Mathematik-Matura Mai 2019 · HAK Cluster W2 – Aufgaben

Name:
Klasse/Jahrgang:
BHS
8. Mai 2019
Angewandte Mathematik
HAK
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung

2
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Liebe Kandidatin! Lieber Kandidat!
Es gilt folgender Beurteilungsschlüssel:
44–48 Punkte Sehr gut
38– 43 Punkte Gut
31– 37 Punkte Befriedigend
23–30 Punkte Genügend
0–22 Punkte Nicht genügend Viel Erfolg!
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum
Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“ gewählt und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen
ein.
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“ übermalt und dann wieder gewählt.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
Das vorliegende Aufgabenheft enthält Teil-A-Auf gaben und Teil-B-Aufgaben mit jeweils unterschiedlich vielen Teil aufgaben. Die Teilaufgaben
sind unabhängig voneinander bearbeitbar. Ihnen
stehen insgesamt 270 Minuten an reiner Arbeitszeit zur Verfügung.
Verwenden Sie für die Bearbeitung ausschließlich
dieses Aufgabenheft und das Ihnen zur Verfügung gestellte Arbeitspapier. Schreiben Sie Ihren
Namen und Ihren Jahrgang bzw. Ihre Klasse in
die dafür vorgesehenen Felder auf dem Deckblatt
des Aufgabenhefts sowie Ihren Namen und die
fortlaufende Seitenzahl auf jedes verwendete Blatt
Arbeitspapier. Geben Sie bei der Beantwortung
jeder Teilaufgabe deren Bezeichnung (z. B.: 3d1)
auf dem Arbeitspapier an.
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht
durchgestrichen ist. Streichen Sie Notizen durch.
Die Verwendung von approbierten Formelheften
bzw. von der Formel sammlung für die SRDP in
Angewandter Mathematik und von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder
andere entsprechende Technologie) ist erlaubt,
sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via
Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwerke
etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien
im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich ist.
Eine Erläuterung der Antwortformate liegt im Prüfungsraum zur Durchsicht auf.
Handreichung für die Bearbeitung
– Jede Berechnung ist mit einem nachvollziehbaren Rechenansatz und einer nachvollziehbaren
Dokumentation des Technologieeinsatzes (die
verwendeten Ausgangsparameter und die verwendete Technologiefunktion müssen angegeben werden) durchzuführen.
– Selbst gewählte Variablen sind zu erklären und
gegebenenfalls mit Einheiten zu benennen.
– Ergebnisse sind eindeutig hervorzuheben.
– Ergebnisse sind mit entsprechenden Einheiten
anzugeben, wenn dies in der Handlungsan weisung explizit gefordert wird.
– Werden Diagramme oder Skizzen als Lösungen
erstellt, so sind die Achsen zu skalieren und zu
beschriften.
– Werden geometrische Skizzen erstellt, so sind
die lösungsrelevanten Teile zu beschriften.
– Vermeiden Sie frühzeitiges Runden.
– Legen Sie allfällige Computerausdrucke der
Lösung mit Ihrem Namen beschriftet bei.
– Wird eine Aufgabe mehrfach gerechnet, so sind
alle Lösungswege bis auf einen zu streichen.

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Aufgabe 1
Die Adria-Wien-Pipeline
Österreich muss einen Großteil seines Erdölbedarfs durch Importe von Rohöl decken. Diese
Importe werden vorwiegend über die Adria-Wien-Pipeline durchgeführt, die von Triest nach
Wien-Schwechat führt.
a) Die folgende Tabelle gibt die nach Österreich importierten Rohölmengen in den Jahren 2006
bis 2014 an:
Jahr 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
importierte Rohölmenge
in Millionen Tonnen
7,7 7,6 7,9 7,4 6,8 7,3 7,4 7,8 7,5
Quelle: https://www.wko.at/branchen/industrie/mineraloelindustrie/jahresberichte.html [22.11.2018].
1) Ermitteln Sie das arithmetische Mittel und die Standardabweichung der importierten
Rohölmengen für diesen Zeitraum in Millionen Tonnen. [1 Punkt]
b) Modellhaft betrachtet ist die Pipeline ein Drehzylinder mit dem Durchmesser d und der Höhe l .
Der Innendurchmesser der Pipeline beträgt d = 457,2 mm. Die Länge der Pipeline beträgt
rund l = 416 km.
In der Erdölindustrie wird für das Volumen von Rohöl häufig die Einheit Barrel verwendet.
Es gilt: 1 Barrel ≈ 0,159 m
3
1) Berechnen Sie, wie viele Barrel Rohöl die vollständig befüllte Pipeline fasst. [2 Punkte]

4
c) Das Gesamtvolumen an Rohöl, das im Zeitintervall [0; t ] einen Kontrollpunkt in der Pipeline
passiert, kann näherungsweise durch die Funktion R in Abhängigkeit von der Zeit t modelliert
werden. Der Graph der Funktion R ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
R
Zeit t in h
Gesamtvolumen an Rohöl R ( t ) in m
3
8 7 6 5 4 3 2 1 0 9
0
8 000
7 000
6 000
5 000
4 000
3 000
2 000
1 000
9 000
1) Erstellen Sie mithilfe des oben dargestellten Graphen eine Gleichung der Funktion R .
[1 Punkt]
Die Durchflussrate D ( t ) zum Zeitpunkt t ist die momentane Änderungsrate der Funktion R .
2) Zeichnen Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen der Durchfluss rate ein.
[1 Punkt]
Zeit t in h
Durchflussrate D ( t ) in m
3
/h
8 7 6 5 4 3 2 1 0 9
0
1 600
1 400
1 200
1 000
800
600
400
200
1 800

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Aufgabe 2
Vitamin C
a) Der Vitamin-C-Gehalt eines Apfels nimmt nach der Ernte exponentiell ab. Alle 4 Wochen
nimmt der Vitamin-C-Gehalt um 20 % bezogen auf den Wert zu Beginn dieser 4 Wochen ab.
Ein bestimmter Apfel hat bei der Ernte einen Vitamin-C-Gehalt von 18 mg.
Der Vitamin-C-Gehalt dieses Apfels in Milligramm soll in Abhängigkeit von der Zeit t in Wochen
beschrieben werden.
1) Erstellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Funktion. Wählen Sie t = 0 für den Zeitpunkt
der Ernte. [1 Punkt]
2) Berechnen Sie den Vitamin-C-Gehalt dieses Apfels 36 Wochen nach der Ernte. [1 Punkt]
b) Der Vitamin-C-Gehalt von Tabletten der Sorte Zitruspower ist annähernd normalverteilt mit
dem Erwartungswert μ = 100 mg und der Standardabweichung σ = 5 mg.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Vitamin-C-Gehalt einer zufällig ausgewählten Tablette zwischen 92 mg und 110 mg liegt. [1 Punkt]
c) Nach der Einnahme einer Vitamin-C-Tablette steigt die Vitamin-C-Konzentration im Blut zunächst an und sinkt danach wieder ab.
Die Funktion c beschreibt näherungsweise den zeitlichen Verlauf der Vitamin-C-Konzentration
im Blut einer bestimmten Person.
c ( t ) = 24 ∙ ( ℯ
–0,0195 ∙ t
– ℯ
–1,3 ∙ t
) + 3
t ... Zeit seit der Einnahme der Vitamin-C-Tablette in h
c ( t ) ... Vitamin-C-Konzentration im Blut zur Zeit t in Mikrogramm pro Milliliter (μg/ml)
1) Zeigen Sie, dass die maximale Vitamin-C-Konzentration im Blut der Person gerundet
25,18 μg/ml beträgt. [1 Punkt]
2) Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der die maximale Vitamin-C-Konzentration in mg/L
angibt. [1 aus 5] [1 Punkt]
0,02518 mg/L
25,18 mg/L
25 180 mg/L
0,00002518 mg/L
25 180 000 mg/L

6
Aufgabe 3
Glücksspiel
Bei einem Glücksspiel werden aus verschiedenen Gefäßen Kugeln zufällig gezogen.
a) Im ersten Gefäß befinden sich insgesamt a Kugeln. 7 dieser Kugeln sind rot, die anderen Kugeln sind weiß.
Es wird 1 Kugel aus diesem Gefäß gezogen.
1) Erstellen Sie mithilfe von a einen Ausdruck zur Berechnung der folgenden Wahrscheinlichkeit:
P („die gezogene Kugel ist weiß“) =
[1 Punkt]
Aus diesem Gefäß mit a Kugeln zieht Elena 1 Kugel und legt diese Kugel anschließend in das
Gefäß zurück. Dann zieht sie wieder 1 Kugel.
2) Vervollständigen Sie das nachstehende Baumdiagramm so, dass es den beschriebenen
Sachverhalt wiedergibt. [1 Punkt]
rot weiß
weiß weiß rot rot
Die Wahrscheinlichkeit, dass Elena 2-mal eine rote Kugel zieht, beträgt 12,25 %.
3) Berechnen Sie die Anzahl a . [1 Punkt]

7
b) Im zweiten Gefäß befinden sich 6 schwarze und 2 blaue Kugeln.
Aus diesem Gefäß zieht Susi 1 Kugel und legt diese Kugel anschließend in das Gefäß zurück.
Das macht sie insgesamt 5-mal.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Susi dabei genau 3-mal eine schwarze Kugel
zieht. [1 Punkt]
c) Im dritten Gefäß befinden sich 12 Kugeln. 7 dieser Kugeln sind grün, die anderen Kugeln sind
gelb.
Aus diesem Gefäß zieht Moritz 1 Kugel und legt diese Kugel anschließend in das Gefäß
zurück. Das macht er insgesamt 3-mal.
1) Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen so, dass eine korrekte
Aussage entsteht. [Lückentext]
Die Wahrscheinlichkeit, dass
1
, ist durch den Ausdruck
2
gegeben. [1 Punkt]
1
alle 3 Kugeln grün sind
mindestens 1 Kugel grün ist
höchstens 1 Kugel grün ist
2
1 –
(
5
12
)
3
1 –
(
7
12
)
3
(
5
12
)
3

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Aufgabe 4
Bahnverkehr in Österreich
a) Eine Bahnfahrt von Wien nach Graz dauert 2 Stunden und 35 Minuten. Die mittlere Reise geschwindigkeit beträgt dabei rund 81,83 km/h. Im Jahr 2026 soll der Semmering-Basis tunnel fertiggestellt werden. Dadurch wird sich die Fahrtstrecke um 13,7 Kilometer und die
Fahrtdauer um 50 Minuten verkürzen.
1) Berechnen Sie die mittlere Reisegeschwindigkeit zwischen Wien und Graz für die verkürzte
Fahrt. [2 Punkte]
b) Die Fahrtstrecke im Semmering-Basistunnel wird 27,3 Kilometer lang sein und eine (als kon stant angenommene) Steigung von 0,84 % haben.
In der folgenden Berechnung des Höhenunterschieds Δ h in Metern auf dieser Fahrtstrecke ist
genau ein Fehler passiert:
Steigungswinkel: α = arctan(0,0084) = 0,48127…°
Δ h =
27 300 m
sin( α )
= 3 250 114,6… m
1) Stellen Sie die Berechnung und das Ergebnis richtig. [1 Punkt]
c) Im nachstehenden Diagramm sind die Fahrgastzahlen der Österreichischen Bundesbahnen
für die Jahre 2010 bis 2014 dargestellt.
209,8 209,3
224,1
233,2
235,1
190
200
210
220
230
240
2013 2012 2011 2010 2014
Anzahl der
Fahrgäste in Millionen
Jahr
Datenquelle: Agentur für Passagier- und Fahrgastrechte (Hrsg.): Fahrgastrechte-Statistik Bahn 2014 , 2016, S. 4.
https://www.apf.gv.at/files/1-apf-Homepage/1g-Publikationen/Fahrgastrechtestatistik-2014.pdf [22.11.2018].
1) Berechnen Sie die Spannweite der angegebenen Fahrgastzahlen in Millionen. [1 Punkt]
Es wird folgende Berechnung durchgeführt:
235,1 – 209,8
209,8
≈ 0,12
2) Interpretieren Sie das Ergebnis dieser Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang.
[1 Punkt]

9
Aufgabe 5
Sonnenaufgang
a) Während der Morgendämmerung wird es kontinuierlich heller. Die Be leuchtungsstärke bei
klarem Himmel kann an einem bestimmten Ort in Abhängigkeit von der Zeit näherungsweise
durch folgende Exponential funktion E beschrieben werden:
E ( t ) = 80 · a
t
mit –60 ≤ t ≤ 30
t ... Zeit in min, wobei t = 0 der Zeitpunkt des Sonnenaufgangs ist
E ( t ) ... Beleuchtungsstärke zur Zeit t in Lux
a ... Parameter
1) Interpretieren Sie die Zahl 80 in der Funktionsgleichung von E im gegebenen Sachzusammenhang. [1 Punkt]
Die Beleuchtungsstärke verdoppelt sich alle 5 min.
2) Berechnen Sie den Parameter a . [1 Punkt]
b) An einem Wintertag wurde die Beleuchtungsstärke E in Lux am Morgen und zu Mittag
gemessen. Die dekadischen Logarithmen (Logarithmen zur Basis 10) der beiden Mess ergebnisse sind nachstehend dargestellt:
lg( E
Morgen
) lg( E
Mittag
)
lg( E ) 5 4 3 2 1 0 –1 –2 6
Marco behauptet, die Beleuchtungsstärke E sei an diesem Tag zu Mittag 4-mal so hoch wie
am Morgen gewesen.
1) Zeigen Sie, dass Marcos Behauptung falsch ist. [1 Punkt]

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c) In der nachstehenden Grafik ist die jeweilige Uhrzeit des Sonnenaufgangs in Wien für die ersten 150 Tage eines Jahres dargestellt.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
0
5
6
7
8
9
Uhrzeit des Sonnenaufgangs
in Stunden
Zeit seit Jahresbeginn in Tagen
Zeitumstellung
auf Sommerzeit
1) Ermitteln Sie mithilfe der obigen Grafik, wie viele Tage nach der Zeitumstellung der Sonnenaufgang erstmals zu einer früheren Uhrzeit als unmittelbar vor der Zeitumstellung
statt findet. [1 Punkt]
Im Zeitintervall [0; 40] kann die Uhrzeit des Sonnenaufgangs näherungsweise durch eine
quadratische Funktion f modelliert werden.
f ( t ) = a ∙ t
2
+ c
t … Zeit seit Jahresbeginn in Tagen
f ( t ) … Uhrzeit des Sonnenaufgangs am Tag t in Stunden
2) Argumentieren Sie anhand der obigen Grafik, dass der Parameter a dabei negativ sein
muss. [1 Punkt]

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Aufgabe 6 (Teil B)
Betonrohre
a) In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Preisfunktion der Nachfrage p für Betonrohre des Modells A dargestellt.
0 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000
0
20
40
60
nachgefragte Menge in Stück
Preis in € / Stück
p
1) Erstellen Sie mithilfe der obigen Abbildung eine Gleichung der Preisfunktion der Nach frage p . [1 Punkt]
2) Interpretieren Sie den Wert der Steigung von p im gegebenen Sachzusammenhang.
[1 Punkt]
Die Betonrohre des Modells A werden um € 32 pro Stück verkauft.
3) Berechnen Sie die zugehörige Anzahl der nachgefragten Betonrohre des Modells A .
[1 Punkt]
b) Für Betonrohre des Modells B geht man von einer kubischen Gewinnfunktion G aus.
x … Absatzmenge in ME
G ( x ) … Gewinn bei der Absatzmenge x in GE
1) Ordnen Sie den beiden Aussagen jeweils die zutreffende Gleichung aus A bis D zu. [2 zu 4]
[1 Punkt]
Der Break-even-Point
liegt bei 200 ME.
Das Gewinnmaximum
liegt bei 200 ME.
A G (0) = 200
B G (200) = 0
C G ′ (200) = 0
D G ″ (200) = 0

12
c) Für Betonrohre des Modells C geht man von einer kubischen Kostenfunktion K aus.
K ( x ) = a · x
3
+ b · x
2
+ c · x + d
x … Produktionsmenge in ME
K ( x ) … Kosten bei der Produktionsmenge x in GE
Die Fixkosten betragen 150 GE.
Bei einer Produktion von 20 ME ergeben sich Kosten von 530 GE.
Bei einer Produktion von 10 ME ergeben sich Grenzkosten von 17 GE/ME.
Bei einer Produktion von 30 ME ergeben sich Stückkosten von 22 GE/ME.
1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a , b , c und d .
[3 Punkte]
2) Berechnen Sie diese Koeffizienten. [1 Punkt]
d) Der Durchmesser von Betonrohren des Modells D kann als annähernd normalverteilt mit dem
Erwartungswert μ = 100 mm angenommen werden. Bei 3 % der Rohre ist der Durchmesser
kleiner als 98 mm.
1) Berechnen Sie die zugehörige Standardabweichung σ . [1 Punkt]

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Aufgabe 7 (Teil B)
Küchenkauf
Frau Tomi ć will eine neue Küche um € 30.000 kaufen.
a) Um sich die Küche leisten zu können, hat sie vor 7 Jahren, vor 4 Jahren und vor 1 Jahr jeweils € 3.000 auf ein Sparbuch mit fixem Zinssatz eingezahlt. Nun befinden sich € 10.000 auf
dem Sparbuch.
1) Berechnen Sie den zugrunde liegenden Jahreszinssatz. [1 Punkt]
Bei diesem Sparvorgang wurden jährlich 25 % Kapitalertragssteuer (KESt) abgezogen.
2) Berechnen Sie den Jahreszinssatz des Sparbuchs vor Abzug der KESt. [1 Punkt]
b) Frau Tomi ć benötigt für den Kauf der Küche einen Kredit in Höhe von € 20.000. Ein Bekannter
von Frau Tomi ć bietet an, ihr das Geld zu einem fixen Zinssatz von 4 % p. a. zu leihen. Für die
Rückzahlung vereinbaren sie, dass am Ende des 1. Semesters nur die Zinsen zu bezahlen
sind, danach sind Semesterraten in Höhe von jeweils € 2.000 fällig.
1) Berechnen Sie den äquivalenten Semesterzinssatz. [1 Punkt]
2) Vervollständigen Sie die Zeilen für die Semester 1 und 2 des nachstehenden Tilgungsplans. [2 Punkte]
Semester Zinsanteil Tilgungsanteil Semesterrate Restschuld
0 --- --- --- € 20.000
1
2
3) Erklären Sie, warum die folgende Behauptung richtig ist: „Eine Verdoppelung der Semesterrate führt nicht zu einer Verdoppelung des Tilgungsanteils.“ [1 Punkt]
c) Für einen Kredit in Höhe von € 20.000 holt Frau Tomi ć ein Angebot von einer Bank ein. Die
Bank schlägt für die Rückzahlung nachschüssige Jahresraten in Höhe von jeweils € 3.000 bei
einem Jahreszinssatz i vor.
1) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Restschuld S nach t Jahren.
S = [1 Punkt]

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Aufgabe 8 (Teil B)
Speiseeis
Ein Restaurant stellt nach eigener Rezeptur Speiseeis für Nachspeisen her.
Aus den 6 Rohstoffen Milch, Obers, Eier, Zucker, Schokolade und Vanille werden die 2 Zwischenprodukte Schokoladeeis und Vanilleeis hergestellt.
Die Mengen in Gramm für die Herstellung jeweils einer Portion Eis sind in der nachstehenden
Tabelle angegeben.
Schokoladeeis Z
1
Vanilleeis Z
2
Milch R
1
10 25
Obers R
2 40 30
Eier R
3
20 15
Zucker R
4
5 10
Schokolade R
5
20 0
Vanille R
6
0 10
Das Schokoladeeis und das Vanilleeis werden für die Nachspeisen Früchtebecher und Bananensplit verwendet.
Die dazu jeweils benötigten Eisportionen sind in der nachstehenden Tabelle angegeben.
Früchtebecher E
1
Bananensplit E
2
Schokoladeeis Z
1
2 0
Vanilleeis Z
2 1 3
Die Verflechtung, die den Bedarf an Rohstoffen für jeweils eine Nachspeise angibt, kann
durch die Verflechtungsmatrix V beschrieben werden.
a) 1) Ermitteln Sie die Verflechtungsmatrix V . [1 Punkt]
Das Restaurant benötigt täglich 50 Früchtebecher und 30 Bananensplits.
2) Ermitteln Sie denjenigen Vektor, der den täglichen Bedarf an Rohstoffen angibt. [1 Punkt]

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b) Die Verflechtung kann auch durch einen Gozinto-Graphen dargestellt werden.
R
5
R
2
R
3
R
4
R
1
R
6
Z
2
Z
1
E
2
E
1
1) Tragen Sie im obigen unvollständigen Gozinto-Graphen die fehlenden Zahlen in die entsprechenden Kästchen ein. [1 Punkt]
c) Die Preise für die Rohstoffe können in einem Vektor p =
( )
p
1
p
2
p
3
p
4
p
5
p
6
zusammengefasst werden.
1) Beschreiben Sie, was durch den Ausdruck p
T
· V im gegebenen Sachzusammenhang
berechnet wird. [1 Punkt]
2) Kreuzen Sie die richtige Zeilen- und Spaltenanzahl der Matrix p
T
· V an. [1 aus 5] [1 Punkt]
1×2-Matrix
2×1-Matrix
2×6-Matrix
6×1-Matrix
6×2-Matrix

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d) Nach einer längeren Lagerung der Milch und der Eier besteht die Gefahr, dass diese Rohstoffe
zu einem bestimmten Zeitpunkt t verdorben sind.
A bezeichnet das Ereignis, dass die Milch zum Zeitpunkt t verdorben ist. Das Ereignis A tritt
mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 % ein.
B bezeichnet das Ereignis, dass die Eier zum Zeitpunkt t verdorben sind. Das Ereignis B tritt
mit einer Wahrscheinlichkeit von 2 % ein.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 % sind beide Rohstoffe zum Zeitpunkt t verdorben.
Die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Ereignisse können in einer Vierfeldertafel dargestellt werden.
1) Vervollständigen Sie die nachstehende Vierfeldertafel so, dass sie den beschriebenen
Sachverhalt wiedergibt. [1 Punkt]
A nicht A Summe
B
nicht B
Summe
2) Zeigen Sie, dass die beiden Ereignisse A und B voneinander abhängig sind. [1 Punkt]

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