Mathematik-Matura Jänner 2018 · HLFS/HUM Cluster W1 – Aufgaben

Name:
Klasse/Jahrgang:
BHS
16. Jänner 2018
Angewandte Mathematik
Teil A + Teil B (Cluster 6)
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung

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Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Liebe Kandidatin! Lieber Kandidat!
Das vorliegende Aufgabenheft enthält 5 Teil-A-Aufgaben und 4 Teil-B-Aufgaben mit jeweils unterschiedlich
vielen Teil aufgaben. Die Teilaufgaben sind unabhängig voneinander bearbeitbar. Ihnen stehen insgesamt
270 Minuten an reiner Arbeitszeit für Teil A und Teil B zur Verfügung.
Verwenden Sie für die Bearbeitung einen nicht radierbaren, blau oder schwarz schreibenden Stift. Bei
Konstruktionsaufgaben ist auch die Verwendung eines Bleistifts möglich.
Verwenden Sie für die Bearbeitung ausschließlich das Aufgabenheft und die Ihnen zur Verfügung gestellten Antwortblätter. Schreiben Sie Ihren Namen in das dafür vorgesehene Feld auf der ersten Seite des
Aufgabenheftes und auf jedes Antwortblatt. Geben Sie bei der Beantwortung jeder Teilaufgabe deren
Bezeichnung (z. B.: 3c) an.
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht durchgestrichen ist. Streichen Sie Notizen durch.
Die Verwendung von durch die Schulbuchaktion approbierten Formelheften bzw. von der Formelsammlung für die SRDP in Angewandter Mathematik und von elektronischen Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger
Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) ist erlaubt, sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwerke etc.) gegeben ist und keine Eigendaten
in die elektronischen Hilfsmittel implementiert sind. Handbücher zu den elektronischen Hilfsmitteln sind in
der Original-Druckversion oder in im elektronischen Hilfsmittel integrierter Form zulässig.
Abzugeben sind das Aufgabenheft und alle von Ihnen verwendeten Antwortblätter.
Handreichung für die Bearbeitung der SRDP in Angewandter Mathematik
– Jede Berechnung ist mit einem nachvollziehbaren Rechenansatz und einer nachvollziehbaren Dokumentation des Technologieeinsatzes (die verwendeten Ausgangsparameter und die
verwendete Technologiefunktion müssen angegeben werden) durchzuführen.
– Selbst gewählte Variablen sind zu erklären und gegebenenfalls mit Einheiten zu benennen.
– Ergebnisse sind eindeutig hervorzuheben.
– Ergebnisse sind mit entsprechenden Einheiten anzugeben.
– Werden Diagramme oder Skizzen als Lösungen erstellt, so sind die Achsen zu skalieren und
zu beschriften.
– Werden geometrische Skizzen erstellt, so sind die lösungsrelevanten Teile zu beschriften.
– Vermeiden Sie frühzeitiges Runden.
– Legen Sie allfällige Computerausdrucke der Lösung mit Ihrem Namen beschriftet bei.
– Wird eine Aufgabe mehrfach gerechnet, so sind alle Lösungswege bis auf einen zu streichen.
Es gilt folgender Beurteilungsschlüssel:
44–48 Punkte Sehr gut
39– 43 Punkte Gut
34– 38 Punkte Befriedigend
23–33 Punkte Genügend
0–22 Punkte Nicht genügend

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Erläuterung der Antwortformate
Die Teilaufgaben können folgende Antwortformate beinhalten: offenes Antwortformat , halboffenes Antwort
format, Konstruktionsformat, Zuordnungsformat und Multiple Choice Format in der Variante „1 aus 5“ .
Offenes Antwortformat: Beim offenen Antwortformat kann die Bearbeitung der Aufgaben auf unterschiedliche Weise erfolgen, z. B. durch eine Berechnung oder durch eine Erstellung einer Grafik.
Halboffenes Antwortformat: Beim halboffenen Antwortformat soll die korrekte Antwort in eine vorgegebene
Formel, Funktion etc. eingesetzt werden.
Beispiel:
Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b .
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A dieses Rechtecks.
A = ______________________
Konstruktionsformat: Ein Diagramm, eine Grafik oder eine Abbildung ist vorgegeben. Die Aufgabenstellung
erfordert die Ergänzung von Punkten und/oder Geraden und/oder Kurven und/oder Skalierungen bzw.
Achsenbeschriftungen im Diagramm, in der Grafik bzw. in der Abbildung.
Beispiel:
Gegeben ist eine lineare Funktion f mit f ( x ) = k · x + d.
– Zeichnen Sie den Graphen einer linearen Funktion mit k = –2 und d > 0 im nachstehenden
Koordinatensystem ein.
f ( x )
f
x
a · b

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Zuordnungsformat: Dieses Antwortformat ist durch mehrere Aussagen (bzw. Tabellen oder Abbildungen)
gekennzeichnet, denen mehrere Antwortmöglichkeiten gegenüberstehen. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses
Formats korrekt, indem Sie die richtigen Antwortmöglichkeiten durch Eintragen der entsprechenden Buch
staben den jeweils zutreffenden Aussagen zuordnen.
Beispiel:
– Ordnen Sie den zwei Gleichungen jeweils die
entsprechende Bezeichnung (aus A bis D) zu.
1 + 1 = 2 A
2 ∙ 2 = 4 C
A Addition
B Division
C Multiplikation
D Subtraktion
Multiple Choice Format in der Variante „1 aus 5“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und
fünf Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei eine Antwortmöglichkeit auszuwählen ist. Bearbeiten Sie
Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die zutreffende Antwortmöglichkeit ankreuzen.
Beispiel:
– Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an.
1 + 1 = 1 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 3 
4 + 5 = 8 
5 + 5 = 5 
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“ gewählt
und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen ein.
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“ übermalt
und dann wieder gewählt.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
Viel Erfolg!

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Aufgabe 1
Internet
a) Eine Studie besagt, dass die durchschnittliche tägliche Internet-Nutzungsdauer N von Jugendlichen annähernd normalverteilt ist. Der Erwartungswert beträgt 180 Minuten und die Standardabweichung 20 Minuten. Der Graph der zugehörigen Dichtefunktion ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
– Tragen Sie die fehlenden Zeiten in die dafür vorgesehenen Kästchen ein. [1 Punkt]
N in Minuten
Wendepunkt
– Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass für eine zufällig
ausgewählte Person der untersuchten Altersgruppe die durchschnittliche tägliche Internet-
Nutzungsdauer 200 Minuten oder weniger beträgt. [1 Punkt]
b) Selina verbringt 25 % ihrer Internet-Nutzungsdauer mit Spielen. Ein Achtel dieser Spielzeit entfällt dabei auf ein bestimmtes Spiel.
– Ermitteln Sie, wie viel Prozent ihrer Internet-Nutzungsdauer Selina für dieses bestimmte
Spiel aufwendet. [1 Punkt]
c) Eine Umfrage unter Schülerinnen und Schülern einer Schulklasse über die durchschnittliche
tägliche Internet-Nutzungsdauer ergab folgendes Ergebnis (gerundet auf halbe Stunden):
durchschnittliche tägliche
Internet-Nutzungsdauer
pro Person in Stunden
2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 6,0 10,0
Anzahl der Personen 3 4 5 2 4 1 1
– Berechnen Sie das arithmetische Mittel und die Standardabweichung der durchschnittlichen
täglichen Internet-Nutzungs dauer pro Person aus den gegebenen Daten. [1 Punkt]

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Aufgabe 2
Erfassen der Geschwindigkeit
Auf einer Teststrecke werden Messungen durchgeführt.
a) Die Test strecke beginnt bei einem Stoppschild. Die Messergebnisse für ein Auto auf dieser
Strecke sind in folgender Tabelle angegeben:
am Stoppschild Messung 1 Messung 2
Zeit t in min 0 1 2,5
zurückgelegter Weg s 1 ( t ) in km 0 1 3
Der zurückgelegte Weg soll in Abhängigkeit von der Zeit t im Zeitintervall [0; 2,5] durch eine
Polynomfunktion s 1 mit s 1 ( t ) = a ∙ t
2
+ b ∙ t + c beschrieben werden.
– Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion s 1 .
[1 Punkt]
– Berechnen Sie diese Koeffizienten. [1 Punkt]
b) Der zurückgelegte Weg eines anderen Autos kann näherungs weise durch die Funktion s 2
beschrieben werden:
s 2 ( t ) = –
1
3
∙ t ³ + 2 ∙ t ² +
1
3
∙ t mit 0 ≤ t ≤ 3
t ... Zeit in min
s 2 ( t ) ... zurückgelegter Weg zur Zeit t in km
– Überprüfen Sie nachweislich, ob die Geschwindigkeit dieses Autos zu Beginn des angegebenen Zeitintervalls null ist. [1 Punkt]
– Berechnen Sie, nach welcher Zeit t 0 die Beschleunigung des Autos im angegebenen Zeit intervall null ist. [1 Punkt]
– Zeigen Sie, dass die Geschwindigkeit zu dieser Zeit t 0 maximal ist. [1 Punkt]

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c) Die Geschwindigkeit eines anderen Autos kann im Zeitintervall [0; 3] näherungsweise durch
die Funktion v
3
beschrieben werden. Der Graph dieser Funktion v
3
ist in der nachstehenden
Abbildung dargestellt.
Zeit in s
v
3
Geschwindigkeit in m /s
0,5 1 1,5 2 2,5 3 0
20
15
10
5
0
25
– Erstellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Weg-Zeit-Funktion s
3
im Zeitintervall [1; 3] mit
s
3
(1) = 15. [1 Punkt]

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Aufgabe 3
Bevölkerungsentwicklung
In manchen Orten Österreichs, z. B. in der steirischen Gemeinde Eisenerz, nimmt die Bevöl
kerungszahl ab. Zur mathematischen Beschreibung dieser Entwicklung können verschiedene
Modelle verwendet werden.
a) Zu Beginn des Jahres 1992 lebten in der steirischen Gemeinde Eisenerz 7 965 Menschen, zu
Beginn des Jahres 2014 waren es 4 524.
Die Entwicklung der Bevölkerungszahl in Eisenerz soll näherungsweise durch eine lineare
Funktion N 1 beschrieben werden.
– Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion N 1 . [1 Punkt]
t … Zeit in Jahren, t = 0 entspricht dem Beginn des Jahres 1992
N 1 ( t ) … Bevölkerungszahl zur Zeit t
– Interpretieren Sie den Wert der Steigung der Funktion N 1 im gegebenen Sachzusammenhang. [1 Punkt]

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b) Im nachstehenden Diagramm wird die Entwicklung der Bevölkerungszahl von Eisenerz im
Zeitraum von 1951 bis 2011 näherungsweise durch den Graphen der Polynom funktion N
2
dargestellt.
N
2
Bevölkerungszahl
14 000
12 000
10 000
8 000
6 000
4 000
2 000
0 10 20 30 40 50 60
0
Zeit t seit Beginn des
Jahres 1951 in Jahren
Q
P
– Ordnen Sie den Punkten P und Q jeweils die an der entsprechenden Stelle zutreffende Aussage aus A bis D zu. [2 zu 4] [1 Punkt]
P
Q
A N
2
′ ( t ) > 0 und N
2
″ ( t ) > 0
B N 2 ′ ( t ) < 0 und N 2 ″ ( t ) > 0
C N
2
′ ( t ) < 0 und N
2
″ ( t ) < 0
D N
2
′ ( t ) > 0 und N
2
″ ( t ) < 0
c) In der nachstehenden Tabelle sind die Bevölkerungszahlen von Eisenerz für den Beginn des
Jahres 1981 und den Beginn des Jahres 2014 angegeben:
Beginn des Jahres ... 1981 2014
Bevölkerungszahl 10 068 4 524
Die Entwicklung der Bevölkerungszahl soll näherungsweise durch eine Exponentialfunktion N
3
beschrieben werden.
– Erstellen Sie eine Gleichung derjenigen Exponentialfunktion N
3
, die die Bevölkerungszahl in
Abhängigkeit von der Zeit t in Jahren seit Beginn des Jahres 1981 beschreibt. [1 Punkt]
– Ermitteln Sie mithilfe der Funktion N
3
, welche Bevölkerungszahl für den Beginn des
Jahres 2030 zu erwarten ist. [1 Punkt]

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Aufgabe 4
Fußball
Jedes Wochenende fiebern tausende Zuschauer/innen in den Stadien bei den Spielen der
Fußball Bundesliga mit ihren Mannschaften mit.
a) Um nach der Hälfte der Spiele einer Fußballsaison in der österreichischen Bundesliga die
voraussichtliche Punktezahl einer Mannschaft am Saisonende schätzen zu können, wurde
folgende Formel entwickelt:
P =
T
1,32
T
1,32
+ G
1,32 · 36 · 2,753
T ... geschossene Tore in der ersten Saisonhälfte
G ... erhaltene Tore (Gegentore) in der ersten Saisonhälfte
P ... voraussichtliche Punktezahl am Saisonende
Sturm Graz hat in der Saison 2013/14 in der ersten Saisonhälfte 25 Tore geschossen und
30 Tore erhalten.
Ein Fan will mit der angegebenen Formel die Punktezahl von Sturm Graz am Saisonende
schätzen und tippt das Folgende in den Taschenrechner ein:
25
1,32
� 25
1,32
+ 30
1,32
· 36 · 2,753 = 8 829,9...
– Beschreiben Sie, welcher Fehler dabei gemacht wurde. [1 Punkt]
Sturm Graz erreichte in der Saison 2013/14 in der ersten Saisonhälfte 19 Punkte und bis zum
Saison ende insgesamt 48 Punkte.
– Überprüfen Sie nachweislich, ob die Punktezahl, die man mit der obigen Formel erhält, in
diesem Fall den tatsächlichen Punktestand am Saisonende besser annähert als eine Verdoppelung der Punkte in der ersten Saisonhälfte. [1 Punkt]
In der Formel zur Berechnung der voraussichtlichen Punktezahl einer Mannschaft am Saison ende kommt der Ausdruck T
1,32
vor.
– Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der zu diesem Ausdruck äquivalent (gleichwertig) ist.
[1 aus 5] [1 Punkt]
T
1
32

132
T

100
T
132
1
1,32
T
1
T
32

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b) Eine bestimmte Mannschaft verwandelt 80 % der Elfmeter (d. h. erzielt dabei ein Tor).
– Berechnen Sie unter der Annahme einer Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeit, dass die
Mannschaft genau 4 von 5 Elfmetern verwandelt. [1 Punkt]
c) Ein Fußballer steht am Elfmeterpunkt E und schießt den Ball unter einem Höhenwinkel von
α = 5° ab. Der Ball (vereinfacht als punktförmig angenommen) überfliegt die Torlinie im
Punkt P . Aufgrund der hohen Geschwindigkeit des Balls kann seine Flugbahn bis zum
Punkt P näherungsweise als geradlinig angenommen werden.
Folgende Entfernungen sind bekannt: AB = 3 m und BE = 11 m.
Tor
E
B
P
A Torlinie
– Berechnen Sie die Länge EP . [1 Punkt]
Der Ball erreicht 0,4 Sekunden nach dem Abschuss im Punkt E den Punkt P .
– Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit des Balls in km/h. [1 Punkt]

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Aufgabe 5
Der Genfer See
a) Der Jet d’eau ist ein Springbrunnen im Genfer See. Die Wasserfontäne des Springbrunnens
erreicht eine maximale Höhe von 140 Metern.
In einem vereinfachten Modell kann die Höhe eines Wasserteilchens über der Wasserober fläche in Abhängigkeit von der Zeit durch die Funktion h beschrieben werden:
h ( t ) = –4,9 · t
2
+ 55,6 · t mit t ≥ 0
t … Zeit nach dem Austritt eines Wasserteilchens in s
h ( t ) … Höhe des Wasserteilchens über der Wasseroberfläche zur Zeit t in m
In diesem Modell wird der Luftwiderstand nicht berücksichtigt. Daher weicht die mithilfe der
Modellfunktion h ermittelte maximale Höhe deutlich von der angegebenen maximalen Höhe
ab.
– Berechnen Sie, um wie viel Prozent die mithilfe der Modellfunktion h ermittelte maximale
Höhe über der angegebenen maximalen Höhe von 140 Metern liegt. [1 Punkt]

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b) Der Genfer See wird durch mehrere Flüsse gespeist. Der Wasserstand des Sees wird beim
Abfluss reguliert.
Die nachstehende Grafik zeigt den Verlauf der Durchflussrate des Wassers beim Abfluss innerhalb von 48 Stunden.
Durchflussrate f ( t ) in m
3
/h
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48
32,4 ∙ 10
5
28,8 ∙ 10
5
25,2 ∙ 10
5
21,6 ∙ 10
5
18 ∙ 10
5
14,4 ∙ 10
5
10,8 ∙ 10
5
7,2 ∙ 10
5
3,6 ∙ 10
5
f
0
Zeit t in h
– Beschreiben Sie unter Angabe der entsprechenden Einheit, was mit dem Ausdruck
∫
48
0
f ( t ) d t im gegebenen Sachzusammenhang berechnet wird. [1 Punkt]
Die Funktion F ist eine Stammfunktion der in der obigen Grafik dargestellten Funktion f .
– Kreuzen Sie die für F zutreffende Aussage an. [1 aus 5] [1 Punkt]
F hat die Stelle mit dem größten Anstieg im Intervall [14; 18].
F hat eine Maximumstelle im Intervall [26; 30].
F ist monoton fallend im Intervall [32; 44].
F ist monoton steigend im Intervall [4; 26].
F ist im Intervall [0; 16] positiv gekrümmt (linksgekrümmt).

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Aufgabe 6 (Teil B)
Lackproduktion
Ein Unternehmen stellt verschiedene Lacke her. Es wird die monatliche Produktion be trachtet.
a) Die Kosten für die Herstellung des Acryllacks Ferrocolor sollen durch eine Kostenfunktion K
mit K ( x ) = a · x
3
+ b · x
2
+ c · x + d beschrieben werden. Das Unternehmen hat dabei Fix kosten von 450 GE. Bei der Produktion von 8 ME liegt die Kostenkehre. Bei der Produktion
von 8 ME betragen die Gesamtkosten 522 GE und die Grenzkosten 5 GE/ME.
– Erstellen Sie ein Gleichungssystem, mit dem die Koeffizienten a , b , c und d ermittelt werden
können. [2 Punkte]
– Ermitteln Sie die Koeffizienten a , b , c und d . [1 Punkt]
b) Im nachstehenden Diagramm ist der Graph der Kostenfunktion K für die Herstellung des
Lacks VariColor dargestellt.
x in ME
K ( x ) in GE
22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 24
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
200
Das Betriebsoptimum kann mithilfe des Graphen der Kostenfunktion K ermittelt werden, in dem man diejenige Tangente an den Graphen von K einzeichnet, die durch den Koordinaten ursprung verläuft. Die x -Koordinate des Berührpunkts ist das Betriebsoptimum.
– Ermitteln Sie grafisch mithilfe des obigen Diagramms das Betriebsoptimum. [1 Punkt]
– Ermitteln Sie die langfristige Preisuntergrenze. [1 Punkt]

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c) Für die Holzschutzgrundierung Pullex wird der Zusammenhang zwischen dem Preis und der
Absatzmenge erhoben:
Absatzmenge x in ME Preis p
N
( x ) in GE/ME
10 16
12 13
15 12
17 9
19 8
– Ermitteln Sie mithilfe linearer Regression eine Gleichung der Preisfunktion der Nachfrage p N .
[1 Punkt]
– Ermitteln Sie den maximalen Erlös. [1 Punkt]
d) Die Gewinnfunktion G für den Lack Soloplast ist gegeben durch:
G ( x ) = –0,025 · x
3
– 0,1 · x
2
+ 12 · x – 65
x ... Anzahl der abgesetzten ME
G ( x ) ... Gewinn bei x abgesetzten ME in GE
– Lesen Sie aus der Gleichung der Gewinnfunktion die Fixkosten für die Herstellung des
Lacks ab. [1 Punkt]
– Beschreiben Sie, wie sich der Graph der Gewinnfunktion ändert, wenn die Fixkosten steigen.
[1 Punkt]

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Aufgabe 7 (Teil B)
Epidemie
In einem Land breitet sich eine Epidemie aus.
a) Nach wissenschaftlichen Recherchen vor Ort konnte im Nachhinein der Zeitpunkt des ersten
Infektionsfalls festgestellt werden.
Zu Beginn der Epidemie verdoppelt sich die Anzahl der Neuinfektionen etwa alle 4 Tage.
– Erstellen Sie eine Gleichung derjenigen Funktion N , die die Anzahl der Neuinfektionen zur
Zeit t in Tagen beschreibt. Wählen Sie t = 0 für den Zeitpunkt des ersten Infektionsfalls.
[1 Punkt]
– Argumentieren Sie, dass eine exponentielle Zunahme der Anzahl der Neuinfektionen auf
lange Sicht nicht realistisch ist. [1 Punkt]
b) Der zeitliche Verlauf der Gesamtanzahl der seit Ausbruch der Epidemie infizierten Personen
kann näherungsweise durch die Funktion I beschrieben werden.
I ( t ) =
30 000
1 + b · ℯ
–0,1739 · t
t … Zeit seit Ausbruch der Epidemie in Tagen
I ( t ) … Gesamtanzahl der seit Ausbruch der Epidemie infizierten Personen zur Zeit t
Nach 41 Tagen wurden insgesamt 1 200 infizierte Personen registriert.
– Berechnen Sie den Parameter b . [1 Punkt]
– Ermitteln Sie, nach welcher Zeit gemäß diesem Modell erstmals mehr als 17 000 Personen
infiziert sein werden. [1 Punkt]

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c) Der zeitliche Verlauf der Gesamtanzahl der seit Ausbruch der Epidemie infizierten Personen
kann näherungsweise durch eine Funktion I beschrieben werden. Der Graph der Funktion I
ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
80 70 60 50 40 30 20 10 0 90
Zeit seit Ausbruch
der Epidemie in Tagen
Gesamtanzahl der seit Ausbruch der Epidemie
infizierten Personen
I
25 000
20 000
15 000
10 000
5 000
0
30 000
– Interpretieren Sie den Ausdruck I (45) im gegebenen Sachzusammenhang. [1 Punkt]
– Lesen Sie aus der Grafik denjenigen Zeitpunkt ab, bei dem die Anzahl der Neuinfektionen
pro Tag am höchsten ist. [1 Punkt]
– Dokumentieren Sie in Worten, wie der Zeitpunkt, zu dem die Anzahl der Neuinfektionen pro
Tag am höchsten ist, mithilfe der Differenzialrechnung berechnet werden kann, wenn eine
Gleichung von I bekannt ist. [1 Punkt]

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Aufgabe 8 (Teil B)
Liftgesellschaft
a) Für die Finanzierung eines Sessellifts hat eine Liftgesellschaft einen Kredit in Höhe von
€ 1,4 Mio. aufgenommen. Diesen Kredit zahlt die Liftgesellschaft durch nachschüssige
Jahres raten in Höhe von € 90.000 bei einer Verzinsung von 4 % p. a. zurück. (Spesen und
Gebühren werden nicht be rücksichtigt.)
– Berechnen Sie, wie viele volle Jahresraten zu zahlen sind. [1 Punkt]
Nach 5 Jahren Kredittilgung gerät die Liftgesellschaft in Zahlungsschwierigkeiten und setzt die
Rückzahlungen aus.
– Berechnen Sie die Höhe der Restschuld am Ende des 6. Jahres. [1 Punkt]
b) Die Liftgesellschaft bildet eine Rücklage und veranlagt dafür 3 Beträge zu unterschiedlichen
Zeitpunkten. Der Gesamtwert der Rücklage nach 6 Jahren wird durch folgende Rechnung
ermittelt:
(50 000 · 1,03
2
+ 30 000) · 1,035
4
+ 80 000 · 1,035 ≈ 178 096,05
– Beschreiben Sie, zu welchen Zinssätzen der Betrag in Höhe von € 50.000 verzinst wird.
Geben Sie an, wie lange die jeweiligen Zinssätze gelten. [1 Punkt]
– Tragen Sie die 3 Beträge und den Gesamtwert der Rücklage nach 6 Jahren auf der nachstehenden Zeit achse ein. [1 Punkt]
t in Jahren
5 4 3 2 1 0 6

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Aufgabe 9 (Teil B)
Verzinsung
a) Auf einem Konto werden € 3.000 angelegt.
Für eine Zeitspanne von 3 Jahren wird dieser Betrag mit 5 % pro Jahr verzinst, anschließend
für 2 Jahre mit 1 % pro Jahr.
– Ermitteln Sie den Kontostand nach 5 Jahren K 5 . [1 Punkt]
Bei einem konstanten Jahreszinssatz i wäre der Kontostand nach 5 Jahren auf denselben
Wert K 5 angewachsen.
– Bestimmen Sie diesen Jahreszinssatz i . [1 Punkt]
b) Die Basisformel für die Zinseszinsrechnung lautet:
Kn = K 0 · (1 + i )
n
K 0 ... Anfangskapital
Kn ... Kapital nach n Jahren
i ... Jahreszinssatz
Nach einer bestimmten Anzahl von Jahren n 2 hat sich das Anfangskapital verdoppelt.
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung von n 2 aus i . [1 Punkt]
n 2 =
Zur näherungsweisen Berechnung von n 2 kann die sogenannte 0,69er-Regel verwendet
werden:
n 2 ≈
0,69
i
+ 0,35
– Überprüfen Sie nachweislich, ob die 0,69er-Regel für i = 0,04 eine gute Näherung von n 2
ergibt. [1 Punkt]