Mathematik-Matura Jänner 2018 · HTL Cluster T2 – Lösungen

BHS
16. Jänner 2018
Angewandte Mathematik
Teil A + Teil B (Cluster 2)
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung

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Korrektur- und Beurteilungsanleitung
zur standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung
in Angewandter Mathematik
(Detaillierte Informationen dazu finden Sie für den BHS-Bereich im entsprechenden Erlass zur Beurteilung, der auf der Website https://ablauf.srdp.at/ abrufbar ist.)
Kompetenzbereiche
Im Beurteilungsmodell für die Angewandte Mathematik wird zwischen zwei Kompetenzbereichen
unterschieden:
n Kompetenzbereich A ( KA ) umfasst die unabhängig
1
erreichbaren Punkte der Komplexitätsstufen 1 und 2 aus dem Kompetenzstufenraster.
n Kompetenzbereich B ( KB ) umfasst die abhängig erreichbaren Punkte und die Punkte der
Komplexitätsstufen 3 und 4 aus dem Kompetenzstufenraster.
Die Summe der unabhängig erreichbaren Punkte aus den Komplexitätsstufen 1 und 2 ( KA ) stellt die
„wesentlichen Bereiche“ eines Klausurheftes dar.
Beurteilung
Als Hilfsmittel für die Beurteilung wird ein auf ein Punktesystem basierender Beurteilungsschlüssel angegeben. Je nach gewichteter Schwierigkeit der vergebenen Punkte in den „wesentlichen
Bereichen“ wird festgelegt, ab wann die „wesentlichen Bereiche überwiegend“ (Genügend) erfüllt
sind, d. h., gemäß einem Punkteschema müssen Punkte aus dem Kompetenzbereich A unter Einbeziehung von Punkten aus dem Kompetenzbereich B in ausreichender Anzahl abhängig von der
Zusammenstellung der Klausurhefte gelöst werden. Darauf aufbauend wird die für die übrigen Notenstufen zu erreichende Punktezahl festgelegt.
Nach der Punkteermittlung soll die Arbeit der Kandidatin / des Kandidaten nochmals ganzheitlich
qualitativ betrachtet werden. Unter Zuhilfenahme des Punkteschemas und der ganzheitlichen Betrachtung ist von der Prüferin / vom Prüfer ein verbal begründeter Beurteilungsvorschlag zu erstellen,
wobei die Ergebnisse der Kompetenzbereiche A und B in der Argumentation zu verwenden sind.
Beurteilungsschlüssel für die vorliegende Klausur:
44–48 Punkte Sehr gut
39–43 Punkte Gut
34–38 Punkte Befriedigend
23– 33 Punkte Genügend
0–22 Punkte Nicht genügend
1
Unabhängige Punkte sind solche, für die keine mathematische Vorleistung erbracht werden muss. Als mathematische Vorleistung gilt z. B. das Aufstellen einer Gleichung (unabhängiger Punkt) mit anschließender Berechnung (abhängiger Punkt).

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Handreichung zur Korrektur
der standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung
in Angewandter Mathematik
1. In der Lösungserwartung ist nur ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen.
2. Der Lösungsschlüssel ist unter Beachtung folgender Vorgangsweisen verbindlich anzuwenden:
a. Punkte sind nur zu vergeben, wenn die abgefragte Handlungskompetenz in der Bearbeitung vollständig erfüllt ist.
b. Berechnungen ohne nachvollziehbaren Rechenansatz bzw. ohne nachvollziehbare Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete Ausgangsparameter und die verwendete
Technologiefunktion müssen angegeben sein) sind mit null Punkten zu bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen bzw. Lösungswege von der Kandidatin / vom
Kandidaten angeboten und nicht alle diese Lösungen bzw. Lösungswege sind korrekt, so
ist diese Teilaufgabe mit null Punkten zu bewerten.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Das heißt zum Beispiel :
Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in einem
Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel
Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als solche
identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner Vereinfachung
der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler können vernachlässigt werden, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert ist.
h. Jedes Diagramm bzw. jede Skizze, die Lösung einer Handlungsanweisung ist, muss eine
qualitative Achsenbeschriftung enthalten, andernfalls ist dies mit null Punkten zu bewerten.
i. Die Angabe von Einheiten kann bei der Punktevergabe vernachlässigt werden, sofern sie im
Lösungsschlüssel nicht explizit eingefordert wird.

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Aufgabe 1
Internet
Möglicher Lösungsweg
a)
N in Minuten
Wendepunkt
140 180
b) 0,25 ∙
1
8
= 0,03125
Sie wendet etwa 3 % ihrer gesamten Internet-Nutzungsdauer für dieses Spiel auf.
c) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
arithmetisches Mittel: x = 3,95 h
Standardabweichung: s = 1,627... h
Auch eine Berechnung der Standardabweichung als sn – 1 = 1,669... h ist als richtig zu werten.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A1: für das richtige Eintragen der beiden fehlenden Zeiten (KA)
1 × A2: für das richtige Veranschaulichen der Wahrscheinlichkeit in der gegebenen Abbildung
(KB)
b) 1 × B: für das richtige Ermitteln des Prozentsatzes (KA)
c) 1 × B: für die richtige Berechnung des arithmetischen Mittels und der Standardabweichung
( s bzw. sn – 1 ) (KA)

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Aufgabe 2
Erfassen der Geschwindigkeit
Möglicher Lösungsweg
a) s 1 (0) = 0
s 1 (1) = 1
s 1 (2,5) = 3
oder:
0 = a ∙ 0
2
+ b ∙ 0 + c
1 = a ∙ 1
2
+ b ∙ 1 + c
3 = a ∙ 2,5
2
+ b ∙ 2,5 + c
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
a =
2
15
b =
13
15
c = 0
b) v 2 ( t ) = s 2 ′ ( t ) = – t
2
+ 4 ∙ t +
1
3
v 2 (0) =
1
3
≠ 0
Das Auto hatte zu Beginn des angegebenen Zeitintervalls eine Geschwindigkeit ungleich 0.
a 2 ( t ) = s 2 ″ ( t ) = –2 ∙ t + 4
a 2 ( t 0 ) = 0 ⇒ t 0 = 2
An der Stelle t 0 = 2 gilt:
v 2 ′ (2) = a 2 (2) = 0
v 2 ″ (2) = a 2 ′ (2) = –2 < 0
Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit zur Zeit t 0 maximal ist.
Eine Überprüfung der Randstellen ist für die Punktevergabe nicht erforderlich.
c) v 3 ( t ) = 5 ∙ t + 10 mit 1 ≤ t ≤ 3
Integrieren ergibt:
s 3 ( t ) =
5
2
∙ t
2
+ 10 ∙ t + C
Wegen s 3 (1) = 15 gilt:
s 3 ( t ) =
5
2
∙ t
2
+ 10 ∙ t +
5
2
mit 1 ≤ t ≤ 3
t ... Zeit in s
s 3 ( t ) ... zurückgelegter Weg zur Zeit t in m

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Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Erstellen des Gleichungssystems (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung der Koeffizienten (KB)
b) 1 × D1: für den richtigen Nachweis, dass die Geschwindigkeit ungleich null ist (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung der Zeit t
0
(KA)
1 × D2: für den richtigen Nachweis, dass die Geschwindigkeit zur Zeit t
0
maximal ist (KB)
Eine Überprüfung der Randstellen ist für die Punktevergabe nicht erforderlich.
c) 1 × A: für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung (KB)

7
Aufgabe 3
Bevölkerungsentwicklung
Möglicher Lösungsweg
a) N 1 ( t ) = k ∙ t + d
d = N 1 (0) = 7 965
k =
4 524 – 7 965
22
= –156,4...
N 1 ( t ) = –156 ∙ t + 7 965
Im gegebenen Zeitraum nahm die Bevölkerungszahl im Mittel pro Jahr um etwa 156 Personen ab.
b)
P C
Q B
A N 2 ′ ( t ) > 0 und N 2 ″ ( t ) > 0
B N
2
′ ( t ) < 0 und N
2
″ ( t ) > 0
C N 2 ′ ( t ) < 0 und N 2 ″ ( t ) < 0
D N
2
′ ( t ) > 0 und N
2
″ ( t ) < 0
c) N 3 ( t ) = N 3 (0) ∙ a
t
oder: N 3 ( t ) = N 3 (0) ∙ ℯ
– λ ∙ t
4 524 = 10 068 ∙ a
33
⇒ a = 0,976... 4 524 = 10 068 · ℯ
– λ ∙ 33
⇒ λ = –0,024...
N 3 ( t ) = 10 068 ∙ 0,976...
t
N 3 ( t ) = 10 068 ∙ ℯ
–0,024... ∙ t
N 3 (49) = 3 069,5...
Gemäß diesem Modell ist für den Beginn des Jahres 2030 eine Bevölkerungszahl von
etwa 3 070 Personen zu erwarten.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Erstellen einer Gleichung der Funktion N 1 (KA)
1 × C: für die richtige Interpretation des Werts der Steigung im gegebenen Sachzusammenhang (KB)
b) 1 × C: für die richtige Zuordnung (KA)
c) 1 × A: für das richtige Erstellen einer Gleichung der Funktion N 3 (KA)
1 × B: für das richtige Ermitteln der Bevölkerungszahl für den Beginn des Jahres 2030 (KB)

8
Aufgabe 4
Fußball
Möglicher Lösungsweg
a) Der Ausdruck 25
1,32
+ 30
1,32
wurde nicht eingeklammert.
Berechnung mithilfe der Formel:
25
1,32
� (25
1,32
+ 30
1,32
) ∙ 36 ∙ 2,753 = 43,6... ≈ 44
Verdoppelung der Punkte nach der ersten Saisonhälfte: 19 ∙ 2 = 38
Die Zahl, die mit der Formel berechnet wurde, ist näher an der tatsächlichen Punkteanzahl als
die Verdoppelung der Punkte in der ersten Saisonhälfte.

100
T
132
b) n = 5 und p = 0,8
X ... Anzahl der verwandelten Elfmeter
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P ( X = 4) = 0,4096
c) AE :

3
2
+ 11
2
=

130
EP : cos( α ) =
AE
EP
⇒ EP =
cos(5°)

130
= 11,445...
EP ≈ 11,45 m
11,44... m
0,4 s
= 28,61...
m
s
≈ 103
km
h
Lösungsschlüssel
a) 1 × C1: für die richtige Beschreibung, welcher Fehler gemacht wurde (KA)
1 × D: für die richtige nachweisliche Überprüfung (KA)
1 × C2: für das richtige Ankreuzen (KA)
b) 1 × B: für die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit (KA)
c) 1 × B1: für die richtige Berechnung der Länge EP (KA)
1 × B2: für die richtige Berechnung der mittleren Geschwindigkeit in km/h (KB)

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Aufgabe 5
Der Genfer See
Möglicher Lösungsweg
a) h ′ ( t max ) = 0
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t max = 5,673...
h ( t max ) = 157,72...
prozentueller Unterschied zur angegebenen maximalen Höhe:
157,72... – 140
140
= 0,1265... ≈ 12,7 %
b) Mit dem Ausdruck wird die gesamte Wassermenge in m
3
berechnet, die innerhalb dieser
48 Stunden den See durch den Abfluss verlassen hat.
F ist monoton steigend im Intervall [4; 26].
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für die richtige Berechnung des prozentuellen Unterschieds (KB)
b) 1 × C1: für die richtige Beschreibung im gegebenen Sachzusammenhang mit Angabe der
entsprechenden Einheit (KA)
1 × C2: für das richtige Ankreuzen (KB)

10
Aufgabe 6 (Teil B)
Widerstandstemperatursensoren
Möglicher Lösungsweg
a)
| R (450) – 260|
260
= 0,0059... ≈ 0,6 %
b) μ X = 100 Ω
σ X =
0,8

10
Ω
Zweiseitigen 98-%-Zufallsstreubereich für den Stichprobenmittelwert mithilfe der Normalverteilung bestimmen:
100 ± z 0,99 ∙
0,8

10
z 0,99 = 2,326...
Daraus ergibt sich folgender Zufallstreubereich in Ω: [99,41; 100,59] (gerundet).
n = 10
100,5 100 99,5 99 101
Widerstand in Ω
n > 10
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für die richtige Berechnung des Betrags des relativen Fehlers (KA)
b) 1 × A1: für das richtige Angeben der Parameter der Verteilung der Stichprobenmittelwerte (KA)
1 × B: für das richtige Ermitteln des Zufallsstreubereichs (KB)
1 × A2: für das richtige Skizzieren des Funktionsgraphen (Maximalwert höher und Kurve
schmäler) (KA)

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Aufgabe 7 (Teil B)
Federpendel
Möglicher Lösungsweg
a) A = 0,04
Die Periodendauer T ist 10, daher ergibt sich:
ω =
2 ∙ π
10
=
π
5
t 0 = 5 und φ = – t 0 · ω , daher ergibt sich:
φ = –5 ·
π
5
= –π
(Jeder Wert φ = –π + 2 · k · π mit k ∈ ℤ ist als richtig zu werten.)
0,04
0,02
–0,02
–0,04
5 10 15 20 O
t in s
a ( t ) in m/s
2
b) t 2 = t 1 +
2 · π
ω
Auch ein Vielfaches der Periodendauer ist als richtig zu werten.
v ′ ( t ) = A ∙ ω ∙ cos( ω ∙ t + φ )
Da der maximale Wert von cos( ω ∙ t + φ ) gleich 1 ist, ergibt sich als maximale Steigung von v
genau A ∙ ω .
c) Lösen der Gleichungen f ( t ) = ±0,2 mittels Technologieeinsatz:
]0,07...; 0,87...[ und ]1,33...; 1,60...[

12
Lösungsschlüssel
a) 1 × C1: für das richtige Ablesen von A (KA)
1 × B1: für das richtige Bestimmen von ω (KA)
1 × B2: für das richtige Bestimmen von φ (KB)
1 × C2: für das richtige Markieren aller Punkte, in denen der Betrag der Geschwindigkeit
maximal ist (KA)
b) 1 × A: für das richtige Vervollständigen der Aussage (KA)
1 × D: für den richtigen Nachweis (KA)
c) 1 × B: für das richtige Bestimmen der Intervalle (KA)

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Aufgabe 8 (Teil B)
Ausbreitung von Licht
Möglicher Lösungsweg
a) Der Nenner muss größer gleich dem Zähler sein, also: 0,5 ∙ λ ≤ d .
( n + 0,5) ∙ 632 ∙ 10
–9
0,01 ∙ 10
–3 ≤ 1 ⇒ n ≤ 15,3...
Daher gibt es für n = 0, 1, 2, ... , 15 jeweils eine Lösung für α .
b) Berechnung der Schenkel des gleichschenkeligen Dreiecks und des Winkels zwischen den
Schenkeln: s =

17
2
+ 5
2
= 17,72...
γ = 2 ∙ arctan
(
5
17
)
= 32,77...°
Mit dem Cosinussatz ergibt sich die Länge c :

( s – 11)
2
+ ( s – 6)
2
– 2 ∙ ( s – 11) ∙ ( s – 6) ∙ cos( γ ) = 7,07...
c ≈ 7,1 cm
c
sin( γ )
=
s – 6
sin( α )
⇒ ( α
1
≈ 63,7...°), α
2
= 116,2...°
c) Da P ein Punkt der Parabel ist, gilt: 15 = 144 · a ⇒ a =
15
144
.
Die Koordinaten des Brennpunkts lauten somit:
F =
(
0
|
1
4 ·
15
144
)
= (0 | 2,4)
Ist R = ( r | t ) ein Punkt der Parabel, dann muss t = a · r
2
, also a =
t
r
2
sein.
Die y -Koordinate von F lautet: yF
=
r
2
4 · t
.
Eine Verdoppelung des Radius bewirkt somit eine Vervierfachung der y -Koordinate.
Lösungsschlüssel
a) 1 × C: für das richtige Angeben der Beziehung zwischen d und λ (KA)
1 × A: für das richtige Ermitteln der entsprechenden Werte von n (KB)
b) 1 × A: für die richtige Modellbildung (z. B. mithilfe eines gleichschenkeligen Dreiecks und eines
allgemeinen Dreiecks) (KA)
1 × B1: für die richtige Berechnung der Länge c (KB)
1 × B2: für die richtige Berechnung des Winkels α (KB)
c) 1 × B: für die richtige Berechnung der y -Koordinate des Brennpunkts (KA)
1 × D: für die richtige Überprüfung (KA)

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Aufgabe 9 (Teil B)
Elektrische Bauteile
Möglicher Lösungsweg
a) Tangente g ( t ) = k · t + d an der Stelle t = 0:
k = u ′ (0) = –
U 0
τ
d = U 0
⇒ g ( t ) = –
U 0
τ
∙ t + U 0
b) f ′ ( t )
t
t
1
0
c) Da der Ausdruck ℯ
–
t
0,24 für steigende Werte von t gegen null geht, nähert sich der Klammerausdruck dem Wert 1. Daher nähert sich der Funktionswert asymptotisch dem Wert 40 V.
Durch Lösen der Gleichung u ( t 1 ) = 5 bzw. u ( t 2 ) = 30 erhält man die Integrationsgrenze
t 1 = 0,0320... bzw. t 2 = 0,3327...
1
t
2
– t
1
∙
∫
t 2
t 1
u ( t ) d t = 20,04...
Der lineare Mittelwert der Spannung in diesem Zeitintervall beträgt rund 20,0 V.
Die Kettenregel wurde missachtet.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Erstellen der Gleichung der Tangente (KA)
b) 1 × A1: für die richtige Skizze des Graphen der Ableitungsfunktion im Bereich 0 < t < t 1
(richtiges Monotonieverhalten der Ableitungsfunktion) (KA)
1 × A2: für die richtige Skizze des Graphen der Ableitungsfunktion im Bereich t > t 1
(richtiges Monotonieverhalten der Ableitungsfunktion) (KA)
c) 1 × D: für die richtige Erklärung des Verhaltens der Funktion (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung des linearen Mittelwerts (KA)
1 × C: für das richtige Angeben, dass die Kettenregel missachtet wurde, oder eine richtige
Beschreibung (KA)