Mathematik-Matura September 2017 · HTL Cluster T1 – Lösungen

BHS
28. September 2017
Angewandte Mathematik
Teil A + Teil B (Cluster 1)
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung

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Korrektur- und Beurteilungsanleitung
zur standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung
in Angewandter Mathematik
(Detaillierte Informationen dazu finden Sie für den BHS-Bereich im entsprechenden Erlass zur Beurteilung, der auf der Website https://ablauf.srdp.at/ abrufbar ist.)
Kompetenzbereiche
Im Beurteilungsmodell für die Angewandte Mathematik wird zwischen zwei Kompetenzbereichen
unterschieden:
n Kompetenzbereich A ( KA ) umfasst die unabhängig
1
erreichbaren Punkte der Komplexitätsstufen 1 und 2 aus dem Kompetenzstufenraster.
n Kompetenzbereich B ( KB ) umfasst die abhängig erreichbaren Punkte und die Punkte der
Komplexitätsstufen 3 und 4 aus dem Kompetenzstufenraster.
Die Summe der unabhängig erreichbaren Punkte aus den Komplexitätsstufen 1 und 2 ( KA ) stellt die
„wesentlichen Bereiche“ eines Klausurheftes dar.
Beurteilung
Als Hilfsmittel für die Beurteilung wird ein auf ein Punktesystem basierender Beurteilungsschlüssel angegeben. Je nach gewichteter Schwierigkeit der vergebenen Punkte in den „wesentlichen
Bereichen“ wird festgelegt, ab wann die „wesentlichen Bereiche überwiegend“ (Genügend) erfüllt
sind, d. h., gemäß einem Punkteschema müssen Punkte aus dem Kompetenzbereich A unter Einbeziehung von Punkten aus dem Kompetenzbereich B in ausreichender Anzahl abhängig von der
Zusammenstellung der Klausurhefte gelöst werden. Darauf aufbauend wird die für die übrigen Notenstufen zu erreichende Punktezahl festgelegt.
Nach der Punkteermittlung soll die Arbeit der Kandidatin / des Kandidaten nochmals ganzheitlich
qualitativ betrachtet werden. Unter Zuhilfenahme des Punkteschemas und der ganzheitlichen Betrachtung ist von der Prüferin / vom Prüfer ein verbal begründeter Beurteilungsvorschlag zu erstellen,
wobei die Ergebnisse der Kompetenzbereiche A und B in der Argumentation zu verwenden sind.
Beurteilungsschlüssel für die vorliegende Klausur:
44–48 Punkte Sehr gut
39–43 Punkte Gut
34–38 Punkte Befriedigend
23– 33 Punkte Genügend
0–22 Punkte Nicht genügend
1
Unabhängige Punkte sind solche, für die keine mathematische Vorleistung erbracht werden muss. Als mathematische Vorleistung gilt z. B. das Aufstellen einer Gleichung (unabhängiger Punkt) mit anschließender Berechnung (abhängiger Punkt).

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Handreichung zur Korrektur
der standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung
in Angewandter Mathematik
1. In der Lösungserwartung ist nur ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen.
2. Der Lösungsschlüssel ist unter Beachtung folgender Vorgangsweisen verbindlich anzuwenden:
a. Punkte sind nur zu vergeben, wenn die abgefragte Handlungskompetenz in der Bearbeitung vollständig erfüllt ist.
b. Berechnungen ohne nachvollziehbaren Rechenansatz bzw. ohne nachvollziehbare Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete Ausgangsparameter und die verwendete
Technologiefunktion müssen angegeben sein) sind mit null Punkten zu bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen bzw. Lösungswege von der Kandidatin / vom
Kandidaten angeboten und nicht alle diese Lösungen bzw. Lösungswege sind korrekt, so
ist diese Teilaufgabe mit null Punkten zu bewerten.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Das heißt zum Beispiel :
Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in einem
Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel
Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als solche
identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner Vereinfachung
der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler können vernachlässigt werden, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert ist.
h. Jedes Diagramm bzw. jede Skizze, die Lösung einer Handlungsanweisung ist, muss eine
qualitative Achsenbeschriftung enthalten, andernfalls ist dies mit null Punkten zu bewerten.
i. Die Angabe von Einheiten kann bei der Punktevergabe vernachlässigt werden, sofern sie im
Lösungsschlüssel nicht explizit eingefordert wird.

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Aufgabe 1
Wellness
Möglicher Lösungsweg
a) s ( t ) = −4 · t + 60
t ... Zeit in min
s ( t ) ... Sandmenge zur Zeit t in g
b) A = 18 +
∫
13
3
g ( x ) d x
90 · 56 · 1,2 · 0,97 = 5 866,56
Die Gesamtkosten betragen € 5.866,56.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung (KA)
b) 1 × A: für das richtige Aufstellen der Formel (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung der Gesamtkosten (KA)

5
Aufgabe 2
Wechselkurse
Möglicher Lösungsweg
a) F = ( B – G ) · w
b) 0,134 ∙ F + 3,83 = 0,135 ∙ F + 2,02
Berechnung mittels Technologieeinsatz: F = 1 810
Für Beträge in der Fremdwährung, die größer als 1 810 sind, ist die Möglichkeit A für die Urlauberin günstiger.
c) Diese Argumentation ist falsch, weil die Skalierung der y -Achse nicht bei 0 „beginnt“, sondern
bei 7,56.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel zur Berechnung von F aus B , G und w (KA)
b) 1 × A: für die richtige Modellierung (KA)
1 × B: für das richtige Ermitteln der Beträge in der Fremdwährung, für die die Bezahlung mit
der Möglichkeit A für die Urlauberin günstiger ist (KB)
c) 1 × D: für die richtige Erklärung, warum diese Argumentation falsch ist (KA)

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Aufgabe 3
Äpfel
Möglicher Lösungsweg
a) Interquartilsabstand: 230 − 200 = 30
3. Quartil: 230
230 + 1,5 ∙ 30 = 275
Äpfel mit einer Masse von mehr als 275 g werden als „Ausreißer nach oben“ bezeichnet.
b) Berechnung des symmetrischen Intervalls mittels Technologieeinsatz:
P ( μ – a < X < μ + a ) = 0,90 ⇒ [117,8; 282,2]
c) Ein zufällig ausgewählter Apfel hat mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 % eine Masse zwischen 180 g und 200 g.
Aufgrund der Symmetrie der Glockenkurve gilt:
P ( X > 200) = 15 %
d) X ... Anzahl der wurmstichigen Äpfel
Binomialverteilung mit n = 200 und p =
1
30
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P ( X ≤ 5) = 0,34133... ≈ 34,13 %
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Angeben der Masse, ab der ein Apfel als „Ausreißer nach oben“ bezeichnet wird (KA)
b) 1 × B: für die richtige Berechnung des symmetrischen Intervalls (KA)
c) 1 × C1: für die richtige Interpretation der Fläche im gegebenen Sachzusammenhang (KA)
1 × C2: für das richtige Ermitteln der Wahrscheinlichkeit (KB)
d) 1 × B: für die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit (KA)

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Aufgabe 4
Unter Wasser
Möglicher Lösungsweg
a) 3,9 = 1 + 0,1 ∙ x ⇒ x = 29
In einer Wassertiefe von 29 Metern herrscht ein Druck von 3,9 Bar.
b) In einer Tiefe von 20 Metern beträgt die Beleuchtungsstärke 5 000 Lux.
Toleranzbereich: [19,5; 20,5]
f ( x ) = a ∙ b
x
a = 50 000
5 000 = 50 000 ∙ b
20
⇒ b =

20
0,1 = 0,8912... ≈ 0,891
f ( x ) = 50 000 ∙ 0,891
x
Geringfügige Abweichungen aufgrund der Verwendung anderer Punkte sind zulässig.
c) v =
s
t
=
0,57
0,4 ∙ 10
–3
m/s = 1 425 m/s
d) tatsächliche Größe: x
wahrgenommene Größe: w =
4
3
∙ x ⇒ x =
3
4
∙ w
Die tatsächliche Größe ist um 25 % kleiner als die wahrgenommene Größe.
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für die richtige Berechnung der Wassertiefe mit 3,9 Bar Druck (KA)
b) 1 × C: für das richtige Ablesen der Wassertiefe im Toleranzbereich [19,5; 20,5] (KA)
1 × A: für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung (KB)
Geringfügige Abweichungen aufgrund der Verwendung anderer Punkte sind zulässig.
c) 1 × B: für die richtige Berechnung der Schallgeschwindigkeit in m/s (KA)
d) 1 × A: für das richtige Ermitteln des Prozentsatzes (KA)

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Aufgabe 5
Maibaum aufstellen
Möglicher Lösungsweg
a)
α
H
8,50 m
10 m
1,76 m
tan( α ) =
1,76
1,5
⇒ α = 49,55...° ≈ 49,6°
b) tan(26,6°) =
H
50
⇒ H = 25,03...
tan( γ ) =
H
25
⇒ γ = 45,04...° ≈ 45,0°
Die Behauptung stimmt also nicht, weil 2 ∙ 26,6° ≠ 45,0°.
Auch eine richtige Argumentation mithilfe der allgemeinen Eigenschaften der Tangensfunktion
ist zulässig.
c) sin( γ ) =
x
H – x
⇒ x =
H ∙ sin( γ )
1 + sin( γ )
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Veranschaulichen aller Größen in der Skizze (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung des Höhenwinkels α (KB)
b) 1 × D: für den richtigen Nachweis (KA)
Auch eine richtige Argumentation mithilfe der allgemeinen Eigenschaften der Tangensfunktion ist zulässig.
c) 1 × A: für das richtige Aufstellen der Formel (KB)

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Aufgabe 6
Buchsbäume
Möglicher Lösungsweg
a)
Zeit nach der Auspflanzung in Jahren
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
30
0
42
60
Höhe in cm
Zeit nach der Auspflanzung in Jahren
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
f
b) Zeitpunkt des stärksten Höhenwachstums: g ″ ( t ) = 0
Berechnung mittels Technologieeinsatz: t = 6,16... ≈ 6,2
Etwa 6,2 Jahre nach der Auspflanzung ist das Höhenwachstum am größten.
Mit dem Ausdruck g (5) – g (0) wird der (absolute) Höhenzuwachs in cm in den ersten 5 Jahren nach der Auspflanzung berechnet.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Eintragen der fehlenden Werte (KB)
b) 1 × B: für die richtige Berechnung des Zeitpunkts des stärksten Höhenwachstums (KB)
(In der Grafik ist klar zu erkennen, dass an der Wendestelle das stärkste Höhenwachstum vorliegt. Eine rechnerische Überprüfung des Steigungsverhaltens der Funktion
an der berechneten Stelle sowie eine Überprüfung der Randstellen sind daher nicht
erforderlich.)
1 × C: für die richtige Beschreibung des Ausdrucks im gegebenen Sachzusammenhang (KB)

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Aufgabe 7 (Teil B)
Servomotor
Möglicher Lösungsweg
a) Position in m
Zeit in s
–0,001
0,002
0,001
0,003
–0,002
–0,003
0
s
t =
π
7
Nach
π
7
Sekunden befindet sich das Bauteil erstmals wieder in der Ausgangslage.
Zeitpunkte mit Geschwindigkeit 0 ergeben sich aus: s ′ ( t ) = 0.
Lösung mittels Technologieeinsatz (für den ersten Zeitpunkt mit s ′ ( t ) = 0):
t = 0,204...
Nach etwa 0,20 Sekunden ist die Geschwindigkeit erstmals null.

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b)
Geschwindigkeit in m/s
Zeit in s
v
0 2,5 2 1,5 1 0,5 3
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
1,6
–0,2
0
Zeitintervall, in dem die
Beschleunigung negativ ist
Da der Flächeninhalt oberhalb der Zeitachse (= Weglänge in Vorwärtsrichtung) deutlich größer
ist als jener unterhalb der Zeitachse (= Weglänge in Rückwärtsrichtung), befindet sich das
Werkstück am Ende der Bewegung nicht wieder in der Ausgangsposition.
oder:
Geschwindigkeit in m/s
Zeit in s
v
0 2,5 2 1,5 1 0,5 3
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
1,6
–0,2
0
Weglänge in
Rückwärtsrichtung
Weglänge in
Vorwärtsrichtung
A
1
A
2
A
1
> A
2
Lösungsschlüssel
a) 1 × C1: für das richtige Markieren der Stelle t =
π
7
(KA)
1 × C2: für die richtige Interpretation im gegebenen Sachzusammenhang (KB)
1 × B: für die richtige Bestimmung der ersten Extremstelle von s (KB)
b) 1 × C: für das richtige Markieren des Zeitintervalls zwischen den Extremstellen (KA)
1 × D: für die richtige Erklärung (KA)

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Aufgabe 8 (Teil B)
Bügeleisen
Möglicher Lösungsweg
a) Im Intervall [0; 43] ist der Kostenverlauf degressiv.
Toleranzbereich der oberen Grenze: [40; 50]
b) K ( x ) =
K ( x )
x
= 0,001 ∙ x
2
– 0,13 ∙ x + 6,2 +
75
x
K ′ ( x ) = 0,002 ∙ x – 0,13 –
75
x
2
K ′ ( x
opt
) = 0
Lösung mittels Technologieeinsatz: x
opt
= 72,19...
Bei einer Produktion von rund 72,2 ME sind die Stückkosten minimal.
K ( x
opt
) = K ′ ( x
opt
)
minimale Stückkosten bei dieser Produktionsmenge: K (72,2) = 3,06...
Grenzkosten bei dieser Produktionsmenge: K ′ (72,2) = 3,06...
Auch ein allgemeiner Nachweis ist zulässig.
c) Der Koeffizient a muss negativ sein, weil der Funktionsgraph eine nach unten geöffnete Parabel ist.
E ( x ) = a ∙ x
2
+ b ∙ x
E (100) = 0
E (50) = 250
Lösung mittels Technologieeinsatz:
E ( x ) = –0,1 ∙ x
2
+ 10 ∙ x
G ( x ) = E ( x ) – K ( x ) = – 0,1 ∙ x
2
+ 10 ∙ x – (0,001 ∙ x
3
– 0,13 ∙ x
2
+ 6,2 ∙ x + 75)
G ( x ) = –0,001 ∙ x
3
+ 0,03 ∙ x
2
+ 3,8 ∙ x – 75
G ( x ) = 50
Lösung mittels Technologieeinsatz:
x
1
= 34,17..., x
2
= 58,42...
Bei einer Produktion von rund 34,2 ME bzw. rund 58,4 ME kann jeweils ein Gewinn von
50 GE erzielt werden.

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Lösungsschlüssel
a) 1 × C: für das richtige Ablesen des gesamten Bereichs, in dem der Kostenverlauf degressiv ist
(KA)
b) 1 × B: für die richtige Berechnung der Produktionsmenge, bei der die Stückkosten minimal
sind (KA)
1 × D: für den richtigen Nachweis (KB)
Auch ein allgemeiner Nachweis ist zulässig.
c) 1 × D: für die richtige Argumentation mithilfe des Funktionsgraphen (KA)
1 × A: für das richtige Aufstellen der Gleichung der Erlösfunktion (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung (KB)

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Aufgabe 9 (Teil B)
Sport und Gesundheit
Möglicher Lösungsweg
a) h ′ ( t ) = v
0
∙ sin( α ) – g ∙ t
h ′ ( t ) = 0 ⇒ t =
v
0
∙ sin( α )
g
(Da es sich beim Graphen der Funktion h um eine nach unten geöffnete Parabel handelt,
muss der Nachweis, dass es sich dabei um eine Maximumstelle handelt, z. B. mithilfe der
2. Ableitung, nicht erbracht werden.)
0 = 60 ∙ sin(30°) ∙ t –
9,81
2
∙ t
2
Lösung mittels Technologieeinsatz:
( t
1
= 0), t
2
= 6,11...
Der Golfball kommt nach etwa 6,1 s wieder auf dem Boden auf.
Die Wurfweite ist umso größer, je größer sin(2 ∙ α ) ist; der maximale Wert dieses Ausdrucks
ist 1:
sin(2 ∙ α ) = 1 ⇒ 2 ∙ α = 90° ⇒ α = 45°
Die Schlagweite ist bei dreifacher Abschlaggeschwindigkeit 9-mal so groß.
b) Der Sollwert der Vitalkapazität sinkt um 0,112 ∙ 10 ∙ 180 cm
3
= 0,2016 L.
c) F
2
=
588,6 ∙ sin(82°)
sin(23°)
= 1 491,7...
F
2
≈ 1 492 N
Lösungsschlüssel
a) 1 × D1: für den richtigen Nachweis zur maximalen Höhe (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung des Zeitpunkts (KA)
1 × D2: für die richtige Argumentation (KA)
1 × C: für die richtige Beschreibung (KA)
b) 1 × B: für das richtige Ermitteln desjenigen Wertes, um den der Sollwert der Vitalkapazität
sinkt (KA)
1 × A: für das richtige Übertragen des Ergebnisses in die Einheit Liter (KB)
c) 1 × B: für die richtige Berechnung von F
2
(KA)

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Aufgabe 10 (Teil B)
Rolltreppen
Möglicher Lösungsweg
a) g ′ ( x ) =
1
180
∙ x
g ′ (90) = 0,5
Die Steigung beträgt also 50 %.
h ( x ) = a ∙ x
2
+ b ∙ x + c
h ′ ( x ) = 2 ∙ a ∙ x + b
h (580) = 245
h ′ (580) = 0
h ′ (490) = 0,5
oder:
a ∙ 580
2
+ b ∙ 580 + c = 245
2 ∙ a ∙ 580 + b = 0
2 ∙ a ∙ 490 + b = 0,5
b) β = arctan
(
h
b – a
)
Ein Steigungswinkel von genau 45° würde bedeuten, dass h und b − a gleich lang sind.
h = b – a ⇒ a = b – h
Ist a < b − h , so ist der Winkel β kleiner als 45°.
c) Die Stufen von Rolltreppe 1 legen im Zeitintervall [ t
0
; t
1
] den gleichen Weg zurück wie die Stufen von Rolltreppe 2 im Zeitintervall [ t
0
; t
2
].
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für den richtigen rechnerischen Nachweis (KA)
1 × A1: für das richtige Aufstellen der Gleichung mithilfe der Koordinaten des Punktes D (KA)
1 × A2: für das richtige Aufstellen der Gleichungen mithilfe der Informationen zur Steigung (KA)
b) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel (KB)
1 × D: für die richtige Erklärung (KA)
c) 1 × C: für die richtige Interpretation im gegebenen Sachzusammenhang (KA)