Mathematik-Matura September 2018 · AHS Teil 2 – Lösungen

AHS
20. September 2018
Mathematik
Teil-2-Aufgaben
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung

2
Aufgabe 1
Quadratische Funktion
a) Lösungserwartung:
c > 0
Mögliche Begründung:
Der Punkt A = (0 | y
A
) liegt auf der positiven senkrechten Achse, daher ist y
A
= f (0) > 0.
Da c = f (0) ist, muss c > 0 sein.
oder:
Der Parameter c legt fest, in welchem Punkt der Graph von f die senkrechte Achse schneidet.
Da dieser Schnittpunkt auf der positiven senkrechten Achse liegt, muss c > 0 gelten.
b < 0
Mögliche Begründung:
Der Punkt B ist ein Extrempunkt von f . Da B auf der positiven x -Achse liegt, muss seine x -Ko ordinate x
B
positiv sein. Die Extremstelle x
E
= x
B
der Funktion f ergibt sich aus dem Ansatz:
f ′ ( x
E
) = 0 ⇔ x
E
= –2 ∙ b .
Wegen x
E
= –2 ∙ b > 0 muss b < 0 gelten.
oder:
Da aus f ′ ( x ) =
1
2
∙ x + b folgt, dass f ′ (0) = b ist, und da f für (–∞; x
E
) mit x
E
> 0 streng monoton fallend ist, folgt f ′ (0) < 0 und somit gilt: f ′ (0) = b < 0.
oder:
Angenommen, es würde b ≥ 0 gelten. Wegen c > 0 ergibt sich:
1
4
∙ x
2
+ c > 0 für alle x ∈ ℝ .
Somit würde für alle x > 0 auch
1
4
∙ x
2
+ b ∙ x + c > 0 gelten. Dies stellt aber einen Widerspruch dazu dar, dass ein Berührpunkt mit der positiven x -Achse existiert. Folglich muss
b < 0 gelten.
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für die Angabe von c > 0 und eine korrekte Begründung.
– Ein Punkt für die Angabe von b < 0 und eine korrekte Begründung.
Andere korrekte Begründungen sind ebenfalls als richtig zu werten.

3
b) Lösungserwartung:
Die Aussage ist wahr.
Mögliche Begründung:
Da B = ( x
B
|0) ein Extrempunkt von f ist, gilt f ′ ( x
B
) = 0. Weil auch f ( x
B
) = 0 ist, ist der Punkt B
ein Schnittpunkt der Graphen von f und f ′ .
oder:
An einer Stelle, wo die Funktion f eine Extremstelle hat, weist f ′ eine Nullstelle auf. Da die
Extremstelle von f im gegebenen Fall eine Nullstelle ist, haben f und f ′ die gleiche Nullstelle
und somit im Punkt B einen Schnittpunkt.
Mögliche Vorgehensweise:
f ′ ( x ) =
1
2
∙ x + b ⇒ Die Steigung der Ableitungsfunktion f ′ ist
1
2
.
f ′ ( x
t
) =
1
2
∙ x
t
+ b =
1
2
⇒ x
t
= 1 – 2 ∙ b
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die Angabe, dass die Aussage wahr ist, und eine korrekte Begründung.
– Ein Punkt für die richtige Lösung. Äquivalente Ausdrücke sind als richtig zu werten.
c) Lösungserwartung:
Mögliche Vorgehensweise:
Wenn die Extremstelle von f auch Nullstelle von f ist, hat die Gleichung
1
4
∙ x
2
+ b ∙ x + c = 0
genau eine Lösung.
x
1, 2
=
– b ±

b
2
– 4 ∙ 0,25 ∙ c
0,5
⇒ c = b
2
Mögliche Vorgehensweise:
f ′ ( x
B
) =
1
2
∙ x
B
+ b = 0 ⇒ b =
– x
B
2
Aus c = b
2
folgt: c =
x
B
2
4
.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für einen korrekten Zusammenhang zwischen b und c . Andere korrekte Zusammenhänge sind ebenfalls als richtig zu werten.
– Ein Punkt für die korrekte Angabe der Koeffizienten b und c in Abhängigkeit von x
B
.

4
Aufgabe 2
Überlagerung von Schwingungen
a) Lösungserwartung:
T =
2 ∙ π
c ∙ π
⇒ T =
2
c
Mögliche Vorgehensweise:
T =
2 ∙ π
2 ∙ π
= 1
p
eff
=
1
1
∫
1
0
sin
2
(2π ∙ t ) d t

=
1

2
⇒ p
eff
≈ 0,71 Pa
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für eine korrekte Formel. Äquivalente Formeln sind als richtig zu werten.
– Ein Punkt für die Berechnung des richtigen Effektivwerts des Schalldrucks, wobei die Einheit „Pa“ nicht angeführt sein muss.
Toleranzintervall: [0,7 Pa; 0,71 Pa]
b) Lösungserwartung:
T = 4 ms
Frequenz von h :
1
0,004
= 250 Hz
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die Angabe der richtigen Periodenlänge von h , wobei die Einheit „ms“ nicht
angeführt sein muss.
Toleranzintervall: [3,9 ms; 4,1 ms]
– Ein Punkt für die richtige Lösung.
c) Lösungserwartung:
Amplitude von h : ca. 2,9 nach ca. 0,2 ms
Mögliche Begründung:
Die Amplitude von h ist nicht gleich der Summe der Amplituden von h
1
, h
2
und h
3
, da die drei
Funktionen ihre maximalen Funktionswerte zu unterschiedlichen Zeitpunkten erreichen.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die Angabe der richtigen Amplitude und den richtigen Zeitpunkt, wobei die
Einheit „ms“ nicht angeführt sein muss.
Toleranzintervalle: [2,85; 2,95] bzw. [0,19 ms; 0,21 ms]
– Ein Punkt für eine korrekte Begründung.

5
d) Lösungserwartung:
R
1
= (1 |

3)
Mögliche Vorgehensweise:
x ( R
1
) = 2 · cos(60°) = 2 ∙
1
2
= 1
y ( R
1
) = 2 · sin(60°) = 2 ∙
2

3
=

3
Mögliche Vorgehensweise:
Entfernung zwischen L
2
und R
2
= 2 · x ( R
2
) = 2 · 2 · cos(20°) ≈ 3,76 m
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für die Angabe der richtigen Koordinaten von R
1
.
Toleranzintervall für die y -Koordinate: [1,7; 1,75]
– Ein Punkt für die Angabe der richtigen Lösung.
Toleranzintervall: [3,7 m; 3,8 m]

6
Aufgabe 3
Lachsbestand
a) Lösungserwartung:
n
0
≈ 547
Mögliche Interpretation:
Im gegebenen Kontext gibt n
0
denjenigen Lachsbestand an, bei dem die Anzahl der Lachse
der Nachfolgegeneration unverändert bleibt.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall für den Lachsbestand: [547; 548]
– Ein Ausgleichspunkt für eine korrekte Interpretation.
b) Lösungserwartung:
Mögliche Vorgehensweise:
R ′ ( n ) = 0 ⇒ n
E
=
1
b
R
(
1
b
)
=
a
b ∙ ℯ
⇒ E =
(
1
b
|
a
b ∙ ℯ
)
Möglicher Nachweis:
R ″
(
1
b
)
= –
a ∙ b
ℯ
< 0 für alle a , b ∈ ℝ
+
⇒ Maximumstelle
a
b ∙ ℯ
>
1
b
⇒ a > ℯ
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die Angabe der richtigen Koordinaten von E und einen korrekten Nachweis.
– Ein Punkt für die richtige Lösung.

7
c) Lösungserwartung:
01.01.1924 01.01.1920 01.01.1916 01.01.1912 01.01.1908
Zeit in Jahren
150
100
50
0
200
300
250
Zeitraum
berechneter Lachsbestand
(in tausend Lachsen)
01.01.1912 – 31.12.1915 713
01.01.1916 – 31.12.1919 626
01.01.1920 – 31.12.1923 589
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für ein korrektes Histogramm.
– Ein Punkt für die Angabe der richtigen Werte in der Tabelle.

8
Aufgabe 4
Roulette
a) Lösungserwartung:
P ( X ≥ 4) ≈ 0,171
Da die Spieldurchgänge voneinander unabhängig sind und somit die Ergebnisse der vor herigen Spielrunden keine Auswirkungen auf die nachfolgenden Spielrunden haben, kann der
Spieler seine Gewinnchancen mit dieser Strategie nicht beeinflussen.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall für P ( X ≥ 4): [0,1; 0,2] bzw. [10 %; 20 %]
– Ein Punkt für die Angabe, dass der Spieler seine Gewinnchancen mit dieser Strategie nicht
erhöhen kann, und eine korrekte Begründung.
b) Lösungserwartung:
(
19
37
)
10
≈ 0,00128
Mögliche Vorgehensweise:
Bei zehn aufeinanderfolgenden verlorenen Spielrunden beträgt der Verlust € 10.230.
Endet die Spielserie mit einem Gewinn, so beträgt dieser € 10.
Erwartungswert für einen Gewinn: (1 – 0,00128) ∙ 10 – 0,00128 ∙ 10 230 ≈ – 3,11
Ein negativer Erwartungswert zeigt, dass dieses Spiel langfristig gesehen für die Spielerin
ungünstig ist.
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [0,0012; 0,0013]
– Ein Punkt für einen korrekten rechnerischen Nachweis.