Mathematik-Matura Mai 2018 · HTL Cluster T1 – Lösungen

BHS
9. Mai 2018
Angewandte Mathematik
HTL 1
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung

2
Korrektur- und Beurteilungsanleitung
(Detaillierte Informationen dazu finden Sie im entsprechenden Erlass zur Beurteilung, der auf der
Website https://ablauf.srdp.at/ abrufbar ist.)
Kompetenzbereiche
n Kompetenzbereich A ( KA ) umfasst die unabhängig
1
erreichbaren Punkte der Komplexitätsstufen 1 und 2 aus dem Kompetenzstufenraster.
n Kompetenzbereich B ( KB ) umfasst die abhängig erreichbaren Punkte und die Punkte der
Komplexitätsstufen 3 und 4 aus dem Kompetenzstufenraster.
Die Summe der unabhängig erreichbaren Punkte aus den Komplexitätsstufen 1 und 2 ( KA ) stellt die
„wesentlichen Bereiche“ eines Klausurheftes dar.
Beurteilung
Als Hilfsmittel für die Beurteilung wird ein auf ein Punktesystem basierender Beurteilungsschlüssel angegeben. Je nach gewichteter Schwierigkeit der vergebenen Punkte in den „wesentlichen
Bereichen“ wird festgelegt, ab wann die „wesentlichen Bereiche überwiegend“ (Genügend) erfüllt
sind, d. h., gemäß einem Punkteschema müssen Punkte aus dem Kompetenzbereich A unter Einbeziehung von Punkten aus dem Kompetenzbereich B in ausreichender Anzahl abhängig von der
Zusammenstellung der Klausurhefte gelöst werden. Darauf aufbauend wird die für die übrigen Notenstufen zu erreichende Punktezahl festgelegt.
Nach der Punkteermittlung soll die Arbeit der Kandidatin / des Kandidaten nochmals ganzheitlich
qualitativ betrachtet werden. Unter Zuhilfenahme des Punkteschemas und der ganzheitlichen Betrachtung ist von der Prüferin / vom Prüfer ein verbal begründeter Beurteilungsvorschlag zu erstellen,
wobei die Ergebnisse der Kompetenzbereiche A und B in der Argumentation zu verwenden sind.
Beurteilungsschlüssel für die vorliegende Klausur:
44–48 Punkte Sehr gut
39–43 Punkte Gut
34–38 Punkte Befriedigend
23–33 Punkte Genügend
0–22 Punkte Nicht genügend
1
Unabhängige Punkte sind solche, für die keine mathematische Vorleistung erbracht werden muss. Als mathematische Vorleistung gilt z. B. das Aufstellen einer Gleichung (unabhängiger Punkt) mit anschließender Berechnung (abhängiger Punkt).

3
Handreichung zur Korrektur
1. In der Lösungserwartung ist nur ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen.
2. Der Lösungsschlüssel ist unter Beachtung folgender Vorgangsweisen verbindlich anzuwenden:
a. Punkte sind nur zu vergeben, wenn die abgefragte Handlungskompetenz in der Bearbeitung vollständig erfüllt ist.
b. Berechnungen ohne nachvollziehbaren Rechenansatz bzw. ohne nachvollziehbare Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete Ausgangsparameter und die verwendete
Technologiefunktion müssen angegeben sein) sind mit null Punkten zu bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen bzw. Lösungswege von der Kandidatin / vom
Kandidaten angeboten und nicht alle diese Lösungen bzw. Lösungswege sind korrekt, so
ist diese Teilaufgabe mit null Punkten zu bewerten.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Das heißt zum Beispiel:
Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in einem
Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel
Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als solche
identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner Vereinfachung
der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler können vernachlässigt werden, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert ist.
h. Jedes Diagramm bzw. jede Skizze, die Lösung einer Handlungsanweisung ist, muss eine
qualitative Achsenbeschriftung enthalten, andernfalls ist dies mit null Punkten zu bewerten.
i. Die Angabe von Einheiten kann bei der Punktevergabe vernachlässigt werden, sofern sie im
Lösungsschlüssel nicht explizit eingefordert wird.

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Aufgabe 1
Fallschirmsprung
Möglicher Lösungsweg
a) s ′ ( t ) = v ( t ) = g ∙ t
v (1,5) = 9,81 ∙ 1,5 = 14,715
Gemäß dem Fallgesetz beträgt die Geschwindigkeit 1,5 Sekunden nach dem Absprung
rund 14,72 m/s.
b) Näherungsweises Ermitteln des Flächeninhalts durch Dreiecke und Vierecke:
Geschwindigkeit in m/s
Zeit nach dem Absprung in s
60
50
40
30
20
10
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80
A ≈
36 ∙ 5
2
+
(53 + 36) ∙ 5
2
+ 53 ∙ 45 = 2 697,5
Toleranzbereich: [2 400; 2 900]
Der Flächeninhalt entspricht der Fallstrecke in den ersten 55 Sekunden in Metern.
c) h ( t ) = 1 300 –
100
14
∙ t
t ... Zeit in s
h ( t ) ... Meereshöhe des Fallschirmspringers zur Zeit t in m
350 = 1 300 –
100
14
∙ t ⇒ t = 133
133 + 60 = 193
Der Fallschirmsprung dauert vom Absprung bis zur Landung insgesamt 193 Sekunden.

5
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für die richtige Berechnung der Geschwindigkeit mithilfe des Fallgesetzes (KA)
b) 1 × B: für das richtige Abschätzen des Flächeninhalts im Toleranzbereich [2 400; 2 900] (KA)
1 × C: für die richtige Interpretation im gegebenen Sachzusammenhang unter Angabe der
Einheit (KB)
c) 1 × A: für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung der insgesamten Dauer des Fallschirmsprungs (KB)

6
Aufgabe 2
Altenpflege
Möglicher Lösungsweg
a) x ... Grundgehalt in €
y ... Abgeltung für eine Überstunde in €
x + 14 ∙ y = 2 617
x + 46 ∙ y = 3 433
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
x = 2 260, y = 25,50
Das Grundgehalt beträgt € 2.260, die Abgeltung für eine Überstunde € 25,50.
b) Länge der Diagonalen des Bettes d :
d =

1,1
2
+ 2,4
2
= 2,640...
Die Länge der Diagonalen beträgt rund 2,64 m. Da die Diagonale kürzer als die Liftbreite ist,
kann das Bett im Lift um 180° gedreht werden.
c) Die absolute Änderung der Anzahl der Hausbesuche pro Jahr unterscheidet sich, da verschiedene Grundwerte für die Berechnung der prozentuellen Anstiege herangezogen werden.
Die Anzahl der Hausbesuche pro Jahr ist im Zeitintervall von 1994 bis 2004 durchschnittlich
um rund 86 246 pro Jahr gestiegen.
d)
x =
2 · b + y
cos( α )

7
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für das richtige Ermitteln des Grundgehalts und der Abgeltung für eine Überstunde (KA)
b) 1 × D: für den richtigen Nachweis (KA)
c) 1 × D: für die richtige Erklärung (Ein Nachweis, dass die absoluten Änderungen nicht gleich
sind, ist für die Punktevergabe nicht ausreichend.) (KA)
1 × C: für die richtige Interpretation des Ergebnisses der Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang (KB)
d) 1 × A: für das richtige Ankreuzen (KA)

8
Aufgabe 3
Die Genussformel
Möglicher Lösungsweg
a) G ( n ) = 1:
ℯ
–
( n – 3)
2
0,2746 = 1 ⇒ n = 3
b) Für die jeweiligen Differenzenquotienten gilt:
136 – 104
3,0 – 2,0
= 32 bzw.
159 – 136
3,8 – 3,0
= 28,75 bzw.
159 – 104
3,8 – 2,0
= 30,55...
Es liegt kein linearer Zusammenhang vor, weil die Differenzenquotienten nicht gleich sind.
Für die Punktevergabe ist es nicht erforderlich, alle 3 angegebenen Differenzenquotienten zu
ermitteln.
c) 84 = 100 – 192 ∙ ℯ
–
25 · t
81
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t = 8,0...
Nach etwa 8 Minuten hat das Ei eine Innentemperatur von 84 °C.
1
√ ℯ
25 · t 81
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Ermitteln der Anzahl an unterschiedlichen Geschmacksrichtungen für
maximalen Genuss (KA)
b) 1 × D: für den richtigen Nachweis mithilfe des Differenzenquotienten (KB)
c) 1 × B: für die richtige Berechnung der Kochzeit (KA)
1 × C: für das richtige Ankreuzen (KA)

9
Aufgabe 4
Pizzalieferdienst
Möglicher Lösungsweg
a) Der Median liegt in der Klasse 2.
(5 – 23)
2
· 4 + (15 – 23)
2
· 48 + (25 – 23)
2
· 27 + (35 – 23)
2
· 11 + (45 – 23)
2
· 5 + (55 – 23)
2
· 5
100
b) Es gilt, dass mindestens 25 % der Werte kleiner oder gleich q 1 = 41 °C sind. Daher können
nicht mindestens 80 % der gelieferten Pizzen eine Temperatur von über 45 °C haben.
c) Wegen der Symmetrie der Glockenkurve gilt:
P ( X ≥ 520) = 0,5 – 0,4234 = 0,0766
X ... Masse in g
560 540 520 500 480 460 440 420 400 380 580
0,4234
Masse in g
Lösungsschlüssel
a) 1 × C1: für die richtige Angabe derjenigen Klasse, in der der Median liegt (KA)
1 × C2: für das richtige Ankreuzen (KA)
b) 1 × D: für die richtige Argumentation (KB)
c) 1 × B: für das richtige Ermitteln der Wahrscheinlichkeit (KA)
1 × A: für das richtige Skizzieren des Graphen der Dichtefunktion (Maximumstelle bei 520 g,
Glockenkurve höher und schmäler als in der gegebenen Darstellung) (KA)

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Aufgabe 5
Wahlmöglichkeiten beim Fliegen
Möglicher Lösungsweg
a)
0,9 0,1
B E
0,10 0,75 0,1 0,8
0,1 0,15
F G M F G M
P („Fensterplatz“) = 0,1 · 0,8 + 0,9 · 0,75 = 0,755
b)
1 – (1– p )
n
= 0,99
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Vervollständigen des Baumdiagramms (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit (KB)
b) 1 × C: für das richtige Ankreuzen (KB)

11
Aufgabe 6
Flussläufe und Pegelstände
Möglicher Lösungsweg
a) Berechnung des Hochpunkts H von p im gegebenen Intervall mittels Technologieeinsatz:
p ′ ( t ) = 0 ⇒ H = (110,52... | 9,41...)
Abweichung: 9,41... − 2,5 = 6,91...
Die Abweichung betrug rund 6,9 m.
Zur Zeit t 1 ist der Pegelstand am stärksten gestiegen.
b) Mit dem Ausdruck wird das Volumen des dabei anfallenden Aushubs in m
3
berechnet.
h ( x ) = a ∙ x
2
+ b
h (0) = –3
h (17,5) = 0
oder:
–3 = a ∙ 0
2
+ b
0 = a ∙ 17,5
2
+ b
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
h ( x ) =
12
1 225
∙ x
2
– 3
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für die richtige Berechnung der Abweichung des höchsten Pegelstands vom „üblichen“
Pegelstand (KA)
1 × C: für die richtige Interpretation im gegebenen Sachzusammenhang (KA)
b) 1 × C: für die richtige Interpretation im gegebenen Sachzusammenhang unter Angabe der
Einheit (KA)
1 × A: für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung (KA)

12
Aufgabe 7 (Teil B)
Abrissbirnen
Möglicher Lösungsweg
a) V =
4 · r
3
· π
3
; V =
m
ϱ
⇒ r =
3 · m
4 · π · ϱ

3
⇒ d =
6 · m
π · ϱ

3
oder d = 2 ∙
3 · m
4 · π · ϱ

3
d neu ... Durchmesser bei doppelter Masse
d neu =
6 · 2 ∙ m
π · ϱ

3
=

3
2 ·
6 · m
π · ϱ

3
=

3
2 · d ≈ 1,26 · d
= d
Der Durchmesser ist daher um rund 26 % (also um rund ein Viertel) zu vergrößern.
b) f ( x ) = a · x
4
+ b · x
3
+ c · x
2
+ d · x + e
f ′ ( x ) = 4 · a · x
3
+ 3 · b · x
2
+ 2 · c · x + d
I : f (0) = 0
II : f (1,1) = 2,2
III : f (9,4) = 5,1
IV : f (12) = 0
V : f ′ (9,4) = 0
oder:
I : a · 0
4
+ b · 0
3
+ c · 0
2
+ d · 0 + e = 0
II : a · 1,1
4
+ b · 1,1
3
+ c · 1,1
2
+ d · 1,1 + e = 2,2
III : a · 9,4
4
+ b · 9,4
3
+ c · 9,4
2
+ d · 9,4 + e = 5,1
IV : a · 12
4
+ b · 12
3
+ c · 12
2
+ d · 12 + e = 0
V : 4 · a · 9,4
3
+ 3 · b · 9,4
2
+ 2 · c · 9,4 + d = 0
Berechnung der Koeffizienten mittels Technologieeinsatz:
a = –0,0066...
b = 0,1461...
c = –1,0476...
d = 2,9843...
e = 0
c) Berechnung der Nullstelle b mittels Technologieeinsatz: b = 14,0...
π ·
∫
b
a
( g ( x ))
2
d x = 10
Berechnung der Stelle a mittels Technologieeinsatz: a = 12,7...

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Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel (KA)
1 × D: für den richtigen Nachweis (KB)
b) 1 × A1: für das richtige Erstellen der Gleichungen mithilfe der Koordinaten der Punkte (KA)
1 × A2: für das richtige Erstellen der Gleichung mithilfe der 1. Ableitung (KA)
1 × B: für das richtige Ermitteln der Koeffizienten (KB)
c) 1 × B1: für die richtige Berechnung der Nullstelle b (KA)
1 × B2: für die richtige Berechnung der Stelle a (KB)

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Aufgabe 8 (Teil B)
Sternbild Großer Wagen
Möglicher Lösungsweg
a) zS = OS · sin( δ )
A OS · sin( α ) · sin( δ )
B OS · cos( α ) · sin( δ )
C OS · sin( α ) · cos( δ )
D OS · cos( α ) · cos( δ )
xS
= D
yS = C
b) S 2 + 5 ∙ S 1 S 2 oder OS 2 + 5 ∙ S 1 S 2
( )
5,0
4,4
+ 5 ∙
( )
–0,5
0,6
=
( )
2,5
7,4
P = (2,5 | 7,4)
c)
5 · lg( r ) – lg(10)
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel (KA)
1 × C: für die richtige Zuordnung (KA)
b) 1 × A: für das richtige Übertragen der Faustregel in einen mathematischen Ausdruck (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung der Koordinaten des Punktes P (KB)
c) 1 × C: für das richtige Ankreuzen (KA)

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Aufgabe 9 (Teil B)
Durchmesser einer Stahlwelle
Möglicher Lösungsweg
a)
Durchmesser in mm
Wahrscheinlichkeit
10,04 10,02 10,00 9,98 9,96 9,94 9,92 10,06
1
0,5
0
Die Länge dieser Strecke
entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass der Durchmesser mindestens
10,02 mm beträgt.
b) X ... Durchmesser in mm
P ( X ≤ 9,97) = 0,001
Berechnung von μ mittels Technologieeinsatz:
μ = 10,031... mm ≈ 10,03 mm
c) μ = 10,00 mm und
σ

n
=
0,03

30
mm
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
[9,985...; 10,014...]
Eine Halbierung der Breite erfordert, dass der Stichprobenumfang mit dem Faktor 4 multipliziert wird.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A1: für das richtige Skizzieren des Graphen der Verteilungsfunktion in Abbildung 2
(charakteristischer Funktionsverlauf und Funktionswert an der Stelle μ richtig eingezeichnet) (KA)
1 × A2: für die richtige Veranschaulichung der Wahrscheinlichkeit in Abbildung 2 (KB)
b) 1 × B: für das richtige Ermitteln des Erwartungswerts μ (KA)
c) 1 × B: für die richtige Berechnung des Zufallsstreubereichs (KA)
1 × C: für die richtige Angabe des Faktors (KA)

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Aufgabe 10 (Teil B)
Smartphones
Möglicher Lösungsweg
a) Mit beliebig groß werdendem t geht ℯ
– λ ∙ t
gegen null, und damit geht 100 – 85 ∙ ℯ
– λ ∙ t
gegen
100.
80 = 100 – 85 ∙ ℯ
– λ ∙ 2
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
λ = 0,72345...
90 = 100 – 85 ∙ ℯ
– 0,72345... ∙ t
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t = 2,9...
Nach etwa 3 Stunden ist ein Ladestand von 90 % erreicht.
b) S (10) =
1 918
1 + 4,84 · ℯ
–0,54 · 10
= 1 876,9...
Gemäß diesem Modell werden bis zum Beginn des Jahres 2020 rund 1 877 Millionen Smartphones verkauft.
t = 2,9 ist die Wendestelle der Funktion S .
oder:
t = 2,9 ist die Stelle maximalen Wachstums von S .
Lösungsschlüssel
a) 1 × D: für die richtige mathematische Argumentation (KB)
1 × B1: für die richtige Berechnung von λ (KA)
1 × B2: für die richtige Berechnung des Zeitpunkts (KB)
b) 1 × B: für das richtige Ermitteln des Funktionswerts (KA)
1 × C: für die richtige Beschreibung der Bedeutung der Stelle t = 2,9 in Bezug auf die
Funktion S (KA)