Mathematik-Matura Jänner 2019 · AHS Teil 2 – Lösungen

AHS
15. Jänner 2019
Mathematik
Teil-2-Aufgaben
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung

2
Aufgabe 1
Polynomfunktion dritten Grades
a) Lösungserwartung:
Mögliche Vorgehensweise:
f ′
t
( x ) =
3
t
∙ x
2
– 4 · x + t
3 ∙ x
2
– 4 ∙ t · x + t
2
= 0 ⇒ x
1
=
t
3
; x
2
= t
Mögliche Beschreibung:
An der Stelle x = t hat f
t
eine Nullstelle und ein lokales Minimum.
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für die Angabe der beiden richtigen Werte.
– Ein Punkt für eine korrekte Beschreibung.
b) Lösungserwartung:
Mögliche Vorgehensweise:
f ″
t
( x ) =
6
t
· x – 4
f ″
t
( x ) = 0 ⇒ x
0
=
2
3
∙ t
Mögliche Vorgehensweise:
f ″
t
(0) =
6
t
· 0 – 4 = – 4
Die zweite Ableitungsfunktion hat an der Stelle x = 0 den Wert –4 und ist somit unabhängig
vom Parameter t .
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung.
– Ein Punkt für einen korrekten rechnerischen Nachweis.

3
c) Lösungserwartung:
Mögliche Vorgehensweise:
A ( t ) =
∫
t
0
f
t
( x ) d x =
t
3
4
–
2 · t
3
3
+
t
3
2
=
t
3
12
Die Funktion A ist eine Funktion dritten Grades.
A ( t ) : A (2 ∙ t ) = 1 : 8
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für einen richtigen Funktionsterm und die Angabe des richtigen Grades von A .
Äquivalente Terme sind als richtig zu werten.
– Ein Punkt für ein richtiges Verhältnis.
d) Lösungserwartung:
Mögliche Vorgehensweise:
f
–1
( x ) = – x
3
– 2 · x
2
– x
f
1
(– x ) = (– x )
3
– 2 · (– x )
2
+ (– x ) = – x
3
– 2 ∙ x
2
– x ⇒ f
–1
( x ) = f
1
(– x )
Mögliche Erläuterung:
Wird der Graph der Funktion f
1
an der senkrechten Achse gespiegelt, so erhält man den
Graphen der Funktion f
– 1
.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für einen korrekten rechnerischen Nachweis.
– Ein Punkt für eine korrekte Erläuterung.

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Aufgabe 2
Kondensator
a) Lösungserwartung:
U ( Q )
U
1
Q
1
Q
0
0
U
W =
∫
Q 1
0
U ( Q ) d Q =
1
2
· U
1
∙ Q
1
=
1
2
∙ C · U
1
2
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für eine richtige Skizze.
– Ein Punkt für eine richtige Formel. Äquivalente Formeln sind als richtig zu werten.

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b) Lösungserwartung:
Mögliche Vorgehensweise:
0,99 ∙ U* = U* ∙
(
1 – ℯ
–
t
τ
)
0,01 = ℯ
–
t
τ
Ladezeit: t = – τ ∙ ln(0,01) bzw. t = τ ∙ ln(100)
Mögliche Vorgehensweise:
U ′ ( t ) =
ℯ
–
t
τ
∙ U *
τ
Es gilt: U* > 0, τ > 0, ℯ
–
t
τ
> 0 ⇒ U ′ ( t ) > 0 für alle t ≥ 0.
Da U ′ ( t ) > 0 für alle t ≥ 0 gilt, ist U während des Ladevorgangs streng monoton steigend.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung. Äquivalente Schreibweisen der Lösung sind als richtig zu
werten.
– Ein Punkt für eine richtige Formel und eine (sinngemäß) korrekte Begründung. Äquivalente
Formeln sind als richtig zu werten.

6
Aufgabe 3
Vermögensverteilung
a) Lösungserwartung:
Im Jahr 2012 hatten in Österreich ca. 422 500 Personen (laut Abbildung 1: ca. 5 % der Bevölkerung) ein Vermögen von mindestens einer Million Euro.
Mögliche Vorgehensweise:
6 086 +
34 731 – 6 086
4
= 13 247,25
Der Näherungswert für den Schwellenwert bei 25 % liegt bei ca. € 13.247.
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für die richtige Lösung, wobei auch die Angabe des richtigen relativen
Anteils als richtig zu werten ist.
Toleranzintervalle: [338 000; 507 000] bzw. [4 %; 6 %]
– Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „€“ nicht angeführt sein muss.
Toleranzintervall: [€ 13.200; € 13.325]
b) Lösungserwartung:
Die vermögensstärksten 10 % der österreichischen Bevölkerung besitzen ca. 60 % des Vermögens.
Möglicher Verlauf von L *: 100 %
80 %
60 %
40 %
20 %
0 %
0 % 20 % 40 % 60 % 80 % 100 %
relativer Anteil der Bevölkerung
relativer Anteil des Gesamtvermögens
45°-Linie: absolute Gleichverteilung
A
L
L *
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [58 %; 62 %]
– Ein Punkt für einen richtig eingezeichneten Verlauf einer möglichen Lorenz-Kurve L *, wobei
der Funktionswert an der Stelle 90 % kleiner als 42 % sein muss und die Funktion monoton
steigend sein muss.

7
c) Lösungserwartung:
Mögliche Vorgehensweise:
0,5 –
∫
1
0
L
1
( x ) d x = 0,313
∙
0,313
∙
0,5
≈ 0,63
Der Gini-Koeffizient für das Jahr 2012 hatte für das Land S etwa den Wert 0,63.
Der Gini-Koeffizient für das Jahr 2012 war für das Land S niedriger als jener für Österreich.
Das bedeutet, dass in diesem Jahr das Gesamtvermögen im Land S gleichmäßiger auf die
Bevölkerung verteilt war als in Österreich.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [0,62; 0,63]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das
Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
– Ein Punkt für einen korrekten Vergleich und eine (sinngemäß) richtige Deutung.

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Aufgabe 4
Wahlhochrechnung
a) Lösungserwartung:
1 648
3 172
≈ 0,52
Für Kandidat A sind ca. 52 % von 978 Stimmen, also ca. 509 Stimmen, zu erwarten.
relativer Stimmenanteil für Kandidat A im 4. Wahlbezirk:
343
570
≈ 0,6
Der relative Stimmenanteil weicht im 4. Wahlbezirk um ca. 8 Prozentpunkte von h ab.
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [500; 510]
– Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [8; 9]
b) 1,5462 · 478 – 205,71 ≈ 533
Bei der Hochrechnung mithilfe der Regressionsgeraden g erhält Kandidat A im 5. Wahlbezirk
ca. 533 Stimmen bei der Bürgermeisterwahl.
Mögliche Interpretation:
Der Wert der Steigung von g gibt an, dass Kandidat A pro zusätzlicher Stimme bei der Vergleichswahl ca. 1,55 Stimmen mehr bei der Bürgermeisterwahl erwarten kann.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [530 Stimmen; 540 Stimmen]
– Ein Punkt für eine korrekte Interpretation.

9
c) 0,52 ± 1,96 ∙
0,52 ∙ 0,48
3 172

≈ 0,52 ± 0,017 ⇒ [0,503; 0,537]
Ein symmetrisches 90-%-Konfidenzintervall hat bei gleicher Stichprobengröße sowie gleichem
Stichprobenanteil und der Verwendung derselben Berechnungsmethode eine geringere Breite
als das symmetrische 95-%-Konfidenzintervall, daher wäre das Ergebnis auch nicht im symmetrischen 90-%-Konfidenzintervall enthalten.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für ein richtiges Intervall. Andere Schreibweisen des Ergebnisses sind ebenfalls als
richtig zu werten.
Toleranzintervall für den unteren Wert: [0,500; 0,503]
Toleranzintervall für den oberen Wert: [0,536; 0,540]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das
Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
– Ein Punkt für eine richtige Entscheidung und eine (sinngemäß) korrekte Begründung.