Mathematik-Matura Mai 2018 · HTL Cluster T2 – Aufgaben

Name:
Klasse/Jahrgang:
BHS
9. Mai 2018
Angewandte Mathematik
HTL 2
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung

2

3
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Liebe Kandidatin! Lieber Kandidat!
Das vorliegende Aufgabenheft enthält 6 Teil-A-Aufgaben und 4 Teil-B-Aufgaben mit jeweils unterschiedlich
vielen Teil aufgaben. Die Teilaufgaben sind unabhängig voneinander bearbeitbar. Ihnen stehen insgesamt
270 Minuten an reiner Arbeitszeit für Teil A und Teil B zur Verfügung.
Verwenden Sie für die Bearbeitung einen nicht radierbaren, blau oder schwarz schreibenden Stift. Bei
Konstruktionsaufgaben ist auch die Verwendung eines Bleistifts möglich.
Verwenden Sie für die Bearbeitung ausschließlich das Aufgabenheft und die Ihnen zur Verfügung gestellten Antwortblätter. Schreiben Sie auf der ersten Seite des Aufgabenheftes Ihren Namen in das dafür
vorgesehene Feld und auf jedes Antwortblatt Ihren Schülercode. Geben Sie bei der Beantwortung jeder
Teilaufgabe deren Bezeichnung (z. B.: 3c) an.
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht durchgestrichen ist. Streichen Sie Notizen durch.
Die Verwendung von durch die Schulbuchaktion approbierten Formelheften bzw. von der Formelsammlung für die SRDP in Angewandter Mathematik und von elektronischen Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger
Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) ist erlaubt, sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwerke etc.) gegeben ist und keine Eigendaten
in die elektronischen Hilfsmittel implementiert sind. Handbücher zu den elektronischen Hilfsmitteln sind in
der Original-Druckversion oder in im elektronischen Hilfsmittel integrierter Form zulässig.
Abzugeben sind das Aufgabenheft und alle von Ihnen verwendeten Antwortblätter.
Handreichung für die Bearbeitung
– Jede Berechnung ist mit einem nachvollziehbaren Rechenansatz und einer nachvollziehbaren Dokumentation des Technologieeinsatzes (die verwendeten Ausgangsparameter und die
verwendete Technologiefunktion müssen angegeben werden) durchzuführen.
– Selbst gewählte Variablen sind zu erklären und gegebenenfalls mit Einheiten zu benennen.
– Ergebnisse sind eindeutig hervorzuheben.
– Ergebnisse sind mit entsprechenden Einheiten anzugeben.
– Werden Diagramme oder Skizzen als Lösungen erstellt, so sind die Achsen zu skalieren und
zu beschriften.
– Werden geometrische Skizzen erstellt, so sind die lösungsrelevanten Teile zu beschriften.
– Vermeiden Sie frühzeitiges Runden.
– Legen Sie allfällige Computerausdrucke der Lösung mit Ihrem Schülercode beschriftet bei.
– Wird eine Aufgabe mehrfach gerechnet, so sind alle Lösungswege bis auf einen zu streichen.
Es gilt folgender Beurteilungsschlüssel:
44–48 Punkte Sehr gut
39– 43 Punkte Gut
34– 38 Punkte Befriedigend
23–33 Punkte Genügend
0–22 Punkte Nicht genügend

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Erläuterung der Antwortformate
Die Teilaufgaben können folgende Antwortformate beinhalten: offenes Antwortformat , halboffenes Antwort
format, Konstruktionsformat, Zuordnungsformat und Multiple Choice Format in der Variante „1 aus 5“ .
Offenes Antwortformat: Beim offenen Antwortformat kann die Bearbeitung der Aufgaben auf unterschiedliche Weise erfolgen, z. B. durch eine Berechnung oder durch eine Erstellung einer Grafik.
Halboffenes Antwortformat: Beim halboffenen Antwortformat soll die korrekte Antwort in eine vorgegebene
Formel, Funktion etc. eingesetzt werden.
Beispiel:
Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b .
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A dieses Rechtecks.
A = ______________________
Konstruktionsformat: Ein Diagramm, eine Grafik oder eine Abbildung ist vorgegeben. Die Aufgabenstellung
erfordert die Ergänzung von Punkten und/oder Geraden und/oder Kurven und/oder Skalierungen bzw.
Achsenbeschriftungen im Diagramm, in der Grafik bzw. in der Abbildung.
Beispiel:
Gegeben ist eine lineare Funktion f mit f ( x ) = k · x + d.
– Zeichnen Sie den Graphen einer linearen Funktion mit k = –2 und d > 0 im nachstehenden
Koordinatensystem ein.
f ( x )
f
x
a · b

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Zuordnungsformat: Dieses Antwortformat ist durch mehrere Aussagen (bzw. Tabellen oder Abbildungen)
gekennzeichnet, denen mehrere Antwortmöglichkeiten gegenüberstehen. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses
Formats korrekt, indem Sie die richtigen Antwortmöglichkeiten durch Eintragen der entsprechenden Buch
staben den jeweils zutreffenden Aussagen zuordnen.
Beispiel:
– Ordnen Sie den zwei Gleichungen jeweils die
entsprechende Bezeichnung (aus A bis D) zu.
1 + 1 = 2 A
2 ∙ 2 = 4 C
A Addition
B Division
C Multiplikation
D Subtraktion
Multiple Choice Format in der Variante „1 aus 5“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und
fünf Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei eine Antwortmöglichkeit auszuwählen ist. Bearbeiten Sie
Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die zutreffende Antwortmöglichkeit ankreuzen.
Beispiel:
– Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an.
1 + 1 = 1 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 3 
4 + 5 = 8 
5 + 5 = 5 
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“ gewählt
und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen ein.
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“ übermalt
und dann wieder gewählt.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
Viel Erfolg!

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Aufgabe 1
Fallschirmsprung
Bei einem Fallschirmsprung wurde der zeitliche Verlauf der Geschwindigkeit eines Fallschirm
springers aufge zeichnet. Im nachstehenden Diagramm wird diese Geschwindigkeit für die
ersten 80 Sekunden nach dem Absprung veranschaulicht.
60
50
40
30
20
10
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Geschwindigkeit in m/s
Zeit nach dem Absprung in s
a) In den ersten Sekunden nach dem Absprung gilt für den Fallschirmspringer annähernd das
Fallgesetz:
s ( t ) =
g
2
· t
2
t ... Zeit nach dem Absprung in s
s ( t ) ... Fallstrecke zur Zeit t in m
g ... Erdbeschleunigung, g = 9,81 m/s
2
– Berechnen Sie mithilfe des Fallgesetzes die Geschwindigkeit des Fallschirmspringers
1,5 Sekunden nach dem Absprung. [1 Punkt]
b) 55 Sekunden nach dem Absprung zieht der Fallschirmspringer die Reißleine, der Fallschirm
öffnet sich.
– Schätzen Sie den Flächeninhalt zwischen der Geschwindigkeitskurve und der Zeitachse im
Intervall [0 s; 55 s] ab. [1 Punkt]
– Interpretieren Sie die Bedeutung dieses Flächeninhalts im gegebenen Sachzusammenhang
unter Angabe der entsprechenden Einheit. [1 Punkt]

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c) Der Höhenmesser des Fallschirmspringers zeigt 60 Sekunden nach dem Absprung eine
Meereshöhe von 1 300 Metern an. Ab dieser Meereshöhe sinkt der Fallschirmspringer jeweils
100 Meter in 14 Sekunden.
Dabei soll die Meereshöhe des Fallschirmspringers (in Metern) in Abhängigkeit von der Zeit t (in
Sekunden) durch eine Funktion h beschrieben werden.
– Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion h . Wählen Sie t = 0 für den Zeitpunkt 60 Sekunden
nach dem Absprung. [1 Punkt]
Der Fallschirmspringer landet auf einem Feld, das auf einer Meereshöhe von 350 Metern liegt.
– Berechnen Sie, wie lange der gesamte Fallschirmsprung (vom Absprung bis zur Landung)
dauert. [1 Punkt]

8
Aufgabe 2
Altenpflege
a) Katharina und Georg arbeiten als Pflegekräfte in einem Heim. Sie bekommen das gleiche monatliche Grundgehalt. Im Februar lag in diesem Heim ein besonderer Arbeitsbedarf vor. Georg
leistete 14 Überstunden, Katharina leistete 46 Überstunden. Ihr jeweiliges Gesamtentgelt setzt
sich aus dem Grundgehalt und der Abgeltung für die geleisteten Überstunden zusammen.
Jede Überstunde wird dabei gleich abgegolten.
Das Gesamtentgelt von Georg betrug im Februar € 2.617, jenes von Katharina betrug € 3.433.
– Ermitteln Sie das Grundgehalt und die Abgeltung für eine Überstunde. [1 Punkt]
b) Der Aufzug eines Pflegeheims hat eine rechteckige Grundfläche mit einer Länge von 4 m und
einer Breite von 2,8 m. Ein Pflegebett fährt auf beweglichen Rollen und hat die Außenmaße
2,4 m × 1,1 m (siehe nachstehende nicht maßstabgetreue Abbildung).
4 m
1,1 m
2,4 m
2,8 m
Bett
Aufzug-Innenraum von oben gesehen
– Überprüfen Sie nachweislich, ob der Aufzug breit genug ist, damit das Bett – wie oben skizziert – um 180° gedreht werden kann. [1 Punkt]

9
c) Die nachstehende Tabelle zeigt die Anzahl der Hausbesuche pro Jahr durch mobile Dienste
im Rahmen der Altenpflege in Oberösterreich sowie deren prozentuellen Anstieg jeweils im
Vergleich zur Anzahl 2 Jahre davor.
Jahr
Anzahl der Hausbesuche pro Jahr
prozentueller Anstieg
(gerundet)
1994 498 086
1996 589 168 18,3 %
1998 802 146 36,1 %
2000 1 017 793 26,9 %
2002 1 176 665 15,6 %
2004 1 360 543 15,6 %
Der prozentuelle Anstieg der Anzahl der Hausbesuche pro Jahr betrug sowohl von 2000 auf
2002 als auch von 2002 auf 2004 jeweils rund 15,6 %.
– Erklären Sie in Worten, warum sich die absolute Änderung der Anzahl der Hausbesuche pro
Jahr von 2000 auf 2002 von jener von 2002 auf 2004 unterscheidet, obwohl die prozentuellen Anstiege in den jeweiligen Zeitintervallen gleich sind. [1 Punkt]
– Interpretieren Sie das Ergebnis der Berechnung
1 360 543 – 498 086
2004 – 1994
≈ 86 246 im gegebenen Sachzusammenhang. [1 Punkt]
d) Eine Rampe der Länge x überwindet 3 Stufen. Jede Stufe hat die Höhe h und die Breite b .
b
b
b
h
h
h
x
α
y
– Kreuzen Sie die auf den dargestellten Sachverhalt zutreffende Formel an. [1 aus 5] [1 Punkt]
x =
2 · b
cos( α )
x =
3 · h · sin( α )
2 · b
x = (2 · b + y ) · tan( α )
x =
2 · b + y
cos( α )
x =
3 · h + sin( α )
2 · b

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Aufgabe 3
Die Genussformel
Der Physiker Werner Gruber erklärt in seinem Buch Die Genussformel (Salzburg: Ecowin,
2008) die kleinen chemischen und physikalischen Tricks der großen Köchinnen und Köche.
Dabei werden auch mathematische Zusammenhänge betrachtet.
a) In der Genussformel betrachtet Gruber den Genuss beim Essen als messbare Größe mit Werten von 0 (kein Genuss) bis 1 (maximaler Genuss). Für die Abhängigkeit des Genusses von
der Anzahl der Geschmacksrichtungen auf einem Teller gibt Gruber folgende Funktion G an:
G ( n ) = ℯ
–
( n – 3)
2
0,2746
n ... Anzahl der unterschiedlichen Geschmacksrichtungen auf dem Teller
G ( n ) ... Genuss bei n unterschiedlichen Geschmacksrichtungen auf dem Teller
– Ermitteln Sie diejenige Anzahl an unterschiedlichen Geschmacksrichtungen, bei der man
laut Gruber den maximalen Genuss hat. [1 Punkt]
b) Für die optimale Bratdauer einer Gans gibt Gruber folgende Werte an:
Masse der Gans
in Kilogramm
Bratdauer
in Minuten
2,0 104
3,0 136
3,8 159
– Zeigen Sie mithilfe des Differenzenquotienten, dass zwischen Masse und Bratdauer kein
exakter linearer Zusammenhang vorliegt. [1 Punkt]

11
c) Ein Ei einer bestimmten Größe wird gekocht. Der zeitliche Verlauf der Innen temperatur wird
mithilfe der Funktion T modelliert:
T ( t ) = 100 – 192 · ℯ
–
25 · t
81 mit t ≥ 3
t ... Kochzeit in min
T ( t ) ... Innentemperatur zur Zeit t in °C
– Berechnen Sie, nach welcher Kochzeit eine Innentemperatur von 84 °C erreicht wird.
[1 Punkt]
Die Potenz ℯ
–
25 · t
81 wird in Wurzelschreibweise und mit positiver Hochzahl dargestellt.
– Kreuzen Sie die zutreffende Darstellung an. [1 aus 5] [1 Punkt]
1
√ ℯ
25 · t 81
√ ℯ
25 · t 81
– √ ℯ
25 · t 81
– √ ℯ
81 · t 25
1
√ ℯ
81 · t
25

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Aufgabe 4
Pizzalieferdienst
Eine Pizzeria liefert Pizzen auf Bestellung aus. Die Kunden sollen möglichst schnell beliefert
werden, damit die Pizzen bei der Zustellung noch heiß sind.
a) Für 100 Pizzen wurden die Zustellzeiten erhoben und in 6 Klassen eingeteilt:
Klasse
Zustellzeit
in Minuten
Klassenmitte
absolute
Häufigkeit
1 [0; 10[ 5 4
2 [10; 20[ 15 48
3 [20; 30[ 25 27
4 [30; 40[ 35 11
5 [40; 50[ 45 5
6 [50; 60[ 55 5
– Geben Sie an, in welcher Klasse der Median der Zustellzeiten liegt. [1 Punkt]
Mithilfe der Klassenmitten können das arithmetische Mittel x und die Standardabweichung s
der Zustellzeiten näherungsweise berechnet werden.
Es gilt: x = 23 min
– Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, mit dem die zugehörige Standardabweichung s der
Zustellzeiten berechnet werden kann. [1 aus 5] [1 Punkt]
(5 – 23) + (15 – 23) + (25 – 23) + (35 – 23) + (45 – 23) + (55 – 23)
6
(5 – 23)
2
+ (15 – 23)
2
+ (25 – 23)
2
+ (35 – 23)
2
+ (45 – 23)
2
+ (55 – 23)
2
6
(5 – 23)
2
· 4 + (15 – 23)
2
· 48 + (25 – 23)
2
· 27 + (35 – 23)
2
· 11 + (45 – 23)
2
· 5 + (55 – 23)
2
· 5
6
(5 – 23)
2
· 4 + (15 – 23)
2
· 48 + (25 – 23)
2
· 27 + (35 – 23)
2
· 11 + (45 – 23)
2
· 5 + (55 – 23)
2
· 5
100
(4 – 23)
2
· 5 + (48 – 23)
2
· 15 + (27 – 23)
2
· 25 + (11 – 23)
2
· 35 + (5 – 23)
2
· 45 + (5 – 23)
2
· 55
100

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b) Bei einer statistischen Erhebung wurde die Temperatur der gelieferten Pizzen untersucht.
Die erhobenen Daten sind im folgenden Boxplot dargestellt:
Temperatur in °C
50 40 30 60
Es wird auf Basis dieses Boxplots behauptet: „Mindestens 80 % der gelieferten Pizzen haben
eine Temperatur von über 45 °C.“
– Argumentieren Sie anhand des obigen Boxplots, dass diese Behauptung falsch ist. [1 Punkt]
c) Die Masse der Pizzen ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 480 g.
In der nachstehenden Darstellung der Dichtefunktion ist diejenige Fläche markiert, die der
Wahrscheinlichkeit entspricht, dass die Masse einer zufällig ausgewählten Pizza zwischen
480 g und 520 g liegt.
560 540 520 500 480 460 440 420 400 380 580
0,4234
Masse in g
– Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Pizza eine Masse von mindestens 520 g hat. [1 Punkt]
– Skizzieren Sie in der obigen Abbildung den Graphen der Dichtefunktion einer Normalverteilung mit einem Erwartungswert von 520 g und einer kleineren Standardabweichung als jener
der gegebenen Dichtefunktion. [1 Punkt]

14
Aufgabe 5
Wahlmöglichkeiten beim Fliegen
a) Beim Buchen eines Fluges kann man zwischen der Economy Class (E) und der Business
Class (B) wählen. In jeder der beiden Klassen muss man entweder einen Fensterplatz (F),
einen Platz am Gang (G) oder einen Platz in der Mitte (M) wählen.
Erfahrungsgemäß wählen 90 % der Fluggäste die Economy Class, die übrigen 10 % wählen
die Business Class.
Von den Fluggästen der Business Class wünschen sich 80 % einen Fensterplatz und 10 %
einen Platz in der Mitte.
Von den Fluggästen der Economy Class wünschen sich 75 % einen Fensterplatz und 15 %
einen Platz am Gang.
– Vervollständigen Sie das nachstehende Baumdiagramm so, dass es den beschriebenen
Sachverhalt wiedergibt. [1 Punkt]
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein zufällig ausgewählter Fluggast einen
Fensterplatz wünscht. [1 Punkt]

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b) Auf einem Flug mit Verpflegung steht auch ein vegetarisches Gericht zur Auswahl. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fluggast das vegetarische Gericht wählt, beträgt p . Die Wahl jedes
Fluggastes wird unabhängig von jener der anderen Fluggäste getroffen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der insgesamt n Fluggäste das vegetarische
Gericht wählt, beträgt 99 %.
– Kreuzen Sie die für diesen Zusammenhang zutreffende Gleichung an. [1 aus 5] [1 Punkt]
1 – (1– p )
n
= 0,99
(1– p )
n
= 0,99
1 – (1– p )
n
= 0,01
1 – p
n
= 0,01
1 – p
n
= 0,99

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Aufgabe 6
Flussläufe und Pegelstände
a) Während eines Hochwassers wurde über den Zeitraum von einer Woche der Pegelstand
eines Flusses ermittelt. Den Messergebnissen zufolge kann der zeitliche Verlauf des Pegelstands näherungsweise durch die Funktion p beschrieben werden:
p ( t ) = –3,5 · 10
–6
· t
3
+ 6,3 · 10
–4
· t
2
– 0,011 · t + 7,661 mit 0 ≤ t ≤ 168
t ... Zeit in h
p ( t ) ... Pegelstand zur Zeit t in m
– Berechnen Sie die Abweichung des höchsten Pegelstands während des Hochwassers vom
„üblichen“ Pegelstand von 2,5 m. [1 Punkt]
Zur Zeit t 1 gilt: p ″ ( t 1 ) = 0
– Interpretieren Sie die Bedeutung von t 1 im gegebenen Sachzusammenhang. [1 Punkt]
b) Auf einem annähernd geradlinig verlaufenden Abschnitt eines Flusses soll das Flussbett verbreitert und vertieft werden. In der nachstehenden Abbildung ist das Flussbett im Querschnitt
dargestellt.
y in m
x in m
f
h
3 m
30 m
35 m
f ... Profillinie des ursprünglichen Flussbetts
h ... Profillinie des neuen Flussbetts
f und h sind Polynomfunktionen 2. Grades mit zur y -Achse symmetrischen Graphen.
Ein Teilstück des Flussbetts mit der Länge L (in m) wird ausgebaggert.
– Interpretieren Sie unter Angabe der entsprechenden Einheit, was mit dem folgenden Ausdruck im gegebenen Sachzusammenhang berechnet wird:
2 · |
∫
17,5
0
h ( x ) d x –
∫
15
0
f ( x ) d x
| ·
L [1 Punkt]
– Erstellen Sie mithilfe der obigen Abbildung eine Gleichung der Funktion h . [1 Punkt]

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Aufgabe 7 (Teil B)
Wings for Life World Run
a) Beim Wings for Life World Run starten alle Läufer/innen gleichzeitig. Eine halbe Stunde später
verlässt ein Verfolgerauto („Catcher-Car“) den Start und fährt den Läuferinnen und Läufern
nach. Die Teilnehmer/innen laufen jeweils so lange, bis sie vom Catcher-Car eingeholt werden.
Der vom Catcher-Car innerhalb der ersten 2,5 Stunden ab dem Start der Läufer/innen zurückgelegte Weg kann näherungsweise durch die folgende stückweise definierte Funktion s
beschrieben werden:
0 für t ≤ 0,5
s ( t ) =
{
für 0,5 < t ≤ 1,5
16 · t – 9 für 1,5 < t ≤ 2,5
t ... Zeit ab dem Start der Läufer/innen in h
s ( t ) ... der vom Catcher-Car zur Zeit t zurückgelegte Weg in km
Im Zeitintervall ]0,5; 1,5] fährt das Catcher-Car mit konstanter Geschwindigkeit.
– Ergänzen Sie die Weg-Zeit-Funktion für das Zeitintervall ]0,5; 1,5] in der gegebenen
Funktionsdefinition. [1 Punkt]
Die Geschwindigkeit eines bestimmten Läufers kann näherungsweise durch folgende
Funktion v beschrieben werden:
v ( t ) = –0,73 · t
2
+ 2,43 · t + 10
t ... Zeit ab dem Start des Läufers in h
v ( t ) ... Geschwindigkeit des Läufers zur Zeit t in km/h
Der Läufer wird im Zeitintervall ]1,5; 2,5] eingeholt.
– Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt, zu dem dieser Läufer vom Catcher-Car eingeholt wird.
[1 Punkt]

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b) Der zeitliche Verlauf der Herzfrequenz einer Läuferin kann näherungsweise durch eine
Funktion p beschrieben werden.
Der Graph von p ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt. Der Flächeninhalt des grau
markierten Rechtecks entspricht dem Inhalt der Fläche unter dem Funktionsgraphen von p im
Intervall [0; t
1
].
Herzfrequenz in Schlägen pro Minute
Zeit in Minuten
p
h
O t 1
– Interpretieren Sie die Bedeutung von h im gegebenen Sachzusammenhang. [1 Punkt]
– Erstellen Sie mithilfe der obigen Abbildung eine Formel zur Berechnung von h , wenn die
Funktion p bekannt ist.
h = [1 Punkt]

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c) Beim Laufen bewegt sich der Schwerpunkt des menschlichen Körpers in regelmäßigen Zeitabständen auf und ab.
Modellhaft kann der zeitliche Verlauf der Höhe des Schwerpunkts durch die Funktion h beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).
h ( t ) = 5 · sin(6 · π · t ) + 110
t ... Zeit in s
h ( t ) ... Höhe des Schwerpunkts über dem Boden zur Zeit t in cm
h ( t ) in cm
t in s
h
0
– Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehenen Kästchen ein. [1 Punkt]

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Aufgabe 8 (Teil B)
Sternbild Großer Wagen
Die Entfernungen zwischen Sternen können in Lichtjahren ange
geben werden.
Die nebenstehende Abbildung zeigt eine schematische Darstellung
des Sternbilds Großer Wagen .
a) Astronomen verwenden verschiedene Koordinatensysteme. In einem Koordinatensystem mit
der Erde im Koordinatenursprung O kann die Position eines Sterns S mithilfe der Winkel α
und δ sowie der Entfernung OS von der Erde angegeben werden (siehe nachstehende Abbildung).
S = ( xs | ys | zs )
z
y
x
O
xs
ys
zs
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Koordinate zS aus dem Winkel δ und der Entfernung OS .
zS = [1 Punkt]
– Ordnen Sie den Koordinaten xS und yS jeweils den zutreffenden Ausdruck aus A bis D zu.
[2 zu 4] [1 Punkt]
A OS · sin( α ) · sin( δ )
B OS · cos( α ) · sin( δ )
C OS · sin( α ) · cos( δ )
D OS · cos( α ) · cos( δ )
xS
=
yS
=

21
b) Alkaid und Dubhe sind zwei Sterne des Sternbilds Großer Wagen . Ihre Positionen können
mittels ihrer Koordinaten in Lichtjahren in Bezug auf ein bestimmtes kartesisches Koordinatensystem angegeben werden. Dabei befindet sich die Erde im Koordinatenursprung O .
Alkaid: A = (–60 | –31| 79)
Dubhe: D = (–57|14|109)
– Berechnen Sie den Winkel zwischen den Vektoren OA und OD . [1 Punkt]
– Ermitteln Sie die Entfernung der beiden Sterne voneinander. [1 Punkt]
c) In der nachstehenden Abbildung sind der Große Wagen und der Polarstern P in einem Koordinatensystem dargestellt.
y
x
×
P
S
2
S
1
O
×
×
×
× ×
×
×
Die Position des Polarsterns P kann nach folgender Faustregel bestimmt werden:
Der Polarstern P liegt auf der Geraden, die durch die Punkte S
1
und S
2
verläuft. Der Abstand
zwischen S
2
und P ist das 5-Fache der Länge der Strecke S
1
S
2
.
– Übertragen Sie die Faustregel mithilfe der Vektorrechnung in einen mathematischen Ausdruck zur Berechnung von P . [1 Punkt]
Es gilt: S
1
= (5,5 | 3,8) und S
2
= (5,0 | 4,4)
– Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P . [1 Punkt]

22
d) In der Astronomie wird als Maß für die Entfernung r eines Sterns von der Erde der sogenannte
Entfernungsmodul 5 · lg
(
r
10
)
verwendet.
– Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der nicht dem Entfernungsmodul entspricht. [1 aus 5]
[1 Punkt]
–5 · lg
(
10
r
)
–5 + lg( r
5
)
lg
((
r
10
)
5
)
5 · lg( r ) – lg(10)
5 · (lg( r ) – 1)

23
Aufgabe 9 (Teil B)
Bewegung eines Bootes
a) Die Bewegung eines Bootes wird durch folgende Differenzialgleichung beschrieben:
m ·
d v
d t
= – k · v
m … Masse des Bootes
v > 0 … Geschwindigkeit des Bootes
k > 0 … Konstante
t … Zeit
– Argumentieren Sie mathematisch anhand der Differenzialgleichung, dass die Geschwindigkeit mit zunehmender Zeit t abnimmt. [1 Punkt]
– Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung. [1 Punkt]
b) Ein Boot wird von einem Motorboot geschleppt. Zur Zeit t = 0 s wird das Schleppseil gelöst.
Die nachstehende Tabelle gibt die Geschwindigkeit des Bootes zu 4 verschiedenen Zeiten an.
Zeit in s 3 9 15 21
Geschwindigkeit in m/s 6,5 2,5 1,1 0,5
– Ermitteln Sie mithilfe der Daten aus der obigen Tabelle eine Gleichung der exponentiellen
Ausgleichsfunktion, die den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit des Bootes beschreibt.
[1 Punkt]
– Ermitteln Sie mit dieser Ausgleichsfunktion einen Schätzwert für die Geschwindigkeit des
Bootes zur Zeit t = 5 s. [1 Punkt]
c) Für einen bestimmten Zeitraum kann der zeitliche Verlauf der Geschwindigkeit eines anderen
Motorboots durch die Funktion v MB näherungsweise beschrieben werden:
v MB ( t ) = a + b · ( ℯ
–0,1 · t
– ℯ
– t
)
t ... Zeit
v MB ( t ) ... Geschwindigkeit des Motorboots zur Zeit t
a , b ... positive Konstante
– Argumentieren Sie mathematisch, dass die Gerade mit der Gleichung v = a eine
Asymptote dieser Funktion ist. [1 Punkt]

24
Aufgabe 10 (Teil B)
Durchmesser einer Stahlwelle
Ein Unternehmen stellt auf computergesteuerten Dreh maschinen Stahlwellen für Elektro
motoren in Massenproduktion her.
a) Bei Maschine A sind die Durchmesser der hergestellten Stahlwellen annähernd normalverteilt
mit dem Erwartungswert μ = 10,00 mm. In der nachstehenden Abbildung 1 ist der Graph der
zugehörigen Dichtefunktion dargestellt.
Abbildung 1:
Durchmesser in mm
Durchmesser in mm
Wahrscheinlichkeit
10,04 10,02 10,00 9,98 9,96 9,94 9,92 10,06
1
0,5
0
10,04 10,02 10,00 9,98 9,96 9,94 9,92 10,06
Abbildung 2:
Durchmesser in mm
Durchmesser in mm
Wahrscheinlichkeit
10,04 10,02 10,00 9,98 9,96 9,94 9,92 10,06
1
0,5
0
10,04 10,02 10,00 9,98 9,96 9,94 9,92 10,06
– Skizzieren Sie in der obigen Abbildung 2 den Graphen der zugehörigen Verteilungsfunktion.
[1 Punkt]
– Veranschaulichen Sie mithilfe der Verteilungsfunktion in Abbildung 2 die Wahrscheinlichkeit,
dass eine zufällig ausgewählte Stahlwelle einen Durchmesser von mindestens 10,02 mm
hat. [1 Punkt]

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b) Bei Maschine B sind die Durchmesser der hergestellten Stahlwellen annähernd normalverteilt
mit der Standardabweichung σ = 0,02 mm. Ein Durchmesser von 9,97 mm wird von 0,1 %
der Stahlwellen unterschritten.
– Ermitteln Sie den zugehörigen Erwartungswert μ . [1 Punkt]
c) Bei Maschine C sind die Durchmesser der hergestellten Stahlwellen annähernd normalverteilt
mit dem Erwartungswert μ = 10,00 mm und der Standardabweichung σ = 0,03 mm.
Im Rahmen der Qualitätssicherung werden Stichproben vom Umfang n untersucht.
– Berechnen Sie für n = 30 den zum Erwartungswert symmetrischen Zufallsstreubereich, in
dem erwartungsgemäß 99 % aller Stichprobenmittelwerte liegen. [1 Punkt]
– Geben Sie an, um welchen Faktor sich der Stichprobenumfang ändern muss, damit sich die
Breite des 99-%-Zufallsstreubereichs halbiert. [1 Punkt]

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