Mathematik-Matura September 2019 · AHS – Aufgaben

AHS
20. September 2019
Mathematik
Teil-1- und Teil-2-Aufgaben
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
Name:
Klasse:

2
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat!
Das vorliegende Aufgabenheft enthält Teil-1-Aufgaben und Teil-2-Aufgaben (bestehend aus Teilaufgaben). Die
Aufgaben bzw. Teilaufgaben sind unabhängig voneinander bearbeitbar. Ihnen stehen insgesamt 270 Minuten
an reiner Arbeitszeit zur Verfügung.
Verwenden Sie für die Bearbeitung ausschließlich dieses Aufgabenheft und das Ihnen zur Verfügung gestellte
Arbeitspapier. Schreiben Sie Ihren Namen und Ihre Klasse in die dafür vorgesehenen Felder auf dem Deckblatt des Aufgabenhefts sowie Ihren Namen und die fortlaufende Seitenzahl auf jedes verwendete Blatt Arbeitspapier. Geben Sie bei der Beantwortung jeder Teilaufgabe deren Bezeichnung auf dem Arbeitspapier an.
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht durchgestrichen ist. Die Lösung muss dabei klar ersichtlich
sein. Wenn die Lösung nicht klar ersichtlich ist oder verschiedene Lösungen angegeben sind, gilt die Aufgabe
als nicht gelöst.
Sie dürfen die für diesen Klausurtermin freigegebene Formelsammlung sowie zugelassene elektronische Hilfsmittel verwenden, sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Bluetooth, Mobilfunknetzwerke
etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendaten im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich ist.
Eine Erläuterung der Antwortformate liegt im Prüfungsraum auf und kann auf Wunsch eingesehen werden.
Das Aufgabenheft und alle von Ihnen verwendeten Blätter sind abzugeben.
Bewertung
Die Aufgaben im Teil 1 werden mit 0 Punkten oder 1 Punkt bzw. 0 Punkten, ½ oder 1 Punkt bewertet. Die zu
erreichenden Punkte pro Aufgabe sind bei jeder Teil-1-Aufgabe im Aufgabenheft angeführt.
Jede Teilaufgabe im Teil 2 wird mit 0, 1 oder 2 Punkten bewertet. Die mit A markierten Aufgabenstellungen
werden mit 0 Punkten oder 1 Punkt bewertet.
Zwei Beurteilungswege
1) Wenn Sie mindestens 16 von 28 Punkten (24 Teil-1-Punkte + 4 A -Punkte aus Teil 2) erreicht haben, gilt der
folgende Beurteilungsschlüssel:
Genügend 16 – 23,5 Punkte
Befriedigend 24 – 32,5 Punkte
Gut 33 – 40,5 Punkte
Sehr gut 41 – 48 Punkte
2) Wenn Sie weniger als 16 von 28 Punkten (24 Teil-1-Punkte + 4 A -Punkte aus Teil 2) erreicht haben, aber
insgesamt 24 Punkte oder mehr (aus Teil-1- und Teil-2-Aufgaben) erreicht haben, dann können Sie auf
diesem Weg ein „Genügend“ oder „Befriedigend“ erreichen:
Genügend 24 – 28,5 Punkte
Befriedigend 29 – 35,5 Punkte
Ab 36 erreichten Punkten gilt der unter 1) angeführte Beurteilungsschlüssel.
Die Arbeit wird mit „Nicht genügend“ beurteilt, wenn im Teil 1 unter Berücksichtigung der mit A markierten
Aufgabenstellungen aus Teil 2 weniger als 16 Punkte und insgesamt weniger als 24 Punkte erreicht wurden.
Viel Erfolg!
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“ gewählt
und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen
ein.
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“ übermalt
und dann wieder gewählt.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 

3
Aufgabe 1
Zahlenmengen
Zwischen Zahlenmengen bestehen bestimmte Beziehungen.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden wahren Aussagen an.
ℤ
+
⊆ ℕ
ℂ ⊆ ℤ
ℕ ⊆ ℝ
–
ℝ
+
⊆ ℚ
ℚ ⊆ ℂ
[0 / 1 Punkt]

4
Aufgabe 2
Lineares Gleichungssystem
Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem in den Variablen x
1
und x
2
. Es gilt: a , b ∈ ℝ .
I : 3 · x
1
– 4 · x
2
= a
II : b · x
1
+ x
2
= a
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Werte der Parameter a und b so, dass für die Lösungsmenge des Gleichungs systems L = {(2; –2)} ist.
a =
b =
[0 / 1 Punkt]

5
Aufgabe 3
Darstellung im Koordinatensystem
Im nachstehenden Koordinatensystem sind der Vektor v sowie die Punkte A und B dargestellt.
Die Komponenten des dargestellten Vektors v und die Koordinaten der beiden Punkte A und B
sind ganzzahlig.
y
x
0 1 2 –2 –3 –1 3 4 5 6 7 8 9
–1
2
1
0
4
3
6
5
8
9
7
B
A
v
→
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie den Wert des Parameters t so, dass die Gleichung B = A + t · v erfüllt ist.
t =
[0 / 1 Punkt]

6
Aufgabe 4
Gleichung einer Geraden aufstellen
Die Punkte A = (7 | 6), M = (–1 | 7) und N = (8 | 1) sind gegeben.
Eine Gerade g verläuft durch den Punkt A und steht normal auf die Verbindungsgerade durch die
Punkte M und N .
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Gleichung der Geraden g an.
[0 / 1 Punkt]

7
Aufgabe 5
Drehkegel
Gegeben ist ein Drehkegel mit einer Höhe von 6 cm. Der Winkel zwischen der Kegel achse und
der Erzeugenden (Mantellinie) beträgt 32°.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Radius r der Grundfläche des Drehkegels.
r ≈ cm
[0 / 1 Punkt]

8
Aufgabe 6
Winkel mit gleichem Sinuswert
Gegeben sei eine reelle Zahl c mit 0 < c < 1. Für die zwei unterschiedlichen Winkel α und β soll
gelten: sin( α ) = sin( β ) = c .
Dabei soll α ein spitzer Winkel und β ein Winkel aus dem Intervall (0°; 360°) sein.
Aufgabenstellung:
Welche Beziehung besteht zwischen den Winkeln α und β ?
Kreuzen Sie die zutreffende Beziehung an.
α + β = 90°
α + β = 180°
α + β = 270°
α + β = 360°
β – α = 270°
β – α = 180°
[0 / 1 Punkt]

9
Aufgabe 7
Quadratische Funktion
Gegeben ist eine quadratische Funktion f : ℝ → ℝ mit f ( x ) = a · x
2
+ b · x + c
( a , b , c ∈ ℝ und a ≠ 0).
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen des jeweils richtigen Satzteils so,
dass eine korrekte Aussage entsteht.
Wenn
1
gilt, so hat die Funktion f auf jeden Fall
2
.
1
a < 0
b = 0
c > 0
2
einen zur senkrechten Achse
symmetrischen Graphen
zwei reelle Nullstellen
ein lokales Minimum
[0 / 1 Punkt]

10
Aufgabe 8
Schwingung einer Saite
Die Frequenz f der Grundschwingung einer Saite eines Musikinstruments kann mithilfe der nachstehenden Formel berechnet werden.
f =
1
2 · l
·
F
ϱ ∙ A

l … Länge der Saite
A … Querschnittsfläche der Saite
ϱ … Dichte des Materials der Saite
F … Kraft, mit der die Saite gespannt ist
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, wie die Länge l einer Saite zu ändern ist, wenn die Saite mit einer doppelt so
hohen Frequenz schwingen soll und die anderen Größen ( F , ϱ , A ) dabei konstant gehalten
werden.
[0 / 1 Punkt]

11
Aufgabe 9
Kerzenhöhe
Eine brennende Kerze, die vor t Stunden angezündet wurde, hat die Höhe h ( t ). Für die Höhe der
Kerze gilt dabei näherungsweise h ( t ) = a · t + b mit a , b ∈ ℝ .
Aufgabenstellung:
Geben Sie für jeden der Koeffizienten a und b an, ob er positiv, negativ oder genau null sein muss.
[0 / 1 Punkt]

12
Aufgabe 10
Parabeln
Die Graphen von Funktionen f : ℝ → ℝ mit f ( x ) = a · x
2
mit a ∈ ℝ \{0} sind Parabeln. Für a = 1
erhält man den oft als Normalparabel bezeichneten Graphen. Je nach Wert des Parameters a
erhält man Parabeln, die im Vergleich zur Normalparabel „steiler“ oder „flacher“ bzw. „nach unten
offen“ oder „nach oben offen“ sind.
f ( x )
x
5 4 3 2 1 0 –2 –3 –4 –5 –1
0
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
Normalparabel
nach oben offen
flacher
steiler
Normalparabel
nach unten offen
Aufgabenstellung:
Nachstehend sind vier Parabeln beschrieben. Ordnen Sie den vier Beschreibungen jeweils die jenige Bedingung (aus A bis F) zu, die der Parameter a erfüllen muss.
A a < –1
B a = –1
C –1 < a < 0
D 0 < a < 1
E a = 1
F a > 1
Die Parabel ist im Vergleich zur Normalparabel
„flacher“ und „nach oben offen“.
Die Parabel ist im Vergleich zur Normalparabel weder „flacher“ noch „steiler“, aber „nach unten offen“.
Die Parabel ist im Vergleich zur Normalparabel
„steiler“ und „nach unten offen“.
Die Parabel ist im Vergleich zur Normalparabel
„steiler“ und „nach oben offen“.
[0 / ½ / 1 Punkt]

13
Aufgabe 11
Funktion mit einer besonderen Eigenschaft
Für eine nicht konstante Funktion f : ℝ → ℝ gilt für alle x ∈ ℝ die Beziehung f ( x + 1) = 3 · f ( x ).
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Gleichung einer solchen Funktion f an.
f ( x ) =
[0 / 1 Punkt]

14
Aufgabe 12
Periodenlänge
Gegeben ist die Funktion f : ℝ → ℝ mit f ( x ) =
1
3
∙ sin
(
3 · π
4
· x
)
.
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Länge der (kleinsten) Periode p der Funktion f .
p =
[0 / 1 Punkt]

15
Aufgabe 13
Differenzenquotient
Der Graph einer Funktion f verläuft durch die Punkte P = (–1 | 2) und Q = (3 | f (3)).
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie f (3) so, dass der Differenzenquotient von f im Intervall [–1; 3] den Wert 1 hat.
f (3) =
[0 / 1 Punkt]

16
Aufgabe 14
Ableitungsfunktion und Stammfunktion
Es sei f : ℝ → ℝ eine Polynomfunktion.
Aufgabenstellung:
Zwei der folgenden Aussagen über die Funktion f treffen auf jeden Fall zu.
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.
Die Funktion f hat genau eine Stammfunktion F .
Die Funktion f hat genau eine Ableitungsfunktion f ′ .
Ist F eine Stammfunktion von f , so gilt: f ′ = F .
Ist F eine Stammfunktion von f , so gilt: F ″ = f ′ .
Ist F eine Stammfunktion von f , so gilt:
∫
1
0
F ( x ) d x = f (1) – f (0).
[0 / 1 Punkt]

17
Aufgabe 15
Geschwindigkeit und Beschleunigung
Die nachstehenden Abbildungen zeigen die Graphen von vier Beschleunigungsfunktionen ( a
1
, a
2
,
a
3
, a
4
) und von sechs Geschwindigkeitsfunktionen ( v
1
, v
2
, v
3
, v
4
, v
5
, v
6
) in Abhängigkeit von der
Zeit t .
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Graphen von a
1
bis a
4
jeweils den zugehörigen Graphen von v
1
bis v
6
(aus A
bis F) zu.
A
v
1
( t )
v
1
t
0
0
B
v
2
( t )
v
2
t
0
0
C
v
3
( t )
v
3
t
0
0
D
v
4
( t )
v
4
t
0
0
E
v
5
( t )
v
5
t
0
0
F
v
6
( t )
v
6
t
0
0
a
1
( t )
a
1
t
0
0
a
2
( t )
a
2
t
0
0
a
3
( t )
a
3
t
0
0
a
4
( t )
a
4
t
0
0
[0 / ½ / 1 Punkt]

18
Aufgabe 16
Eigenschaften einer Polynomfunktion dritten Grades
Gegeben ist eine Polynomfunktion f dritten Grades. An den beiden Stellen x
1
und x
2
mit x
1
< x
2
gelten folgende Bedingungen:
f ′ ( x
1
) = 0 und f ″ ( x
1
) < 0
f ′ ( x
2
) = 0 und f ″ ( x
2
) > 0
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die für die Funktion f auf jeden Fall zutreffen.
f ( x
1
) > f ( x
2
)
Es gibt eine weitere Stelle x
3
mit f ′ ( x
3
) = 0.
Im Intervall [ x
1
; x
2
] gibt es eine Stelle x
3
mit f ( x
3
) > f ( x
1
).
Im Intervall [ x
1
; x
2
] gibt es eine Stelle x
3
mit f ″ ( x
3
) = 0.
Im Intervall [ x
1
; x
2
] gibt es eine Stelle x
3
mit f ′ ( x
3
) > 0.
[0 / 1 Punkt]

19
Aufgabe 17
Bestimmen eines Koeffizienten
Gegeben ist die Funktion f : ℝ → ℝ mit f ( x ) = a · x
2
+ 2 mit a ∈ ℝ .
Aufgabenstellung:
Geben Sie den Wert des Koeffizienten a so an, dass die Gleichung ∫
1
0
f ( x ) d x = 1 erfüllt ist.
a =
[0 / 1 Punkt]

20
Aufgabe 18
Wurfhöhe eines Körpers
Ein Körper wird aus einer Höhe von 1 m über dem Erdboden senkrecht nach oben geworfen.
Die Geschwindigkeit des Körpers nach t Sekunden wird modellhaft durch die Funktion v mit
v ( t ) = 15 – 10 ∙ t beschrieben ( v ( t ) in Metern pro Sekunde, t in Sekunden).
Aufgabenstellung:
Geben Sie diejenige Höhe (in Metern) über dem Erdboden an, in der sich der Körper nach 2 s
befindet.
[0 / 1 Punkt]

21
Aufgabe 19
PKW-Dichte
In 32 europäischen Ländern wurde die Anzahl der Personenkraftwagen (PKWs) pro 1 000 Einwohner/innen erhoben. Aus diesen Daten ist das nachstehende Histogramm erstellt worden.
Dabei sind die absoluten Häufigkeiten der Länder als Flächeninhalte von Rechtecken dargestellt.
Anzahl der PKWs pro 1 000 Einwohner/innen
0
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0,10
400 200 0 600
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, in wie vielen Ländern die Anzahl der PKWs pro 1 000 Einwohner/innen zwischen
500 und 700 PKWs liegt.
Anzahl der Länder =
[0 / 1 Punkt]

22
Aufgabe 20
Datenliste
Gegeben ist die nachstehende geordnete Datenliste. Einer der Werte ist k mit k ∈ ℝ .
1 2 3 5 k 8 8 8 9 10
Aufgabenstellung:
Geben Sie den Wert k so an, dass das arithmetische Mittel der gesamten Datenliste den Wert 6
annimmt.
k =
[0 / 1 Punkt]

23
Aufgabe 21
Ziehungswahrscheinlichkeit
In einem Behälter befinden sich fünf Kugeln. Zwei Kugeln werden nacheinander ohne Zurück legen
gezogen (dabei wird angenommen, dass jede Ziehung von zwei Kugeln die gleiche Wahrscheinlichkeit hat). Zwei der fünf Kugeln im Behälter sind blau, die anderen Kugeln sind rot. Mit p wird
die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, beim zweiten Zug eine blaue Kugel zu ziehen.
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit p an.
p =
[0 / 1 Punkt]

24
Aufgabe 22
Spielkarten
Fünf Spielkarten (drei Könige und zwei Damen) werden gemischt und verdeckt auf einen Tisch
gelegt. Laura dreht während eines Spieldurchgangs nacheinander die Karten einzeln um und lässt
sie aufgedeckt liegen, bis die erste Dame aufgedeckt ist.
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der am Ende eines Spieldurchgangs aufgedeckten Spiel karten an.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariablen X .
E ( X ) =
[0 / 1 Punkt]

25
Aufgabe 23
Pasch
Bei einem Spiel werden in jeder Spielrunde zwei Würfel geworfen. Zeigen nach einem Wurf beide
Würfel die gleiche Augenzahl, spricht man von einem Pasch . Die Wahrscheinlichkeit, einen Pasch
zu werfen, beträgt
1
6
.
Bildquelle: BMBWF
Aufgabenstellung:
Es werden acht Runden (unabhängig voneinander) gespielt. Die Zufallsvariable X bezeichnet
dabei die Anzahl der geworfenen Pasche.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fall, dass die Anzahl X der geworfenen Pasche
unter dem Erwartungswert E ( X ) liegt.
[0 / 1 Punkt]

26
Aufgabe 24
Sonntagsfrage
Sonntagsfrage nennt man in der Meinungsforschung die Frage „Welche Partei würden Sie wählen, wenn am kommenden Sonntag Wahlen wären?“. Bei einer solchen Sonntagsfrage, bei der
die Parteien A und B zur Auswahl standen, gaben 234 von 1 000 befragten Personen an, Partei A
zu wählen. Bei der darauffolgenden Wahl lag der tatsächliche Anteil der Personen, die die Partei A
gewählt haben, bei 29,5 %.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie auf Basis dieses Umfrageergebnisses ein symmetrisches 95-%-Konfidenzintervall
für den (unbekannten) Stimmenanteil der Partei A und geben Sie an, ob der tatsächliche Anteil in
diesem Intervall enthalten ist.
[0 / 1 Punkt]

27
Aufgabe 25 (Teil 2)
Bremsvorgang
Der Bremsweg s B ist die Länge derjenigen Strecke, die ein Fahrzeug ab dem Wirksamwerden
der Bremsen bis zum Stillstand zurücklegt. Entscheidend für den Bremsweg sind die Fahrgeschwindigkeit v 0 des Fahrzeugs zu Beginn des Bremsvorgangs und die Bremsverzögerung b . Der
Bremsweg s B kann mit der Formel s B =
v 0
2
2 ∙ b
berechnet werden ( v 0 in m/s, b in m/s
2
, s B in m).
Der Anhalteweg s A berücksichtigt zusätzlich zum Bremsweg den während der Reaktionszeit t R
zurückgelegten Weg. Dieser sogenannte Reaktionsweg s R
kann mit der Formel s R = v 0 ∙ t R berechnet werden ( v 0 in m/s, t R in s, s R in m).
Der Anhalteweg s A ist gleich der Summe aus Reaktionsweg s R und Bremsweg s B .
Aufgabenstellung:
a) 1) A Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Fahrgeschwindigkeit v 0 in Abhängigkeit
vom Bremsweg s B und von der Bremsverzögerung b auf.
v
0
=
2) Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.
Der Reaktionsweg s
R
ist direkt proportional zur Fahrgeschwindigkeit v
0
.
Der Bremsweg s
B
ist direkt proportional zur Fahrgeschwindigkeit v
0
.
Der Bremsweg s
B
ist indirekt proportional zur Bremsverzögerung b .
Der Anhalteweg s
A
ist direkt proportional zur Fahrgeschwindigkeit v
0
.
Der Anhalteweg s
A
ist direkt proportional zur Reaktionszeit t
R
.
b) Die oft in Fahrschulen verwendeten Formeln für die näherungsweise Berechnung des
Re aktions- und des Bremswegs (jeweils in m) lauten:
s
R
=
v
0
10
∙ 3 und s
B
= (
v
0
10
)
2
mit v
0
in km/h und s
R
bzw. s
B
in m
1) Zeigen Sie anhand geeigneter Umformungen, dass die für die näherungsweise Berechnung
des Reaktionswegs verwendete Formel für eine Reaktionszeit von etwa einer Sekunde an nähernd die gleichen Ergebnisse wie die Formel für s
R
aus der Einleitung liefert.
2) Berechnen Sie, welcher Wert für die Bremsverzögerung bei der Näherungsformel für den
Bremsweg angenommen wird.

28
c) Es kann eine Bremsverzögerung b von 8 m/s
2
bei trockener Fahrbahn, von 6 m/s
2
bei nasser
Fahrbahn und von höchstens 4 m/s
2
bei Schneefahrbahn angenommen werden.
1) Geben Sie denjenigen Bruchteil an, um den bei gleicher Fahrgeschwindigkeit der Bremsweg bei nasser Fahrbahn länger als bei trockener Fahrbahn ist.
Ein Fahrzeug fährt mit einer Geschwindigkeit von v
0
= 20 m/s. Der Anhalteweg ist bei
Schneefahrbahn länger als bei trockener Fahrbahn.
2) Ermitteln Sie unter der Annahme t
R
= 1 s für diese beiden Fahrbahnzustände den Mindestwert für die absolute Zunahme des Anhaltewegs.
d) Das Wirksamwerden der Bremsen eines Fahrzeugs beginnt zum Zeitpunkt t = 0. Die Geschwindigkeit v ( t ) des Fahrzeugs kann für das Zeitintervall [0; 3] durch die Funktion v modelliert werden, die Beschleunigung a ( t ) durch die Funktion a und der in diesem Zeitintervall
zurückgelegte Weg s ( t ) durch die Funktion s ( v ( t ) in m/s, a ( t ) in m/s
2
, s ( t ) in m, t in s).
1) Interpretieren Sie die Bedeutung des bestimmten Integrals
∫
3
0
v ( t )d t im gegebenen Kontext.
Jede der sechs nachstehenden Abbildungen zeigt – jeweils im Zeitintervall [0; 3] – den Graphen einer Beschleunigungsfunktion a , den Graphen einer Geschwindigkeitsfunktion v und
den Graphen einer Weg funktion s .
2) Kreuzen Sie diejenige Abbildung an, die drei zusammengehörige Graphen eines drei Sekunden dauernden Bremsvorgangs zeigt.
v
s
0
s ( t ), v ( t ), a ( t )
t
0 2 1 3
a
v
s
0
s ( t ), v ( t ), a ( t )
t
0 2 1 3
a
v
s
0
s ( t ), v ( t ), a ( t )
t
0 2 1 3
a
0
v
s
s ( t ), v ( t ), a ( t )
t
0 2 1 3
a
v
s
0
s ( t ), v ( t ), a ( t )
t
0 2 1 3
a
0
s ( t ), v ( t ), a ( t )
t
a
v
s
0 2 1 3

29
Aufgabe 26 (Teil 2)
Kostenfunktion
Ein Hersteller interessiert sich für die monatlich anfallenden Kosten bei der Produktion eines bestimmten Produkts. Die Produktionskosten für dieses Produkt lassen sich in Abhängigkeit von der
Produktionsmenge x (in Mengeneinheiten, ME) durch eine Polynomfunktion dritten Grades K mit
K ( x ) = 8 ∙ 10
–7
∙ x
3
– 7,5 ∙ 10
–4
∙ x
2
+ 0,2405 ∙ x + 42 modellieren ( K ( x ) in Geldeinheiten, GE).
Aufgabenstellung:
a) 1) A Berechnen Sie für dieses Produkt den durchschnittlichen Kostenanstieg pro zusätzlich
produzierter Mengeneinheit im Intervall [100 ME; 200 ME].
2) Ermitteln Sie, ab welcher Produktionsmenge die Grenzkosten steigen.
b) Die Produktionsmenge x
opt
, für die die Stückkostenfunktion K mit K ( x ) =
K ( x )
x
minimal ist,
heißt Betriebsoptimum zur Kostenfunktion K .
1) Ermitteln Sie das Betriebsoptimum x
opt
.
Der Hersteller berechnet die Produktionskosten für die Produktionsmenge x
opt
. Dabei stellt er
fest, dass diese Kosten 65 % seines für die Produktion dieses Produkts verfügbaren Kapitals
ausmachen.
2) Berechnen Sie das dem Hersteller für die Produktion dieses Produkts zur Verfügung stehende Kapital.
c) Für den Verkaufspreis p kann der Erlös in Abhängigkeit von der Produktionsmenge x durch
eine lineare Funktion E mit E ( x ) = p ∙ x beschrieben werden ( E ( x ) in GE, x in ME, p in GE/ME).
Dabei wird vorausgesetzt, dass gleich viele Mengeneinheiten verkauft wie produziert werden.
1) Bestimmen Sie p so, dass der maximale Gewinn bei einem Verkauf von 600 ME erzielt
wird.
Die maximal mögliche Produktionsmenge beträgt 650 ME.
2) Bestimmen Sie den Gewinnbereich (also den jenigen Produktionsbereich, in dem der Hersteller Gewinn erzielt).

30
d) Für ein weiteres Produkt dieses Herstellers sind in der nachstehenden Tabelle die Produktions kosten (in GE) für verschiedene Produktionsmengen (in ME) dargestellt.
Produktionsmenge (in ME) 50 100 250 500
Produktionskosten (in GE) 197 253 308 380 700
Diese Produktionskosten können durch eine Polynomfunktion dritten Grades K
1
mit
K
1
( x ) = a ∙ x
3
+ b ∙ x
2
+ c ∙ x + d mit a , b , c , d ∈ ℝ modelliert werden.
1) Bestimmen Sie die Werte von a , b , c und d .
2) Berechnen Sie die in der obigen Tabelle fehlende Produktionsmenge.

31
Aufgabe 27 (Teil 2)
Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt
Die sogenannten Fibonacci-Zahlen werden für n ∈ ℕ und n > 2 durch die Differenzengleichung
f ( n ) = f ( n – 1) + f ( n – 2) mit den Startwerten f (1) = 1 und f (2) = 1 definiert.
Das Verhältnis f ( n ) : f ( n – 1) nähert sich für große Werte von n dem Goldenen Schnitt ϕ =
1 +

5
2
an.
Aufgabenstellung:
a) 1) A Geben Sie dasjenige n an, für das das Verhältnis f ( n ) : f ( n – 1) erstmals auf zwei Nachkommastellen mit dem Goldenen Schnitt ϕ übereinstimmt.
Für Fibonacci-Zahlen gilt für k ∈ ℕ und k > 2 folgende Gleichung:
f ( n + k ) = f ( n – 1) ∙ f ( k ) + f ( n ) ∙ f ( k + 1)
2) Zeigen Sie die Gültigkeit dieser Gleichung für n = 3 und k = 5.
b) Eine Möglichkeit zur näherungsweisen Bestimmung von Fibonacci-Zahlen durch einen ein fachen expliziten Ausdruck ist die Approximation f ( n ) ≈ g ( n ) =
1

5
∙ (
1 +

5
2
)
n
mit n ∈ ℕ \{0}.
Die Zahl 832 040 ist eine Fibonacci-Zahl, das heißt, es gibt ein n ∈ ℕ mit
f ( n ) = 832 040 bzw. g ( n ) ≈ 832 040.
1) Bestimmen Sie dieses n .
Eine exakte explizite Möglichkeit zur Berechnung der Fibonacci-Zahlen f ( n ) ist die Formel von
Moivre/Binet:
f ( n ) =
1

5
∙ ( x
1
n
– x
2
n
)
Dabei sind x
1
= ϕ und x
2
die Lösungen der Gleichung x
2
+ a ∙ x – 1 = 0 mit a ∈ ℝ .
2) Berechnen Sie a und x
2
.

32
Aufgabe 28 (Teil 2)
Kino
Ein Kino hat drei Säle. Im ersten Saal sind 185 Sitzplätze, im zweiten Saal 94 und im dritten Saal 76.
Neue Filme starten üblicherweise an einem Donnerstag. Der Kinobetreiber nimmt modellhaft an,
dass an so einem Donnerstag bei einer Vorstellung eines neuen Films in allen drei Sälen jeder
einzelne Sitzplatz mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % belegt ist.
Aufgabenstellung:
a) Es sei X eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern n = 355 und p = 0,95.
1) Beschreiben Sie die Bedeutung des Terms 1 – P ( X < 350) im gegebenen Kontext.
Zum Schulschluss mietet eine Schule alle drei Säle für denselben Film zur selben Beginnzeit.
Alle Sitzplätze werden vergeben, jede Besucherin / jeder Besucher bekommt ein Ticket für
einen bestimmten Sitzplatz in einem der drei Säle. Alle Tickets haben zusätzlich zur Platznummer noch eine fortlaufende, jeweils unterschiedliche Losnummer. Unmittelbar vor der Vorstellung werden zwei Losnummern ausgelost. Die beiden Personen, die die entsprechenden
Tickets besitzen, erhalten jeweils eine große Portion Popcorn.
2) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass diese beiden Personen Tickets für denselben
Saal haben.
b) Der Betreiber des Kinos möchte wissen, wie zufrieden seine Kundschaft mit dem gebotenen
Service (Buffet, Sauberkeit etc.) ist. Bei einer Umfrage geben von 628 Besucherinnen und
Besuchern 515 Besucher/innen an, dass sie mit dem gebotenen Service im Kino insgesamt
zufrieden sind.
1) A Bestimmen Sie auf Basis dieser Befragung ein symmetrisches 95-%-Konfidenzintervall
für den relativen Anteil aller Besucher/innen dieses Kinos, die mit dem gebotenen Service
insgesamt zufrieden sind.
Bei einer zweiten Befragung werden viermal so viele Personen befragt, wobei der relative An teil der mit dem gebotenen Service insgesamt zufriedenen Besucher/innen wieder genauso
groß wie bei der ersten Befragung ist.
2) Geben Sie an, wie sich diese Vergrößerung der Stichprobe konkret auf die Breite des aus
der ersten Befragung ermittelten symmetrischen 95-%-Konfidenzintervalls auswirkt.