Mathematik-Matura Mai 2018 · AHS Teil 2 – Lösungen

AHS
9. Mai 2018
Mathematik
Teil-2-Aufgaben
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung

2
Aufgabe 1
Eigenschaften einer Polynomfunktion dritten Grades
a) Lösungserwartung:
Mögliche Begründung:
Berechnung der Nullstellen: a ∙ x
3
+ b ∙ x = x ∙ ( a ∙ x
2
+ b ) = 0
Eine Nullstelle ist daher x
1
= 0.
Berechnung weiterer Nullstellen: a ∙ x
2
+ b = 0 ⇒ x
2
= –
b
a
Wenn die Koeffizienten a und b unterschiedliche Vorzeichen haben, dann gilt: –
b
a
> 0.
Damit hat diese Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen und die Funktion f hat insgesamt drei verschiedene Nullstellen.
Mögliche Begründung:
Der Wert der Steigung der Tangente an den Graphen von f an einer Stelle x entspricht dem
Wert f ′ ( x ).
f ′ ( x ) = 3 ∙ a ∙ x
2
+ b ⇒ f ′ (0) = b
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für eine korrekte Begründung. Andere korrekte Begründungen sind ebenfalls als
richtig zu werten.
– Ein Ausgleichspunkt für eine korrekte Begründung. Andere korrekte Begründungen sind
ebenfalls als richtig zu werten.

3
b) Lösungserwartung:
Mögliche Vorgehensweise:
∫
1
0
( a ∙ x
3
+ b ∙ x ) d x =
(
a ∙
x
4
4
+ b ∙
x
2
2
) |
1
0
= 0 ⇒ a = –2 · b
Mögliche Begründung:
Das bestimmte Integral liefert die Summe der orientierten Flächeninhalte, die vom Graphen
von f und von der x -Achse begrenzt werden. Hätte f keine Nullstelle im Intervall (0; 1),
dann würde der Graph von f in diesem Intervall entweder zur Gänze oberhalb der x -Achse
(mit f ( x ) > 0 für alle x ∈ (0; 1)) oder zur Gänze unterhalb der x -Achse (mit f ( x ) < 0 für alle
x ∈ (0; 1)) verlaufen. Somit wäre das bestimmte Integral von f im Intervall (0; 1) entweder
größer oder kleiner null, aber keinesfalls gleich null.
Möglicher Graph von f :
f ( x )
x
f
0 2 1 –1 –2
–2
–3
–1
1
0
2
–4
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für eine korrekte Beziehung zwischen a und b .
– Ein Punkt für eine korrekte Begründung und eine Skizze eines möglichen Graphen von f .
Andere korrekte Begründungen sind ebenfalls als richtig zu werten.

4
Aufgabe 2
Hopfen
a) Lösungserwartung:
möglicher Ausdruck: h ( t
1
) – h (0)
h (10) – h (0) ≈ 6,45
Die Pflanze ist in den ersten 10 Wochen um ca. 6,45 m gewachsen.
Die mit der Modellfunktion h berechnete Zunahme der Höhe der Pflanze im Zeitintervall [0; 10]
ist um ca. 0,8 % größer als die in diesem Zeitintervall tatsächlich beobachtete Zunahme
(6,4 m).
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für einen korrekten Ausdruck. Andere korrekte Ausdrücke sind ebenfalls als richtig zu werten.
– Ein Punkt für die Angabe des richtigen Wertes und der richtigen prozentuellen Abweichung.
Toleranzintervall für den Wert: [6,4 m; 6,5 m]
b) Lösungserwartung:
Mögliche Gleichung:
h ″ ( t ) = 0 ⇒ t
2
t
2
≈ 5,9 Wochen
h ′ ( t
2
) ≈ 0,92
Die maximale Wachstumsgeschwindigkeit beträgt ca. 0,92 Meter pro Woche.
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 12
2
1
0
3
g ( t ) in Metern pro Woche
g
t in Wochen
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für eine korrekte Gleichung und die Angabe des richtigen Zeitpunkts, wobei die
Einheit „Wochen“ nicht angeführt sein muss.
Toleranzintervall: [5,4 Wochen; 6,3 Wochen]
– Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „Meter pro Woche“ nicht angeführt sein
muss, und eine korrekte Skizze des Graphen von g .
Toleranzintervall: [0,90 Meter pro Woche; 1 Meter pro Woche]

5
c) Lösungserwartung:
Mögliche Funktionsgleichung von h
1
:
h
1
( t ) = 0,583
∙
∙ t + 0,6
Mögliche Interpretation:
Die Pflanze wächst in den ersten 12 Wochen durchschnittlich um ca. 58 cm pro Woche.
Mögliche Begründung:
Die Steigung von h ist anfangs kleiner als jene von h
1
, dann größer und dann wieder kleiner.
Es gibt daher mindestens zwei Zeitpunkte, in denen sie gleich ist.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für eine korrekte Funktionsgleichung und eine korrekte Interpretation unter Verwendung korrekter Einheiten. Äquivalente Funktionsgleichungen sind als richtig zu werten.
Toleranzintervall für die Steigung: [0,58; 0,59]
– Ein Punkt für eine korrekte Begründung. Andere korrekte Begründungen sind ebenfalls als
richtig zu werten.
d) Lösungserwartung:
Möglicher Nachweis:
Für alle k < 0 gilt:
t → ∞
lim ℯ
k ∙ t
= 0 ⇒
t → ∞
lim h ( t ) =
a
1 + b ∙ 0
= a , also ist h
max
unabhängig von k .
h
max
= a
Für das beschriebene Pflanzenwachstum muss a vergrößert und k verkleinert werden.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für einen korrekten rechnerischen Nachweis und die richtige Lösung.
Andere korrekte rechnerische Nachweise sind ebenfalls als richtig zu werten.
– Ein Punkt für eine korrekte Beschreibung der Veränderung der beiden Werte von a und k .

6
Aufgabe 3
Abstandsmessung
a) Lösungserwartung:
q
1
= 0,9
q
3
= 2,1
Etwa die Hälfte der kontrollierten Fahrzeuge halten einen Tiefenabstand von mindestens
0,9 Sekunden und höchstens 2,1 Sekunden ein.
Die im Kastenschaubild dargestellten Daten bestätigen in etwa diese Erfahrungswerte.
Mögliche Begründung:
130 km/h = 36,1
∙
m/s
36,1
∙
m/s ∙ 0,9 s = 32,5 m ⇒ Mindestens drei Viertel der Kraftfahrer/innen halten einen Abstand von 30 m und mehr ein.
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für die Angabe der beiden richtigen Werte und eine (sinngemäß) korrekte
Deutung.
– Ein Punkt für eine korrekte Entscheidung und eine korrekte Begründung. Andere korrekte
Begründungen sind ebenfalls als richtig zu werten.
b) Lösungserwartung:
ein möglicher größerer Prozentsatz: 25 %
Mögliche Begründung:
Der Tiefenabstand von zwei Sekunden liegt zwischen dem Median und dem dritten Quartil.
Mögliche Vorgehensweise:
Zufallsvariable X = Anzahl der Kraftfahrlenker/innen, die den empfohlenen Mindestabstand
eingehalten haben
p = 0,25 ... Wahrscheinlichkeit, dass der empfohlene Mindestabstand eingehalten wurde
n = 10 ... Anzahl der ausgewählten Messungen
P ( X ≥ 6) ≈ 0,0197
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die Angabe eines richtigen Wertes und eine korrekte Begründung. Andere
korrekte Begründungen sind ebenfalls als richtig zu werten.
Toleranzintervall: (20 %; 25 %]
– Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Lösung für den von der Kandidatin / vom Kandidaten gewählten Wert richtig sein muss. Andere Schreibweisen des Ergebnisses sind
ebenfalls als richtig zu werten.

7
c) Lösungserwartung:
Fahrzeug A fährt mit einer Geschwindigkeit von 120 km/h.
s
A
( t ), s
B
( t ) in m
t in s
s
A
s
B
8 7 6 5 4 3 2 1 0 9
250
200
150
100
50
0
300
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung und eine korrekte Darstellung von s
A
.
– Ein Punkt für eine korrekte Skizze eines möglichen Graphen von s
B
.

8
Aufgabe 4
Bitcoin
a) Lösungserwartung:
Monat: August
Kursverlust: ≈ € 55
K
2
– K
1
AT
≈ –1,8
Mögliche Interpretation:
Im August 2015 betrug die durchschnittliche Kursänderung pro Tag ca. € –1,8.
oder:
Im August 2015 betrug der durchschnittliche Kursverlust pro Tag ca. € 1,8.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die Angabe des richtigen Monats sowie des korrekten Wertes für den
Kursverlust.
Toleranzintervall: [€ 50; € 70]
– Ein Punkt für die richtige Lösung und eine korrekte Interpretation.
Toleranzintervall: [–2,3; –1,5] bzw. [1,5; 2,3]
b) Lösungserwartung:
f (8) – f (7)
f (7)
≈ 0,065
Mögliche Interpretation:
Die Anzahl der im Umlauf befindlichen Bitcoins nimmt im Zeitraum von Anfang Jänner 2016
bis Anfang Jänner 2017 um ca. 6,5 % zu.
Mögliche Gleichung:
f ( t ) = 20 ∙ 10
6
Lösung der Gleichung: t ≈ 17
Ungefähr Anfang Jänner 2026 kann nur mehr 1 Million Bitcoins in Umlauf gebracht werden.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung und eine korrekte Interpretation.
Toleranzintervall: [0,06; 0,07] bzw. [6 %; 7 %]
– Ein Punkt für eine korrekte Gleichung und die richtige Lösung. Andere korrekte Gleichungen
sind ebenfalls als richtig zu werten.
Toleranzintervall [16; 17] bzw. [2025; 2026]

9
c) Lösungserwartung:
n = 171 h ≈ 0,807
0,807 ± 1,96 ·
0,807 ∙ (1 – 0,807)
171

≈ 0,807 ± 0,059 ⇒ [0,748; 0,866]
Mögliche Vorgehensweise:
0,880 –
138
171
≈ 0,073
0,073 ≤ z ∙
0,807 ∙ (1 – 0,807)
171

⇒ z ≥ 2,418
2 · Φ (2,418) – 1 ≈ 0,984
Das Konfidenzniveau muss mindestens 98,4 % betragen.
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für ein korrektes Intervall. Andere Schreibweisen des Ergebnisses sind
ebenfalls als richtig zu werten.
Toleranzintervall für den unteren Wert: [0,74; 0,75]
Toleranzintervall für den oberen Wert: [0,86; 0,87]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das
Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
– Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [0,98; 0,99] bzw. [98 %; 99 %]