Mathematik-Matura Jänner 2019 · AHS Teil 1 – Lösungen

AHS
15. Jänner 2019
Mathematik
Teil-1-Aufgaben
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung

2
Aufgabe 1
Zahlen und Zahlenmengen
Lösungserwartung:
Die Zahl 3 ist ein Element der Menge ℚ .
√ –2 ist in ℂ enthalten, nicht aber in ℝ .
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.

3
Aufgabe 2
Darstellung von Zusammenhängen durch Gleichungen
Lösungserwartung:
A 2 · a = b
B 2 · b = a
C a = 1,02 · b
D b = 0,02 · a
E 1,2 · b = a
F b = 0,98 · a
a ist halb so groß wie b. A
b ist 2 % von a. D
a ist um 2 % größer als b. C
b ist um 2 % kleiner als a. F
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jeder der vier Beschreibungen ausschließlich der laut
Lösungserwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist.

4
Aufgabe 3
Gleichungssystem
Lösungserwartung:
a = – 1
b = – 3
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der beiden richtigen Werte.

5
Aufgabe 4
Parallele Geraden
Lösungserwartung:
Q ∉ g
u = a · v für ein a ∈ ℝ \{0}
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.

6
Aufgabe 5
Beziehung zwischen Vektoren
Lösungserwartung:
n = –26 ∙ m
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Äquivalente Ausdrücke sind als richtig zu werten.

7
Aufgabe 6
Viereck
Lösungserwartung:
D
C
A B
c
d
a
b
φ
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das Einzeichnen eines richtigen Winkels φ .

8
Aufgabe 7
Eigenschaften von Funktionsgraphen
Lösungserwartung:
Die Funktion ist auf ihrem
gesamten Definitionsbereich
monoton steigend.
F
Die Funktion ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich negativ
gekrümmt (rechtsgekrümmt).
E
Die Funktion ist auf dem Intervall
(–∞; 0) positiv gekrümmt (links gekrümmt).
A
Die Funktion ist auf dem Intervall
(–∞; 0) monoton fallend.
B
A
f
1
( x )
f
1
x
B
f
2
( x )
f
2
x
C
f
3
( x )
f
3
x
D
f
4
( x )
f
4
x
E
f 5 ( x )
f 5
x
F
f
6
( x )
f
6
x
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jeder der vier Eigenschaften ausschließlich der laut
Lösungserwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist.

9
Aufgabe 8
Kosten und Erlös
Lösungserwartung:
Mögliche Interpretation:
Bei einer Produktionsmenge von 500 Mengeneinheiten sind die Kosten und der Erlös jeweils
€ 5.000.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Interpretation beider Koordinaten des Schnittpunkts.

10
Aufgabe 9
Deutung einer Gleichung
Lösungserwartung:
Mögliche Deutungen:
Pro Sekunde steigt der Ballon um 2 m.
oder:
Der Ballon steigt mit einer (konstanten) Geschwindigkeit von 2 m/s.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Deutung der Gleichung unter Angabe der richtigen Einheiten.

11
Aufgabe 10
Polynomfunktionen dritten Grades
Lösungserwartung:
Mögliche Graphen:
1
0
1 0 –1
x
2
3
4
5
3 4 5 – 2 – 3 – 4 – 5
–1
– 2
f ( x )
2
– 3
– 4
– 5
oder:
1
0
1 0 –1
x
2
3
4
5
3 4 5 – 2 – 3 – 4 – 5
–1
– 2
f ( x )
2
– 3
– 4
– 5
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für einen richtigen Graphen, wobei die Extremstellen bei x = –3 und x = 1 klar als
solche erkennbar sein müssen.

12
Aufgabe 11
Dicke einer Bleiplatte
Lösungserwartung:
Mögliche Vorgehensweise:
0,1 = 0,95
x
⇒ x ≈ 44,9 mm
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „mm“ nicht angeführt sein muss.
Toleranzintervall: [40 mm; 46 mm]

13
Aufgabe 12
Winkelfunktionen
Lösungserwartung:
k =
1
2
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.

14
Aufgabe 13
Nächtigungen in österreichischen Jugendherbergen
Lösungserwartung:
Mögliche Deutung:
Im Jahr 2013 gab es um 1,2 % mehr Nächtigungen in österreichischen Jugendherbergen als im
Jahr 2012.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Deutung. Andere korrekte Deutungen sind ebenfalls als richtig zu werten.

15
Aufgabe 14
Veränderung eines Flüssigkeitsvolumens
Lösungserwartung:
Das Flüssigkeitsvolumen im Gefäß ist zum Zeitpunkt t
2
kleiner als zum Zeitpunkt t
3
.
Das Flüssigkeitsvolumen im Gefäß ist zum Zeitpunkt t
4
am größten.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.

16
Aufgabe 15
Zusammenhang zwischen Funktion und Stammfunktionen
Lösungserwartung:
g ′ ( x ) = h ′ ( x )
∫
2
0
f ( x ) d x = h (2) – h (0)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.

17
Aufgabe 16
Eigenschaften einer Polynomfunktion dritten Grades
Lösungserwartung:
f ″ (1) > 0
f ′ (2) = 0
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.

18
Aufgabe 17
Untersumme und Obersumme
Lösungserwartung:
f ( x ) f
x
a – a
f ( x ) f
x
a – a
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Funktionsgraphen angekreuzt sind.

19
Aufgabe 18
Wert eines bestimmten Integrals
Lösungserwartung:
∫
6
0
f ( x )d x = –3
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.

20
Aufgabe 19
Erwerbstätige
Lösungserwartung:
In jedem Bundesland gab es mehr Erwerbstätige im Handel als
im Bau.
In der Industrie hatte Oberösterreich (OÖ) mehr Erwerbstätige als
jedes andere Bundesland.
Vorarlberg (Vbg.) hatte in allen drei Bereichen zusammen weniger
Erwerbstätige als die Steiermark (Stmk.) alleine in der Industrie.
Im Handel hatte Burgenland (Bgld.) weniger Erwerbstätige als
jedes andere Bundesland.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich alle laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.

21
Aufgabe 20
Median von Klassenschülerzahlen
Lösungserwartung:
Median: 26
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.

22
Aufgabe 21
Jetons
Lösungserwartung:
Mögliche Vorgehensweise:
2
7
∙
4
9
≈ 0,127
Die Wahrscheinlichkeit, dass nach der Entnahme der beiden Jetons in beiden Schachteln der
gleiche Geldbetrag (11 Euro) vorhanden ist, beträgt ca. 12,7 %.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses sind ebenfalls als richtig
zu werten.
Toleranzintervall: [0,12; 0,13]

23
Aufgabe 22
Computerchips
Lösungserwartung:
Erwartungswert: 500 ∙ 0,97 = 485
Standardabweichung:

500 · 0,97 · 0,03 ≈ 3,81
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die beiden richtigen Werte.
Toleranzintervall für die Standardabweichung: [3,8; 3,82]

24
Aufgabe 23
Pfandflaschen
Lösungserwartung:
Mögliche Deutungen:
Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 1 220 Pfandflaschen dieser Sorte Mineralwasser nicht zurückgegeben werden, beträgt ca. 0,27 (bzw. ca. 27 %).
oder:
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 220 Pfandflaschen dieser Sorte Mineralwasser nicht
zurückgegeben werden, beträgt ca. 0,27 (bzw. ca. 27 %).
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Deutung. Andere korrekte Deutungen sind ebenfalls als richtig zu werten.

25
Aufgabe 24
Telefonumfrage
Lösungserwartung:
Möglicher rechnerischer Nachweis:
0,2 ± 1,96 ∙
0,2 ∙ 0,8
400

≈ 0,2 ± 0,04 ⇒ [16 %; 24 %]
Das Intervall [16 %; 24 %] kann daher ein symmetrisches 95-%-Konfidenzintervall für den relativen Anteil p der Befürworter/innen in der gesamten Bevölkerung sein.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für einen korrekten rechnerischen Nachweis. Andere korrekte rechnerische Nachweise
sind ebenfalls als richtig zu werten.