Mathematik-Matura Mai 2018 · AHS Teil 2 – Aufgaben

AHS
9. Mai 2018
Mathematik
Teil-2-Aufgaben
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
Name:
Klasse:

2
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat!
Das vorliegende Aufgabenheft zu Teil 2 enthält vier Aufgaben mit je zwei bis vier Teilaufgaben, wobei alle Teilaufgaben unabhängig voneinander bearbeitbar sind. Ihnen stehen dafür insgesamt 150 Minuten an reiner Arbeitszeit zur Verfügung.
Verwenden Sie einen nicht radierbaren, blau oder schwarz schreibenden Stift! Bei Konstruktionsaufgaben ist
auch die Verwendung eines Bleistifts möglich.
Verwenden Sie zur Bearbeitung dieser Aufgaben dieses Aufgabenheft und die Ihnen zur Verfügung gestellten
Blätter! Schreiben Sie Ihren Namen auf der ersten Seite des Aufgabenheftes in das dafür vorgesehene Feld und
auf jedes verwendete Blatt! Geben Sie bei der Beantwortung jeder Teilaufgabe deren Bezeichnung an!
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht durchgestrichen ist. Die Lösung muss dabei klar ersichtlich
sein. Wenn die Lösung nicht klar ersichtlich ist oder verschiedene Lösungen angegeben sind, gilt die Aufgabe
als nicht gelöst. Streichen Sie Ihre Notizen durch.
Sie dürfen die für diesen Klausurtermin freigegebene Formelsammlung sowie zugelassene elektronische Hilfs mittel verwenden.
Abzugeben sind das Aufgabenheft und alle von Ihnen verwendeten Blätter.
Beurteilung
Jede Aufgabe in Teil 1 wird mit 0 Punkten oder 1 Punkt bewertet, jede Teilaufgabe in Teil 2 mit 0, 1 oder 2 Punkten. Die mit A gekennzeichneten Aufgabenstellungen werden mit 0 Punkten oder 1 Punkt bewertet.
– Werden im Teil 1 mindestens 16 von 24 Aufgaben richtig gelöst, wird die Arbeit positiv bewertet.
– Werden im Teil 1 weniger als 16 von 24 Aufgaben richtig gelöst, werden mit A markierte Aufgabenstellungen
aus Teil 2 zum Ausgleich (für den laut LBVO „wesentlichen Bereich“) herangezogen.
Werden unter Berücksichtigung der mit A markierten Aufgabenstellungen aus Teil 2 mindestens 16 Aufgaben
richtig gelöst, wird die Arbeit positiv bewertet.
Werden auch unter Berücksichtigung der mit A markierten Aufgabenstellungen aus Teil 2 weniger als 16 Aufgaben richtig gelöst, wird die Arbeit mit „Nicht genügend“ beurteilt.
– Werden im Teil 1 mindestens 16 Punkte (mit Berücksichtigung der Ausgleichspunkte A ) erreicht, so gilt folgender Beurteilungsschlüssel:
Genügend 16– 23 Punkte
Befriedigend 24– 32 Punkte
Gut 33– 40 Punkte
Sehr gut 41– 48 Punkte
Erläuterung der Antwortformate
Die Aufgaben haben einerseits freie Antwortformate ; dabei schreiben Sie Ihre Antwort direkt unter die jeweilige
Aufgabenstellung in das Aufgabenheft oder auf die zur Verfügung gestellten Blätter. Weitere Antwortformate, die in
der Klausur zum Einsatz kommen können, werden im Folgenden vorgestellt:
Zuordnungsformat: Dieses Antwortformat ist durch mehrere Aussagen (bzw. Tabellen oder Abbildungen) gekennzeichnet, denen mehrere Antwortmöglichkeiten gegenüberstehen. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats
korrekt, indem Sie die Antwortmöglichkeiten durch Eintragen der entsprechenden Buchstaben den jeweils zutreffenden Aussagen zuordnen!
Beispiel:
Gegeben sind zwei Gleichungen.
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den zwei Gleichungen jeweils die
entsprechende Bezeichnung (aus A bis D) zu!
1 + 1 = 2 A
2 ∙ 2 = 4 C
A Addition
B Division
C Multiplikation
D Subtraktion

3
Konstruktionsformat: Eine Aufgabe und deren Aufgabenstellung sind vorgegeben. Die Aufgabe erfordert die Ergänzung von Punkten, Geraden und/oder Kurven im Aufgabenheft.
Beispiel:
Gegeben ist eine lineare Funktion f mit f ( x ) = k · x + d.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie den Graphen einer linearen Funktion mit den Bedingungen k = –2 und d > 0 in das vorgegebene
Koordinatensystem ein!
f ( x )
f
x
Multiple-Choice-Format in der Variante „1 aus 6“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und
sechs Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei eine Antwortmöglichkeit auszuwählen ist. Bearbeiten Sie
Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die einzige zutreffende Antwortmöglichkeit ankreuzen!
Beispiel:
Welche Gleichung ist korrekt?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an!
1 + 1 = 1 
2 + 2 = 2 
3 + 3 = 3 
4 + 4 = 8 T
5 + 5 = 5 
6 + 6 = 6 
Multiple-Choice-Format in der Variante „2 aus 5“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und fünf
Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei zwei Antwortmöglichkeiten auszuwählen sind. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die beiden zutreffenden Antwortmöglichkeiten ankreuzen!
Beispiel:
Welche Gleichungen sind korrekt?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an!
1 + 1 = 1 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 3 
4 + 4 = 8 T
5 + 5 = 5 

4
Multiple-Choice-Format in der Variante „x aus 5“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und fünf
Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei eine, zwei, drei, vier oder fünf Antwortmöglichkeiten auszuwählen sind. In der Aufgabenstellung finden Sie stets die Aufforderung „Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n)/
Gleichung(en)/... an!“. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die zutreffende Antwortmöglichkeit/die zutreffenden Antwortmöglichkeiten ankreuzen!
Beispiel:
Welche der gegebenen Gleichungen ist/sind korrekt?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Gleichung(en) an!
1 + 1 = 2 T
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 6 T
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 10 T
Lückentext: Dieses Antwortformat ist durch einen Satz mit zwei Lücken gekennzeichnet, das heißt, im Aufgabentext sind zwei Stellen ausgewiesen, die ergänzt werden müssen. Für jede Lücke werden je drei Antwortmöglichkeiten vorgegeben. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die Lücken durch Ankreuzen der
beiden zutreffenden Antwortmöglichkeiten füllen!
Beispiel:
Gegeben sind 3 Gleichungen.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte
Aussage entsteht!
Die Gleichung
1
wird als Zusammenzählung oder
2
bezeichnet.
1
1 – 1 = 0 
1 + 1 = 2 T
1 ∙ 1 = 1 
2
Multiplikation 
Subtraktion 
Addition T
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 T
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen ein.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
Wenn Sie jetzt noch Fragen haben, wenden Sie sich bitte an Ihre Lehrerin / Ihren Lehrer!
Viel Erfolg bei der Bearbeitung!
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“
übermalt und dann wieder gewählt.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“
gewählt und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.

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Aufgabe 1
Eigenschaften einer Polynomfunktion dritten Grades
Gegeben ist eine Polynomfunktion dritten Grades f mit der Funktionsgleichung f ( x ) = a ∙ x
3
+ b ∙ x ,
wobei die Koeffizienten a , b ∈ ℝ \{0} sind.
Aufgabenstellung:
a) Begründen Sie, warum die Funktion f genau drei verschiedene reelle Nullstellen hat, wenn die
Ko effizienten a und b unterschiedliche Vorzeichen haben!
A Die Steigung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle x = 0 entspricht dem Wert
des Koeffizienten b . Begründen Sie, warum diese Aussage wahr ist!
b) Geben Sie eine Beziehung zwischen den Koeffizienten a und b an, sodass ∫
1
0
f ( x ) d x = 0 gilt!
Begründen Sie, warum aus der Annahme ∫
1
0
f ( x ) d x = 0 folgt, dass f eine Nullstelle im Intervall (0; 1) hat, und skizzieren Sie einen möglichen Graphen einer solchen Funktion f im nachstehenden Koordinatensystem!
f ( x )
x
0 2 1 –1 –2
–2
–3
–1
1
2
–4
0

6
Aufgabe 2
Hopfen
Hopfen ist eine schnell wachsende Kletterpflanze. Die Modellfunktion h : ℝ
0
+
→ ℝ
+
mit
h ( t ) =
a
1 + b ∙ ℯ
k ∙ t
mit a , b ∈ ℝ
+
, k ∈ ℝ
–
gibt näherungsweise die Pflanzenhöhe einer bestimmten
Hopfensorte zum Zeitpunkt t an, wobei h ( t ) in Metern und t in Wochen angegeben wird.
In der nachstehenden Tabelle sind die gemessenen Höhen einer Hopfenpflanze ab Anfang April
( t = 0) zusammengefasst.
Zeit (in Wochen) 0 2 4 6 8 10 12
Höhe (in m) 0,6 1,2 2,3 4,2 5,9 7,0 7,6
Anhand dieser Messwerte wurden für die Modellfunktion h die Parameterwerte a = 8, b = 15 und
k = –0,46 ermittelt.
Aufgabenstellung:
a) A Geben Sie unter Verwendung der Modellfunktion h einen Ausdruck an, mit dem berechnet
werden kann, um wie viele Meter die Hopfenpflanze im Zeitintervall [0; t
1
] gewachsen ist!
Berechnen Sie unter Verwendung der Modellfunktion h mithilfe Ihres Ausdrucks, wie viele
Meter die Pflanze in den ersten 10 Wochen gewachsen ist , und geben Sie die prozentuelle
Abweichung vom tatsächlich gemessenen Wert an!
b) Wird das Wachstum der Pflanze mithilfe der Funktion h modelliert, gibt es einen Zeitpunkt t
2
,
zu dem sie am schnellsten wächst. Geben Sie eine Gleichung an, mit der dieser Zeitpunkt
berechnet werden kann, und ermitteln Sie diesen Zeitpunkt!
Berechnen Sie die zugehörige maximale Wachstumsgeschwindigkeit und skizzieren Sie im
nachstehenden Koordinatensystem unter Berücksichtigung des von Ihnen ermittelten Maximums den Verlauf des Graphen derjenigen Funktion g , die basierend auf der Modellfunktion h
die Wachstumsgeschwindigkeit der Hopfenpflanze in Abhängigkeit von t beschreibt!
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 12
2
1
0
3
t in Wochen
g ( t ) in Metern pro Woche

7
c) Ermitteln Sie eine lineare Funktion h
1
, deren Werte bei t = 0 und t = 12 mit den gemessenen
Höhen aus der angegebenen Tabelle übereinstimmen, und interpretieren Sie die Steigung
dieser linearen Funktion im gegebenen Kontext!
h
1
( t ) =
Begründen Sie anhand des Verlaufs der Graphen von h und h
1
, warum es mindestens zwei
Zeitpunkte gibt, in denen die Wachstumsgeschwindigkeit der Pflanze denselben Wert hat wie
die Steigung von h
1
!
d) Für größer werdende t nähert sich h ( t ) einem Wert an, der als h
max
bezeichnet wird.
Weisen Sie anhand der gegebenen Funktionsgleichung der Modellfunktion h rechnerisch
nach, dass der Parameter k (mit k < 0) keinen Einfluss auf h
max
hat, und geben Sie h
max
an!
Günstige Witterungsverhältnisse können dazu führen, dass die Hopfenpflanze schneller und
höher wächst, d. h., dass sie sich früher einem größeren Wert von h
max
annähert.
Geben Sie für ein derartiges Pflanzenwachstum an, wie a und k verändert werden müssen!

8
Aufgabe 3
Abstandsmessung
Im Rahmen der polizeilichen Kontrollmaßnahmen des öffentlichen Verkehrs werden Abstandsmessungen vorgenommen. Im Folgenden beschreibt der Begriff Abstand eine Streckenlänge und
der Begriff Tiefenabstand eine Zeitspanne.
Beträgt der Abstand zwischen dem hinteren Ende des voranfahrenden Fahrzeugs und dem vorderen Ende des nachfahrenden Fahrzeugs ∆ s Meter, so versteht man unter dem Tiefenabstand
diejenige Zeit t in Sekunden, in der das nachfahrende Fahrzeug die Strecke der Länge ∆ s zurücklegt.
Nachstehend sind Tiefenabstände, die im Rahmen einer Schwerpunktkontrolle von 1 000 Fahrzeugen ermittelt wurden, in einem Kastenschaubild (Boxplot) dargestellt. Alle kontrollierten Fahrzeuge waren mit einer Geschwindigkeit von ca. 130 km/h unterwegs.
3 2 1 0
Tiefenabstand in Sekunden
Aufgabenstellung:
a) A Geben Sie das erste Quartil q
1
und das dritte Quartil q
3
der Tiefenabstände an und deuten
Sie den Bereich von q
1
bis q
3
im gegebenen Kontext!
Nach den Erfahrungswerten eines österreichischen Autofahrerclubs halten ungefähr drei
Viertel der Kraftfahrer/innen bei einer mittleren Fahrgeschwindigkeit von ca. 130 km/h einen
Abstand von mindestens 30 Metern zum voranfahrenden Fahrzeug ein. Geben Sie an, ob die
im Kastenschaubild dargestellten Daten in etwa diese Erfahrungswerte bestätigen oder nicht,
und begründen Sie Ihre Entscheidung!
b) Einer üblichen Faustregel zufolge wird auf Autobahnen generell ein Tiefenabstand von mindestens zwei Sekunden empfohlen. Jemand behauptet, dass aus dem dargestellten Kastenschaubild ablesbar ist, dass mindestens 20 % der Kraftfahrer/innen diesen Tiefenabstand
eingehalten haben. Geben Sie einen größeren Prozentsatz an, der aus dem Kastenschaubild
mit Sicherheit abgelesen werden kann, und begründen Sie Ihre Wahl!
Nehmen Sie den von Ihnen ermittelten Prozentsatz als Wahrscheinlichkeit an, dass der empfohlene Tiefenabstand eingehalten wird.
Geben Sie an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass bei zehn zufällig und unabhängig
voneinander ausgewählten Messungen dieser Schwerpunktkontrolle zumindest sechs Mal der
empfohlene Tiefenabstand von mindestens zwei Sekunden eingehalten wurde!

9
c) Bei einer anderen Abstandsmessung wird ein kontrolliertes Fahrzeug auf den letzten 300 Metern vor der Messung zusätzlich gefilmt, damit die Messung nicht verfälscht wird, wenn sich
ein anderes Fahrzeug vor das kontrollierte Fahrzeug drängt.
Fahrzeug A fährt während des Messvorgangs mit konstanter Geschwindigkeit und benötigt
für die gefilmten 300 Meter eine Zeit von neun Sekunden. Stellen Sie den zurückgelegten
Weg s
A
( t ) in Abhängigkeit von der Zeit t im unten stehenden Zeit-Weg-Diagramm dar ( s
A
( t ) in
Metern, t in Sekunden) und geben Sie an, mit welcher Geschwindigkeit in km/h das Fahrzeug
unterwegs ist!
Ein Fahrzeug B legt die 300 Meter ebenfalls in neun Sekunden zurück, verringert dabei aber
kontinuierlich seine Geschwindigkeit. Skizzieren Sie ausgehend vom Ursprung einen möglichen Graphen der entsprechenden Zeit-Weg-Funktion s
B
in das unten stehende Zeit-Weg-
Diagramm!
s
A
( t ), s
B
( t ) in m
t in s
8 7 6 5 4 3 2 1 0 9
250
200
150
100
50
0
300

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Aufgabe 4
Bitcoin
Bitcoin (Währungskürzel: BTC) ist eine digitale Kunstwährung. Der Marktwert des Bitcoin ergibt
sich aufgrund von Angebot und Nachfrage.
Nutzer/innen des Bitcoin werden in dieser Aufgabe als Bitcoin-User bezeichnet.
Die nachstehende Abbildung zeigt den Bitcoin-Euro-Kurs vom 11. März 2015 bis zum
11. März 2016. Die linke Skala zeigt dabei den absoluten Wert eines Bitcoins in Euro, die rechte
Skala zeigt die Veränderung in Prozent bezogen auf den 11. März 2015.
Bitcoin-Euro-Kurs (BTC – EUR)
Jan Dez Nov Okt Sep Aug Jul Jun Mai Mrz Apr Feb
400
350
300
250
200
150
450
–25 %
0 %
+25 %
+50 %
Datenquelle: http://www.finanzen.net/devisen/bitcoin-euro-kurs [11.03.2017] (adaptiert).

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Aufgabenstellung:
a) Geben Sie an, in welchem der Monate von April 2015 bis Dezember 2015 der Bitcoin-Euro-
Kurs jeweils vom Monatsanfang bis zum Monatsende absolut am stärksten gefallen ist, und
geben Sie diesen Kursverlust in Euro an!
Monat:
Kursverlust:
Es sei K
1
der Bitcoin-Euro-Kurs zum Beginn des betreffenden Monats, K
2
der Bitcoin-Euro-
Kurs am Ende des betreffenden Monats sowie AT die Anzahl der Tage des betreffenden
Monats.
Berechnen Sie den ungefähren Wert des Ausdrucks
K
2
– K
1
AT
und interpretieren Sie das
Ergebnis im gegebenen Kontext!
b) Anfang Jänner 2016 waren ca. 15 Millionen Bitcoins im Umlauf. Die t Jahre nach dem Jahr
2009 im Umlauf befindliche Menge an Bitcoins ist annähernd f ( t ) = 21 ∙ 10
6
– 21 ∙ 10
6
∙ ℯ
–0,18 ∙ t
.
Damit ist f (0) die zu Anfang Jänner 2009 im Umlauf befindliche Menge an Bitcoins.
Bestimmen und interpretieren Sie die relative (prozentuelle) Änderung der im Umlauf befindlichen Menge an Bitcoins im Zeitintervall [7; 8]!
Geben Sie eine Gleichung an, mit der derjenige Zeitpunkt berechnet werden kann, ab dem
nur mehr eine Million Bitcoins in Umlauf gebracht werden kann, und ermitteln Sie diesen Zeitpunkt!
c) Eine Untersuchung der Demografie von Bitcoin-Usern hat ergeben, dass weltweit 88 % der
Bitcoin-User männlich sind.
Es soll festgestellt werden, wie hoch dieser Prozentsatz in Österreich ist. Dazu wird eine
große Anzahl an Personen befragt. Diese Befragung ergibt, dass 171 der befragten Personen
Bitcoin-User sind, und von diesen 171 Personen sind 138 männlich.
A Geben Sie aufgrund dieser Daten ein symmetrisches 95-%-Konfidenzintervall für den unbekannten Anteil der männlichen Bitcoin-User unter allen Bitcoin-Usern in Österreich an!
Geben Sie an, welches Konfidenzniveau zur Berechnung eines solchen Intervalls mindestens
angenommen werden muss, damit der weltweit ermittelte Anteil von 88 % in diesem Intervall
enthalten ist!

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