Mathematik-Matura Jänner 2018 · HAK Cluster W2 – Lösungen

BHS
16. Jänner 2018
Angewandte Mathematik
Teil A + Teil B (Cluster 8)
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung

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Korrektur- und Beurteilungsanleitung
zur standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung
in Angewandter Mathematik
(Detaillierte Informationen dazu finden Sie für den BHS-Bereich im entsprechenden Erlass zur Beurteilung, der auf der Website https://ablauf.srdp.at/ abrufbar ist.)
Kompetenzbereiche
Im Beurteilungsmodell für die Angewandte Mathematik wird zwischen zwei Kompetenzbereichen
unterschieden:
n Kompetenzbereich A ( KA ) umfasst die unabhängig
1
erreichbaren Punkte der Komplexitätsstufen 1 und 2 aus dem Kompetenzstufenraster.
n Kompetenzbereich B ( KB ) umfasst die abhängig erreichbaren Punkte und die Punkte der
Komplexitätsstufen 3 und 4 aus dem Kompetenzstufenraster.
Die Summe der unabhängig erreichbaren Punkte aus den Komplexitätsstufen 1 und 2 ( KA ) stellt die
„wesentlichen Bereiche“ eines Klausurheftes dar.
Beurteilung
Als Hilfsmittel für die Beurteilung wird ein auf ein Punktesystem basierender Beurteilungsschlüssel angegeben. Je nach gewichteter Schwierigkeit der vergebenen Punkte in den „wesentlichen
Bereichen“ wird festgelegt, ab wann die „wesentlichen Bereiche überwiegend“ (Genügend) erfüllt
sind, d. h., gemäß einem Punkteschema müssen Punkte aus dem Kompetenzbereich A unter Einbeziehung von Punkten aus dem Kompetenzbereich B in ausreichender Anzahl abhängig von der
Zusammenstellung der Klausurhefte gelöst werden. Darauf aufbauend wird die für die übrigen Notenstufen zu erreichende Punktezahl festgelegt.
Nach der Punkteermittlung soll die Arbeit der Kandidatin / des Kandidaten nochmals ganzheitlich
qualitativ betrachtet werden. Unter Zuhilfenahme des Punkteschemas und der ganzheitlichen Betrachtung ist von der Prüferin / vom Prüfer ein verbal begründeter Beurteilungsvorschlag zu erstellen,
wobei die Ergebnisse der Kompetenzbereiche A und B in der Argumentation zu verwenden sind.
Beurteilungsschlüssel für die vorliegende Klausur:
44–48 Punkte Sehr gut
39–43 Punkte Gut
34–38 Punkte Befriedigend
23– 33 Punkte Genügend
0–22 Punkte Nicht genügend
1
Unabhängige Punkte sind solche, für die keine mathematische Vorleistung erbracht werden muss. Als mathematische Vorleistung gilt z. B. das Aufstellen einer Gleichung (unabhängiger Punkt) mit anschließender Berechnung (abhängiger Punkt).

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Handreichung zur Korrektur
der standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung
in Angewandter Mathematik
1. In der Lösungserwartung ist nur ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen.
2. Der Lösungsschlüssel ist unter Beachtung folgender Vorgangsweisen verbindlich anzuwenden:
a. Punkte sind nur zu vergeben, wenn die abgefragte Handlungskompetenz in der Bearbeitung vollständig erfüllt ist.
b. Berechnungen ohne nachvollziehbaren Rechenansatz bzw. ohne nachvollziehbare Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete Ausgangsparameter und die verwendete
Technologiefunktion müssen angegeben sein) sind mit null Punkten zu bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen bzw. Lösungswege von der Kandidatin / vom
Kandidaten angeboten und nicht alle diese Lösungen bzw. Lösungswege sind korrekt, so
ist diese Teilaufgabe mit null Punkten zu bewerten.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Das heißt zum Beispiel :
Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in einem
Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel
Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als solche
identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner Vereinfachung
der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler können vernachlässigt werden, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert ist.
h. Jedes Diagramm bzw. jede Skizze, die Lösung einer Handlungsanweisung ist, muss eine
qualitative Achsenbeschriftung enthalten, andernfalls ist dies mit null Punkten zu bewerten.
i. Die Angabe von Einheiten kann bei der Punktevergabe vernachlässigt werden, sofern sie im
Lösungsschlüssel nicht explizit eingefordert wird.

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Aufgabe 1
Internet
Möglicher Lösungsweg
a)
N in Minuten
Wendepunkt
140 180
b) 0,25 ∙
1
8
= 0,03125
Sie wendet etwa 3 % ihrer gesamten Internet-Nutzungsdauer für dieses Spiel auf.
c) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
arithmetisches Mittel: x = 3,95 h
Standardabweichung: s = 1,627... h
Auch eine Berechnung der Standardabweichung als sn – 1 = 1,669... h ist als richtig zu werten.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A1: für das richtige Eintragen der beiden fehlenden Zeiten (KA)
1 × A2: für das richtige Veranschaulichen der Wahrscheinlichkeit in der gegebenen Abbildung
(KB)
b) 1 × B: für das richtige Ermitteln des Prozentsatzes (KA)
c) 1 × B: für die richtige Berechnung des arithmetischen Mittels und der Standardabweichung
( s bzw. sn – 1 ) (KA)

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Aufgabe 2
Erfassen der Geschwindigkeit
Möglicher Lösungsweg
a) s 1 (0) = 0
s 1 (1) = 1
s 1 (2,5) = 3
oder:
0 = a ∙ 0
2
+ b ∙ 0 + c
1 = a ∙ 1
2
+ b ∙ 1 + c
3 = a ∙ 2,5
2
+ b ∙ 2,5 + c
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
a =
2
15
b =
13
15
c = 0
b) v 2 ( t ) = s 2 ′ ( t ) = – t
2
+ 4 ∙ t +
1
3
v 2 (0) =
1
3
≠ 0
Das Auto hatte zu Beginn des angegebenen Zeitintervalls eine Geschwindigkeit ungleich 0.
a 2 ( t ) = s 2 ″ ( t ) = –2 ∙ t + 4
a 2 ( t 0 ) = 0 ⇒ t 0 = 2
An der Stelle t 0 = 2 gilt:
v 2 ′ (2) = a 2 (2) = 0
v 2 ″ (2) = a 2 ′ (2) = –2 < 0
Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit zur Zeit t 0 maximal ist.
Eine Überprüfung der Randstellen ist für die Punktevergabe nicht erforderlich.
c) v 3 ( t ) = 5 ∙ t + 10 mit 1 ≤ t ≤ 3
Integrieren ergibt:
s 3 ( t ) =
5
2
∙ t
2
+ 10 ∙ t + C
Wegen s 3 (1) = 15 gilt:
s 3 ( t ) =
5
2
∙ t
2
+ 10 ∙ t +
5
2
mit 1 ≤ t ≤ 3
t ... Zeit in s
s 3 ( t ) ... zurückgelegter Weg zur Zeit t in m

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Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Erstellen des Gleichungssystems (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung der Koeffizienten (KB)
b) 1 × D1: für den richtigen Nachweis, dass die Geschwindigkeit ungleich null ist (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung der Zeit t
0
(KA)
1 × D2: für den richtigen Nachweis, dass die Geschwindigkeit zur Zeit t
0
maximal ist (KB)
Eine Überprüfung der Randstellen ist für die Punktevergabe nicht erforderlich.
c) 1 × A: für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung (KB)

7
Aufgabe 3
Bevölkerungsentwicklung
Möglicher Lösungsweg
a) N 1 ( t ) = k ∙ t + d
d = N 1 (0) = 7 965
k =
4 524 – 7 965
22
= –156,4...
N 1 ( t ) = –156 ∙ t + 7 965
Im gegebenen Zeitraum nahm die Bevölkerungszahl im Mittel pro Jahr um etwa 156 Personen ab.
b)
P C
Q B
A N 2 ′ ( t ) > 0 und N 2 ″ ( t ) > 0
B N
2
′ ( t ) < 0 und N
2
″ ( t ) > 0
C N 2 ′ ( t ) < 0 und N 2 ″ ( t ) < 0
D N
2
′ ( t ) > 0 und N
2
″ ( t ) < 0
c) N 3 ( t ) = N 3 (0) ∙ a
t
oder: N 3 ( t ) = N 3 (0) ∙ ℯ
– λ ∙ t
4 524 = 10 068 ∙ a
33
⇒ a = 0,976... 4 524 = 10 068 · ℯ
– λ ∙ 33
⇒ λ = –0,024...
N 3 ( t ) = 10 068 ∙ 0,976...
t
N 3 ( t ) = 10 068 ∙ ℯ
–0,024... ∙ t
N 3 (49) = 3 069,5...
Gemäß diesem Modell ist für den Beginn des Jahres 2030 eine Bevölkerungszahl von
etwa 3 070 Personen zu erwarten.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Erstellen einer Gleichung der Funktion N 1 (KA)
1 × C: für die richtige Interpretation des Werts der Steigung im gegebenen Sachzusammenhang (KB)
b) 1 × C: für die richtige Zuordnung (KA)
c) 1 × A: für das richtige Erstellen einer Gleichung der Funktion N 3 (KA)
1 × B: für das richtige Ermitteln der Bevölkerungszahl für den Beginn des Jahres 2030 (KB)

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Aufgabe 4
Fußball
Möglicher Lösungsweg
a) Der Ausdruck 25
1,32
+ 30
1,32
wurde nicht eingeklammert.
Berechnung mithilfe der Formel:
25
1,32
� (25
1,32
+ 30
1,32
) ∙ 36 ∙ 2,753 = 43,6... ≈ 44
Verdoppelung der Punkte nach der ersten Saisonhälfte: 19 ∙ 2 = 38
Die Zahl, die mit der Formel berechnet wurde, ist näher an der tatsächlichen Punkteanzahl als
die Verdoppelung der Punkte in der ersten Saisonhälfte.

100
T
132
b) n = 5 und p = 0,8
X ... Anzahl der verwandelten Elfmeter
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P ( X = 4) = 0,4096
c) AE :

3
2
+ 11
2
=

130
EP : cos( α ) =
AE
EP
⇒ EP =
cos(5°)

130
= 11,445...
EP ≈ 11,45 m
11,44... m
0,4 s
= 28,61...
m
s
≈ 103
km
h
Lösungsschlüssel
a) 1 × C1: für die richtige Beschreibung, welcher Fehler gemacht wurde (KA)
1 × D: für die richtige nachweisliche Überprüfung (KA)
1 × C2: für das richtige Ankreuzen (KA)
b) 1 × B: für die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit (KA)
c) 1 × B1: für die richtige Berechnung der Länge EP (KA)
1 × B2: für die richtige Berechnung der mittleren Geschwindigkeit in km/h (KB)

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Aufgabe 5
Der Genfer See
Möglicher Lösungsweg
a) h ′ ( t max ) = 0
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t max = 5,673...
h ( t max ) = 157,72...
prozentueller Unterschied zur angegebenen maximalen Höhe:
157,72... – 140
140
= 0,1265... ≈ 12,7 %
b) Mit dem Ausdruck wird die gesamte Wassermenge in m
3
berechnet, die innerhalb dieser
48 Stunden den See durch den Abfluss verlassen hat.
F ist monoton steigend im Intervall [4; 26].
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für die richtige Berechnung des prozentuellen Unterschieds (KB)
b) 1 × C1: für die richtige Beschreibung im gegebenen Sachzusammenhang mit Angabe der
entsprechenden Einheit (KA)
1 × C2: für das richtige Ankreuzen (KB)

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Aufgabe 6 (Teil B)
Lackproduktion
Möglicher Lösungsweg
a) K ( x ) = a · x
3
+ b · x
2
+ c · x + d
K ′ ( x ) = 3 · a · x
2
+ 2 · b · x + c
K ″ ( x ) = 6 · a · x + 2 · b
I : K (0) = 450 ⇒ 450 = d
II : K (8) = 522 ⇒ 522 = 512 · a + 64 · b + 8 · c + 450
III : K ′ (8) = 5 ⇒ 5 = 192 · a + 16 · b + c
IV : K ″ (8) = 0 ⇒ 0 = 48 · a + 2 · b
Lösung des Gleichungssystems mittels Technologieeinsatz:
a =
1
16
= 0,0625
b = –
3
2
= –1,5
c = 17
d = 450
b)
x in ME
K ( x ) in GE
22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 24
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
200
Betriebsoptimum
grafische Ermittlung des Betriebsoptimums: 16 ME (Toleranzbereich: [15; 17])
Ermittlung der langfristigen Preisuntergrenze:
136 GE
16 ME
= 8,5 GE/ME (Toleranzbereich: [8; 9])

11
c) Berechnung der Preisfunktion der Nachfrage mittels Technologieeinsatz:
p
N
( x ) = –0,861 · x + 24,169 (Koeffizienten gerundet)
E ( x ) = p
N
( x ) · x
E ′ ( x ) = 0 ⇒ x = 14,037...
E (14,037...) = 169,632...
Der maximale Erlös beträgt rund 169,63 GE.
d) G (0) = – F
Die Fixkosten betragen 65 GE.
Wenn die Fixkosten steigen, wird der Graph der Gewinnfunktion nach unten verschoben.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A1: für das richtige Erstellen der Gleichungen mithilfe der Funktion K (KA)
1 × A2: für das richtige Erstellen der Gleichungen mithilfe der Funktionen K ′ und K ″ (KA)
1 × B: für das richtige Ermitteln der Koeffizienten a , b , c und d (KB)
b) 1 × A: für das richtige grafische Ermitteln des Betriebsoptimums (KA)
1 × B: für das richtige Ermitteln der langfristigen Preisuntergrenze (KA)
c) 1 × B1: für das richtige Ermitteln der Gleichung mithilfe linearer Regression (KA)
1 × B2: für das richtige Ermitteln des maximalen Erlöses (KB)
d) 1 × C1: für das richtige Ablesen der Fixkosten (KA)
1 × C2: für die richtige Beschreibung der Veränderung des Graphen der Gewinnfunktion (KA)

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Aufgabe 7 (Teil B)
Epidemie
Möglicher Lösungsweg
a) N ( t ) = N 0 · a
t
N 0 = 1
a =

4
2 = 1,18920...
N ( t ) = 1 · 1,1892...
t
oder N ( t ) = 1 · 2
t
4
t ... Zeit seit dem ersten Infektionsfall in Tagen
N ( t ) ... Anzahl der Neuinfektionen zur Zeit t
Eine exponentielle Zunahme ist auf lange Sicht nicht möglich, da die Anzahl der Personen, die
infiziert werden können, beschränkt ist, die Funktion N aber nicht.
b) 1 200 =
30 000
1 + b · ℯ
–0,1739 · 41
Lösung der Gleichung mittels Technologieeinsatz: b = 29 970,0...
17 000 =
30 000
1 + 29 970,0... · ℯ
–0,1739 · t
Lösung der Gleichung mittels Technologieeinsatz: t = 60,8...
Nach etwa 61 Tagen werden erstmals mehr als 17 000 Personen infiziert sein.
c) I (45) gibt an, wie viele Personen insgesamt in den ersten 45 Tagen infiziert wurden.
Nach 60 Tagen ist die Anzahl der Neuinfektionen pro Tag am höchsten (Toleranzbereich: ± 5 Tage).
Dazu ermittelt man die Nullstelle der 2. Ableitung der Funktion I im dargestellten Bereich.
In der Grafik ist klar zu erkennen, dass I im dargestellten Intervall nur eine Wendestelle hat
und dass an dieser Stelle die Zunahme am stärksten ist. Daher sind eine Überprüfung mithilfe
der 1. Ableitung und eine Überprüfung der Randstellen nicht erforderlich.

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Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Erstellen der Gleichung der Funktion N (KA)
1 × D: für die richtige Argumentation (KA)
b) 1 × B1: für die richtige Berechnung des Parameters b (KA)
1 × B2: für das richtige Ermitteln der Zeit, nach der erstmals mehr als 17 000 Personen infiziert
sein werden (KB)
c) 1 × C1: für die richtige Interpretation im gegebenen Sachzusammenhang (KA)
1 × C2: für das richtige Ablesen der Wendestelle im Toleranzbereich [55; 65] (KA)
1 × C3: für die richtige Dokumentation in Worten (KB)
(In der Grafik ist klar zu erkennen, dass I im dargestellten Intervall nur eine Wende stelle hat und dass an dieser Stelle die Zunahme am stärksten ist. Daher sind eine
Überprüfung mithilfe der 1. Ableitung und eine Überprüfung der Randstellen nicht
erforderlich.)

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Aufgabe 8 (Teil B)
Liftgesellschaft
Möglicher Lösungsweg
a)
Jahr Einnahmen Ausgaben
0 € 4.500.000
1 € 940.000 € 250.000
2 € 940.000 € 250.000
3 € 940.000 € 330.000
4 € 940.000 € 250.000
5 € 940.000 € 250.000
6 € 940.000 € 330.000
7 € 940.000 € 250.000
8 € 1.390.000 € 250.000
–4 500 000 + (940 000 – 250 000) ·
1,04
8
– 1
0,04
·
1
1,04
8 +
450 000
1,04
8 –
80 000
1,04
6 –
80 000
1,04
3 =
= 340 059,685...
Der Kapitalwert dieser Investition beträgt € 340.059,69.
b) Der Betrag in Höhe von € 50.000 wird 2 Jahre zu 3 % p. a., dann 4 Jahre zu 3,5 % p. a. verzinst.
t in Jahren
5 4 3 2 1 0 6
€ 50.000 € 30.000 € 80.000
€ 178.096,05
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Übertragen in die Einnahmen-Ausgaben-Tabelle (KA)
1 × B: für das richtige Ermitteln des Kapitalwerts (KA)
b) 1 × C: für die richtige Beschreibung der Zinssätze und der Verzinsungsdauer (KA)
1 × A: für das richtige Eintragen der 3 Beträge und des Gesamtwerts der Rücklage nach
6 Jahren (KA)

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Aufgabe 9 (Teil B)
Verzinsung
Möglicher Lösungsweg
a) K 5 = 3 000 ∙ 1,05
3
∙ 1,01
2
= 3 542,679...
Der Kontostand nach 5 Jahren beträgt € 3.542,68.
1 + i =

5
1,05
3
· 1,01
2
= 1,0338... ≈ 1,034 oder: 3 542,679... = 3 000 ∙ (1 + i )
5
i =

5 3 542,679...
3 000
– 1 = 0,0338...
Der Jahreszinssatz beträgt rund 3,4 %.
b) 2 = (1 + i )
n 2
n 2 =
ln(2)
ln(1 + i )
Auch das Erstellen der Formel mit Logarithmen zu einer anderen Basis ist als richtig zu werten.
i n
2
=
ln(2)
ln(1 + i )
n
2
≈
0,69
i
+ 0,35
0,04 17,67... 17,6
Die 0,69er-Regel ergibt also für i = 0,04 eine gute Näherung von n 2 .
Lösungsschlüssel
a) 1 × B1: für das richtige Ermitteln des Kontostands nach 5 Jahren (KA)
1 × B2: für das richtige Bestimmen des Jahreszinssatzes (KA)
b) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel für n 2 (KA)
Auch das Erstellen der Formel mit Logarithmen zu einer anderen Basis ist als richtig zu
werten.
1 × D: für die richtige nachweisliche Überprüfung (KB)