Mathematik-Matura September 2019 · HTL Cluster T1 – Lösungen

Name:
Klasse/Jahrgang:
BHS
20. September 2019
Angewandte Mathematik
HTL 1
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung

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Beurteilung der Klausurarbeit
Gemäß § 38 Abs. 3 SchUG (BGBl. Nr. 472/1986 i. d. g. F.) sind die Leistungen der Prüfungskandidatin / des Prüfungskandidaten nach Maßgabe vorliegender Korrektur- und Beurteilungsanleitung
aufgrund von begründeten Anträgen der Prüferin / des Prüfers von der jeweiligen Prüfungskommission zu beurteilen.
Für die Beurteilung ist ein auf einem Punktesystem basierender Beurteilungsschlüssel vorgegeben, der auf den Kriterien des § 18 Abs. 2 bis 4 und 6 SchUG und der Leistungsbeurteilungsverordnung (BGBl. Nr. 371/1974 i. d. g. F. ) beruht und die Beurteilungsstufen (Noten) entsprechend
abbildet.
Beurteilungsschlüssel:
Note Punkte
Genügend 23 – 30 Punkte
Befriedigend 31 – 37 Punkte
Gut 38 – 43 Punkte
Sehr gut 44 – 48 Punkte
Die Arbeit wird mit „Nicht genügend“ beurteilt, wenn insgesamt weniger als 23 Punkte erreicht
wurden.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://ablauf.srdp.at gesondert bekanntgegeben.

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Handreichung zur Korrektur
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des Helpdesks in Anspruch genommen werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Punkte sind zu vergeben, wenn die abgefragte Handlungskompetenz in der Bearbeitung erfüllt ist.
b. Berechnungen ohne nachvollziehbaren Rechenansatz bzw. ohne nachvollziehbare
Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete Ausgangsparameter und die
verwendete Technologiefunktion müssen angegeben sein) sind mit null Punkten zu
bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind korrekt, so ist diese Teilaufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht
vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in
einem Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
h. Jedes Diagramm bzw. jede Skizze, die Lösung einer Handlungsanweisung ist, muss
eine qualitative Achsenbeschriftung enthalten, andernfalls ist dies mit null Punkten zu
bewerten.
i. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie nicht
explizit eingefordert ist.

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Aufgabe 1
Mathematik-Olympiade
Möglicher Lösungsweg
a1) Lara hat im Jahr 2015 ein besseres Ergebnis erzielt, da sie mit 18 erreichten Punkten unter
den besten 25 % der Teilnehmer/innen war und im Jahr 2014 mit 29 erreichten Punkten
schlechter als die besten 25 % der Teilnehmer/innen war.
a2)
Im Jahr 2015 erreichten mindestens 75 % der Teilnehmer/innen
mindestens 17 Punkte.
b1) arithmetisches Mittel: 16
c1)
9 + 2
40
= 0,275
27,5 % der Teilnehmer/innen haben mindestens 17 Punkte erreicht.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × D: für die richtige Argumentation
a2) 1 × C: für das richtige Ankreuzen
b1) 1 × C: für das richtige Ablesen des arithmetischen Mittels
c1) 1 × B: für die richtige Berechnung des Prozentsatzes

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Aufgabe 2
Der Pauliberg
Möglicher Lösungsweg
a1) V =
m
ϱ
=
4 500 kg
3 000 kg/m
3
= 1,5 m
3
1,5 =
4
3
· π · r
3
⇒ r = 0,71...
d = 2 · r = 1,42...
Der Durchmesser beträgt rund 1,4 m.
a2)
m
1
= 1 000 · m
2
b1) v =
a
b – 1,5
c1) K ( x ) = 1,50 · x + 450
c2)
Gesamtkosten in €
Anzahl der teilnehmenden Personen
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 100
500
400
300
200
100
0
600
Bei mehr als 50 teilnehmenden Personen sind die Gesamtkosten mit der neuen Preisgestaltung höher als bisher.
Toleranzbereich: [40; 60]

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Lösungsschlüssel
a1) 1 × B: für die richtige Berechnung des Durchmessers
a2) 1 × A: für das richtige Ankreuzen
b1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel zur Berechnung von v
c1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung von K
c2) 1 × C: für das richtige Ermitteln der Anzahl der teilnehmenden Personen
(Toleranzbereich: [40; 60])

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Aufgabe 3
Pelletsheizung
Möglicher Lösungsweg
a1)
960 – 500
4 – 2
= 230
1 260 – 960
5,5 – 4
= 200
Der Online-Rechner berechnet die Gesamtkosten nicht wie oben beschrieben, weil nicht für
jede Liefermenge der gleiche Preis pro Tonne zu bezahlen ist.
Ein anderer richtiger Nachweis ist ebenfalls zulässig.
b1)
V ′ ( x ) < 0 und V ″ ( x ) < 0
b2)
Außentemperatur x in °C
Vorlauftemperatur V ( x ) in °C
V
15 10 5 0 20 –10 –15 –20 –5
0
60
50
40
30
20
10
70
b3) Die Vorlauftemperatur bei einer Außentemperatur von 0 °C ist um rund 5 °C geringer.
Toleranzbereich: [3,5 °C; 6,5 °C]

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c1)
Schutzmatte h ( x ) in m
x in m Boden
Einblasstutzen
2
1,5
1
0,5
0
2,5
3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 3,5
c2) Das Pellet trifft gerade noch die Matte, wenn seine Bahn durch den Punkt (2 | 1,5) verläuft:
1,5 = –
5 · 2
2
v
0
2
+ 2
Lösung mittels Technologieeinsatz:
v
0,1
= 6,324... ( oder v
0,2
= –6,324...)
Bei einer Einblasgeschwindigkeit von 6,32... m/s trifft das Pellet gerade noch das untere
Ende der Schutzmatte.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × D: für die richtige nachweisliche Überprüfung
b1) 1 × A1: für das richtige Ankreuzen
b2) 1 × A2: für das richtige Einzeichnen des Graphen der linearen Funktion
b3) 1 × C: für die richtige Angabe der Temperaturdifferenz (Toleranzbereich: [3,5 °C; 6,5 °C])
c1) 1 × B1: für das richtige Einzeichnen des Graphen der Funktion h
c2) 1 × B2: für das richtige Bestimmen der Einblasgeschwindigkeit

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Aufgabe 4
Gewitter
Möglicher Lösungsweg
a1) 1 – 0,5 ∙ 0,8 ∙ 0,8 = 0,68
Die Wahrscheinlichkeit, dass in mindestens einer der drei Städte kein Gewitter auftritt, beträgt 68 %.
b1) r = h ∙ tan( α )
b2)
3
tan(77°)
= 0,69...
2 – 0,69... = 1,30...
In einer Entfernung von 3 m von der Fangstange hat der Schutzbereich eine Höhe von
rund 1,3 m.
Die 1,2 m hohe Antenne befindet sich daher zur Gänze im Schutzbereich.
Auch eine Überprüfung mithilfe einer exakten Zeichnung ist als richtig zu werten.
c1)
Jede Stammfunktion von T ′ hat an der
Stelle t
0
eine Minimumstelle.
c2) Die dem Integral
∫
1,5
1,25
T ′ ( t ) d t entsprechende Fläche wird von rund 10,5 Kästchen mit einem
Flächeninhalt von jeweils 0,125 überdeckt.
Gesamtflächeninhalt: 10,5 ∙ 0,125 ≈ 1,3
Die absolute Temperaturänderung im Zeitintervall [1,25; 1,5] beträgt rund 1,3 °C.
Toleranzbereich: [1,2 °C; 1,45 °C]

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Lösungsschlüssel
a1) 1 × B: für die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit
b1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel zur Berechnung des Radius r
b2) 1 × D: für die richtige nachweisliche Überprüfung
c1) 1 × C: für das richtige Ankreuzen
c2) 1 × B: für das richtige näherungsweise Bestimmen der absoluten Temperaturänderung
(Toleranzbereich: [1,2 °C; 1,45 °C])

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Aufgabe 5
Luftverschmutzung
Möglicher Lösungsweg
a1) 120 · 9,57 = 1 148,4
Am „schwarzen Freitag“ betrug der Tagesmittelwert des Schwefeldioxidgehalts der Luft
1 148,4 μg/m
3
.
b1) S ( t ) = k · t + S
0
k =
3 000 – 11 000
11
= –727,27...
S ( t ) = –727,3 · t + 11 000 (Steigung gerundet)
b2) S (16) = −636,36...
b3) Die Staubbelastung kann nicht negativ sein. Daher ist der Funktionswert für das Jahr 2001
im gegebenen Sachzusammenhang nicht sinnvoll.
c1)
Der Kohlenstoffmonoxidausstoß nimmt um
3,41 % pro Jahr ab.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × B: für die richtige Berechnung des Tagesmittelwerts
b1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung
b2) 1 × B: für die richtige Berechnung des Funktionswerts
b3) 1 × D: für die richtige Erklärung
c1) 1 × C: für das richtige Ankreuzen

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Aufgabe 6 (Teil B)
Auf dem Laufband
Möglicher Lösungsweg
a1) Die Beschleunigung ist in Abschnitt 1 am größten.
a2) v ( t ) = k · t + d
k =
200 – 120
13 – 11
= 40
120 = 40 · 11 + d ⇒ d = –320
v ( t ) = 40 · t – 320 mit 11 ≤ t ≤ 13
t ... Zeit in min
v ( t ) ... Geschwindigkeit zur Zeit t in m/min
b1)
Geschwindigkeit v ( t ) in m/min
Zeit t in min
200
160
120
80
40
0
240
27 26 28 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
8
7
6
5
4
3
2
1
b2) Länge des im Zeitintervall [0 min; 11 min] zurückgelegten Weges in Metern:
160
2
+ 4 · 160 +
160 + 120
2
+ 5 · 120 = 1 460
Die Länge des in diesem Zeitintervall zurückgelegten Weges beträgt 1,46 km.

13
c1 und c3)
y
x
h
g
f
P
y
B
m
C
A
α
x
1
φ
β
z
c2) AC =

m
2
+ AB
2
– 2 · m · AB · cos( α ) =

155
2
+ 150
2
– 2 · 155 · 150 · cos(13°) = 34,88...
Die Höhe AC beträgt rund 34,9 cm.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × C: für die richtige Angabe des Abschnitts
a2) 1 × A: für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung
b1) 1 × A: für das richtige Veranschaulichen der Länge des zurückgelegten Weges
b2) 1 × B: für das richtige Ermitteln der Länge des zurückgelegten Weges in Kilometern
c1) 1 × C: für das richtige Beschriften von z und φ
c2) 1 × B: für die richtige Berechnung der Höhe AC
c3) 1 × A: für das richtige Einzeichnen des Winkels β

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Aufgabe 7 (Teil B)
Ausstellungshalle
Möglicher Lösungsweg
a1)
∫
6
–0,5

1 + (( f
1
′ ( x ))
2
d x +
∫
10
6

1 + (( g
1
′ ( x ))
2
d x = 11,0...
Die Länge der Dachlinie beträgt rund 11 m.
b1) Die beiden Integrale dürften nicht zusammengefasst werden.
c1) f
2
( x ) = 3 + tan(25°) · x
c2) g
2
′ ( x ) = tan(25°) oder –
2
9
· x +
5
3
= tan(25°)
x
S 2
= 5,40...
c3) g
2
(5,40...) = f
2
(5,40...) ⇒ c = –0,24...
d1) L ( A ) = 10 oder 10 · lg ( 1 +
A
10
) = 10
A = 90
Es wird eine zusätzliche Absorptionsfläche von 90 m
2
genötigt.
e1) X ... Breite in mm
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P (212 ≤ X ≤ 217) = 0,7745...
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 77,5 %.
e2)
Wahrscheinlichkeit
Breite in mm
222 220 218 216 214 212 210 208 0 224
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
P (212 ≤ X ≤ 217)

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Lösungsschlüssel
a1) 1 × B: für die richtige Berechnung der Länge der Dachlinie
b1) 1 × C: für die richtige Beschreibung des Fehlers
c1) 1 × A: für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung von f
2
c2) 1 × B1: für die richtige Berechnung der Koordinate x
S 2
c3) 1 × B2: für die richtige Berechnung von c
d1) 1 × B: für die richtige Berechnung des Inhalts der zusätzlichen Absorptionsfläche
e1) 1 × B: für die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit
e2) 1 × A: für das richtige Veranschaulichen der Wahrscheinlichkeit

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Aufgabe 8 (Teil B)
Brücken zwischen Gebäuden
Möglicher Lösungsweg
a1) s =

15
2
+ 35
2
=

1 450 = 38,078...
Die Länge einer Stütze beträgt rund 38,08 m.
a2) Ansatz: AD
2
= s
2
+ MD
2
– 2 · s · MD · cos( α )
AD =

15
2
+ 30
2
=

1 125
MD =

20
2
+ 15
2
=

625 = 25
1 125 = 1 450 + 625 – 2 ·

1 450 · 25 · cos( α ) ⇒ α = 60,06...°
Der Winkel beträgt rund 60,1°.
b1) p (0) = –1
p (5) = 2,5
p (10) = –1
oder:
c = –1
a · 5
2
+ b · 5 + c = 2,5
a · 10
2
+ b · 10 + c = –1
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
a = –
7
50
, b =
7
5
, c = –1
b2)
10 m
p ( x ) in m
A
0 x
1
x
2
p
S
x in m
0
2,5 m

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b3)
β = 90° – arctan( p ′ (0))
c1)
y in m
x in m
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 11
5
4
3
2
1
0
6
L
B A
a
c2) LB
0
= 
5
2
+ 1
2
1
·
( )
5
1
= 
26
1
·
( )
5
1
Lösungsschlüssel
a1) 1 × B1: für die richtige Berechnung der Länge s
a2) 1 × A: für den richtigen Ansatz zur Berechnung des Winkels α
1 × B2: für die richtige Berechnung des Winkels α
b1) 1 × B: für die richtige Berechnung der Koeffizienten
b2) 1 × C1: für das richtige Kennzeichnen der Fläche
b3) 1 × C2: für das richtige Ankreuzen
c1) 1 × C: für das richtige Einzeichnen des Vektors als Pfeil ausgehend von L
c2) 1 × B: für das richtige Ermitteln des Einheitsvektors von LB