Mathematik-Matura September 2018 · HTL Cluster T2 – Lösungen

BHS
20. September 2018
Angewandte Mathematik
HTL 2
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung

2
Korrektur- und Beurteilungsanleitung
(Detaillierte Informationen dazu finden Sie im entsprechenden Erlass zur Beurteilung, der auf der
Website https://ablauf.srdp.at/ abrufbar ist.)
Kompetenzbereiche
n Kompetenzbereich A ( KA ) umfasst die unabhängig
1
erreichbaren Punkte der Komplexitätsstufen 1 und 2 aus dem Kompetenzstufenraster.
n Kompetenzbereich B ( KB ) umfasst die abhängig erreichbaren Punkte und die Punkte der
Komplexitätsstufen 3 und 4 aus dem Kompetenzstufenraster.
Die Summe der unabhängig erreichbaren Punkte aus den Komplexitätsstufen 1 und 2 ( KA ) stellt die
„wesentlichen Bereiche“ eines Klausurheftes dar.
Beurteilung
Als Hilfsmittel für die Beurteilung wird ein auf ein Punktesystem basierender Beurteilungsschlüssel angegeben. Je nach gewichteter Schwierigkeit der vergebenen Punkte in den „wesentlichen
Bereichen“ wird festgelegt, ab wann die „wesentlichen Bereiche überwiegend“ (Genügend) erfüllt
sind, d. h., gemäß einem Punkteschema müssen Punkte aus dem Kompetenzbereich A unter Einbeziehung von Punkten aus dem Kompetenzbereich B in ausreichender Anzahl abhängig von der
Zusammenstellung der Klausurhefte gelöst werden. Darauf aufbauend wird die für die übrigen Notenstufen zu erreichende Punktezahl festgelegt.
Nach der Punkteermittlung soll die Arbeit der Kandidatin / des Kandidaten nochmals ganzheitlich
qualitativ betrachtet werden. Unter Zuhilfenahme des Punkteschemas und der ganzheitlichen Betrachtung ist von der Prüferin / vom Prüfer ein verbal begründeter Beurteilungsvorschlag zu erstellen,
wobei die Ergebnisse der Kompetenzbereiche A und B in der Argumentation zu verwenden sind.
Beurteilungsschlüssel für die vorliegende Klausur:
45–50 Punkte Sehr gut
39–44 Punkte Gut
33–38 Punkte Befriedigend
24–32 Punkte Genügend
0–23 Punkte Nicht genügend
1
Unabhängige Punkte sind solche, für die keine mathematische Vorleistung erbracht werden muss. Als mathematische Vorleistung gilt z. B. das Aufstellen einer Gleichung (unabhängiger Punkt) mit anschließender Berechnung (abhängiger Punkt).

3
Handreichung zur Korrektur
1. In der Lösungserwartung ist nur ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen.
2. Der Lösungsschlüssel ist unter Beachtung folgender Vorgangsweisen verbindlich anzuwenden:
a. Punkte sind nur zu vergeben, wenn die abgefragte Handlungskompetenz in der Bearbeitung vollständig erfüllt ist.
b. Berechnungen ohne nachvollziehbaren Rechenansatz bzw. ohne nachvollziehbare Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete Ausgangsparameter und die verwendete
Technologiefunktion müssen angegeben sein) sind mit null Punkten zu bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen bzw. Lösungswege von der Kandidatin / vom
Kandidaten angeboten und nicht alle diese Lösungen bzw. Lösungswege sind korrekt, so
ist diese Teilaufgabe mit null Punkten zu bewerten.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Das heißt zum Beispiel:
Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in einem
Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel
Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als solche
identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner Vereinfachung
der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler können vernachlässigt werden, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert ist.
h. Jedes Diagramm bzw. jede Skizze, die Lösung einer Handlungsanweisung ist, muss eine
qualitative Achsenbeschriftung enthalten, andernfalls ist dies mit null Punkten zu bewerten.
i. Die Angabe von Einheiten kann bei der Punktevergabe vernachlässigt werden, sofern sie im
Lösungsschlüssel nicht explizit eingefordert wird.

4
Aufgabe 1
Pauschalreisen
Möglicher Lösungsweg
a1) X ... Anzahl der nicht in Anspruch genommenen Plätze
Binomialverteilung mit n = 100 und p = 0,05
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P ( X ≤ 4) = 0,4359...
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 43,6 %.
a2) Es werden 5 der 100 vermittelten Plätze nicht in Anspruch genommen.
b1) X ... Anzahl der nicht in Anspruch genommenen Plätze
Binomialverteilung mit n = 102 und p = 0,05
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P ( X ≤ 1) = 0,0340...
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 3,4 %.
c1) G = x ∙ a – (100 – x ) ∙ 120 ⇒ x =
G + 12 000
a + 120
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit (KA)
1 × C: für die richtige Beschreibung des Ereignisses im gegebenen Sachzusammenhang (KA)
b) 1 × B: für die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit (KB)
c) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel zur Berechnung von x (KB)

5
Aufgabe 2
Kugelstoßen
Möglicher Lösungsweg
a1) Steigung k der linearen Funktion f : k =
0,34
2,5
= 0,136
f ( t ) = 0,136 ∙ t + 17,68
t ... Zeit in Jahren
f ( t ) ... Weltrekordweite zur Zeit t in m
a2) f (40) = 23,12
Abweichung: 23,12 – 23,06 = 0,06
Die Abweichung beträgt 0,06 m.
b1) α = 2 ∙ arcsin
(
6
20
)
= 34,915...° ≈ 34,92°
b2)
20
12
α
20
Strecke mit der Länge
tan
(
α
2
)
6
c1) Die Kugel wird in einer Höhe von 2 m abgestoßen.
c2) h ( x ) = 0
oder:
–0,05 ∙ x
2
+ 0,75 ∙ x + 2 = 0
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
x
1
= 17,310...
( x
2
= –2,310...)
Die Kugel schlägt in einer horizontalen Entfernung von rund 17,31 m auf dem Boden auf.

6
d1) 7 257 =
4
3
∙ r
3
∙ π ∙ 8,2
r =

3 7 257 ∙ 3
8,2 ∙ 4 ∙ π
= 5,95...
d = 2 ∙ r = 11,91...
Der Durchmesser einer derartigen Kugel beträgt rund 11,9 cm und liegt im angegebenen
Bereich.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung (KA)
1 × B: für das richtige Ermitteln der Abweichung (KB)
b) 1 × B: für die richtige Berechnung des Winkels α (KA)
1 × C: für das richtige Markieren der Strecke (KA)
c) 1 × C: für das richtige Angeben der Abstoßhöhe (KA)
1 × B: für das richtige Ermitteln der Stoßweite (KA)
d) 1 × D: für die richtige nachweisliche Überprüfung (KB)

7
Aufgabe 3
Impfen und Auffrischen
Möglicher Lösungsweg
a1) A ( t ) = 110 ∙ 0,8
t
t ... Zeit in Jahren
A ( t ) ... Antikörperwert zur Zeit t in IE/L
a2) A ( t ) = 10
oder:
110 ∙ 0,8
t
= 10
Berechnung mittels Technologieeinsatz: t = 10,745...
Bei Anna ist der Impfschutz nach etwa 10,75 Jahren nicht mehr gegeben.
b1) T
1/2
= 2,5 Jahre
Toleranzbereich: [2,3; 2,7]
b2)
Antikörperwert in IE/L
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
120
5 4 3 2 1 0
Zeit nach der Impfung in Jahren
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung derjenigen Zeit, nach der der Impfschutz nicht mehr ge geben ist (KB)
b) 1 × C: für das richtige Ablesen der Halbwertszeit im Toleranzbereich [2,3; 2,7] (KA)
1 × A: für das richtige Einzeichnen des zeitlichen Verlaufs von Sandras Antikörperwert im
Zeitintervall [0; 5] (Dabei müssen die Funktionswerte zu den Zeitpunkten t = 0, t = 2,5
und t = 5 richtig eingezeichnet sein.) (KB)

8
Aufgabe 4
Eisenbahn
Möglicher Lösungsweg
a1) Die beiden Züge begegnen einander um 15:00 Uhr, 20 km von Burghausen entfernt.
b1) Die beiden Züge benötigen für die Strecke Burghausen – Altheim gleich lang, sie fahren also
mit der gleichen Geschwindigkeit.
oder:
Die zugehörigen Geraden im Bildfahrplan haben die gleiche Steigung.
c1) s ( t ) = 200
oder:
–80 ∙ t + 1 160 = 200
t =
200 – 1 160
–80
= 12
Zug Nr. 5 fährt um 12 Uhr in Burghausen ab.
c2)
Altheim
Burghausen
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
200
17 16 15 14 13 12 11 10 0 18
Zug Nr. 1
Zug Nr. 2
Zug Nr. 3
Zug Nr. 4
Zug Nr. 5
Entfernung von Altheim in km (gemessen auf der Zugstrecke)
Zeit nach Mitternacht in h
d1) 200 =
(
200
t
+ 10
)
∙
(
t –
1
2
)
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t
1
= 3,422...
( t
2
= –2,922...)
Die Fahrzeit vor der Sanierung betrug etwa 3,42 h.

9
Lösungsschlüssel
a) 1 × C: für das richtige Ablesen der Uhrzeit und der Entfernung von Burghausen (KA)
b) 1 × D: für die richtige Argumentation (KA)
c) 1 × B: für das richtige Bestimmen der Abfahrtszeit von Zug Nr. 5 (KA)
1 × A: für das richtige Einzeichnen des Funktionsgraphen im Bildfahrplan (KB)
d) 1 × B: für die richtige Berechnung von t (KA)

10
Aufgabe 5
Stausee
Möglicher Lösungsweg
a1) Mit dem Ausdruck wird das Wasservolumen in Kubikmetern im Stausee 4 Stunden nach
Beginn der Beobachtung berechnet.
a2) Die Funktionswerte von u sind im Zeitintervall [1; 2] positiv, daher nimmt das Wasservolumen
zu.
b1) h ( t ) = 9
oder:
–6 ∙ 10
–6
∙ t
3
+ 0,001 ∙ t
2
+ 0,005 ∙ t + 5 = 9
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t
1
= 85,7..., t
2
= 137,4..., ( t
3
= –56,5...)
t
2
– t
1
= 51,6...
Der Parkplatz ist für etwa 52 Stunden gesperrt.
c1)
A
1 m
h
Messlatte
Damm
e
α
β
c2) tan(40°) =
h + 1
e
⇒ h = e ∙ tan(40°) – 1
tan(33,7°) =
h
e
⇒ h = e ∙ tan(33,7°)
e ∙ tan(33,7°) = e ∙ tan(40°) – 1 ⇒ e = 5,80...
h = e ∙ tan(33,7°) = 3,87...
Die Dammhöhe beträgt rund 3,9 m.

11
Lösungsschlüssel
a) 1 × C: für die richtige Interpretation im gegebenen Sachzusammenhang unter Angabe der
Einheit (KB)
1 × D: für die richtige Argumentation mithilfe des Funktionsgraphen (KB)
b) 1 × A: für den richtigen Ansatz (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung der Zeitdauer (KB)
c) 1 x C: für das richtige Beschriften der beiden Winkel (KA)
1 x B: für die richtige Berechnung der Dammhöhe h (KA)

12
Aufgabe 6 (Teil B)
Qualitätstest bei Objektiven
Möglicher Lösungsweg
a1) x =

y
2
+ z
2
– 2 ∙ y ∙ z ∙ cos( α )
a2) γ ... Winkel gegenüber von z
β ... Winkel gegenüber von y
121
sin(45°)
=
70
sin( γ )
⇒ γ = 24,1...°
β = 180° – 45° – 24,1...° = 110,8...°
y
sin(110,8...°)
=
121
sin(45°)
⇒ y = 159,9...
Die Entfernung y beträgt rund 160 cm.
b1) A =
a
2
∙ sin( α )
2
b2) α =
360°
2 ∙ n
c1)
Linienpaare pro Bildhöhe
2 050 2 000 1 950 1 900 1 850
A
B
c2) X ... Anzahl der Linienpaare pro Bildhöhe
P ( X ≥ 1 900) = 0,977
Berechnung von σ
C
mittels Technologieeinsatz:
σ
C
= 25,0...
Die Standardabweichung beträgt bei Objektiven des Herstellers C rund 25 LP/BH.

13
Lösungsschlüssel
a) 1 × A1: für das richtige Erstellen der Formel zur Berechnung von x (KA)
1 × A2: für den richtigen Ansatz zur Berechnung der Entfernung y (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung der Entfernung y (KB)
b) 1 × A1: für das richtige Erstellen der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A (KA)
1 × A2: für das richtige Erstellen der Formel zur Berechnung des Winkels α (KA)
c) 1 × A: für das richtige Skizzieren des Graphen der Dichtefunktion für Hersteller B (Maximumstelle ebenfalls bei 1 950 LP/BH, Glockenkurve niedriger und breiter als bei A ) (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung der Standardabweichung σ
C
(KA)

14
Aufgabe 7 (Teil B)
Energieverbrauch
Möglicher Lösungsweg
a1) Nach etwa 1 330 Tagen wird der Energieverbrauch ständig über 9,1 GWh pro Tag liegen.
Toleranzbereich: [1 300; 1 350]
a2) E ′ ( t ) = 0 mit 400 ≤ t ≤ 700
oder:
0,0002 +
π
1 825
∙ cos
(
2 ∙ π ∙ t
365
+
π
2
)
= 0 mit 400 ≤ t ≤ 700
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t = 540,7...
Dass es sich bei der berechneten Stelle um eine Minimumstelle handelt, ist aus der Grafik
ersichtlich.
b1)
t in Tagen
9,3
9,2
9,1
9
8,9
8,8
9,4 E ( t ) in GWh/Tag
1 700 1 600 1 500 1 400 1 300 1 200 1 100 1 000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 1 800
0
E
c1) f ( t ) = cos
(
2 ∙ π ∙ t
365
)
Auch cos
(
2 ∙ π ∙ t
365
+ 2 ∙ k ∙ π
)
mit einem beliebigen k ∈ ℤ ist als richtig zu werten.
Lösungsschlüssel
a) 1 × C: für das richtige Ablesen im Toleranzbereich [1 300; 1 350] (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung der Minimumstelle (Ein Nachweis, dass es sich bei der berechneten Stelle um eine Minimumstelle handelt, ist nicht erforderlich.) (KA)
b) 1 × A: für das richtige Veranschaulichen der trapezförmigen Fläche (KA)
c) 1 × A: für das richtige Anschreiben der Funktion f mithilfe der Winkelfunktion Cosinus (KA)

15
Aufgabe 8 (Teil B)
Gebäudetechnik
Möglicher Lösungsweg
a1) T ( t ) = a ∙ t
3
+ b ∙ t
2
+ c ∙ t + d
T ″ ( t ) = 6 ∙ a ∙ t + 2 ∙ b
T (0) = –5
T (98) = 8
T (210) = 20
T ″ (98) = 0
oder:
a ∙ 0
3
+ b ∙ 0
2
+ c ∙ 0 + d = –5
a ∙ 98
3
+ b ∙ 98
2
+ c ∙ 98 + d = 8
a ∙ 210
3
+ b ∙ 210
2
+ c ∙ 210 + d = 20
6 ∙ a ∙ 98 + 2 ∙ b = 0
b1) 55 = –10 ∙ lg ( f
F
∙ 10
–
43
10
+ (1 – f
F
) ∙ 10
–
65
10
)
b2) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
f
F
= 0,0571...
maximale Fensterfläche: 0,0571... ∙ 50 = 2,857...
Die maximale Fensterfläche, die das geforderte minimale Gesamtschalldämmmaß erfüllt,
beträgt rund 2,86 m
2
.

16
c1) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
V ( t ) = C ∙ ℯ
–
t
3
+ 0,018
t … Zeit in min
V ( t ) … CO
2
-Volumen zur Zeit t in m
3
oder:
allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differenzialgleichung
d V
d t
+
V
3
= 0:
V
h
( t ) = C ∙ ℯ
–
t
3
Lösungsansatz zur Ermittlung der partikulären Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung
d V
d t
+
V
3
= 0,006:
V
p
( t ) = a
0 +
a
3
= 0,006 ⇒ a = 0,018
V ( t ) = V
h
( t ) + V
p
( t ) = C ∙ ℯ
–
t
3
+ 0,018
Auch eine Berechnung der allgemeinen Lösung der Differenzialgleichung mit einem anderen
Ansatz (z. B. mit der Methode Trennen der Variablen ) ist als richtig zu werten.
c2) V (0) = 0,002 ∙ 45 = 0,09
0,09 = C ∙ ℯ
–
0
3
+ 0,018 ⇒ C = 0,072
1
2
· V (0) = 0,045 = 0,072 ∙ ℯ
–
t
3
+ 0,018
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t = 2,94…
Nach etwa 2,9 min ist der ursprüngliche CO
2
-Gehalt halbiert.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A1: für das richtige Erstellen der Gleichungen mithilfe der gegebenen Temperaturen (KA)
1 × A2: für das richtige Erstellen der Gleichung mithilfe der 2. Ableitung (KA)
b) 1 × A: für das richtige Erstellen der Gleichung zur Berechnung des relativen Flächenanteils f
F
(KB)
1 × B: für die richtige Berechnung der maximalen Fensterfläche in m
2
(KB)
c) 1 × B1: für die richtige Berechnung der allgemeinen Lösung der Differenzialgleichung (KA)
1 × B2: für das richtige Ermitteln derjenigen Zeit, nach der der ursprüngliche CO
2
-Gehalt halbiert ist (KB)

17
Aufgabe 9 (Teil B)
Motorbootrennen
Möglicher Lösungsweg
a1) v
B
′ ( t ) = 1,4 ∙ ℯ
–0,1 ∙ t
= 1,4 ∙ 0,9048...
t
Pro Sekunde nimmt die Beschleunigung in Bezug auf den jeweils vorigen Wert um rund 9,5 %
ab.
b1) Die Steigung der Tangente h
A
gibt die Beschleunigung des Motorboots A zum Zeitpunkt t = 0
an.
b2)
d v
A
d t
B
d v
B
d t
C
A
Beschleunigung
in m/s
2
t in s
10 5 0 15
2
2,5
1,5
1
0,5
0
B
10 5 0 15
2
2,5
1,5
1
0,5
0
t in s
Beschleunigung
in m/s
2
C
Beschleunigung
in m/s
2
10 5 0 15
2
2,5
1,5
1
0,5
t in s
0
D
10 5 0 15
2
2,5
1,5
1
0,5
0
t in s
Beschleunigung
in m/s
2

18
c1)
1
30
∙
∫
30
0
v
B
( t ) d t = 9,56...
Die mittlere Geschwindigkeit während der ersten 30 Sekunden beträgt rund 9,6 m/s.
c2) s =
∫
n
0
v
B
( t ) d t
c3) 700 =
∫
n
0
v
B
( t ) d t
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
n = 59,9...
Das Motorboot B überholt das Motorboot A nach rund 60 Sekunden.
c4) v
B neu
( t ) = 14 ∙ (1 – ℯ
–0,1 ∙ ( t – 5)
)
oder:
v
B neu
( t ) = v
B
( t – 5)
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für das richtige Ermitteln des Prozentsatzes (KB)
b) 1 × C1: für die richtige Interpretation der Steigung der Tangente h
A
im gegebenen Sachzusammenhang (KA)
1 × C2: für die richtige Zuordnung (KA)
c) 1 × B1: für die richtige Berechnung der mittleren Geschwindigkeit (KB)
1 × A1: für das richtige Erstellen der Formel zur Berechnung des zurückgelegten Weges (KA)
1 × B2: für die richtige Berechnung des Zeitpunkts des Überholens (KB)
1 × A2: für das richtige Erstellen der Gleichung der Funktion v
B neu
(KA)