Mathematik-Matura Jänner 2019 · HTL Cluster T2 – Lösungen

BHS
15. Jänner 2019
Angewandte Mathematik
HTL 2
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung

2
Korrektur- und Beurteilungsanleitung
(Detaillierte Informationen dazu finden Sie im entsprechenden Erlass zur Beurteilung, der auf der
Website https://ablauf.srdp.at/ abrufbar ist.)
Kompetenzbereiche
n Kompetenzbereich A ( KA ) umfasst die unabhängig
1
erreichbaren Punkte der Komplexitätsstufen 1 und 2 aus dem Kompetenzstufenraster.
n Kompetenzbereich B ( KB ) umfasst die abhängig erreichbaren Punkte und die Punkte der
Komplexitätsstufen 3 und 4 aus dem Kompetenzstufenraster.
Die Summe der unabhängig erreichbaren Punkte aus den Komplexitätsstufen 1 und 2 ( KA ) stellt die
„wesentlichen Bereiche“ eines Klausurheftes dar.
Beurteilung
Als Hilfsmittel für die Beurteilung wird ein auf ein Punktesystem basierender Beurteilungsschlüssel angegeben. Je nach gewichteter Schwierigkeit der vergebenen Punkte in den „wesentlichen
Bereichen“ wird festgelegt, ab wann die „wesentlichen Bereiche überwiegend“ (Genügend) erfüllt
sind, d. h., gemäß einem Punkteschema müssen Punkte aus dem Kompetenzbereich A unter Einbeziehung von Punkten aus dem Kompetenzbereich B in ausreichender Anzahl abhängig von der
Zusammenstellung der Klausurhefte gelöst werden. Darauf aufbauend wird die für die übrigen Notenstufen zu erreichende Punktezahl festgelegt.
Nach der Punkteermittlung soll die Arbeit der Kandidatin / des Kandidaten nochmals ganzheitlich
qualitativ betrachtet werden. Unter Zuhilfenahme des Punkteschemas und der ganzheitlichen Betrachtung ist von der Prüferin / vom Prüfer ein verbal begründeter Beurteilungsvorschlag zu erstellen,
wobei die Ergebnisse der Kompetenzbereiche A und B in der Argumentation zu verwenden sind.
Beurteilungsschlüssel für die vorliegende Klausur:
44–48 Punkte Sehr gut
39–43 Punkte Gut
34–38 Punkte Befriedigend
23–33 Punkte Genügend
0–22 Punkte Nicht genügend
1
Unabhängige Punkte sind solche, für die keine mathematische Vorleistung erbracht werden muss. Als mathematische Vorleistung gilt z. B. das Aufstellen einer Gleichung (unabhängiger Punkt) mit anschließender Berechnung (abhängiger Punkt).

3
Handreichung zur Korrektur
1. In der Lösungserwartung ist nur ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen.
2. Der Lösungsschlüssel ist unter Beachtung folgender Vorgangsweisen verbindlich anzuwenden:
a. Punkte sind nur zu vergeben, wenn die abgefragte Handlungskompetenz in der Bearbeitung vollständig erfüllt ist.
b. Berechnungen ohne nachvollziehbaren Rechenansatz bzw. ohne nachvollziehbare Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete Ausgangsparameter und die verwendete
Technologiefunktion müssen angegeben sein) sind mit null Punkten zu bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen bzw. Lösungswege von der Kandidatin / vom
Kandidaten angeboten und nicht alle diese Lösungen bzw. Lösungswege sind korrekt, so
ist diese Teilaufgabe mit null Punkten zu bewerten.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Das heißt zum Beispiel:
Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in einem
Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel
Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als solche
identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner Vereinfachung
der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler können vernachlässigt werden, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert ist.
h. Jedes Diagramm bzw. jede Skizze, die Lösung einer Handlungsanweisung ist, muss eine
qualitative Achsenbeschriftung enthalten, andernfalls ist dies mit null Punkten zu bewerten.
i. Die Angabe von Einheiten kann bei der Punktevergabe vernachlässigt werden, sofern sie im
Lösungsschlüssel nicht explizit eingefordert wird.

4
Aufgabe 1
Treppenlift
Möglicher Lösungsweg
a1) h : t = 3 : 4 ⇒ h =
3
4
· t

t
2
+ h
2
= t
2
+
(
3
4
∙ t
)
2

l ( t ) = 11 ∙ t
2
+
(
3
4
∙ t
)
2

t … Stufentiefe in cm
l ( t ) … Länge der Führungsschiene bei einer Stufentiefe t in cm
b1)
200
100
c1) K 1 ( t ) = 9 480
K 2 ( t ) = 60 · t + 300
t … Anzahl der Monate
K 1 ( t ), K 2 ( t ) … Gesamtkosten nach t Monaten in Euro
c2) K 2 (120) = 7 500
7 500 < 9 480
Wenn Frau Huber den Treppenlift nur für 10 Jahre benötigt, ist Angebot 2 günstiger.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung (KB)
b) 1 × A: für das richtige Erstellen der Skizze (KA)
c) 1 × A: für das richtige Aufstellen der beiden Funktionsgleichungen (KA)
1 × D: für die richtige Überprüfung (KA)

5
Aufgabe 2
Kurvenfahrt
Möglicher Lösungsweg
a1) (2 · v )
2
= 4 · v
2
Das bedeutet: Wenn man mit doppelt so hoher Geschwindigkeit in eine Kurve mit dem
Radius r fährt, dann wird F viermal so groß.
b1 und b2)
F ( r ) in N
r in m
–20 0 120 100 80 60 40 20 140
0
5 000
10 000
15 000
20 000
c1) 18 : 380 = 0,047...
F ist bei einem fast leeren Tank um rund 5 % geringer als bei einem vollen Tank.
Lösungsschlüssel
a) 1 × D: für die richtige Erklärung (KA)
b) 1 × B: für das richtige Erstellen der Grafik (KA)
1 × C: für das richtige Kennzeichnen der Veränderung auf der senkrechten Achse (KB)
c) 1 × B: für die richtige Berechnung (KA)

6
Aufgabe 3
Münzen
Möglicher Lösungsweg
a1) Die Möglichkeit, dass die Summe der gezogenen Münzen 3 Euro beträgt, besteht nur, wenn
man entweder aus Susis Box 1 Ein-Euro-Münze und aus Markus’ Box 1 Zwei-Euro-Münze
zieht oder aus Susis Box 1 Zwei-Euro-Münze und aus Markus’ Box 1 Ein-Euro-Münze zieht.
a2) P ( S = 1 und M = 2) =
3
8
∙
3
5
P ( S = 2 und M = 1) =
5
8
∙
2
5
Die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten ist die gesuchte Lösung:
9
40
+
10
40
=
19
40
= 47,5 %
b1) Berechnung der Wahrscheinlichkeit mithilfe der Binomialverteilung: n = 10 und p = 0,5
P ( X ≥ 3) = 0,9453... ≈ 94,5 %
c1) n =
ln(0,0625)
ln(0,5)
= 4
c2) n gibt an, wie oft man die Münze werfen muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von
93,75 % mindestens 1-mal „Zahl“ geworfen wird.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Angeben der beiden Möglichkeiten (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit (KB)
b) 1 × B: für die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit (KA)
c) 1 × B: für die richtige Berechnung von n (KA)
1 × C: für die richtige Interpretation von n (KB)

7
Aufgabe 4
Scheunentor
Möglicher Lösungsweg
a1) Koordinatensystem in der Symmetrieachse:
y (0) = 3,4: 3,4 = b
y (2) = 3: 3 = 4 ∙ a + 3,4 ⇒ a = –0,1
b1) A = 2 ∙
∫
2,5
0
(–0,08 ∙ x
2
+ 4) d x =
115
6
≈ 19,17
Der Flächeninhalt beträgt rund 19,17 m
2
.
c1) Das Volumen V ist das Produkt aus Flächeninhalt und Dicke: 16 m
2
= 1 600 dm
2
;
8 cm = 0,8 dm
V = 1 600 dm
2
· 0,8 dm = 1 280 dm
3
Masse des Scheunentors: m = 0,7 kg/dm
3
· 1 280 dm
3
= 896 kg = 0,896 t
Die Masse des Scheunentors beträgt 0,896 t.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für die richtige Berechnung der Koeffizienten (KA)
b) 1 × B: für die richtige Berechnung des Flächeninhalts (KA)
c) 1 × B: für die richtige Berechnung der Masse in Tonnen (KA)

8
Aufgabe 5
Medikamentenabbau
Möglicher Lösungsweg
a1)
24 21 18 15 12 9 6 3 0
260
240
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
Wirkstoffmenge im Körper in mg
Zeit nach der ersten Einnahme in h
b1) Bei Verwendung des exponentiellen Modells sinkt die im Körper vorhandene Wirkstoffmenge
theoretisch niemals auf null ab. Nach 24 Stunden sind 8 Halbwertszeiten vergangen, d. h.,
ein Anteil von
(
1
2
)
8
> 0 befindet sich noch im Blut.

9
c1) Modellierung durch eine Exponentialfunktion mit einer Halbwertszeit von 3 Stunden und einer
Startmenge von 480 mg:
N ( t ) = N 0 ∙ a
t
240 = 480 ∙ a
3
a = 0,5
1
3
= 0,79370...
N ( t ) = 480 ∙ a
t
Berechnung des Wirkungszeitraums:
50 = 480 ∙ a
t
t = 9,7...
Lösungsschlüssel
a) 1 × A1: für die richtige Darstellung im Intervall [0; 12[ (KA)
1 × A2: für die richtige Darstellung im Intervall [12; 24[ (KB)
b) 1 × D: für die richtige Argumentation (KA)
c) 1 × A: für die richtige Modellierung der Exponentialfunktion (KA)
1 × B: für das richtige Bestimmen des Wirkungszeitraums (KB)

10
Aufgabe 6
Statistische Verteilung der Körpermassen von 12-Jährigen
Möglicher Lösungsweg
a1) Median: 41 kg
3. Quartil: 45 kg
a2) Die Behauptung in der Tageszeitung ist falsch, weil 42 kg größer als der Median sind.
b1) Bestimmung der statistischen Kennzahlen mittels Technologieeinsatz:
– arithmetisches Mittel: 43,6 kg
– Median: 39 kg
c1)
60 55 50 45 40 35 30 25 20 65
Körpermasse in kg
c2) Berechnung des Intervalls mittels Technologieeinsatz:
P ( μ – a ≤ X ≤ μ + a ) = 0,9 ⇒ [36,2 kg; 47,8 kg]
Lösungsschlüssel
a) 1 × C: für das richtige Ablesen der beiden statistischen Kennzahlen (KA)
1 × D: für die richtige Begründung (KA)
b) 1 × B: für die richtige Bestimmung des arithmetischen Mittels und des Medians (KA)
c) 1 × A: für das richtige Veranschaulichen der Wahrscheinlichkeit in einer Skizze der Dichte funktion (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung des Intervalls (KB)

11
Aufgabe 7 (Teil B)
Werbung
Möglicher Lösungsweg
a1) N
G
(8) = 835,8...
Nach 8 Tagen kennen rund 835 Studierende das Gerücht.
b1) N
W
( t ) = N
G
( t )
Lösung mittels Technologieeinsatz: t = 6,779... ≈ 6,78
Nach etwa 6,78 Tagen haben gleich viele Studierende vom Gerücht erfahren, wie von der
Werbekampagne erreicht wurden.
c1) Die Ableitung N
G
′ hat an der Stelle t
0
eine Maximumstelle.
Die Funktion N
G
hat an der Stelle t
0
eine Wendestelle.
c2) Zur Zeit t
0
ist der Zuwachs der Studierenden, die von dem Gerücht erfahren haben, am größten.
c3) Die Funktion N
G
ist zwar für 0 ≤ t < t
0
positiv gekrümmt, für t > t
0
jedoch negativ gekrümmt.
Somit gilt hier für t > t
0
: N
G
″ ( t ) < 0.
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für die richtige Berechnung der Anzahl der Studierenden, die nach 8 Tagen von dem
Gerücht erfahren haben (Auch ein Runden des Ergebnisses auf 836 Studierende ist als
richtig zu werten.) (KA)
b) 1 × A: für den richtigen Ansatz (KA)
1 × B: für die richtige Bestimmung des Zeitpunkts (KB)
c) 1 × C1: für die richtige Beschreibung zur Ableitung N
G
′ (KA)
1 × C2: für die richtige Beschreibung zur Funktion N
G
(KA)
1 × C3: für die richtige Interpretation im gegebenen Sachzusammenhang (KA)
1 × D: für eine richtige Argumentation (KA)

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Aufgabe 8 (Teil B)
Flugbahn und Bewegungsgleichung
Möglicher Lösungsweg
a1) P = (15 | 10)
a2) Die Punkte (0 | 0), (15 | 10) und (30 | 0) liegen auf dem Graphen der quadratischen Funktion
mit der Gleichung y = a · x
2
+ b · x + c .
(0 | 0): c = 0
(15 | 10): 15
2
· a + 15 · b = 10
(30 | 0): 30
2
· a + 30 · b = 0
_________________________
Lösung mittels Technologieeinsatz: a = –
2
45
; b =
4
3
⇒ y = –
2
45
∙ x
2
+
4
3
∙ x
Der Vergleich mit der gegebenen Funktionsgleichung zeigt:
tan( α ) =
4
3
α = arctan
(
4
3
)
= 53,130...° ≈ 53,13°
b1)
v ( t ) in m/s
t in s
20 15 10 5 0 25
50
40
30
20
10
0
60
b2) Daraus wird v max mit rund 57 m/s abgelesen.
Toleranzbereich: [55; 60]
c1) v ( t ) = s
·
( t ) = 10 ∙ ℯ
–0,04 ∙ t
c2) v (0) = 10
Die Geschwindigkeit zu Beginn des Auskuppelns beträgt 10 m/s.

13
Lösungsschlüssel
a) 1 × C: für die richtige Angabe der Koordinaten (KA)
1 × A: für einen richtigen Ansatz zur Berechnung des Winkels (Modellierung der quadratischen Funktion) (KB)
1 × B: für die richtige Berechnung des Winkels α (KB)
b) 1 × B: für die richtige grafische Darstellung der Fallgeschwindigkeit (KA)
1 × C: für das richtige Ablesen eines Näherungswerts für die maximale Fallgeschwindigkeit im
Toleranzbereich [55; 60] (KB)
c) 1 × A: für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung der Geschwindigkeit (KB)

14
Aufgabe 9 (Teil B)
Sinusfunktionen
Möglicher Lösungsweg
a1)
0 0,005 0,01
t in s
u ( t ) in V
300
250
200
150
100
50
350
0
t
1
t
2
u
a2) u ( t
1
) = 150 ⇒ t
1
= 0,00152…
u ( t
2
) = 100 ⇒ t
2
= 0,00900…
t 2 – t 1
0,01
= 0,7477…
Im Zeitintervall [0; 0,01] leuchtet die Glimmlampe rund 74,8 % der Zeit.
b1) y
2
( t ) = – A · ℯ
– δ · t
b2) Die Stellen, an denen der Funktionsgraph von y die Dämpfungskurve y
1
bzw. y
2
schneidet,
erhält man als Lösungen der Gleichung A · ℯ
– δ · t
· sin( ω · t ) = ± A · ℯ
– δ · t
.
A · ℯ
– δ · t
· sin( ω · t ) = ± A · ℯ
– δ · t
⇒ sin( ω · t ) = ±1
ω · t
k
=
π
2
+ k ∙ π mit k ∈ ℕ ⇒ t
k
=
π
2 ∙ ω
+ k ∙
π
ω
=
(
k +
1
2
)
∙
π
ω
c1) A = 10
d = –3
c2) Die Periodendauer T ist 0,04, daher ergibt sich:
ω =
2 ∙ π
T
=
2 ∙ π
0,04
= 50 ∙ π
c3) t
0
= –0,02 und φ = – t
0
∙ ω , daher ergibt sich:
φ = 0,02 ∙ 50 ∙ π = π
(Jeder Wert φ = π + 2 ∙ k ∙ π mit k ∈ ℤ ist als richtig zu werten.)

15
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige grafische Veranschaulichen des Zeitintervalls (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung des Prozentsatzes (KA)
b) 1 × A1: für das richtige Erstellen der Gleichung von y
2
(KA)
1 × A2: für den richtigen Ansatz (Gleichung zur Berechnung der Schnittpunkte) (KA)
1 x D: für den richtigen Nachweis (KB)
c) 1 × C: für das richtige Ablesen von A und d (KA)
1 x B1: für das richtige Bestimmen von ω (KA)
1 x B2: für das richtige Bestimmen von φ (KB)