Mathematik-Matura Mai 2019 · HLFS/HUM Cluster W1 – Lösungen

BHS
8. Mai 2019
Angewandte Mathematik
HLFS, HUM
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung

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Beurteilung der Klausurarbeit
Gemäß § 38 Abs. 3 SchUG (BGBl. Nr. 472/1986 i. d. g. F.) sind die Leistungen der Prüfungskandidatin / des Prüfungskandidaten nach Maßgabe vorliegender Korrektur- und Beurteilungsanleitung
aufgrund von begründeten Anträgen der Prüferin / des Prüfers von der jeweiligen Prüfungskommission zu beurteilen.
Für die Beurteilung ist ein auf einem Punktesystem basierender Beurteilungsschlüssel vorgegeben, der auf den Kriterien des § 18 Abs. 2 bis 4 und 6 SchUG und der Leistungsbeurteilungsverordnung (BGBl. Nr. 371/1974 i. d. g. F. ) beruht und die Beurteilungsstufen (Noten) entsprechend
abbildet.
Beurteilungsschlüssel:
Note Punkte
Genügend 23 – 30 Punkte
Befriedigend 31 – 37 Punkte
Gut 38 – 43 Punkte
Sehr gut 44 – 48 Punkte
Die Arbeit wird mit „Nicht genügend“ beurteilt, wenn insgesamt weniger als 23 Punkte erreicht
wurden.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://ablauf.srdp.at gesondert bekanntgegeben.

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Handreichung zur Korrektur
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des Helpdesks in Anspruch genommen werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Punkte sind zu vergeben, wenn die abgefragte Handlungskompetenz in der Bearbeitung erfüllt ist.
b. Berechnungen ohne nachvollziehbaren Rechenansatz bzw. ohne nachvollziehbare
Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete Ausgangsparameter und die
verwendete Technologiefunktion müssen angegeben sein) sind mit null Punkten zu
bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind korrekt, so ist diese Teilaufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht
vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in
einem Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
h. Jedes Diagramm bzw. jede Skizze, die Lösung einer Handlungsanweisung ist, muss
eine qualitative Achsenbeschriftung enthalten, andernfalls ist dies mit null Punkten zu
bewerten.
i. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie nicht
explizit eingefordert ist.

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Aufgabe 1
Die Adria-Wien-Pipeline
Möglicher Lösungsweg
a1) Ermittlung mittels Technologieeinsatz:
x = 7,48... Millionen Tonnen
s = 0,30... Millionen Tonnen
Auch eine Ermittlung der Standardabweichung als sn – 1 = 0,32... ist als richtig zu werten.
b1)
(
0,4572
2
)
2
∙ π ∙ 416 000 = 68 296,06...
68 296,06... : 0,159 = 429 534,9...
Insgesamt fasst die Pipeline rund 429 535 Barrel Rohöl.
c1) R ( t ) = 1 200 ∙ t
c2)
Zeit t in h
Durchflussrate D ( t ) in m
3
/h
8 7 6 5 4 3 2 1 0 9
0
1 600
1 400
1 200
1 000
800
600
400
200
1 800
Lösungsschlüssel
a1) 1 × B: für das richtige Ermitteln des arithmetischen Mittels und der Standardabweichung
b1) 1 × A: für den richtigen Ansatz (richtige Anwendung der Formel zur Berechnung des
Volumens eines Drehzylinders auf den gegebenen Sachverhalt)
1 × B: für die richtige Berechnung in Barrel
c1) 1 × A1: für das richtige Erstellen der Gleichung der Funktion
c2) 1 × A2: für das richtige Einzeichnen des Graphen der Durchflussrate

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Aufgabe 2
Vitamin C
Möglicher Lösungsweg
a1) N ( t ) = 18 ∙ ℯ
– λ ∙ t
0,8 ∙ 18 = 18 ∙ ℯ
– λ ∙ 4
λ =
ln(0,8)
–4
= 0,05578... ≈ 0,0558
N ( t ) = 18 ∙ ℯ
–0,0558 ∙ t
oder:
N ( t ) = 18 ∙ 0,8
t
4
t ... Zeit nach der Ernte in Wochen
N ( t ) ... Vitamin-C-Gehalt zur Zeit t in mg
a2) N (36) = 2,41...
Der Apfel hat 36 Wochen nach der Ernte einen Vitamin-C-Gehalt von rund 2,4 mg.
b1) X ... Vitamin-C-Gehalt einer Tablette in mg
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P (92 < X < 110) = 0,9224...
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 92,2 %.

6
c1) c ′ ( t ) = 0 oder 24 ∙ (–0,0195 ∙ ℯ
–0,0195 ∙ t
+ 1,3 ∙ ℯ
–1,3 ∙ t
) = 0
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t = 3,279...
c (3,279...) = 25,175...
Die maximale Vitamin-C-Konzentration im Blut dieser Person beträgt also rund 25,18 μg/ml.
Eine Überprüfung, ob an der berechneten Stelle tatsächlich ein Maximum vorliegt, z. B. mit
hilfe der 2. Ableitung, sowie eine Überprüfung von Randstellen sind für die Punktevergabe
nicht erforderlich.
c2)
25,18 mg/L
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Gleichung der Funktion
a2) 1 × B: für die richtige Berechnung des Vitamin-C-Gehalts 36 Wochen nach der Ernte
b1) 1 × B: für die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit
c1) 1 × D: für den richtigen Nachweis
Eine Überprüfung, ob an der berechneten Stelle tatsächlich ein Maximum vorliegt,
z. B. mithilfe der 2. Ableitung, sowie eine Überprüfung von Randstellen sind für die
Punktevergabe nicht erforderlich.
c2) 1 × C: für das richtige Ankreuzen

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Aufgabe 3
Glücksspiel
Möglicher Lösungsweg
a1) P („die gezogene Kugel ist weiß“) =
a – 7
a
a2)
rot weiß
rot weiß rot weiß
7
a
a – 7
a
7
a
a – 7
a
a – 7
a
7
a
a3)
(
7
a
)
2
= 0,1225 ⇒ a = 20
b1) Binomialverteilung mit n = 5, p = 0,75:
X ... Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P ( X = 3) = 0,2636...
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 26,4 %.
c1) 1
mindestens 1 Kugel grün ist
2
1 –
(
5
12
)
3
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A1: für das richtige Erstellen des Ausdrucks
a2) 1 × A2: für das richtige Vervollständigen des Baumdiagramms
a3) 1 × B: für die richtige Berechnung von a
b1) 1 × B: für die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit
c1) 1 × A: für das richtige Ergänzen der beiden Textlücken

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Aufgabe 4
Bahnverkehr in Österreich
Möglicher Lösungsweg
a1) Länge der ursprünglichen Fahrtstrecke in km:
81,83 ∙
(
2 +
35
60
)
= 211,394...
Länge der verkürzten Fahrtstrecke in km:
211,394... – 13,7 = 197,694...
mittlere Reisegeschwindigkeit für die verkürzte Fahrt in km/h:
197,694…
1,75
= 112,968...
Die mittlere Reisegeschwindigkeit für die verkürzte Fahrt beträgt rund 112,97 km/h.
b1) Δ h = 27 300 m ∙ sin( α ) = 229,3… m
c1) 235,1 – 209,3 = 25,8
Die Spannweite beträgt 25,8 Millionen Fahrgäste.
c2) Im Jahr 2014 war die Anzahl der Fahrgäste um rund 12 % höher als im Jahr 2010.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × B1: für die richtige Berechnung der Länge der verkürzten Fahrtstrecke
1 × B2: für die richtige Berechnung der mittleren Reisegeschwindigkeit für die verkürzte
Fahrt
b1) 1 × A: für die Richtigstellung mit dem richtigen Ergebnis
c1) 1 × B: für die richtige Berechnung der Spannweite in Millionen
c2) 1 × C: für die richtige Interpretation im gegebenen Sachzusammenhang

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Aufgabe 5
Sonnenaufgang
Möglicher Lösungsweg
a1) Die Beleuchtungsstärke bei Sonnenaufgang beträgt 80 Lux.
a2) a
5
= 2 ⇒ a =

5
2 = 1,148...
b1) Mit den konkreten Zahlen folgt: E Morgen = 10 Lux, E Mittag = 10 000 Lux
Daher war die Beleuchtungsstärke zu Mittag nicht 4-mal so hoch wie am Morgen.
Auch ein allgemeiner Nachweis ist als richtig zu werten.
c1) 31 Tage
Toleranzbereich: [26 Tage; 34 Tage]
c2) Die Datenpunkte im Zeitintervall [0; 40] können durch eine nach unten offene (negativ gekrümmte) Parabel angenähert werden. Daher ist der Parameter a der zugehörigen quadratischen Funktion negativ.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × C: für die richtige Interpretation im gegebenen Sachzusammenhang
a2) 1 × B: für die richtige Berechnung des Parameters a
b1) 1 × D: für den richtigen Nachweis (allgemein oder anhand der konkreten Zahlen)
c1) 1 × C: für das richtige Ermitteln im Toleranzbereich [26 Tage; 34 Tage]
c2) 1 × D: für die richtige Argumentation

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Aufgabe 6 (Teil B)
Betonrohre
Möglicher Lösungsweg
a1) p ( x ) = –
1
50
· x + 60
x ... nachgefragte Menge in Stück
p ( x ) ... Preis bei der nachgefragten Menge x in €/Stück
a2) Die Steigung –
1
50
gibt an, dass eine Preisreduktion um € 1 pro Stück zu einer Erhöhung der
nachgefragten Menge um 50 Stück führt.
oder:
Soll die nachgefragte Menge um 1 Stück gesteigert werden, muss der Preis um € 0,02 pro
Stück gesenkt werden.
a3) p ( x ) = 32 oder –
1
50
· x + 60 = 32 ⇒ x = 1 400
Bei einem Preis von € 32 pro Stück ist mit einer nachgefragten Menge von 1 400 Stück zu
rechnen.
b1)
Der Break-even-Point
liegt bei 200 ME.
B
Das Gewinnmaximum
liegt bei 200 ME.
C
A G (0) = 200
B G (200) = 0
C G ′ (200) = 0
D G ″ (200) = 0

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c1) K ′ ( x ) = 3 · a · x
2
+ 2 · b · x + c
K ( x ) = a · x
2
+ b · x + c +
d
x
K (0) = 150
K (20) = 530
K ′ (10) = 17
K (30) = 22
oder:
d = 150
a · 20
3
+ b · 20
2
+ c · 20 + d = 530
3 · a · 10
2
+ 2 · b · 10 + c = 17
a · 30
2
+ b · 30 + c +
d
30
= 22
c2) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
a = 0,02
b = –1,2
c = 35
d = 150
d1) X ... Durchmesser in mm
P ( X < 98) = 0,03
Berechnung von σ mittels Technologieeinsatz:
σ = 1,06...
Die Standardabweichung beträgt rund 1,1 mm.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Gleichung der Preisfunktion der Nachfrage
a2) 1 × C: für die richtige Interpretation des Wertes der Steigung im gegebenen Sachzusammenhang
a3) 1 × B: für die richtige Berechnung der Anzahl der nachgefragten Betonrohre
b1) 1 × C: für die richtige Zuordnung
c1) 1 × A1: für das richtige Erstellen der beiden Gleichungen mithilfe der Kosten
1 × A2: für das richtige Erstellen der Gleichung mithilfe der Grenzkosten
1 × A3: für das richtige Erstellen der Gleichung mithilfe der Stückkosten
c2) 1 × B: für die richtige Berechnung der Koeffizienten
d1) 1 × B: für die richtige Berechnung der Standardabweichung

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Aufgabe 7 (Teil B)
Küchenkauf
Möglicher Lösungsweg
a1) 3 000 ∙ (1 + i )
7
+ 3 000 ∙ (1 + i )
4
+ 3 000 ∙ (1 + i ) = 10 000
i = 0,02617...
Der zugrunde liegende Jahreszinssatz beträgt rund 2,62 %.
a2)
0,02617...
0,75
= 0,0349...
Der Jahreszinssatz vor Abzug der KESt beträgt rund 3,5 %.
b1) i 2 =

1,04 – 1 = 0,01980...
Der äquivalente Semesterzinssatz beträgt rund 1,98 %.
b2)
Semester Zinsanteil Tilgungsanteil Semesterrate Restschuld
0 --- --- --- € 20.000
1 € 396,08 € 0 € 396,08 € 20.000
2 € 396,08 € 1.603,92 € 2.000 € 18.396,08
b3) Der Tilgungsanteil berechnet sich aus der Differenz von Semesterrate und Zinsanteil. Wenn
die Semesterrate verdoppelt wird, bleibt der Zinsanteil trotzdem gleich hoch. Somit ist der
neue Tilgungsanteil mehr als doppelt so hoch wie der alte Tilgungsanteil.
c1) S = 20 000 ∙ (1 + i )
t
– 3 000 ∙
(1 + i )
t
– 1
i
oder:
S = 20 000 ∙ q
t
– 3 000 ∙
q
t
– 1
q – 1
mit q = 1 + i
Lösungsschlüssel
a1) 1 × B1: für die richtige Berechnung des Jahreszinssatzes
a2) 1 × B2: für die richtige Berechnung des Jahreszinssatzes vor Abzug der KESt
b1) 1 × B1: für die richtige Berechnung des äquivalenten Semesterzinssatzes
b2) 1 × B2: für das richtige Vervollständigen der Zeile für das Semester 1 des Tilgungsplans
1 × B3: für das richtige Vervollständigen der Zeile für das Semester 2 des Tilgungsplans
b3) 1 × D: für die richtige Erklärung
c1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel

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Aufgabe 8 (Teil B)
Alkoholfreie Cocktails
Möglicher Lösungsweg
a1)
Einschränkung bezüglich Mangosaft A
Einschränkung bezüglich Maracujasaft C
A x + 2 · y ≤ 100
B 2 · x + y ≤ 100
C y ≤ –2 · x + 50
D x + 4 · y ≤ 200
a2) x ≥ 2 ∙ y
b1)
50 70 60 40 30 20 10 0
y
Anzahl Cocktails Targa 911
Anzahl Cocktails
Tropic Star
x
40
50
30
20
10
0
b2) Es sollen mindestens 20 Cocktails Targa 911 zubereitet werden.

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c1) Z ( x , y ) = x + 1,5 ∙ y
Auch eine Angabe der Zielfunktion als Z ( x , y ) = k ∙ x + k ∙ 1,5 ∙ y mit k ∈ ℝ
+
ist als richtig
zu werten.
c2)
50 90 80 70 60 40 30 20 10 0
y
Anzahl Cocktails Augustsüße
Anzahl Cocktails
Goldener Oktober
x
40
100
90
80
70
60
50
110
30
20
10
0
Lösungsschlüssel
a1) 1 × C: für die richtige Zuordnung
a2) 1 × A: für das richtige Erstellen der Ungleichung
b1) 1 × B: für das richtige Einzeichnen der Begrenzungsgeraden
1 × C1: für das richtige Einzeichnen des Lösungsbereichs
b2) 1 × C2: für die richtige Interpretation der Bedeutung der Ungleichung im gegebenen Sachzusammenhang
c1) 1 × A: für das richtige Angeben einer möglichen Zielfunktion
c2) 1 × B: für das richtige Einzeichnen derjenigen Geraden, für die im Lösungsbereich der minimale Wert der Zielfunktion angenommen wird