Mathematik-Matura Jänner 2019 · AHS Teil 2 – Aufgaben

AHS
15. Jänner 2019
Mathematik
Teil-2-Aufgaben
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
Name:
Klasse:

2
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat!
Das vorliegende Aufgabenheft zu Teil 2 enthält vier Aufgaben mit je zwei bis vier Teilaufgaben, wobei alle Teilaufgaben unabhängig voneinander bearbeitbar sind. Ihnen stehen dafür insgesamt 150 Minuten an reiner Arbeitszeit zur Verfügung.
Verwenden Sie einen nicht radierbaren, blau oder schwarz schreibenden Stift! Bei Konstruktionsaufgaben ist
auch die Verwendung eines Bleistifts möglich.
Verwenden Sie zur Bearbeitung dieser Aufgaben dieses Aufgabenheft und die Ihnen zur Verfügung gestellten
Blätter! Schreiben Sie Ihren Namen auf der ersten Seite des Aufgabenheftes in das dafür vorgesehene Feld und
auf jedes verwendete Blatt! Geben Sie bei der Beantwortung jeder Teilaufgabe deren Bezeichnung an!
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht durchgestrichen ist. Die Lösung muss dabei klar ersichtlich
sein. Wenn die Lösung nicht klar ersichtlich ist oder verschiedene Lösungen angegeben sind, gilt die Aufgabe
als nicht gelöst. Streichen Sie Ihre Notizen durch.
Sie dürfen die für diesen Klausurtermin freigegebene Formelsammlung sowie zugelassene elektronische Hilfs mittel verwenden.
Abzugeben sind das Aufgabenheft und alle von Ihnen verwendeten Blätter.
Beurteilung
Jede Aufgabe in Teil 1 wird mit 0 Punkten oder 1 Punkt bewertet, jede Teilaufgabe in Teil 2 mit 0, 1 oder 2 Punkten. Die mit A gekennzeichneten Aufgabenstellungen werden mit 0 Punkten oder 1 Punkt bewertet.
– Werden im Teil 1 mindestens 16 von 24 Aufgaben richtig gelöst, wird die Arbeit positiv bewertet.
– Werden im Teil 1 weniger als 16 von 24 Aufgaben richtig gelöst, werden mit A markierte Aufgabenstellungen
aus Teil 2 zum Ausgleich (für den laut LBVO „wesentlichen Bereich“) herangezogen.
Werden unter Berücksichtigung der mit A markierten Aufgabenstellungen aus Teil 2 mindestens 16 Aufgaben
richtig gelöst, wird die Arbeit positiv bewertet.
Werden auch unter Berücksichtigung der mit A markierten Aufgabenstellungen aus Teil 2 weniger als 16 Aufgaben richtig gelöst, wird die Arbeit mit „Nicht genügend“ beurteilt.
– Werden im Teil 1 mindestens 16 Punkte (mit Berücksichtigung der Ausgleichspunkte A ) erreicht, so gilt folgender Beurteilungsschlüssel:
Genügend 16– 23 Punkte
Befriedigend 24– 32 Punkte
Gut 33– 40 Punkte
Sehr gut 41– 48 Punkte
Erläuterung der Antwortformate
Die Aufgaben haben einerseits freie Antwortformate ; dabei schreiben Sie Ihre Antwort direkt unter die jeweilige
Aufgabenstellung in das Aufgabenheft oder auf die zur Verfügung gestellten Blätter. Weitere Antwortformate, die in
der Klausur zum Einsatz kommen können, werden im Folgenden vorgestellt:
Zuordnungsformat: Dieses Antwortformat ist durch mehrere Aussagen (bzw. Tabellen oder Abbildungen) gekennzeichnet, denen mehrere Antwortmöglichkeiten gegenüberstehen. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats
korrekt, indem Sie die Antwortmöglichkeiten durch Eintragen der entsprechenden Buchstaben den jeweils zutreffenden Aussagen zuordnen!
Beispiel:
Gegeben sind zwei Gleichungen.
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den zwei Gleichungen jeweils die
entsprechende Bezeichnung (aus A bis D) zu!
1 + 1 = 2 A
2 ∙ 2 = 4 C
A Addition
B Division
C Multiplikation
D Subtraktion

3
Konstruktionsformat: Eine Aufgabe und deren Aufgabenstellung sind vorgegeben. Die Aufgabe erfordert die Ergänzung von Punkten, Geraden und/oder Kurven im Aufgabenheft.
Beispiel:
Gegeben ist eine lineare Funktion f mit f ( x ) = k · x + d.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie den Graphen einer linearen Funktion mit den Bedingungen k = –2 und d > 0 in das vorgegebene
Koordinatensystem ein!
f ( x )
f
x
Multiple-Choice-Format in der Variante „1 aus 6“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und
sechs Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei eine Antwortmöglichkeit auszuwählen ist. Bearbeiten Sie
Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die einzige zutreffende Antwortmöglichkeit ankreuzen!
Beispiel:
Welche Gleichung ist korrekt?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an!
1 + 1 = 1 
2 + 2 = 2 
3 + 3 = 3 
4 + 4 = 8 T
5 + 5 = 5 
6 + 6 = 6 
Multiple-Choice-Format in der Variante „2 aus 5“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und fünf
Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei zwei Antwortmöglichkeiten auszuwählen sind. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die beiden zutreffenden Antwortmöglichkeiten ankreuzen!
Beispiel:
Welche Gleichungen sind korrekt?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an!
1 + 1 = 1 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 3 
4 + 4 = 8 T
5 + 5 = 5 

4
Multiple-Choice-Format in der Variante „x aus 5“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und fünf
Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei eine, zwei, drei, vier oder fünf Antwortmöglichkeiten auszuwählen sind. In der Aufgabenstellung finden Sie stets die Aufforderung „Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n)/
Gleichung(en)/... an!“. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die zutreffende Antwortmöglichkeit/die zutreffenden Antwortmöglichkeiten ankreuzen!
Beispiel:
Welche der gegebenen Gleichungen ist/sind korrekt?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Gleichung(en) an!
1 + 1 = 2 T
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 6 T
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 10 T
Lückentext: Dieses Antwortformat ist durch einen Satz mit zwei Lücken gekennzeichnet, das heißt, im Aufgabentext sind zwei Stellen ausgewiesen, die ergänzt werden müssen. Für jede Lücke werden je drei Antwortmöglichkeiten vorgegeben. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die Lücken durch Ankreuzen der
beiden zutreffenden Antwortmöglichkeiten füllen!
Beispiel:
Gegeben sind 3 Gleichungen.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte
Aussage entsteht!
Die Gleichung
1
wird als Zusammenzählung oder
2
bezeichnet.
1
1 – 1 = 0 
1 + 1 = 2 T
1 ∙ 1 = 1 
2
Multiplikation 
Subtraktion 
Addition T
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 T
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen ein.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
Wenn Sie jetzt noch Fragen haben, wenden Sie sich bitte an Ihre Lehrerin / Ihren Lehrer!
Viel Erfolg bei der Bearbeitung!
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“
übermalt und dann wieder gewählt.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“
gewählt und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.

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Aufgabe 1
Polynomfunktion dritten Grades
Gegeben ist eine Polynomfunktion dritten Grades f
t
mit f
t
( x ) =
1
t
∙ x
3
– 2 · x
2
+ t · x . Für den Parameter t gilt: t ∈ ℝ und t ≠ 0.
Aufgabenstellung:
a) A Geben Sie die lokalen Extremstellen von f
t
in Abhängigkeit von t an!
An der Stelle x = t gelten für die Funktion f
t
die Gleichungen f
t
( t ) = 0, f
t
′ ( t ) = 0 und f
t
″ ( t ) = 2.
Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von f
t
bei x = t !
b) Geben Sie diejenige Stelle x
0
in Abhängigkeit von t an, an der sich das Krümmungsverhalten
von f
t
ändert!
Weisen Sie rechnerisch nach, dass das Krümmungsverhalten des Graphen von f
t
an der
Stelle x = 0 unabhängig von der Wahl des Parameters t ist!
c) Die Funktion A beschreibt in Abhängigkeit von t mit t > 0 den Flächeninhalt derjenigen
Fläche, die vom Graphen der Funktion f
t
und von der x -Achse im Intervall [0; t ] begrenzt wird.
Die Funktion A : ℝ
+
→ ℝ
0
+
, t ↦ A ( t ), ist eine Polynom funktion.
Geben Sie den Funktionsterm und den Grad von A an!
Geben Sie das Verhältnis A ( t ) : A (2 ∙ t ) an!
d) Zeigen Sie rechnerisch, dass f
–1
( x ) = f
1
(– x ) für alle x ∈ ℝ gilt!
Erläutern Sie, wie der Graph der Funktion f
–1
aus dem Graphen der Funktion f
1
hervorgeht!

6
Aufgabe 2
Kondensator
Ein Kondensator ist ein elektrisches Bauelement, mit dem elektrische Ladung und die daraus
resultierende elektrische Energie gespeichert werden kann.
Eine einfache Form des Kondensators ist der sogenannte Plattenkondensator . Er besteht aus
zwei einander gegenüberliegenden elektrisch leitfähigen Flächen, die als Kondensatorplatten
bezeichnet werden.
Das Verhältnis zwischen der gespeicherten Ladung Q und der an die Kondensatorplatten angelegten (Gleich-)Spannung U wird als Kapazität C bezeichnet.
Es gilt C =
Q
U
, wobei C in der Einheit Farad angegeben wird.
Aufgabenstellung:
a) Ein Kondensator mit einer bestimmten Kapazität C wird bis zur Ladungsmenge Q
1
aufgeladen, die gemessene Spannung U ( Q
1
) hat dann den Wert U
1
.
A Skizzieren Sie in der nachstehenden Abbildung die Spannung U beim Ladevorgang am
Kondensator in Abhängigkeit von der Ladung Q !
U ( Q )
U
1
Q
1
Q
0
0
Die in diesem Kondensator gespeicherte Energie W kann mithilfe der Formel W =
∫
Q 1
0
U ( Q ) d Q
berechnet werden.
Geben Sie eine Formel für die gespeicherte Energie W in Abhängigkeit von U
1
und C an!

7
b) Bei einem Ladevorgang kann die Spannung zwischen den Kondensatorplatten als Funktion U
in Abhängigkeit von der Zeit t durch U ( t ) = U * ∙ (1 – ℯ
–
t
τ
) beschrieben werden. Dabei ist U * > 0
die an den Kondensator angelegte Spannung und τ > 0 eine für den Ladevorgang charakteristische Konstante. Der Ladevorgang beginnt zum Zeitpunkt t = 0.
Die Zeit, nach der die Spannung U ( t ) zwischen den Kondensatorplatten 99 % der angelegten
Spannung U * beträgt, wird als Ladezeit bezeichnet.
Bestimmen Sie die Ladezeit eines Kondensators in Abhängigkeit von τ !
Geben Sie eine Formel für die momentane Änderungsrate der Spannung zwischen den
Kondensatorplatten in Abhängigkeit von t an und zeigen Sie mithilfe dieser Formel, dass die
Spannung während des Ladevorgangs ständig steigt!

8
Aufgabe 3
Vermögensverteilung
Das gesamte Vermögen eines Landes ist häufig sehr ungleich auf die Bevölkerung verteilt. Eine
im Jahr 2012 durchgeführte Erhebung der Europäischen Zentralbank (EZB) lieferte Daten für eine
Abschätzung, welcher Anteil der österreichischen Bevölkerung über welches Vermögen (in Millionen Euro) verfügt. Die Ergebnisse der darauf basierenden Studie sind in Abbildung 1 dargestellt.
Beispielsweise bedeutet der Schwellenwert bei 20 %, dass die vermögensschwächsten 20 % der
österreichischen Bevölkerung ein Vermögen von maximal € 6.086 besitzen.
Im Jahr 2012 betrug die Bevölkerungszahl von Österreich ca. 8,45 Millionen Einwohner/innen.
Die sogenannte Lorenz-Kurve L (vgl. Abbildung 2) veranschaulicht, welcher relative Anteil der
Bevölkerung welchen relativen Anteil des Gesamtvermögens besitzt. So besitzen laut der EZB-
Studie die vermögensschwächsten 80 % der österreichischen Bevölkerung nur ca. 23 % des
gesamten Vermögens.
Abbildung 1:
relativer Anteil der Bevölkerung
60 % 80 % 100 % 40 % 20 % 0 %
15
10
5
Schwellenwert in Mio. Euro
Schwellenwert
bei 20 %:
€ 6.086
Schwellenwert
bei 40 %:
€ 34.731
Schwellenwert
bei 60 %:
€ 139.614
Schwellenwert
bei 80 %:
€ 310.837
1
0
0,5
Abbildung 2: 100 %
80 %
60 %
40 %
20 %
0 %
0 % 20 % 40 % 60 % 80 % 100 %
relativer Anteil der Bevölkerung
relativer Anteil des Gesamtvermögens
45°-Linie: absolute Gleichverteilung
A
L
Quelle: Eckerstorfer, Paul, Johannes Halak et al.: Vermögen in Österreich. Bericht zum Forschungsprojekt „Reichtum im Wandel“.
Linz: Johannes-Kepler-Universität Linz 2013, S. 12 – 13. http://media.arbeiterkammer.at/PDF/Vermoegen_in_Oesterreich.pdf [17.10.2014]
(adaptiert).

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Der Gini-Koeffizient ist ein Maß für die Ungleichverteilung des Vermögens in einem Land. Er ent spricht dem Quotienten aus dem Inhalt der markierten Fläche A (zwischen der 45°-Linie und der
Lorenz-Kurve L ) und dem Flächeninhalt desjenigen Dreiecks, das durch die Eckpunkte (0 % | 0 %),
(100 % | 0 %) und (100 % | 100 %) festgelegt ist.
Laut EZB-Studie hatte der Gini-Ko effizient für Öster reich für das Jahr 2012 den Wert 0,76.
Aufgabenstellung:
a) A Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 1, wie viele Personen in Österreich im Jahr 2012 ein
Vermögen von mindestens einer Million Euro besaßen!
Berechnen Sie unter der vereinfachenden Annahme, dass die Schwellenwerte im Intervall [20 %; 40 %] annähernd linear zunehmen, einen Näherungswert des Schwellenwerts
bei 25 %!
b) Ermitteln Sie, welchen relativen Anteil am Gesamtvermögen die vermögensstärksten 10 % der
österreichischen Bevölkerung besitzen!
Laut einer Studie der Universität Linz aus dem Jahr 2013 besitzen die vermögensstärksten
10 % der österreichischen Bevölkerung einen deutlich größeren relativen Anteil am Gesamtvermögen, als es in der EZB-Studie behauptet wurde.
Unter Berücksichtigung der Studie der Universität Linz erhält man eine andere Lorenz-
Kurve L * als die abgebildete Lorenz-Kurve L . Skizzieren Sie in der nachstehenden Abbildung
einen möglichen Verlauf einer solchen Lorenz-Kurve L *!
100 %
80 %
60 %
40 %
20 %
0 %
0 % 20 % 40 % 60 % 80 % 100 %
relativer Anteil der Bevölkerung
relativer Anteil des Gesamtvermögens
45°-Linie: absolute Gleichverteilung
A
L
c) Die Lorenz-Kurve wird im Intervall [0; 1] durch eine reelle Funktion in Abhängigkeit von x
modelliert, wobei x den relativen Anteil der Bevölkerung angibt.
Berechnen Sie den Gini-Koeffizienten für ein Land S , dessen Lorenz-Kurve für das Jahr 2012
durch die Funktion L
1
mit L
1
( x ) = 0,9 ∙ x
5
+ 0,08 ∙ x
2
+ 0,02 ∙ x im Intervall [0; 1] beschrieben
werden kann!
Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem Gini-Koeffizienten für Österreich für das Jahr 2012 und
geben Sie an, ob das Gesamtvermögen in diesem Jahr in Österreich oder im Land S gleichmäßiger auf die Bevölkerung verteilt war!

10
Aufgabe 4
Wahlhochrechnung
Es gibt unterschiedliche mathematische Methoden, um auf das Wahlverhalten von Wählerinnen
und Wählern bei bevorstehenden Wahlen zu schließen. Eine gängige Methode ist die Erhebung
und Auswertung der Daten einer Stichprobe. In einem anderen Verfahren werden sogenannte
Regressionsgeraden ermittelt, mit deren Hilfe eine relativ genaue Hochrechnung möglich ist. Zur
Bestimmung dieser Regressionsgeraden benötigt man die Ergebnisse einer sogenannten Vergleichswahl , die idealerweise zeitnah erfolgte.
Die 4 150 Wahlberechtigten eines bestimmten Ortes mit fünf Wahlbezirken konnten sich bei einer
Bürgermeisterwahl zwischen den Kandidaten A und B entscheiden. Alle Wahlberechtigten gaben
ihre Stimme ab und es gab keine ungültigen Stimmen. Nach der Auszählung der Stimmen von
vier der fünf Wahlbezirke liegt folgendes Zwischenergebnis vor:
Tabelle 1: Bürgermeisterwahl
1. Wahlbezirk 2. Wahlbezirk 3. Wahlbezirk 4. Wahlbezirk 5. Wahlbezirk
Kandidat A 443 400 462 343 nicht gezählt
Kandidat B 332 499 466 227 nicht gezählt
Wahlberechtigte 775 899 928 570 978
Der relative Stimmenanteil für Kandidat A für die ersten vier Wahlbezirke bei dieser Bürgermeisterwahl wird mit h bezeichnet.
Aufgabenstellung:
a) A Geben Sie an, wie viele Stimmen für Kandidat A im 5. Wahlbezirk zu erwarten sind, wenn
man h als Schätzwert für den relativen Stimmenanteil für diesen Kandidaten in diesem Wahlbezirk verwendet!
Im 4. Wahlbezirk weicht das Ergebnis für Kandidat A am stärksten von h ab.
Geben Sie diese Abweichung in Prozentpunkten an!

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b) Die nachstehende Tabelle zeigt das Ergebnis einer Vergleichswahl.
Tabelle 2: Vergleichswahl
1. Wahlbezirk 2. Wahlbezirk 3. Wahlbezirk 4. Wahlbezirk 5. Wahlbezirk gesamt
Kandidat A 390 416 409 383 478 2 076
Kandidat B 385 483 519 187 500 2 074
Wahlberechtigte 775 899 928 570 978 4 150
Die Variable x sei die Anzahl der Stimmen für Kandidat A bei der Vergleichswahl, die Variable y
die Anzahl der Stimmen für Kandidat A bei der Bürgermeisterwahl. Damit erhält man für den
Kandidaten A für die Ergebnisse aus dem 1., 2., 3. und 4. Wahlbezirk vier Punkte in einem
kartesischen Koordinaten system.
Die Regressionsgerade g : y = 1,5462 · x – 205,71 verläuft nun durch diese „Punktwolke“ so,
dass ein linearer Zusammenhang zwischen den beiden Variablen x und y gut beschrieben
wird.
Berechnen Sie mithilfe der Regressionsgeraden g die erwartete Anzahl an Stimmen bei der
Bürgermeisterwahl für den Kandidaten A im 5. Wahlbezirk!
Interpretieren Sie den Wert der Steigung der Regressionsgeraden g im gegebenen Kontext!
c) Bei einer österreichweiten Wahl kann ein Kandidat C gewählt werden. Aus einer vorhergehenden Wahl ist bekannt, dass der Stimmenanteil h für Kandidat A bei der Bürgermeisterwahl in
den Wahlbezirken 1 bis 4 repräsentativ für den Stimmenanteil für Kandidat C bei der österreichweiten Wahl ist.
Ermitteln Sie anhand des Stimmenanteils h ein symmetrisches 95-%-Konfidenzintervall für
den unbekannten Stimmenanteil für Kandidat C !
Nach Auszählung aller Stimmen bei der österreichweiten Wahl hat der Kandidat C 61 % der
Stimmen erhalten. Damit liegt dieser Stimmenanteil außer halb des davor ermittelten symmetrischen 95-%-Konfidenzintervalls.
Hätte man als Konfidenzniveau 90 % gewählt, so hätte man ein Konfidenzintervall mit einer
anderen Breite erhalten.
Geben Sie an, ob der tatsächliche Stimmenanteil für Kandidat C in diesem Konfidenzintervall
enthalten wäre, und begründen Sie Ihre Entscheidung!