Mathematik-Matura September 2018 · HTL Cluster T2 – Aufgaben

Name:
Klasse/Jahrgang:
BHS
20. September 2018
Angewandte Mathematik
HTL 2
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung

2
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Liebe Kandidatin! Lieber Kandidat!
Das vorliegende Aufgabenheft enthält 5 Teil-A-Aufgaben und 4 Teil-B-Aufgaben mit jeweils unterschiedlich
vielen Teil aufgaben. Die Teilaufgaben sind unabhängig voneinander bearbeitbar. Ihnen stehen insgesamt
270 Minuten an reiner Arbeitszeit für Teil A und Teil B zur Verfügung.
Verwenden Sie für die Bearbeitung einen nicht radierbaren, blau oder schwarz schreibenden Stift. Bei
Konstruktionsaufgaben ist auch die Verwendung eines Bleistifts möglich.
Verwenden Sie für die Bearbeitung ausschließlich das Aufgabenheft und die Ihnen zur Verfügung gestellten Antwortblätter. Schreiben Sie Ihren Namen in das dafür vorgesehene Feld auf der ersten Seite des
Aufgabenheftes und auf jedes Antwortblatt. Geben Sie bei der Beantwortung jeder Teilaufgabe deren
Bezeichnung (z. B.: 3c oder 3d1) an.
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht durchgestrichen ist. Streichen Sie Notizen durch.
Die Verwendung von durch die Schulbuchaktion approbierten Formelheften bzw. von der Formelsammlung für die SRDP in Angewandter Mathematik und von elektronischen Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger
Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) ist erlaubt, sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwerke etc.) gegeben ist und keine Eigendaten
in die elektronischen Hilfsmittel implementiert sind. Handbücher zu den elektronischen Hilfsmitteln sind in
der Original-Druckversion oder in im elektronischen Hilfsmittel integrierter Form zulässig.
Abzugeben sind das Aufgabenheft und alle von Ihnen verwendeten Antwortblätter.
Handreichung für die Bearbeitung
– Jede Berechnung ist mit einem nachvollziehbaren Rechenansatz und einer nachvollziehbaren Dokumentation des Technologieeinsatzes (die verwendeten Ausgangsparameter und die
verwendete Technologiefunktion müssen angegeben werden) durchzuführen.
– Selbst gewählte Variablen sind zu erklären und gegebenenfalls mit Einheiten zu benennen.
– Ergebnisse sind eindeutig hervorzuheben.
– Ergebnisse sind mit entsprechenden Einheiten anzugeben, wenn dies in der Handlungsanweisung explizit gefordert wird.
– Werden Diagramme oder Skizzen als Lösungen erstellt, so sind die Achsen zu skalieren und
zu beschriften.
– Werden geometrische Skizzen erstellt, so sind die lösungsrelevanten Teile zu beschriften.
– Vermeiden Sie frühzeitiges Runden.
– Legen Sie allfällige Computerausdrucke der Lösung mit Ihrem Namen beschriftet bei.
– Wird eine Aufgabe mehrfach gerechnet, so sind alle Lösungswege bis auf einen zu streichen.
Es gilt folgender Beurteilungsschlüssel:
45–50 Punkte Sehr gut
39– 44 Punkte Gut
33– 38 Punkte Befriedigend
24–32 Punkte Genügend
0–23 Punkte Nicht genügend

3
Erläuterung der Antwortformate
Die Teilaufgaben können folgende Antwortformate beinhalten: offenes Antwortformat , halboffenes Antwort
format, Konstruktionsformat, Zuordnungsformat und Multiple Choice Format in der Variante „1 aus 5“ .
Offenes Antwortformat: Beim offenen Antwortformat kann die Bearbeitung der Aufgaben auf unterschiedliche Weise erfolgen, z. B. durch eine Berechnung oder durch eine Erstellung einer Grafik.
Halboffenes Antwortformat: Beim halboffenen Antwortformat soll die korrekte Antwort in eine vorgegebene
Formel, Funktion etc. eingesetzt werden.
Beispiel:
Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b .
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A dieses Rechtecks.
A = ______________________
Konstruktionsformat: Ein Diagramm, eine Grafik oder eine Abbildung ist vorgegeben. Die Aufgabenstellung
erfordert die Ergänzung von Punkten und/oder Geraden und/oder Kurven und/oder Skalierungen bzw.
Achsenbeschriftungen im Diagramm, in der Grafik bzw. in der Abbildung.
Beispiel:
Gegeben ist eine lineare Funktion f mit f ( x ) = k · x + d.
– Zeichnen Sie den Graphen einer linearen Funktion mit k = –2 und d > 0 im nachstehenden
Koordinatensystem ein.
f ( x )
f
x
a · b

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Zuordnungsformat: Dieses Antwortformat ist durch mehrere Aussagen (bzw. Tabellen oder Abbildungen)
gekennzeichnet, denen mehrere Antwortmöglichkeiten gegenüberstehen. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses
Formats korrekt, indem Sie die richtigen Antwortmöglichkeiten durch Eintragen der entsprechenden Buch
staben den jeweils zutreffenden Aussagen zuordnen.
Beispiel:
– Ordnen Sie den zwei Gleichungen jeweils die
entsprechende Bezeichnung (aus A bis D) zu.
1 + 1 = 2 A
2 ∙ 2 = 4 C
A Addition
B Division
C Multiplikation
D Subtraktion
Multiple Choice Format in der Variante „1 aus 5“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und
fünf Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei eine Antwortmöglichkeit auszuwählen ist. Bearbeiten Sie
Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die zutreffende Antwortmöglichkeit ankreuzen.
Beispiel:
– Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an.
1 + 1 = 1 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 3 
4 + 5 = 8 
5 + 5 = 5 
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“ gewählt
und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen ein.
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“ übermalt
und dann wieder gewählt.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
Viel Erfolg!

5
Aufgabe 1
Pauschalreisen
Ein Reisebüro vermittelt Plätze für Pauschalreisen nach Kroatien.
a) Es wird angenommen, dass die vermittelten Plätze unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % nicht in Anspruch genommen werden. Alle 100 zur Verfügung stehenden Plätze werden vermittelt.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 4 der vermittelten Plätze nicht in
Anspruch genommen werden. [1 Punkt]
2) Beschreiben Sie ein mögliches Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang, dessen
Wahrscheinlichkeit folgendermaßen berechnet werden kann:
( )
100
5
· 0,05
5
· 0,95
95
[1 Punkt]
b) Es wird angenommen, dass die vermittelten Plätze unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % nicht in Anspruch genommen werden. Es werden 102 Plätze vermittelt,
obwohl nur 100 Plätze zur Verfügung stehen.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Plätze unter diesen Voraus setzungen nicht ausreicht. [1 Punkt]
c) Pro Reisetermin stehen jeweils 100 Plätze zur Verfügung.
Für jeden gebuchten Platz erzielt das Reisebüro einen Gewinn von a Euro.
Für jeden nicht gebuchten Platz macht das Reisebüro einen Verlust von 120 Euro.
Den Gesamtgewinn erhält man, indem man vom Gewinn für alle gebuchten Plätze den Verlust
für alle nicht gebuchten Plätze abzieht.
Bei einem bestimmten Reisetermin werden nur x Plätze gebucht. Der Gesamtgewinn für diesen Termin beträgt G Euro.
1) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung von x aus a und G .
x = [1 Punkt]

6
Aufgabe 2
Kugelstoßen
Kugelstoßen ist eine Disziplin bei den Olympischen Sommerspielen.
Eine Metallkugel muss so weit wie möglich aus einem Kreis in einen vorgegebenen Auf
schlag bereich gestoßen werden .
a) Im Jahr 1948 wurde bei den Männern ein neuer Weltrekord mit der Weite 17,68 m aufgestellt.
Eine Faustregel besagt, dass sich seit 1948 der Weltrekord bei den Männern alle 2,5 Jahre
um 34 cm verbessert hat. Die Weltrekordweite (in Metern) soll gemäß dieser Faustregel in
Abhängigkeit von der Zeit t (in Jahren) durch eine lineare Funktion f beschrieben werden.
1) Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion f . Wählen Sie t = 0 für das Jahr 1948. [1 Punkt]
Im Jahr 1988 betrug der Weltrekord bei den Männern 23,06 m.
2) Ermitteln Sie für das Jahr 1988 die Abweichung des Funktionswerts von f von dieser Weltrekordweite. [1 Punkt]
b) Der Aufschlagbereich ist in der nachstehenden Abbildung in der Ansicht von oben dargestellt
(alle Angaben in Metern).
20
12
α
20
1) Berechnen Sie den in der obigen Abbildung markierten Winkel α . [1 Punkt]
2) Markieren Sie in der obigen Abbildung diejenige Strecke, deren Länge durch den folgenden
Ausdruck berechnet werden kann:
6
tan
(
α
2
)
[1 Punkt]

7
c) Die Bahnkurve einer gestoßenen Kugel lässt sich näherungsweise durch den Graphen der
quadratischen Funktion h beschreiben:
h ( x ) = –0,05 · x
2
+ 0,75 · x + 2 mit x ≥ 0
x ... horizontale Entfernung der Kugel von der Abstoßstelle in m
h ( x ) ... Höhe der Kugel über dem Boden bei der horizontalen Entfernung x in m
1) Geben Sie an, in welcher Höhe die Kugel abgestoßen wird. [1 Punkt]
2) Ermitteln Sie, in welcher horizontalen Entfernung von der Abstoßstelle die Kugel auf dem
Boden aufschlägt. [1 Punkt]
d) Für die bei den Männern verwendeten Kugeln gelten folgende Vorgaben:
• Die Masse beträgt 7 257 g.
• Der Durchmesser der Kugel liegt zwischen 11 cm und 13 cm.
Eine Messing-Eisen-Legierung hat eine Dichte von 8,2 g/cm³.
Die Masse m ist das Produkt aus Volumen V und Dichte ϱ , also m = V ∙ ϱ .
1) Überprüfen Sie nachweislich, ob man aus dieser Messing-Eisen-Legierung eine Kugel herstellen kann, die diese Vor gaben erfüllt. [1 Punkt]

8
Aufgabe 3
Impfen und Auffrischen
Mithilfe der Konzentration von Antikörpern im Blut wird bestimmt, ob nach einer Impfung aus
reichender Impfschutz besteht. Diese Konzentration wird oft als Antikörperwert bezeichnet
und in „Internationalen Einheiten pro Liter“ (IE/L) angegeben.
a) Bei Anna wurde unmittelbar nach einer Impfung ein Antikörperwert von 110 IE/L gemessen.
Der Antikörperwert sinkt kontinuierlich und nimmt bei Anna pro Jahr um 20 % in Bezug auf
das jeweils vorhergehende Jahr ab.
Der Antikörperwert in Annas Blut (in IE/L) soll in Abhängigkeit von der Zeit t (in Jahren) durch
eine Funktion A beschrieben werden.
1) Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion A . Wählen Sie t = 0 für den Zeitpunkt der Messung. [1 Punkt]
Ab einem Antikörperwert von 10 IE/L ist der Impfschutz nicht mehr gegeben.
2) Berechnen Sie, nach welcher Zeit der Impfschutz bei Anna nicht mehr gegeben ist.
[1 Punkt]

9
b) Die nachstehende Abbildung zeigt näherungsweise den zeitlichen Verlauf des Anti körperwerts
von Bernhard nach einer Impfung.
Antikörperwert in IE/L
Zeit nach der Impfung in Jahren
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
120
5 4 3 2 1 0
1) Lesen Sie die Halbwertszeit T
1/2
ab.
T
1/2
= Jahre [1 Punkt]
Bei Sandra beträgt der Antikörperwert unmittelbar nach der Impfung 80 IE/L. Ihr Antikörperwert sinkt exponentiell mit derselben Halbwertszeit wie jener von Bernhard.
2) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den zeitlichen Verlauf von Sandras Antikörperwert im
Zeitintervall [0; 5] ein. [1 Punkt]

10
Aufgabe 4
Eisenbahn
In der nachstehenden Abbildung ist ein sogenannter Bildfahrplan für Züge zwischen Altheim
und Burghausen dargestellt. Die Züge fahren dabei – vereinfacht betrachtet – mit konstanter
Geschwindigkeit.
Entfernung von Altheim in km (gemessen auf der Zugstrecke)
Zeit nach Mitternacht in h
Altheim
Burghausen
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
200
17 16 15 14 13 12 11 10 0 18
Zug Nr. 1
Zug Nr. 2
Zug Nr. 3
Zug Nr. 4
a) Zug Nr. 3 fährt um 12:00 Uhr in Altheim ab.
Zug Nr. 4 fährt um 14:40 Uhr in Burghausen ab.
Auf der Fahrt zu ihren Zielbahnhöfen begegnen die beiden Züge einander.
1) Lesen Sie aus dem obigen Bildfahrplan ab, wann und wie weit von Burghausen entfernt
die beiden Züge einander begegnen. [1 Punkt]
b) 1) Argumentieren Sie, dass die Züge Nr. 2 und Nr. 4 mit der gleichen Geschwindigkeit
fahren. [1 Punkt]
c) Die Fahrt eines Zuges Nr. 5 soll im Bildfahrplan durch einen Ausschnitt des Graphen der
Funktion s beschrieben werden.
s ( t ) = –80 · t + 1 160
t ... Zeit nach Mitternacht in h
s ( t ) ... Entfernung von Altheim zur Zeit t in km
1) Bestimmen Sie die Uhrzeit, zu der Zug Nr. 5 in Burghausen abfährt. [1 Punkt]
2) Zeichnen Sie im obigen Bildfahrplan den Funktionsgraphen für s zwischen Altheim und
Burghausen ein. [1 Punkt]

11
d) Eine Eisenbahnstrecke hat eine Länge von 200 km. Nach einer Sanierung der Gleise können
die Züge mit einer um 10 km/h höheren Geschwindigkeit fahren. Die Fahrzeit wird dadurch
um eine halbe Stunde vermindert.
Zur Verdeutlichung sind die Angaben in der nachstehenden Tabelle dargestellt.
t ist dabei die Fahrzeit vor der Sanierung in Stunden.
Streckenlänge in km Geschwindigkeit in km/h Fahrzeit in h
nach der Sanierung 200 (
200
t
+ 10
) (
t –
1
2
)
1) Berechnen Sie t . [1 Punkt]

12
Aufgabe 5
Stausee
a) Das Wasservolumen in einem Stausee ändert sich aufgrund von verschiedenen Einflüssen,
wie z. B. Niederschlägen, Zuflüssen und Wasserentnahmen.
Zu Beginn einer Beobachtung beträgt das Wasservolumen im Stausee 1,5 · 10
8
m
3
. Die
momentane Änderungsrate des Wasservolumens kann im Zeitintervall [0; 4] näherungsweise
durch eine Funktion u beschrieben werden, deren Graph in der nachstehenden Abbildung
dargestellt ist.
momentane Änderungsrate des Wasservolumens in m
3
/h
Zeit nach Beginn
der Beobachtung in h
u
0 3 2 1 4
0
1) Interpretieren Sie unter Angabe der entsprechenden Einheit, was mit dem folgenden Ausdruck im gegebenen Sachzusammenhang berechnet wird:
1,5 · 10
8
+
∫
4
0
u ( t ) d t [1 Punkt]
2) Argumentieren Sie mithilfe des Funktionsgraphen, dass das Wasservolumen im Stausee im
Zeitintervall [1; 2] zunimmt. [1 Punkt]

13
b) Der zeitliche Verlauf des Wasserstands eines Stausees kann für einen bestimmten Zeitraum
näherungsweise durch die Funktion h beschrieben werden:
h ( t ) = –6 ∙ 10
–6
· t
3
+ 0,001 · t
2
+ 0,005 · t + 5 mit 0 ≤ t ≤ 150
t ... Zeit in h
h ( t ) ... Wasserstand zur Zeit t in m
Ein ufernaher Parkplatz wird gesperrt, solange der Wasserstand 9 m oder höher ist.
1) Berechnen Sie die Dauer der Sperre. [2 Punkte]
c) Für den Hochwasserschutz wurde an einem Ufer ein Damm aufgeschüttet. Die Höhe des
Damms wird mithilfe einer 1 m langen Messlatte ermittelt. Dazu werden von einem Punkt A
aus die Enden der Messlatte anvisiert und die Höhenwinkel α = 40,0° und β = 33,7° gemessen (siehe nachstehende nicht maßstabgetreue Skizze).
A
1 m
h
e
Messlatte
Damm
1) Beschriften Sie in der obigen Skizze die Winkel α und β . [1 Punkt]
Für die Berechnung der Dammhöhe h werden folgende Formeln verwendet:
tan( α ) =
h + 1
e
tan( β ) =
h
e
2) Berechnen Sie die Dammhöhe h . [1 Punkt]

14
Aufgabe 6 (Teil B)
Qualitätstest bei Objektiven
Um das Objektiv einer Digitalkamera zu testen, fotografiert man eine genormte Tafel (Test
Chart) mit einem Test Motiv und lässt das Foto von einer speziellen Software auswerten.
a) Eine Fotografin möchte ihr neues Objektiv testen. Dazu verwendet sie folgenden Aufbau:
Scheinwerfer Scheinwerfer
Kamera mit Objektiv
Test-Chart
y
x
α
z
1) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung von x aus y , z und α .
x = [1 Punkt]
Bei einem bestimmten Test gilt:
α = 45°
x = 121 cm
z = 70 cm
2) Berechnen Sie die Entfernung y . [2 Punkte]

15
b) Ein beliebtes Motiv für solche Test-Charts ist ein spezieller Stern:
ganzer Stern Detailansicht
Ein Stern besteht aus einzelnen Abschnitten, die abwechselnd schwarz und weiß sind. Jeder
dieser Abschnitte kann näherungsweise als Dreieck mit folgenden Abmessungen beschrieben
werden:
a
a
α
1) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A des obigen Dreiecks
aus a und α .
A = [1 Punkt]
Ein ganzer Stern besteht aus n weißen und n schwarzen Abschnitten.
2) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Winkels α aus n .
α = [1 Punkt]

16
c) Ein für Digitalkameras relevantes Qualitätsmerkmal ist die Anzahl der Linienpaare pro Bildhöhe (LP/BH).
Für einen bestimmten Objektiv-Typ ist diese Kenngröße annähernd normalverteilt. Die Objektive werden von 3 verschiedenen Herstellern – A , B und C – jeweils mit dem Erwartungswert μ = 1 950 LP/BH und der Standardabweichung σ
A
, σ
B
bzw. σ
C
produziert.
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Dichtefunktion für Hersteller A
dargestellt.
2 050 2 000 1 950 1 900 1 850
Linienpaare pro Bildhöhe
A
1) Skizzieren Sie in der obigen Abbildung den Graphen der zugehörigen Dichtefunktion für
Hersteller B , wenn für die Standardabweichungen gilt: σ
A
< σ
B
. [1 Punkt]
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein neu produziertes Objektiv des Herstellers C mindestens
1 900 LP/BH darstellen kann, beträgt 97,7 %.
2) Berechnen Sie die zugehörige Standardabweichung σ
C
. [1 Punkt]

17
Aufgabe 7 (Teil B)
Energieverbrauch
Der Energieverbrauch einer Großstadt unterliegt Schwankungen. Mit der Funktion E wird der
voraussichtliche Energieverbrauch pro Tag für die nächsten 5 Jahre modelliert:
E ( t ) = 8,9 + 0,0002 · t + 0,1 · sin (
2 · π · t
365
+
π
2
) mit t ≥ 0
t ... Zeit in Tagen
E ( t ) ... Energieverbrauch zur Zeit t in Gigawattstunden pro Tag (GWh/Tag)
t in Tagen
E ( t ) in GWh/Tag
1 700 1 600 1 500 1 400 1 300 1 200 1 100 1 000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 1 800
9,3
9,2
9,1
9
8,9
8,8
0
9,4
E
a) 1) Lesen Sie aus dem oben dargestellten Graphen ab, nach wie vielen Tagen der Energieverbrauch ständig über 9,1 GWh pro Tag liegen wird. [1 Punkt]
2) Berechnen Sie die Minimumstelle der Funktion E im Zeitintervall [400; 700]. [1 Punkt]
b) 1) Veranschaulichen Sie in der obigen Grafik diejenige trapezförmige Fläche, deren Flächen inhalt mittels
E (1 400) + E (1 500)
2
· 100 berechnet wird. [1 Punkt]
c) 1) Schreiben Sie die reelle Funktion f mit f ( t ) = sin (
2 · π · t
365
+
π
2
) mithilfe der Winkelfunktion
Cosinus an.
f ( t ) = cos ( ) [1 Punkt]

18
Aufgabe 8 (Teil B)
Gebäudetechnik
Im Bereich der Gebäudetechnik spielen Temperatur, Schalldämmung und CO2 Gehalt der Luft
eine wichtige Rolle.
a) Die mittlere Tagestemperatur in Bregenz soll für einen bestimmten Zeitraum durch eine Polynomfunktion 3. Grades T angenähert werden:
T ( t ) = a ∙ t
3
+ b ∙ t
2
+ c ∙ t + d
t … Zeit in Tagen
T ( t ) … mittlere Tagestemperatur zur Zeit t in °C
Es wurden folgende Daten ermittelt:
Zu Beginn der Beobachtung ( t = 0) lag die mittlere Tages temperatur bei –5 °C.
Zur Zeit t = 98 Tage betrug sie +8 °C; zu dieser Zeit lag auch der Wendepunkt des Temperaturverlaufs vor.
Zur Zeit t = 210 Tage erreichte die mittlere Tagestemperatur +20 °C.
1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Ermittlung der Koeffizienten dieser Polynomfunktion.
[2 Punkte]
b) Um das Gesamtschalldämmmaß R Ges einer Wand aus Ziegelmauer und Fenster in Dezibel (dB)
zu berechnen, wird in der Gebäudetechnik die nachstehende Formel verwendet.
R Ges = –10 ∙ lg ( f F ∙ 10
–
R F
10
+ f Z ∙ 10
–
R Z
10
)
f F … relativer Flächenanteil des Fensters an der gesamten Wandfläche
f Z … relativer Flächenanteil der Ziegelmauer an der gesamten Wandfläche
R F , R Z … Schalldämmmaß des Fensters bzw. der Ziegelmauer in dB
R Ges … Gesamtschalldämmmaß der Wand in dB
Ein Bauunternehmen plant, aus einer 50 m
2
großen Wand eine Fensterfläche herauszubrechen.
Dabei hat das Fenster ein Schalldämmmaß von R F = 43 dB, die Ziegelmauer ein Schalldämmmaß von R Z = 65 dB.
Es wird ein Gesamtschalldämmmaß R Ges von mindestens 55 dB für diese Wand gefordert.
1) Erstellen Sie eine Gleichung zur Berechnung des relativen Flächenanteils f F , den die
Fenster fläche in dieser Wand maximal erreichen darf. [1 Punkt]
2) Berechnen Sie diese Fensterfläche in m
2
. [1 Punkt]

19
c) In einem Schlafzimmer mit einem Luftvolumen von 45 m
3
wird zum Zeitpunkt t = 0 eine Lüftungsanlage eingeschaltet. Zu diesem Zeitpunkt beträgt der CO2-Gehalt der Luft im Zimmer
0,2 Vol.-%, d. h., das CO2-Volumen beträgt 0,2 % des gesamten Luftvolumens.
Die nachstehende Differenzialgleichung beschreibt das CO2-Volumen V (in m
3
) im Schlafzimmer in Abhängigkeit von der Zeit t (in min) ab dem Einschalten der Lüftung:
d V
d t
= 0,006 –
V
3
1) Berechnen Sie die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung. [1 Punkt]
2) Ermitteln Sie, nach welcher Zeit der ursprüngliche CO2-Gehalt halbiert ist. [1 Punkt]

20
Aufgabe 9 (Teil B)
Motorbootrennen
In der nachstehenden Abbildung ist das Geschwindigkeit Zeit Diagramm zweier Motor
boote A und B während einer Wettfahrt modellhaft dargestellt.
v
A
( t ), v
B
( t ) in m/s
t in s
60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 65
12
10
8
6
4
2
0
14
v
A
v
B
a) Für die Funktion vB gilt:
vB ( t ) = 14 · (1 – ℯ
–0,1 · t
) mit t ≥ 0
t ... Zeit in s
vB ( t ) ... Geschwindigkeit zur Zeit t in m/s
1) Ermitteln Sie, um wie viel Prozent die Beschleunigung des Bootes pro Sekunde abnimmt.
[1 Punkt]

21
b) Die nachstehende Abbildung zeigt die Tangenten hA
und hB
an die Graphen der Geschwindigkeit-Zeit-Funktionen zur Zeit t = 0.
v
A
( t ), v
B
( t ) in m/s
t in s
v
A
v
B
35 30 25 20 15 10 5 0
12
10
8
6
4
2
0
14
h
A h
B
1) Interpretieren Sie die Steigung der Tangente hA
im gegebenen Sachzusammenhang.
[1 Punkt]
2) Ordnen Sie den beiden Ableitungsfunktionen
d vA
d t
und
d vB
d t
jeweils die entsprechende
Grafik aus A bis D zu. [2 zu 4] [1 Punkt]
d vA
d t
d vB
d t
A
Beschleunigung
in m/s
2
t in s
10 5 0 15
2
2,5
1,5
1
0,5
0
B
10 5 0 15
2
2,5
1,5
1
0,5
0
t in s
Beschleunigung
in m/s
2
C
Beschleunigung
in m/s
2
10 5 0 15
2
2,5
1,5
1
0,5
t in s
0
D
10 5 0 15
2
2,5
1,5
1
0,5
0
t in s
Beschleunigung
in m/s
2

22
c) Eine Funktionsgleichung der in der obigen Abbildung dargestellten Funktion vB
für das Motorboot B lautet:
vB ( t ) = 14 · (1 – ℯ
–0,1 · t
) mit t ≥ 0
t ... Zeit in s
vB ( t ) ... Geschwindigkeit zur Zeit t in m/s
1) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit des Motorboots B während der ersten 30 Sekunden. [1 Punkt]
2) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung desjenigen Weges s , den das Motorboot B in
den ersten n Sekunden zurücklegt.
s = [1 Punkt]
Nach einer Fahrt von 700 m überholt das Motorboot B das Motorboot A .
3) Berechnen Sie den Zeitpunkt dieses Überholens. [1 Punkt]
In der nachstehenden Abbildung beschreibt der Graph der Funktion vB
neu
den Fall, dass das
Motorboot B um 5 Sekunden später startet (bei sonst unverändertem Geschwindigkeitsverlauf).
v
B
( t ), v
B
neu
( t ) in m/s
t in s
60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 65
12
10
8
6
4
2
0
14
v
B
v
B
neu
4) Erstellen Sie ausgehend von der Funktion vB
eine Gleichung der Funktion vB
neu
. [1 Punkt]