Formel berechnet:
β = arccos
(
( )
1
k
·
( )
1
g ′ ( x
1
)
| ( )
1
k
|
·
| ( )
1
g ′ ( x
1
)
|
)
3) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Winkel β ein. [1 Punkt]

16
Aufgabe 7 (Teil B)
Ausstellungshalle
In der nachstehenden Abbildung sind 2 verschiedene Entwürfe für eine Ausstellungshalle in
der Seitenansicht dargestellt.
y in m
x in m
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 –1
5
4
3
2
1
0
6
R
S
2
S
1
g
2
g
1
f
1
f
2 1. Entwurf
2. Entwurf
verglaste Seitenfläche
a) Im 1. Entwurf wird die Dachlinie mithilfe der Funktionen f
1
und g
1
beschrieben:
f
1
( x ) = 3 +
x
3
mit –0,5 ≤ x ≤ 6
g
1
( x ) = –
1
9
∙ x
2
+
5
3
∙ x – 1 mit 6 ≤ x ≤ 10
1) Berechnen Sie die Länge der Dachlinie im Intervall [–0,5; 10]. [1 Punkt]
b) Für den 1. Entwurf soll der Inhalt A der zu verglasenden Seitenfläche unterhalb der Graphen
der Funktionen f
1
und g
1
im Intervall [0; 9] berechnet werden.
1) Beschreiben Sie, welcher Fehler in der nachstehenden Berechnung gemacht wurde.
A =
∫
6
0
f
1
( x ) d x +
∫
9
6
g
1
( x ) d x =
∫
9
0
( f
1
( x ) + g
1
( x )) d x [1 Punkt]
c) Im 2. Entwurf wird die Dachlinie mithilfe der Funktionen f
2
und g
2
beschrieben.
Der Graph der linearen Funktion f
2
soll durch den Punkt R = (0 | 3) verlaufen und einen Steigungswinkel von 25° haben.
1) Stellen Sie eine Gleichung der Funktion f
2
auf. [1 Punkt]
Die Funktion f
2
geht im Punkt S
2
= ( x
S 2
| y
S 2
) knickfrei in die Funktion g
2
über, das heißt, die
Funktionen g
2
und f
2
haben im Punkt S
2
den gleichen Funktionswert und die gleiche Steigung.
Die Funktion g
2
ist gegeben durch:
g
2
( x ) = –
1
9
∙ x
2
+
5
3
∙ x + c mit x
S 2
< x < 10
2) Berechnen Sie die x -Koordinate x
S 2
. [1 Punkt]
3) Berechnen Sie c . [1 Punkt]

17
d) Der Schallpegel in der Ausstellungshalle soll durch zusätzliche Absorptionsflächen vermindert
werden. Dabei gilt:
L ( A ) = 10 ∙ lg
(
1 +
A
10
)
A … Inhalt der zusätzlichen Absorptionsfläche in m
2
L ( A ) … Schallpegelminderung bei einer zusätzlichen Absorptionsfläche A in Dezibel (dB)
1) Berechnen Sie den Inhalt der zusätzlichen Absorptionsfläche, die für eine Schallpegel minderung um 10 dB benötigt wird. [1 Punkt]
e) Die Breite bestimmter Dachziegel ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 215 mm und der Standardabweichung σ = 2 mm.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Dachziegel eine
Breite von mindestens 212 mm und höchstens 217 mm hat. [1 Punkt]
2) Veranschaulichen Sie diese Wahrscheinlichkeit in der nachstehenden grafischen Darstellung der zugehörigen Verteilungs funktion. [1 Punkt]
Wahrscheinlichkeit
Breite in mm
222 220 218 216 214 212 210 208 0 224
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1

18
Aufgabe 8 (Teil B)
Champagner
Champagner wird im französischen Weinbaugebiet Champagne nach streng festgelegten Regeln erzeugt.
a) Eine Flasche Champagner wird zur Zeit t = 0 in einen Kühlschrank mit einer Temperatur von
ϑ
U
= 4 °C gelegt. Zu Beginn ( t = 0) beträgt die Temperatur des Champagners 16 °C und nach
2 Stunden beträgt sie 10 °C.
Die Temperatur des Champagners in Abhängigkeit von der Zeit wird durch die Funktion ϑ beschrieben:
t ... Zeit in h
ϑ ( t ) ... Temperatur des Champagners zur Zeit t in °C
Die momentane Änderungsrate der Temperatur des Champagners ist dabei direkt proportional zur jeweiligen Temperaturdifferenz ϑ – ϑ
U
.
1) Stellen Sie die Differenzialgleichung für die Temperaturfunktion ϑ des Champagners auf.
Bezeichnen Sie dabei den Proportionalitätsfaktor mit k . [1 Punkt]
2) Berechnen Sie die Lösung der Differenzialgleichung für den gegebenen Abkühlungs prozess. [2 Punkte]

19
b) Ein Champagnerglas (ohne Stiel, Glasdicke nicht berücksichtigt) kann
näherungsweise durch die Rotation des Graphen der Wurzelfunktion f und
des Graphen der Wurzelfunktion g um die y -Achse beschrieben werden
(siehe nachstehende Abbildung).
y in cm
x in cm
g
f
–1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 0 1 2 3 4 5 6 7 8
–2
–3
–1
–4
0
4
3
2
1
Für f gilt: y = 3 ·

x + a
Für g gilt: y = –

1,5 · x + 9
1) Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Wert für a ab. [1 Punkt]
2) Berechnen Sie das Füllvolumen des Champagnerglases. [1 Punkt]
In das Champagnerglas werden 150 ml Champagner gefüllt.
3) Berechnen Sie die zugehörige Füllhöhe. [1 Punkt]
c) Ein Händler verkauft die Sorten Tradition , Rosé und Réserve an 3 verschiedene Kunden in
folgenden Mengen:
• Sorte Tradition :
120 Flaschen an Kunde A , 12 Flaschen an Kunde B , 600 Flaschen an Kunde C
• Sorte Rosé :
84 Flaschen an Kunde A , 60 Flaschen an Kunde B , 420 Flaschen an Kunde C
• Sorte Réserve :
36 Flaschen an Kunde A , 72 Flaschen an Kunde B , 144 Flaschen an Kunde C
Kunde A bezahlt insgesamt € 9.864, Kunde B € 7.344 und Kunde C € 47.196.
1) Stellen Sie ein Gleichungssystem in Matrizenform auf, mit dem man für jede Sorte den
Preis pro Flasche berechnen kann. [1 Punkt]