Mathematik-Matura Mai 2018 · AHS Teil 1 – Lösungen

AHS
9. Mai 2018
Mathematik
Teil-1-Aufgaben
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung

2
Aufgabe 1
Zusammenhang zweier Variablen
Lösungserwartung:
Wenn a kleiner als null ist, dann ist auch b kleiner als null.
Für jedes n ∈ ℕ \{0} gilt: ( a ∙ n ) ∙ (
b
n
) = 1.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.

3
Aufgabe 2
Solaranlagen
Lösungserwartung:
Mögliche Interpretation:
Der Term gibt die Gesamtausgaben der Gemeinde zur Unterstützung der Haushalte bei den
Anschaffungskosten für neue Solaranlagen an.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Interpretation.

4
Aufgabe 3
Lösungsfälle quadratischer Gleichungen
Lösungserwartung:
Wenn r und t verschiedene Vorzeichen haben, dann hat die gegebene Gleichung genau zwei
(verschiedene) reelle Lösungen.
Mögliche Begründung:
Lösungen der Gleichung: x
1, 2
=
– s ±

s
2
– 4 · r · t
2 · r
Haben r und t verschiedene Vorzeichen, dann ist –4 · r · t in jedem Fall positiv und es gilt:
s
2
– 4 · r · t > 0.
Daraus ergeben sich zwei verschiedene reelle Lösungen.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der richtigen Anzahl und eine korrekte allgemeine Begründung.

5
Aufgabe 4
Kräfte
Lösungserwartung:
M
a
b
c
d
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Darstellung von d , wobei d auch von einem anderen Ausgangspunkt
aus gezeichnet sein kann.

6
Aufgabe 5
Rechter Winkel
Lösungserwartung:
möglicher Vektor:
→
n =
( )
3
–5
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine richtige Lösung. Jeder Vektor
→
n ∈ ℝ
2
mit n ≠
( )
0
0
, für den
→
n ·
( )
5
3
= 0 gilt, ist
als richtig zu werten.

7
Aufgabe 6
Sinus und Cosinus
Lösungserwartung:
y
x
P
A
O
Q
α
1
–1
1 –1
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die korrekte Ergänzung von Q .

8
Aufgabe 7
Quadratische Pyramide
Lösungserwartung:
Für a = 1 cm ist die Oberfläche sicher größer als 2 cm
2
.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die laut Lösungserwartung richtige
Aussage angekreuzt ist.

9
Aufgabe 8
Radfahrer
Lösungserwartung:
Der Radfahrer B startet zwei Minuten später als der Radfahrer A .
Der Radfahrer B holt den Radfahrer A nach einer Fahrstrecke von 2,4 Kilometern ein.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.

10
Aufgabe 9
Graphen quadratischer Funktionen
Lösungserwartung:
a
3
< a
1
< a
2
b
3
< b
2
< b
1
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.

11
Aufgabe 10
Polynomfunktion
Lösungserwartung:
Mögliche Begründungen:
Eine Polynomfunktion dritten Grades hat höchstens zwei lokale Extremstellen. (Die dargestellte
Funktion f hat aber mindestens drei lokale Extremstellen.)
oder:
Eine Polynomfunktion dritten Grades hat genau eine Wendestelle. (Die dargestellte Funktion f hat
aber mindestens zwei Wendestellen.)
oder:
Die dargestellte Funktion hat bei x
1
≈ –7 und bei x
2
≈ 5 jeweils eine Nullstelle und bei x
3
≈ 0
eine Nullstelle, die auch lokale Extremstelle ist. Damit kann im dargestellten Intervall die
Funktionsgleichung in der Form f ( x ) = a · ( x – x
1
) · ( x – x
2
) · ( x – x
3
)
2
mit a ∈ ℝ
+
angegeben
werden. Der Grad von f wäre somit zumindest vier.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Begründung. Andere korrekte Begründungen sind ebenfalls als richtig
zu werten.

12
Aufgabe 11
Zellkulturen
Lösungserwartung:
A N
1
( t ) = N
1
(0) · 0,15
t
B N
2
( t ) = N
2
(0) · 0,5
t
C N
3
( t ) = N
3
(0) · 0,85
t
D N
4
( t ) = N
4
(0) · 1,5
t
E N
5
( t ) = N
5
(0) · 1,85
t
F N
6
( t ) = N
6
(0) · 2
t
Die Anzahl der Zellen
verdoppelt sich pro Tag.
F
Die Anzahl der Zellen nimmt
pro Tag um 85 % zu.
E
Die Anzahl der Zellen nimmt
pro Tag um 85 % ab.
A
Die Anzahl der Zellen nimmt
pro Tag um die Hälfte ab.
B
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jeder der vier beschriebenen Veränderungen aus schließlich der laut Lösungserwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist.

13
Aufgabe 12
Sinusfunktion
Lösungserwartung:
a = 3
b = 2
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der beiden richtigen Werte.

14
Aufgabe 13
Wertschöpfung
Lösungserwartung:
Anteil des Überschusses im Jahr 2007:
37 133
92 258
≈ 0,4025 = 40,25 %
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [40 %; 41 %] bzw. [0,40; 0,41]

15
Aufgabe 14
Abkühlungsprozess
Lösungserwartung:
Mögliche Interpretation:
Die momentane Abnahme der Temperatur der Flüssigkeit beträgt 20 Minuten nach dem Start des
Abkühlungs prozesses 0,97 °C pro Minute.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Interpretation unter Angabe der korrekten Einheiten.

16
Aufgabe 15
Kredittilgung
Lösungserwartung:
mögliche Differenzengleichung: S ( t + 1) – S ( t ) = S ( t ) ∙ 0,004 – 450
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Differenzengleichung. Andere korrekte Gleichungen sind ebenfalls als
richtig zu werten.

17
Aufgabe 16
Beziehungen zwischen Funktion, Ableitungs- und Stammfunktion
Lösungserwartung:
1
F
2
f ′
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der laut
Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist.

18
Aufgabe 17
Funktionsgraph
Lösungserwartung:
x
f ( x )
5
6
4
3
2
1
0
–2
–3
–1
–4
–5
–6
0 –2 –3 –1 –4 –5 –6 1 2 3 4 5 6
f
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Darstellung eines möglichen Graphen einer Funktion f , wobei alle in
der Angabe angeführten Eigenschaften erkennbar sein müssen.

19
Aufgabe 18
Wert eines bestimmten Integrals
Lösungserwartung:
I = – 4
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.

20
Aufgabe 19
Hausübungen und Schularbeit
Lösungserwartung:
Die Schülerin mit der geringsten Punkteanzahl bei der Schularbeit
hat die wenigsten Hausübungen abgegeben.
Schülerinnen mit mindestens 10 abgegebenen Hausübungen
haben bei der Schularbeit im Durchschnitt mehr Punkte erzielt als
jene mit weniger als 10 abgegebenen Hausübungen.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.

21
Aufgabe 20
Spenden
Lösungserwartung:
A Minimum
B Maximum
C arithmetisches Mittel
D Median
E unteres Quartil
F oberes Quartil
Ist die Spende von Frau Müller eine
der fünf größten Spenden?
F
Ist die Spende von Frau Müller eine
der zehn größten Spenden?
D
Ist die Spende von Frau Müller die
kleinste Spende?
A
Wie viel Euro spenden die 20 Personen insgesamt?
C
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jeder der vier Fragen ausschließlich der laut Lösungs erwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist.

22
Aufgabe 21
Gummibären
Lösungserwartung:
Mögliche Vorgehensweise:
1 –
30
50
·
29
49
·
28
48
=
111
140
≈ 79,3 %
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses sind ebenfalls als richtig
zu werten.
Toleranzintervall: [0,79; 0,80] bzw. [79 %; 80 %]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis
aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.

23
Aufgabe 22
Vergleich zweier Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Lösungserwartung:
E ( X ) = E ( Y )
P ( X ≤ 3) < P ( Y ≤ 3)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.

24
Aufgabe 23
Massenproduktion
Lösungserwartung:
Mögliche Vorgehensweise:
Die (binomialverteilte) Zufallsvariable X (mit den Parametern n = 100 und p = 0,06) beschreibt
die Anzahl der mangelhaften Stücke in dieser Packung.
P ( X ≤ 2) = P ( X = 0) + P ( X = 1) + P ( X = 2) ≈ 0,057
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses sind ebenfalls als richtig
zu werten.
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis
aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.

25
Aufgabe 24
Intervallbreite von Konfidenzintervallen
Lösungserwartung:
Konfidenzintervall mit der kleinsten Intervallbreite: C
Konfidenzintervall mit der größten Intervallbreite: B
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der beiden richtigen Konfidenzintervalle.