Mathematik-Matura Jänner 2018 · AHS Teil 2 – Lösungen

AHS
16. Jänner 2018
Mathematik
Teil-2-Aufgaben
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung

2
Aufgabe 1
Funktion
a) Lösungserwartung:
Mögliche Vorgehensweise:
f ′ ( x ) = 2 ∙ a ∙ x + b
f ′ (0) = b
x
P
= 0, f ( x
P
) = c ⇒ P = (0| c )
Steigung der Tangente: b
Abschnitt auf der senkrechten Achse: c
⇒ t ( x ) = b ∙ x + c
b = 9 und c = 4
f (–1) = a – 9 + 4 = 20 ⇒ a = 25
⇒ a = 25, b = 9, c = 4
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die Angabe der richtigen Koordinaten von P und einer korrekten Gleichung
von t . Äquivalente Gleichungen sind als richtig zu werten.
– Ein Punkt für die Angabe der richtigen Werte von a , b und c .
b) Lösungserwartung:
Mögliche Vorgehensweise:
b
2
– 4 ∙ a ∙ c = 0
⇒ a =
b
2
4 · c
Mögliche Skizze:
f ( x )
x
f
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung.
– Ein Punkt für eine korrekte Skizze, wobei der Scheitel erkennbar auf der negativen x -Achse
liegen und die Parabel nach oben geöffnet sein muss.

3
c) Lösungserwartung:
f ( x ) = 16 ∙ x
2
+ b ∙ x + 9
f ′ ( x ) = 32 ∙ x + b = 0 ⇒ Stelle des lokalen Extremums: x
E
= –
b
32
Funktionswert an der Stelle x
E
: f
(
–
b
32
)
= 9 –
b
2
64
g
(
–
b
32
)
= 9 – 16 ∙
b
2
32
2
= 9 –
b
2
64
, dieser Ausdruck stimmt mit dem Funktionswert an der Stelle
des lokalen Extremums der Funktion f überein.
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für die Angabe der beiden korrekten Werte.
– Ein Punkt für einen korrekten Nachweis. Andere korrekte Nachweise sind ebenfalls als
richtig zu werten.

4
Aufgabe 2
Ansteigende Straße
a) Lösungserwartung:
h (60) – h (0)
60 – 0
=
10 – 0
60
=
1
6
= 0,16
∙
≈ 0,17
Mögliche Interpretation:
Die Straße steigt von A nach B pro Meter in waagrechter Richtung im Mittel um ca. 17 cm in
senkrechter Richtung an.
Die Behauptung trifft nicht zu.
Mögliche Begründungen:
Die Wendestelle einer Funktion 3. Grades kann auch derjenigen Stelle entsprechen, an der
der Anstieg minimal ist.
f ( x ), g ( x )
x
f g
W
f W
g
W
f
... Wendepunkt der Funktion f , in dem die Steigung der Tangente maximal ist
W
g
... Wendepunkt der Funktion g , in dem die Steigung der Tangente minimal ist
oder:
f ( x ) = x
3
... Die Funktion f hat eine Wendestelle, an der die Steigung der Tangente minimal ist.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung und eine korrekte Interpretation. Andere Schreibweisen der
Lösung sind ebenfalls als richtig zu werten.
Toleranzintervall: [0,16; 0,17] bzw. [16 %; 17 %].
– Ein Punkt für die richtige Entscheidung und eine korrekte Begründung. Andere korrekte
Begründungen sind ebenfalls als richtig zu werten.

5
b) Lösungserwartung:
h
1
( x ) =
1
6
∙ x
tan( α ) =
1
6
⇒ α ≈ 9,5°
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für eine korrekte Gleichung. Äquivalente Gleichungen sind als richtig zu
werten.
Toleranzintervall für den Wert der Steigung der linearen Funktion h
1
: [0,16; 0,17]
– Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „Grad“ nicht angeführt sein muss.
Toleranzintervall: [9°; 10°]
Eine korrekte Angabe der Lösung in einer anderen Einheit ist ebenfalls als richtig zu werten.
c) Lösungserwartung:
g ( t ) = 10 ⇔ t
2
+ 5 ∙ t – 50 = 0 ⇒ t
1
= 5, ( t
2
= –10)
Die Fahrt von A nach B dauert 5 Sekunden.
Die maximale momentane Änderungsrate der Höhe im Zeitintervall [0 s; 5 s] beträgt 3 m/s,
also überschreitet die momentane Änderungsrate der Höhe während dieser Zeitspanne einen
Wert von 4 m/s nicht.
Mögliche Begründung:
g ′ ( t ) = 0,4 ∙ t + 1
Die momentane Änderungsrate der Höhe ist im Intervall [0 s; 5 s] streng monoton steigend,
also liegt ihr maximaler Wert an der Stelle t = 5.
g ′ (5) = 3
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „s“ nicht angeführt sein muss.
– Ein Punkt für die richtige Entscheidung und eine korrekte Begründung. Andere korrekte
Begründungen sind ebenfalls als richtig zu werten.

6
Aufgabe 3
Human Development Index
a) Lösungserwartung:
LEI =
81,1 – 20
85 – 20
= 0,94
EI ≈
ln(45 400) – ln(100)
ln(75 000) – ln(100)
≈ 0,924
HDI
2013
=

3
0,94 · 0,819 · 0,924 ≈ 0,893
HDI
2013
= HDI
2008
∙ 1,025
HDI
2008
≈ 0,871
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [0,88; 0,91]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
– Ein Punkt für eine korrekte Gleichung und die richtige Lösung. Äquivalente Gleichungen sind
als richtig zu werten.
Toleranzintervall: [0,85; 0,89]
b) Lösungserwartung:
k =
0,64 – 0,44
30
= 0,0066
∙
d = 0,44
In der Region „Südasien“ entsprach die mittlere jährliche Zunahme des HDI im Zeitraum 1980
bis 2010 am ehesten jener der Region „arabische Staaten“.
Mögliche Begründung:
Die Sekanten durch die Punkte (1980 | 0,44) und (2010 | 0,64) sowie (1980 | 0,36) und
(2010 | 0,54) verlaufen annähernd parallel zueinander.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die Angabe der beiden korrekten Werte.
Toleranzintervall für k : [0,005; 0,01]
Toleranzintervall für d : [0,43; 0,45]
– Ein Punkt für die Angabe der Region „Südasien“ und für eine (sinngemäß) korrekte Begründung.

7
c) Lösungserwartung:
Ab dem Jahr 2004 weist die Region „Lateinamerika und Karibik“ die Entwicklungskategorie E
2
auf.
Nein, es gilt nicht als sicher, dass ab diesem Zeitpunkt ungefähr die Hälfte der zu dieser Region
zählenden Länder die Entwicklungskategorie E
2
aufweist.
Mögliche Begründung:
Wenn eine sehr kleine Anzahl an Ländern mit sehr hohen HDI -Werten einer großen Anzahl an
Ländern mit niedrigen HDI -Werten (< 0,7) gegenübersteht, kann dennoch das arithmetische
Mittel der HDI s größer als 0,7 sein, ohne dass ungefähr die Hälfte der zu dieser Region zählenden Länder die Entwicklungskategorie E
2
aufweist.
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [2003; 2005]
– Ein Punkt für eine richtige Antwort und eine korrekte Begründung. Andere korrekte Begründungen (z. B. anhand sinnvoller Zahlenbeispiele oder mit der Feststellung, dass das arithmetische Mittel nicht notwendigerweise der Median sein muss) sind ebenfalls als richtig zu
werten.

8
Aufgabe 4
Dichtefunktion und Verteilungsfunktion
a) Lösungserwartung:
F (0) = 0
F ( c ) = 1 bzw. P ( X ≤ c ) = 1, d. h., die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert kleiner gleich c
annimmt, beträgt 100 %, da f ( x ) = 0 für x > c .
f ( x ), F ( x )
f
x
c
F 1
Bis zum lokalen Maximum von f ist die Funktion F linksgekrümmt, danach ist die Funktion F
rechtsgekrümmt.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung und eine (sinngemäß) korrekte Begründung.
– Ein Punkt für eine korrekte Skizze und eine (sinngemäß) korrekte Beschreibung des Krümmungsverhaltens der Funktion F . Die Skizze ist als korrekt zu betrachten, wenn das korrekte
Krümmungsverhalten des Graphen von F in der Skizze klar erkennbar ist und die Wende stelle von F dabei bei x =
c
2
liegt. Für x > c muss der Graph von F , sofern er in diesem
Bereich skizziert ist, waagrecht verlaufen.
b) Lösungserwartung:
Der Wert von k ist durch die Eigenschaft F ( c ) = 1 festgelegt, d. h., der Inhalt der vom
Graphen von f und der x -Achse im Intervall [0; c ] eingeschlossenen Fläche muss 1 sein.
Da die rechte Nullstelle bei x = π liegt und somit c = π ist, muss gelten:
∫
π
0
k ∙ sin( x ) d x = 1 ⇒ k = 0,5.
Mögliche Vorgehensweise:
F ( x ) = –0,5 ∙ cos( x ) + C
F (0) = 0 ⇒ C = 0,5
F ( x ) = –0,5 ∙ cos( x ) + 0,5
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Angabe, welche Eigenschaft von f den Wert von k
festlegt, und für die richtige Lösung.
– Ein Punkt für einen korrekten Term. Äquivalente Terme sind als richtig zu werten.

9
c) Lösungserwartung:
Das Ereignis E beschreibt, dass die Zufallsvariable X einen Wert annimmt, der größer (oder
gleich) c – a ist.
f ( x )
f
x
c a c – a
1
Mögliche Begründung:
Wegen der Symmetrie der Dichtefunktion gilt: P ( X ≤ a ) = P ( X ≥ c – a ).
Aus F ( c ) = 1 folgt: P ( a ≤ X ≤ c – a ) = 1 – P ( X ≤ a ) – P ( X ≥ c – a ) = 1 – 2 ∙ P ( X ≤ a ).
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für eine (sinngemäß) korrekte Beschreibung.
– Ein Punkt für eine korrekte Darstellung der Wahrscheinlichkeit als Fläche, wobei die beiden
Grenzen symmetrisch zur Stelle des Maximums der Funktion f liegen müssen, und eine korrekte Begründung. Andere korrekte Begründungen sind ebenfalls als richtig zu werten.