Mathematik-Matura Mai 2019 · HTL Cluster T2 – Lösungen

BHS
8. Mai 2019
Angewandte Mathematik
HTL 2
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung

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Beurteilung der Klausurarbeit
Gemäß § 38 Abs. 3 SchUG (BGBl. Nr. 472/1986 i. d. g. F.) sind die Leistungen der Prüfungskandidatin / des Prüfungskandidaten nach Maßgabe vorliegender Korrektur- und Beurteilungsanleitung
aufgrund von begründeten Anträgen der Prüferin / des Prüfers von der jeweiligen Prüfungskommission zu beurteilen.
Für die Beurteilung ist ein auf einem Punktesystem basierender Beurteilungsschlüssel vorgegeben, der auf den Kriterien des § 18 Abs. 2 bis 4 und 6 SchUG und der Leistungsbeurteilungsverordnung (BGBl. Nr. 371/1974 i. d. g. F. ) beruht und die Beurteilungsstufen (Noten) entsprechend
abbildet.
Beurteilungsschlüssel:
Note Punkte
Genügend 23 – 30 Punkte
Befriedigend 31 – 37 Punkte
Gut 38 – 43 Punkte
Sehr gut 44 – 48 Punkte
Die Arbeit wird mit „Nicht genügend“ beurteilt, wenn insgesamt weniger als 23 Punkte erreicht
wurden.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://ablauf.srdp.at gesondert bekanntgegeben.

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Handreichung zur Korrektur
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des Helpdesks in Anspruch genommen werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Punkte sind zu vergeben, wenn die abgefragte Handlungskompetenz in der Bearbeitung erfüllt ist.
b. Berechnungen ohne nachvollziehbaren Rechenansatz bzw. ohne nachvollziehbare
Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete Ausgangsparameter und die
verwendete Technologiefunktion müssen angegeben sein) sind mit null Punkten zu
bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind korrekt, so ist diese Teilaufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht
vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in
einem Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
h. Jedes Diagramm bzw. jede Skizze, die Lösung einer Handlungsanweisung ist, muss
eine qualitative Achsenbeschriftung enthalten, andernfalls ist dies mit null Punkten zu
bewerten.
i. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie nicht
explizit eingefordert ist.

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Aufgabe 1
Die Adria-Wien-Pipeline
Möglicher Lösungsweg
a1) Ermittlung mittels Technologieeinsatz:
x = 7,48... Millionen Tonnen
s = 0,30... Millionen Tonnen
Auch eine Ermittlung der Standardabweichung als sn – 1 = 0,32... ist als richtig zu werten.
b1)
(
0,4572
2
)
2
∙ π ∙ 416 000 = 68 296,06...
68 296,06... : 0,159 = 429 534,9...
Insgesamt fasst die Pipeline rund 429 535 Barrel Rohöl.
c1) R ( t ) = 1 200 ∙ t
c2)
Zeit t in h
Durchflussrate D ( t ) in m
3
/h
8 7 6 5 4 3 2 1 0 9
0
1 600
1 400
1 200
1 000
800
600
400
200
1 800
Lösungsschlüssel
a1) 1 × B: für das richtige Ermitteln des arithmetischen Mittels und der Standardabweichung
b1) 1 × A: für den richtigen Ansatz (richtige Anwendung der Formel zur Berechnung des
Volumens eines Drehzylinders auf den gegebenen Sachverhalt)
1 × B: für die richtige Berechnung in Barrel
c1) 1 × A1: für das richtige Erstellen der Gleichung der Funktion
c2) 1 × A2: für das richtige Einzeichnen des Graphen der Durchflussrate

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Aufgabe 2
Vitamin C
Möglicher Lösungsweg
a1) N ( t ) = 18 ∙ ℯ
– λ ∙ t
0,8 ∙ 18 = 18 ∙ ℯ
– λ ∙ 4
λ =
ln(0,8)
–4
= 0,05578... ≈ 0,0558
N ( t ) = 18 ∙ ℯ
–0,0558 ∙ t
oder:
N ( t ) = 18 ∙ 0,8
t
4
t ... Zeit nach der Ernte in Wochen
N ( t ) ... Vitamin-C-Gehalt zur Zeit t in mg
a2) N (36) = 2,41...
Der Apfel hat 36 Wochen nach der Ernte einen Vitamin-C-Gehalt von rund 2,4 mg.
b1) X ... Vitamin-C-Gehalt einer Tablette in mg
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P (92 < X < 110) = 0,9224...
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 92,2 %.

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c1) c ′ ( t ) = 0 oder 24 ∙ (–0,0195 ∙ ℯ
–0,0195 ∙ t
+ 1,3 ∙ ℯ
–1,3 ∙ t
) = 0
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t = 3,279...
c (3,279...) = 25,175...
Die maximale Vitamin-C-Konzentration im Blut dieser Person beträgt also rund 25,18 μg/ml.
Eine Überprüfung, ob an der berechneten Stelle tatsächlich ein Maximum vorliegt, z. B. mit
hilfe der 2. Ableitung, sowie eine Überprüfung von Randstellen sind für die Punktevergabe
nicht erforderlich.
c2)
25,18 mg/L
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Gleichung der Funktion
a2) 1 × B: für die richtige Berechnung des Vitamin-C-Gehalts 36 Wochen nach der Ernte
b1) 1 × B: für die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit
c1) 1 × D: für den richtigen Nachweis
Eine Überprüfung, ob an der berechneten Stelle tatsächlich ein Maximum vorliegt,
z. B. mithilfe der 2. Ableitung, sowie eine Überprüfung von Randstellen sind für die
Punktevergabe nicht erforderlich.
c2) 1 × C: für das richtige Ankreuzen

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Aufgabe 3
Glücksspiel
Möglicher Lösungsweg
a1) P („die gezogene Kugel ist weiß“) =
a – 7
a
a2)
rot weiß
rot weiß rot weiß
7
a
a – 7
a
7
a
a – 7
a
a – 7
a
7
a
a3)
(
7
a
)
2
= 0,1225 ⇒ a = 20
b1) Binomialverteilung mit n = 5, p = 0,75:
X ... Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P ( X = 3) = 0,2636...
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 26,4 %.
c1) 1
mindestens 1 Kugel grün ist
2
1 –
(
5
12
)
3
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A1: für das richtige Erstellen des Ausdrucks
a2) 1 × A2: für das richtige Vervollständigen des Baumdiagramms
a3) 1 × B: für die richtige Berechnung von a
b1) 1 × B: für die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit
c1) 1 × A: für das richtige Ergänzen der beiden Textlücken

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Aufgabe 4
Bahnverkehr in Österreich
Möglicher Lösungsweg
a1) Länge der ursprünglichen Fahrtstrecke in km:
81,83 ∙
(
2 +
35
60
)
= 211,394...
Länge der verkürzten Fahrtstrecke in km:
211,394... – 13,7 = 197,694...
mittlere Reisegeschwindigkeit für die verkürzte Fahrt in km/h:
197,694…
1,75
= 112,968...
Die mittlere Reisegeschwindigkeit für die verkürzte Fahrt beträgt rund 112,97 km/h.
b1) Δ h = 27 300 m ∙ sin( α ) = 229,3… m
c1) 235,1 – 209,3 = 25,8
Die Spannweite beträgt 25,8 Millionen Fahrgäste.
c2) Im Jahr 2014 war die Anzahl der Fahrgäste um rund 12 % höher als im Jahr 2010.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × B1: für die richtige Berechnung der Länge der verkürzten Fahrtstrecke
1 × B2: für die richtige Berechnung der mittleren Reisegeschwindigkeit für die verkürzte
Fahrt
b1) 1 × A: für die Richtigstellung mit dem richtigen Ergebnis
c1) 1 × B: für die richtige Berechnung der Spannweite in Millionen
c2) 1 × C: für die richtige Interpretation im gegebenen Sachzusammenhang

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Aufgabe 5
Sonnenaufgang
Möglicher Lösungsweg
a1) Die Beleuchtungsstärke bei Sonnenaufgang beträgt 80 Lux.
a2) a
5
= 2 ⇒ a =

5
2 = 1,148...
b1) Mit den konkreten Zahlen folgt: E Morgen = 10 Lux, E Mittag = 10 000 Lux
Daher war die Beleuchtungsstärke zu Mittag nicht 4-mal so hoch wie am Morgen.
Auch ein allgemeiner Nachweis ist als richtig zu werten.
c1) 31 Tage
Toleranzbereich: [26 Tage; 34 Tage]
c2) Die Datenpunkte im Zeitintervall [0; 40] können durch eine nach unten offene (negativ gekrümmte) Parabel angenähert werden. Daher ist der Parameter a der zugehörigen quadratischen Funktion negativ.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × C: für die richtige Interpretation im gegebenen Sachzusammenhang
a2) 1 × B: für die richtige Berechnung des Parameters a
b1) 1 × D: für den richtigen Nachweis (allgemein oder anhand der konkreten Zahlen)
c1) 1 × C: für das richtige Ermitteln im Toleranzbereich [26 Tage; 34 Tage]
c2) 1 × D: für die richtige Argumentation

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Aufgabe 6 (Teil B)
Gastwirtschaft
Möglicher Lösungsweg
a1) μ = 500 ml und
σ

n
=
4,5

10
ml
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
[496,33...; 503,66...]
a2) Die Standardabweichung einer Stichprobe ist umso größer, je kleiner der Stichprobenumfang n ist. Daher ist der Graph der Dichtefunktion für n = 5 breiter als für n = 10. Da der
gesamte Flächeninhalt unter dem Graphen der Dichtefunktion immer 1 beträgt, muss das
Maximum für n = 5 kleiner als für n = 10 sein.
b1) g ′ ( x ) = 0 oder – 0,00324 ∙ x
2
+ 0,092 ∙ x – 0,4367 = 0
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
x 1 = 6,025...
( x 2 = 22,369...)
Anhand der Grafik ist erkennbar, dass der Tiefpunkt an der Stelle x 1 ist, ein (rechnerischer)
Nachweis, dass x 1 eine Minimumstelle ist, ist daher nicht erforderlich.
Innendurchmesser: d = 2 ∙ g ( x 1 ) = 3,60...
Der kleinste Innendurchmesser des Weizenbierglases beträgt rund 3,6 cm.
b2) V = π ∙
∫
25
2
( g ( x ))
2
d x = 678,6...
Das Füllvolumen des Weizenbierglases beträgt rund 0,68 L.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × B: für die richtige Berechnung des Zufallsstreubereichs
a2) 1 × D: für die richtige Begründung
b1) 1 × B1: für die richtige Berechnung des kleinsten Innendurchmessers
b2) 1 × B2: für die richtige Berechnung des Füllvolumens in Litern

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Aufgabe 7 (Teil B)
Wein
Möglicher Lösungsweg
a1) Der Ausdruck ist die mittlere Änderungsrate des Alkoholgehalts im Zeitintervall [2; 4].
a2) Ermittlung der Gleichung der Ausgleichsfunktion mittels Technologieeinsatz:
a ( t ) = 0,18 ∙ t
2
+ 0,05 ∙ t + 0,51 (Koeffizienten gerundet)
t ... Zeit seit Beginn des Gärungsprozesses in Tagen
a ( t ) ... Alkoholgehalt zur Zeit t in %
a3) a ( t ) = 11 oder 0,18 ∙ t
2
+ 0,05 ∙ t + 0,51 = 11
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t 1 = 7,49...
( t 2 = –7,78...)
z (7,49...) = 0,31...
Der Zuckergehalt beträgt rund 0,3 %.
b1) O ( K )
K
b
a
–

12
c1)
d T
d t
= k ∙ (20 – T )
c2) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
T ( t ) = 20 – C ∙ ℯ
– k ∙ t
oder:
∫
T ′
20 – T
d t =
∫
k d t
–ln| 20 – T ( t ) | = k ∙ t + C
1
20 – T ( t ) = C ∙ ℯ
– k ∙ t
T ( t ) = 20 – C ∙ ℯ
– k ∙ t
T (0) = 10 oder 20 – C ∙ ℯ
– k ∙ 0
= 10 ⇒ C = 10
T (20) = 12 oder 20 – 10 ∙ ℯ
– k ∙ 20
= 12
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
k = 0,011157...
T ( t ) = 20 – 10 ∙ ℯ
–0,01116 ∙ t
c3) T ( t ) = 15 oder 20 – 10 ∙ ℯ
–0,01116 ∙ t
= 15
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t = 62,1...
Der Wein erreicht nach rund 62 min eine Temperatur von 15 °C.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × C: für die richtige Interpretation im gegebenen Sachzusammenhang
a2) 1 × B1: für das richtige Ermitteln der Gleichung der quadratischen Ausgleichsfunktion
a3) 1 × B2: für die richtige Berechnung des Zuckergehalts
b1) 1 × C: für das richtige Ankreuzen
c1) 1 × A1: für das richtige Aufstellen der Differenzialgleichung
c2) 1 × A2: für den richtigen Ansatz (allgemeine Lösung der Differenzialgleichung)
1 × B1: für die richtige Berechnung der Lösung der Differenzialgleichung für den gegebenen
Erwärmungsprozess
c3) 1 × B2: für die richtige Berechnung der Zeitdauer

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Aufgabe 8 (Teil B)
Blutdruck
Möglicher Lösungsweg
a1)
∫
m ′ ( t ) d t = –30 ∙ ℯ
–0,04 ∙ t
– 0,1 ∙ t + C
m (0) = 10 oder –30 + C = 10 ⇒ C = 40
m ( t ) = –30 ∙ ℯ
–0,04 ∙ t
– 0,1 ∙ t + 40
a2) m ( t ) = 0 oder –30 ∙ ℯ
–0,04 ∙ t
– 0,1 ∙ t + 40 = 0
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
( t 1 = –7,6...)
t 2 = 399,9...
Nach etwa 400 min ist der Wirkstoff vollständig abgebaut.
b1) Im Kästchen ist die Zahl 6 einzutragen.
b2) a = –7,5
b3) f 1 ( t ) = f ( t ) + 10
oder:
f 1 ( t ) = a ∙ sin (
π
12
∙ t ) + 145
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung
a2) 1 × B: für die richtige Berechnung derjenigen Zeit, nach der der Wirkstoff vollständig abgebaut ist
b1) 1 × C1: für das richtige Eintragen der Zeitangabe
b2) 1 × C2: für das richtige Bestimmen von a
b3) 1 × A: für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung

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Aufgabe 9 (Teil B)
Bahnsteige
Möglicher Lösungsweg
a1) A =
∫
–2,5
–4
f ( x ) d x – 3 ∙ 1,5
a2) a = –4
b = 3
b1) DF = AE + AD ∙ sin( α – 90°)
b2) AB = 1,2 m
1,2
sin(19°)
=
BC
sin(104°)
⇒ BC = 3,576... m ≈ 3,58 m
c1) 240 = v 0 ∙ 5 +
v 0 ∙ 22
2
⇒ v 0 = 15
Die Geschwindigkeit v 0 beträgt 15 m/s.
c2) v ( t ) = k ∙ t + d
k = –
15
22
0 = k ∙ 27 + d ⇒ d =
405
22
v ( t ) = –
15
22
∙ t +
405
22
t ... Zeit in s
v ( t ) ... Geschwindigkeit zur Zeit t in m/s
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A
a2) 1 × C: für das richtige Ablesen von a und b
b1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel
b2) 1 × B: für die richtige Berechnung der Länge BC
c1) 1 × B: für das richtige Bestimmen der Geschwindigkeit
c2) 1 × A: für das richtige Erstellen der Gleichung der Funktion