Mathematik-Matura September 2018 · AHS Teil 2 – Aufgaben

AHS
20. September 2018
Mathematik
Teil-2-Aufgaben
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
Name:
Klasse:

2
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat!
Das vorliegende Aufgabenheft zu Teil 2 enthält vier Aufgaben mit je zwei bis vier Teilaufgaben, wobei alle Teilaufgaben unabhängig voneinander bearbeitbar sind. Ihnen stehen dafür insgesamt 150 Minuten an reiner Arbeitszeit zur Verfügung.
Verwenden Sie einen nicht radierbaren, blau oder schwarz schreibenden Stift! Bei Konstruktionsaufgaben ist
auch die Verwendung eines Bleistifts möglich.
Verwenden Sie zur Bearbeitung dieser Aufgaben dieses Aufgabenheft und die Ihnen zur Verfügung gestellten
Blätter! Schreiben Sie Ihren Namen auf der ersten Seite des Aufgabenheftes in das dafür vorgesehene Feld und
auf jedes verwendete Blatt! Geben Sie bei der Beantwortung jeder Teilaufgabe deren Bezeichnung an!
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht durchgestrichen ist. Die Lösung muss dabei klar ersichtlich
sein. Wenn die Lösung nicht klar ersichtlich ist oder verschiedene Lösungen angegeben sind, gilt die Aufgabe
als nicht gelöst. Streichen Sie Ihre Notizen durch.
Sie dürfen die für diesen Klausurtermin freigegebene Formelsammlung sowie zugelassene elektronische Hilfs mittel verwenden.
Abzugeben sind das Aufgabenheft und alle von Ihnen verwendeten Blätter.
Beurteilung
Jede Aufgabe in Teil 1 wird mit 0 Punkten oder 1 Punkt bewertet, jede Teilaufgabe in Teil 2 mit 0, 1 oder 2 Punkten. Die mit A gekennzeichneten Aufgabenstellungen werden mit 0 Punkten oder 1 Punkt bewertet.
– Werden im Teil 1 mindestens 16 von 24 Aufgaben richtig gelöst, wird die Arbeit positiv bewertet.
– Werden im Teil 1 weniger als 16 von 24 Aufgaben richtig gelöst, werden mit A markierte Aufgabenstellungen
aus Teil 2 zum Ausgleich (für den laut LBVO „wesentlichen Bereich“) herangezogen.
Werden unter Berücksichtigung der mit A markierten Aufgabenstellungen aus Teil 2 mindestens 16 Aufgaben
richtig gelöst, wird die Arbeit positiv bewertet.
Werden auch unter Berücksichtigung der mit A markierten Aufgabenstellungen aus Teil 2 weniger als 16 Aufgaben richtig gelöst, wird die Arbeit mit „Nicht genügend“ beurteilt.
– Werden im Teil 1 mindestens 16 Punkte (mit Berücksichtigung der Ausgleichspunkte A ) erreicht, so gilt folgender Beurteilungsschlüssel:
Genügend 16– 23 Punkte
Befriedigend 24– 32 Punkte
Gut 33– 40 Punkte
Sehr gut 41– 48 Punkte
Erläuterung der Antwortformate
Die Aufgaben haben einerseits freie Antwortformate ; dabei schreiben Sie Ihre Antwort direkt unter die jeweilige
Aufgabenstellung in das Aufgabenheft oder auf die zur Verfügung gestellten Blätter. Weitere Antwortformate, die in
der Klausur zum Einsatz kommen können, werden im Folgenden vorgestellt:
Zuordnungsformat: Dieses Antwortformat ist durch mehrere Aussagen (bzw. Tabellen oder Abbildungen) gekennzeichnet, denen mehrere Antwortmöglichkeiten gegenüberstehen. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats
korrekt, indem Sie die Antwortmöglichkeiten durch Eintragen der entsprechenden Buchstaben den jeweils zutreffenden Aussagen zuordnen!
Beispiel:
Gegeben sind zwei Gleichungen.
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den zwei Gleichungen jeweils die
entsprechende Bezeichnung (aus A bis D) zu!
1 + 1 = 2 A
2 ∙ 2 = 4 C
A Addition
B Division
C Multiplikation
D Subtraktion

3
Konstruktionsformat: Eine Aufgabe und deren Aufgabenstellung sind vorgegeben. Die Aufgabe erfordert die Ergänzung von Punkten, Geraden und/oder Kurven im Aufgabenheft.
Beispiel:
Gegeben ist eine lineare Funktion f mit f ( x ) = k · x + d.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie den Graphen einer linearen Funktion mit den Bedingungen k = –2 und d > 0 in das vorgegebene
Koordinatensystem ein!
f ( x )
f
x
Multiple-Choice-Format in der Variante „1 aus 6“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und
sechs Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei eine Antwortmöglichkeit auszuwählen ist. Bearbeiten Sie
Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die einzige zutreffende Antwortmöglichkeit ankreuzen!
Beispiel:
Welche Gleichung ist korrekt?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an!
1 + 1 = 1 
2 + 2 = 2 
3 + 3 = 3 
4 + 4 = 8 T
5 + 5 = 5 
6 + 6 = 6 
Multiple-Choice-Format in der Variante „2 aus 5“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und fünf
Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei zwei Antwortmöglichkeiten auszuwählen sind. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die beiden zutreffenden Antwortmöglichkeiten ankreuzen!
Beispiel:
Welche Gleichungen sind korrekt?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an!
1 + 1 = 1 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 3 
4 + 4 = 8 T
5 + 5 = 5 

4
Multiple-Choice-Format in der Variante „x aus 5“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und fünf
Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei eine, zwei, drei, vier oder fünf Antwortmöglichkeiten auszuwählen sind. In der Aufgabenstellung finden Sie stets die Aufforderung „Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n)/
Gleichung(en)/... an!“. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die zutreffende Antwortmöglichkeit/die zutreffenden Antwortmöglichkeiten ankreuzen!
Beispiel:
Welche der gegebenen Gleichungen ist/sind korrekt?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Gleichung(en) an!
1 + 1 = 2 T
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 6 T
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 10 T
Lückentext: Dieses Antwortformat ist durch einen Satz mit zwei Lücken gekennzeichnet, das heißt, im Aufgabentext sind zwei Stellen ausgewiesen, die ergänzt werden müssen. Für jede Lücke werden je drei Antwortmöglichkeiten vorgegeben. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die Lücken durch Ankreuzen der
beiden zutreffenden Antwortmöglichkeiten füllen!
Beispiel:
Gegeben sind 3 Gleichungen.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte
Aussage entsteht!
Die Gleichung
1
wird als Zusammenzählung oder
2
bezeichnet.
1
1 – 1 = 0 
1 + 1 = 2 T
1 ∙ 1 = 1 
2
Multiplikation 
Subtraktion 
Addition T
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 T
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen ein.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
Wenn Sie jetzt noch Fragen haben, wenden Sie sich bitte an Ihre Lehrerin / Ihren Lehrer!
Viel Erfolg bei der Bearbeitung!
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“
übermalt und dann wieder gewählt.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“
gewählt und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.

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Aufgabe 1
Quadratische Funktion
Der Graph einer Polynomfunktion f zweiten Grades schneidet die positive senkrechte Achse im
Punkt A = (0 | y
A
) und hat mit der positiven x -Achse den Punkt B = ( x
B
| 0) gemeinsam, wobei B
ein Extrempunkt von f ist.
Die Funktion f ist von der Form f ( x ) =
1
4
∙ x
2
+ b ∙ x + c mit b , c ∈ ℝ .
Aufgabenstellung:
a) A Geben Sie an, ob c größer als null, gleich null oder kleiner als null sein muss, und begründen Sie Ihre Entscheidung!
Geben Sie an, ob b größer als null, gleich null oder kleiner als null sein muss, und begründen
Sie Ihre Entscheidung!
b) Gegeben ist folgende Aussage: „Der Punkt B ist ein Schnittpunkt der Graphen der Funktion f
und ihrer Ableitungsfunktion f ′ .“ Geben Sie an, ob diese Aussage wahr oder falsch ist, und
begründen Sie Ihre Entscheidung!
Es gibt für alle Werte von b genau eine Stelle x
t
mit folgender Eigenschaft: An der Stelle x
t
haben f und f ′ die gleiche Steigung. Geben Sie diese Stelle x
t
in Abhängigkeit von b an!
c) Geben Sie an, welcher Zusammenhang zwischen b und c bestehen muss, damit die Extremstelle x
B
von f auch Nullstelle von f ist!
Geben Sie die Koeffizienten b und c der Funktion f in Abhängigkeit von x
B
an!

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Aufgabe 2
Überlagerung von Schwingungen
Ein Ton in der Musik kann im einfachsten Fall durch eine Sinusfunktion s mit s ( t ) = a ∙ sin( b ∙ t )
für a , b ∈ ℝ
+
beschrieben werden. Bei einer derartigen Sinusschwingung wird der maximale
Funktionswert als Amplitude bezeichnet. Die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde wird als
Frequenz f bezeichnet und in Hertz (Hz) angegeben.
Für die Frequenz f gilt: f =
1
T
(mit T in Sekunden), wobei T die (kleinste) Periodenlänge der je weiligen Sinusschwingung ist ( T ∈ ℝ
+
).
Drei bestimmte Töne werden mithilfe der nachstehenden Funktionen h
1
, h
2
und h
3
beschrieben.
Die Zeit t ( t ≥ 0) wird dabei in Millisekunden (ms) gemessen.
h
1
( t ) = sin(2 ∙ π ∙ t )
h
2
( t ) = sin(2,5 ∙ π ∙ t )
h
3
( t ) = sin(3 ∙ π ∙ t )
Die Überlagerung mehrerer Töne bezeichnet man als Klang.
Die Funktion h mit h ( t ) = h
1
( t ) + h
2
( t ) + h
3
( t ) beschreibt einen Klang.
Der Schalldruck eines Tons ist zeitabhängig und kann durch die Funktion p mit p ( t ) = p ∙ sin( ω ∙ t )
beschrieben werden. Dabei sind p und ω Konstanten.
Der Schalldruck wird in der Einheit Pascal (Pa) angegeben.
Aufgabenstellung:
a) Geben Sie für einen Ton, der mithilfe der Funktion g mit g ( t ) = sin( c ∙ π · t ) mit c ∈ ℝ
+
und
t in ms beschrieben wird, eine Formel für die Periodenlänge T (in ms) in Abhängigkeit von c an!
Der Effektivwert p
eff
des Schalldrucks einer Sinusschwingung mit der Periodenlänge T (in ms)
kann mit der Formel p
eff
=
1
T
∫
T
0
p
2
( t ) d t

berechnet werden.
Berechnen Sie den Effektivwert des Schalldrucks eines Tons, wenn p = 1 und ω = 2 ∙ π gilt!
b) Geben Sie (z. B. unter Zuhilfenahme eines geeigneten Graphen) die (kleinste) Periodenlänge T
(in ms) der Funktion h an!
Geben Sie die Frequenz f der Funktion h in Hertz an!
c) Geben Sie (z. B. unter Zuhilfenahme eines geeigneten Graphen) die Amplitude der Funktion h
und denjenigen Zeitpunkt t ≥ 0 (in ms) an, zu dem die Amplitude erstmals erreicht wird!
Begründen Sie, warum die Amplitude von h nicht gleich der Summe der drei Amplituden der
Funktionen h
1
, h
2
und h
3
ist!

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d) Für ein angenehmes Raumklangerlebnis (z. B. in einem Heimkino) ist es günstig, wenn die fünf
Lautsprecher eines Fünf-Kanal-Tonsystems wie in nachstehender linker Skizze dargestellt angeordnet sind (Ansicht von oben). Vereinfacht kann die Anordnung wie in nachstehender rechter Skizze in einem kartesischen Koordinatensystem (Einheit in Metern) dargestellt werden:
Center
Front-R Front-L
Surround-R Surround-L
Hörer
y
x
C
H
R
1
L
1
L
2
R
2
80° 80°
30° 30°
Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/5.1 [23.04.2018] (adaptiert).
Jeder der fünf Lautsprecher ( C , L
1
, L
2
, R
1
, R
2
) ist in diesem Fall 2 m vom Hörer ( H ) entfernt.
Der Punkt H liegt im Koordinatenursprung.
A Geben Sie die kartesischen Koordinaten von R
1
an!
Geben Sie die Entfernung zwischen L
2
und R
2
an!

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Aufgabe 3
Lachsbestand
Der kanadische Wissenschaftler W. E. Ricker untersuchte die Nachkommenanzahl von Fischen in
Flüssen Nordamerikas in Abhängigkeit von der Anzahl der Fische der Elterngeneration. Er ver öffentlichte 1954 das nach ihm benannte Ricker-Modell.
Der zu erwartende Bestand R ( n ) einer Nachfolgegeneration kann näherungsweise anhand der
sogenannten Reproduktionsfunktion R mit R ( n ) = a ∙ n ∙ ℯ
– b ∙ n
mit a , b ∈ ℝ
+
aus dem Bestand n
der jeweiligen Elterngeneration ermittelt werden.
Lachse kehren spätestens vier Jahre nach dem Schlüpfen aus dem Meer an ihren „Geburtsort“
zurück, um dort zu laichen, d. h., die Fischeier abzulegen. Nach dem Laichen stirbt der Großteil
der Lachse.
Ricker untersuchte unter anderem die Rotlachspopulation im Skeena River in Kanada. Die nachstehende Tabelle gibt die dortigen Lachsbestände in den Jahren von 1908 bis 1923 an, wobei die
angeführten Bestände Mittelwerte der beobachteten Bestände jeweils vier aufeinanderfolgender
Jahre sind.
Zeitraum
beobachteter Lachsbestand
(in tausend Lachsen)
01.01.1908 – 31.12.1911 1 098
01.01.1912 – 31.12.1915 740
01.01.1916 – 31.12.1919 714
01.01.1920 – 31.12.1923 615
Datenquelle: http://jmahaffy.sdsu.edu/courses/s00/math121/lectures/product_rule/product.html [01.02.2018] (adaptiert).
Anhand dieser Daten für den Lachsbestand im Skeena River wurden für die Reproduktionsfunktion R die Parameterwerte a = 1,535 und b = 0,000783 ermittelt ( R ( n ) und n in tausend Lachsen).
Aufgabenstellung:
a) Ermitteln Sie für die Lachspopulation im Skeena River für n > 0 mithilfe der Reproduktionsfunktion die Lösung n
0
der Gleichung R ( n ) = n in tausend Lachsen!
A Interpretieren Sie n
0
im gegebenen Kontext!
b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Extrempunkts E = ( n
E
| R ( n
E
)) der Reproduktionsfunktion R
in Abhängigkeit von a und b und zeigen Sie, dass n
E
für alle a , b ∈ ℝ
+
eine Stelle eines lokalen
Maximums ist!
Geben Sie an, für welche Werte des Parameters a der Bestand R ( n
E
) der Nachfolgegeneration
stets größer als der vorherige Bestand n
E
ist!

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c) Stellen Sie die Daten der obigen Tabelle der beobachteten Lachsbestände (in tausend Lachsen)
durch ein Histogramm dar, wobei die absoluten Häufigkeiten als Flächeninhalte von Rechtecken abgebildet werden sollen!
01.01.1924 01.01.1920 01.01.1916 01.01.1912 01.01.1908
Zeit in Jahren
150
100
50
0
200
300
250
Das von Ricker entwickelte Modell zählt zu den Standardmodellen zur Beschreibung von Populationsentwicklungen. Dennoch können die mithilfe der Reproduktionsfunktion berechneten
Werte mehr oder weniger stark von den beobachteten Werten abweichen.
Nehmen Sie den beobachteten durchschnittlichen Lachsbestand von 1 098 (im Zeitraum von
1908 bis 1911) als Ausgangswert, berechnen Sie damit für die jeweils vierjährigen Zeiträume
von 1912 bis 1923 die laut Reproduktionsfunktion zu erwartenden durchschnittlichen Lachsbestände im Skeena River und tragen Sie die Werte in die nachstehende Tabelle ein!
Zeitraum
berechneter Lachsbestand
(in tausend Lachsen)
01.01.1912 – 31.12.1915
01.01.1916 – 31.12.1919
01.01.1920 – 31.12.1923

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Aufgabe 4
Roulette
Roulette ist ein Glücksspiel, bei dem mittels einer Kugel eine natürliche Zahl aus dem Zahlenbereich von 0 bis 36 zufällig ausgewählt wird, wobei jede der 37 Zahlen bei jedem der voneinander
unabhängigen Spieldurchgänge mit derselben Wahrscheinlichkeit ausgewählt wird. Das Spielfeld
mit der Zahl Null ist grün gefärbt, die Hälfte der restlichen Zahlenfelder ist rot, die andere Hälfte
schwarz gefärbt.
Die nachstehende Tabelle zeigt eine Auswahl von Setzmöglichkeiten und die im Erfolgsfall ausbezahlten Gewinne. „35-facher Gewinn“ bedeutet zum Beispiel, dass bei einem gewonnenen Spiel
der Einsatz und zusätzlich der 35-fache Einsatz (also insgesamt der 36-fache Einsatz) ausbezahlt
wird.
Einzelzahl (von 0 bis 36) 35-facher Gewinn
Rot / Schwarz 1-facher Gewinn
Ungerade / Gerade (ohne Null) 1-facher Gewinn
Eine der bekanntesten Spielstrategien ist das Martingale-System. Man setzt dabei stets auf dieselbe „einfache Chance“ (z. B. auf „Rot“ oder „Gerade“). Falls man verliert, verdoppelt man den
Einsatz im darauffolgenden Spiel. Sollte man auch dieses Spiel verlieren, verdoppelt man den
Einsatz noch einmal für das nächstfolgende Spiel und setzt diese Strategie von Spiel zu Spiel
fort. Sobald man ein Spiel gewinnt, endet diese Spielserie, und man hat mit dieser Strategie den
Einsatz des ersten Spiels dieser Spielserie (Starteinsatz) als Gewinn erzielt.
Aufgabenstellung:
a) Die Zufallsvariable X beschreibt, wie oft die Kugel bei 80 Spielen auf eine bestimmte Zahl fällt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel bei 80 Spielen mindestens viermal auf
eine bestimmte Zahl fällt!
Ein Spieler möchte seine Gewinnchancen erhöhen und handelt wie folgt: Er notiert während
einer Serie von z. B. 37 Spielen, auf welche Zahlen die Kugel fällt. Weiters geht er davon aus,
dass die Kugel in den nachfolgenden Spielen auf die dabei nicht notierten Zahlen fällt, und
setzt auf diese Zahlen.
Geben Sie an, ob der Spieler mit dieser Strategie die Gewinnchancen erhöhen kann, und
begründen Sie Ihre Antwort!

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b) Eine Spielerin wendet das Martingale-System an und setzt immer auf „Rot“. Die Spielserie
endet, sobald die Spielerin gewinnt bzw. wenn der vom Casino festgelegte Höchsteinsatz von
€ 10.000 keine weitere Verdoppelung des Spieleinsatzes mehr erlaubt.
Die nachstehende Tabelle zeigt, wie schnell die Einsätze ausgehend von einem Starteinsatz
von € 10 bei einer Martingale-Spielserie im Falle einer „Pechsträhne“ ansteigen können.
Spielrunde Einsatz in €
1 10
2 20
3 40
4 80
5 160
6 320
7 640
8 1 280
9 2 560
10 5 120
A Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Spielerin bei dieser Martingale-Spielserie
alle zehn Spiele verliert!
Zeigen Sie durch die Berechnung des Erwartungswerts für den Gewinn, dass trotz der sehr
geringen Wahrscheinlichkeit, zehn aufeinanderfolgende Spiele zu verlieren, das beschriebene
Martingale-System ungünstig für die Spielerin ist!