Mathematik-Matura Jänner 2018 · AHS Teil 1 – Lösungen

AHS
16. Jänner 2018
Mathematik
Teil-1-Aufgaben
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung

2
Aufgabe 1
Anzahl der Personen in einem Autobus
Lösungserwartung:
M + 1 = 2 ∙ F
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die laut Lösungserwartung richtige
Gleichung angekreuzt ist.

3
Aufgabe 2
Fahrzeit von Zügen
Lösungserwartung:
Mögliche Gleichung:
100 ∙ t + 150 ∙ ( t – 0,5) = 124
t = 0,796 ⇒ t ≈ 0,8 h
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Gleichung und die richtige Lösung. Äquivalente Gleichungen sind als
richtig zu werten.
Toleranzintervall: [0,7 h; 0,8 h]

4
Aufgabe 3
Lösungen einer quadratischen Gleichung
Lösungserwartung:
1
a > 0 und c < 0
2
zwei verschiedene reelle Lösungen
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der laut
Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist.

5
Aufgabe 4
Orthogonale Vektoren
Lösungserwartung:
Mögliche Vorgehensweise:
d ∙ c = 0 ⇒ (2 – x ) – 6 = 0 ⇒ x = –4
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.

6
Aufgabe 5
Gefälle einer Regenrinne
Lösungserwartung:
h = l ∙ sin( α )
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Formel. Äquivalente Formeln sind als richtig zu werten.

7
Aufgabe 6
Winkel im Einheitskreis
Lösungserwartung:
y
x
–1
1 0 –1
1
β
α
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Ergänzung des Winkels β .
Toleranzintervall: [140°; 146°]

8
Aufgabe 7
Stefan-Boltzmann-Gesetz
Lösungserwartung:
1
der Oberflächentemperatur T
2
Potenzfunktion
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der laut
Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist.

9
Aufgabe 8
Schnittpunkte
Lösungserwartung:
Mögliche Vorgehensweise:
x
2
– 4 ∙ x – 2 = x – 6
x
2
– 5 ∙ x + 4 = 0 ⇒ a = –5, b = 4
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der beiden richtigen Werte.

10
Aufgabe 9
Steigung einer linearen Funktion
Lösungserwartung:
k = –
b
a
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses sind ebenfalls als richtig
zu werten.

11
Aufgabe 10
Änderungsprozess
Lösungserwartung:
Pro Zeiteinheit nimmt die Temperatur eines Körpers um 2 % ab.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige
Änderungsprozess angekreuzt ist.

12
Aufgabe 11
Halbwertszeiten
Lösungserwartung:
M ( t )
t in Tagen
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
8
6
4
2
0
D
M ( t )
t in Tagen
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
E
M ( t )
t in Tagen
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
45
30
15
0
60
C
M ( t )
t in Tagen
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
160
120
80
40
0
200
F
A 1 Tag
B 2 Tage
C 3 Tage
D 5 Tage
E 10 Tage
F mehr als 10 Tage
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jedem der vier Graphen ausschließlich der laut
Lösungserwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist.

13
Aufgabe 12
Parameter einer Sinusfunktion
Lösungserwartung:
a = 2
b = 1,5
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der korrekten Werte beider Parameter.
Toleranzintervall für a : [1,9; 2,1]
Toleranzintervall für b : [1,4; 1,6]

14
Aufgabe 13
Radioaktiver Zerfall
Lösungserwartung:
m (3) – m (0)
m (0)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Ausdruck angekreuzt ist.

15
Aufgabe 14
Ableitung
Lösungserwartung:
f ( x ) = ℯ
k ∙ x
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die laut Lösungserwartung richtige Funktionsgleichung angekreuzt ist.

16
Aufgabe 15
Flächeninhalt
Lösungserwartung:
Mögliche Vorgehensweise:
F (4) – F (0) = 7 – 1 = 6
Flächeninhalt dieses Flächenstücks: 6 FE
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Maßeinheit „FE“ nicht angeführt sein muss.
Toleranzintervall: [5,8; 6,2]

17
Aufgabe 16
Wendestelle
Lösungserwartung:
Die Funktion f hat an der Stelle x = 6 keine Wendestelle.
Mögliche Begründung:
f ″ ( x ) = 24 ∙ x – 4
f ″ (6) = 140 ≠ 0 ⇒ Die Funktion f kann an der Stelle x = 6 keine Wendestelle haben.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe, dass die Funktion f an der Stelle x = 6 keine Wendestelle hat, und eine
korrekte Begründung.

18
Aufgabe 17
Bestimmtes Integral
Lösungserwartung:
∫
c
a
f ( x )d x
∫
b
a
f ( x )d x
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
bestimmten Integrale angekreuzt sind.

19
Aufgabe 18
Schadstoffausstoß
Lösungserwartung:
Der Ausdruck gibt den gesamten Schadstoffausstoß (in Gramm) von 7 Uhr bis 15 Uhr an.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Deutung, wobei die Einheit „Gramm“ nicht angeführt sein
muss.

20
Aufgabe 19
Statistische Darstellungen
Lösungserwartung:
40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 41
Temperatur in °C
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für ein korrekt dargestelltes Kastenschaubild.

21
Aufgabe 20
Arithmetisches Mittel
Lösungserwartung:
Mögliche Berechnung:
25 · 12,6 – 24 · 12,5 = 15
Die als außerordentlich geführte Schülerin hat 15 Punkte erreicht.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.

22
Aufgabe 21
Prüfung
Lösungserwartung:
Der Ausdruck beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass der zufällig ausgewählte Prüfungsakt ein
positives Prüfungsergebnis aufweist.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Deutung.

23
Aufgabe 22
Wahrscheinlichkeit
Lösungserwartung:
P ( X ≥ 2) = 1 – ( P ( X = 0) + P ( X = 1)) = 0,27
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses sind ebenfalls als richtig
zu werten.

24
Aufgabe 23
Rosenstöcke
Lösungserwartung:
Der Vergleich trifft zu.
Mögliche Begründung:
Erwartungswert: μ = 32, Standardabweichung: σ = 4
unter Einbeziehung der Wahrscheinlichkeiten für σ -Umgebungen (bei Approximation durch die
normalverteilte Zufallsvariable Y ):
P (28 ≤ X ≤ 36) ≈ P ( μ – σ ≤ Y ≤ μ + σ ) ≈ 0,683
P ( X > 32) ≈ P ( Y > μ ) = 0,5 ⇒ P (28 ≤ X ≤ 36) > P ( X > 32)
Weitere Begründungsvarianten:
n … Anzahl der Rosenstöcke
p … Wahrscheinlichkeit für einen gelbblühenden Rosenstock
μ = 32 = n · p , σ
2
= 16 = n · p · (1 – p ) ⇒ n = 64, p = 0,5
• mittels Binomialverteilung:
P (28 ≤ X ≤ 36) ≈ 0,7396
P ( X > 32) ≈ 0,4503 ⇒ P (28 ≤ X ≤ 36) > P ( X > 32)
• mittels Approximation mit Stetigkeitskorrektur durch die normalverteilte Zufallsvariable Y :
P (28 ≤ X ≤ 36) ≈ P (27,5 ≤ Y ≤ 36,5) ≈ 0,7394
P ( X > 32) ≈ P ( Y > 32,5) ≈ 0,4503 ⇒ P (28 ≤ X ≤ 36) > P ( X > 32)
• mittels Approximation ohne Stetigkeitskorrektur durch die normalverteilte Zufallsvariable Y :
P (28 ≤ X ≤ 36) ≈ P (28 ≤ Y ≤ 36) ≈ 0,6827
P ( X > 32) ≈ P ( Y > 32) = 0,5 ⇒ P (28 ≤ X ≤ 36) > P ( X > 32)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe, dass der Vergleich zutrifft, und eine korrekte Begründung.

25
Aufgabe 24
Sicherheit eines Konfidenzintervalls
Lösungserwartung:
Mögliche Vorgehensweise:
n = 1 000, h =
30
1 000
= 0,03 Intervallbreite des Konfidenzintervalls = 0,02
aus z ∙
h ∙ (1 – h )
n

= 0,01 folgt: z ≈ 1,85 mit ϕ (1,85) ≈ 0,9678
⇒ γ = 2 ∙ ϕ (1,85) – 1 ≈ 0,9356
Somit liegt die Sicherheit dieses Konfidenzintervalls bei ca. 93,56 %.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen der Lösung sind ebenfalls als richtig zu
werten.
Toleranzintervall: [93 %; 94 %]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis
aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.