Mathematik-Matura September 2017 · HTL Cluster T1 – Aufgaben

Name:
Klasse/Jahrgang:
BHS
28. September 2017
Angewandte Mathematik
Teil A + Teil B (Cluster 1)
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung

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Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Liebe Kandidatin! Lieber Kandidat!
Das vorliegende Aufgabenheft enthält 6 Teil-A-Aufgaben und 4 Teil-B-Aufgaben mit jeweils unterschiedlich
vielen Teil aufgaben. Die Teilaufgaben sind unabhängig voneinander bearbeitbar. Ihnen stehen insgesamt
270 Minuten an reiner Arbeitszeit für Teil A und Teil B zur Verfügung.
Verwenden Sie für die Bearbeitung einen nicht radierbaren, blau oder schwarz schreibenden Stift. Bei
Konstruktionsaufgaben ist auch die Verwendung eines Bleistifts möglich.
Verwenden Sie für die Bearbeitung ausschließlich das Aufgabenheft und die Ihnen zur Verfügung gestellten Antwortblätter. Schreiben Sie Ihren Namen in das dafür vorgesehene Feld auf der ersten Seite des
Aufgabenheftes und auf jedes Antwortblatt. Geben Sie bei der Beantwortung jeder Teilaufgabe deren
Bezeichnung (z. B.: 3c) an.
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht durchgestrichen ist. Streichen Sie Notizen durch.
Die Verwendung von durch die Schulbuchaktion approbierten Formelheften bzw. von der Formelsammlung für die SRDP in Angewandter Mathematik und von elektronischen Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger
Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) ist erlaubt, sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwerke etc.) gegeben ist und keine Eigendaten
in die elektronischen Hilfsmittel implementiert sind. Handbücher zu den elektronischen Hilfsmitteln sind in
der Original-Druckversion oder in im elektronischen Hilfsmittel integrierter Form zulässig.
Abzugeben sind das Aufgabenheft und alle von Ihnen verwendeten Antwortblätter.
Handreichung für die Bearbeitung der SRDP in Angewandter Mathematik
– Jede Berechnung ist mit einem nachvollziehbaren Rechenansatz und einer nachvollziehbaren Dokumentation des Technologieeinsatzes (die verwendeten Ausgangsparameter und die
verwendete Technologiefunktion müssen angegeben werden) durchzuführen.
– Selbst gewählte Variablen sind zu erklären und gegebenenfalls mit Einheiten zu benennen.
– Ergebnisse sind eindeutig hervorzuheben.
– Ergebnisse sind mit entsprechenden Einheiten anzugeben.
– Werden Diagramme oder Skizzen als Lösungen erstellt, so sind die Achsen zu skalieren und
zu beschriften.
– Werden geometrische Skizzen erstellt, so sind die lösungsrelevanten Teile zu beschriften.
– Vermeiden Sie frühzeitiges Runden.
– Legen Sie allfällige Computerausdrucke der Lösung mit Ihrem Namen beschriftet bei.
– Wird eine Aufgabe mehrfach gerechnet, so sind alle Lösungswege bis auf einen zu streichen.
Es gilt folgender Beurteilungsschlüssel:
44–48 Punkte Sehr gut
39– 43 Punkte Gut
34– 38 Punkte Befriedigend
23–33 Punkte Genügend
0–22 Punkte Nicht genügend

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Erläuterung der Antwortformate
Die Teilaufgaben können folgende Antwortformate beinhalten: offenes Antwortformat , halboffenes Antwort
format, Konstruktionsformat, Zuordnungsformat und Multiple Choice Format in der Variante „1 aus 5“ .
Offenes Antwortformat: Beim offenen Antwortformat kann die Bearbeitung der Aufgaben auf unterschiedliche Weise erfolgen, z. B. durch eine Berechnung oder durch eine Erstellung einer Grafik.
Halboffenes Antwortformat: Beim halboffenen Antwortformat soll die korrekte Antwort in eine vorgegebene
Formel, Funktion etc. eingesetzt werden.
Beispiel:
Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b .
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A dieses Rechtecks.
A = ______________________
Konstruktionsformat: Ein Diagramm, eine Grafik oder eine Abbildung ist vorgegeben. Die Aufgabenstellung
erfordert die Ergänzung von Punkten und/oder Geraden und/oder Kurven und/oder Skalierungen bzw.
Achsenbeschriftungen im Diagramm, in der Grafik bzw. in der Abbildung.
Beispiel:
Gegeben ist eine lineare Funktion f mit f ( x ) = k · x + d.
– Zeichnen Sie den Graphen einer linearen Funktion mit k = –2 und d > 0 im nachstehenden
Koordinatensystem ein.
f ( x )
f
x
a · b

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Zuordnungsformat: Dieses Antwortformat ist durch mehrere Aussagen (bzw. Tabellen oder Abbildungen)
gekennzeichnet, denen mehrere Antwortmöglichkeiten gegenüberstehen. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses
Formats korrekt, indem Sie die richtigen Antwortmöglichkeiten durch Eintragen der entsprechenden Buchstaben den jeweils zutreffenden Aussagen zuordnen.
Beispiel:
– Ordnen Sie den zwei Gleichungen jeweils die
entsprechende Bezeichnung (aus A bis D) zu.
1 + 1 = 2 A
2 ∙ 2 = 4 C
A Addition
B Division
C Multiplikation
D Subtraktion
Multiple Choice Format in der Variante „1 aus 5“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und
fünf Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei eine Antwortmöglichkeit auszuwählen ist. Bearbeiten Sie
Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die zutreffende Antwortmöglichkeit ankreuzen.
Beispiel:
– Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an.
1 + 1 = 1 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 3 
4 + 5 = 8 
5 + 5 = 5 
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“ gewählt
und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen ein.
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“ übermalt
und dann wieder gewählt.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
Viel Erfolg!

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Aufgabe 1
Wellness
a) In Saunen werden zur Zeitmessung meist Sanduhren verwendet.
Der Sand in einer solchen Sanduhr benötigt 15 Minuten, bis er von oben nach
unten vollständig durchgerieselt ist. Pro Minute rieseln 4 Gramm Sand
von oben nach unten.
Die gesamte Sandmenge befindet sich zu Beginn ( t = 0) im oberen Teil der
Sanduhr (siehe nebenstehende Skizze).
– Erstellen Sie eine Gleichung derjenigen linearen Funktion, die der Zeit t in Minuten die Sandmenge im oberen Teil der Sanduhr in Gramm zuordnet. [1 Punkt]
b) Im Außenbereich einer Sauna wird eine neue Terrasse mit folgender Grundfläche geplant
(siehe Grafik):
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
g
y in Metern
x in Metern
Terrasse
In dem gegebenen Koordinatensystem wird die Rundung der Terrasse im Intervall [3; 13]
durch den Graphen einer Funktion g beschrieben.
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts der Grundfläche der Terrasse,
wenn die Funktion g bekannt ist.
A = [1 Punkt]
Für die Verlegung von Sandsteinfliesen auf der Terrasse werden 90 m
2
Fliesen eingekauft. Die
Sandsteinfliesen kosten netto (ohne 20 % Umsatzsteuer) pro Quadratmeter € 56.
– Berechnen Sie die Gesamtkosten für die Sandsteinfliesen inklusive Umsatzsteuer, wenn ein
Preisnachlass von 3 % gewährt wird. [1 Punkt]

6
Aufgabe 2
Wechselkurse
Für einen Urlaub außerhalb der Eurozone muss Geld in die entsprechende Landeswährung
gewechselt werden.
a) Ein Wechselvorgang wird folgendermaßen durchgeführt:
Vom zu wechselnden Betrag B in Euro wird eine fixe Gebühr G in Euro abgezogen.
Der verbleibende Betrag wird mit dem Wechselkurs w multipliziert und so erhält man den auszuzahlenden Betrag F in der Fremdwährung.
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung von F aus B , G und w .
F = [1 Punkt]
b) Für die bargeldlose Bezahlung in einem Urlaubsland außerhalb der Eurozone stehen einer
Urlauberin zwei Umrechnungsmöglichkeiten A und B zur Verfügung.
Zur Umrechnung eines Fremdwährungsbetrags in den entsprechenden Eurobetrag werden
modellhaft die nachstehenden linearen Funktionen verwendet:
Möglichkeit A : EA ( F ) = 0,134 · F + 3,83
Möglichkeit B : EB ( F ) = 0,135 · F + 2,02
F ... Betrag in der Fremdwährung
EA ( F ), EB ( F ) ... dem Fremdwährungsbetrag F entsprechender Eurobetrag
– Ermitteln Sie, für welche Beträge in der Fremdwährung die Bezahlung mit der Möglichkeit A
für die Urlauberin günstiger ist. [2 Punkte]

7
c) Die Monatsmittel des Wechselkurses einer Fremdwährung gegenüber dem Euro sind für ein
Jahr im unten stehenden Diagramm dargestellt.
7,56
7,58 Monatsmittel des Wechselkurses
Sept Okt Nov Dez Jan Feb Mrz Apr Mai Jun Jul Aug
7,60
7,62
7,64
7,66
Jemand behauptet: „Das Monatsmittel des Wechselkurses im Monat Oktober war ungefähr
doppelt so groß wie das Monatsmittel des Wechselkurses im Monat September, weil der entsprechende Balken im Diagramm ungefähr doppelt so hoch ist.“
– Erklären Sie, warum diese Argumentation falsch ist. [1 Punkt]

8
Aufgabe 3
Äpfel
a) Die Äpfel einer Großlieferung wurden einzeln gewogen. Die Daten sind in Form eines Boxplots
dargestellt:
Masse in Gramm
250 245 240 235 230 225 220 215 210 205 200 195 190 185 180 255 175
In der Fachliteratur wird ein Wert oft als „Ausreißer nach oben“ bezeichnet, wenn der Wert
weiter als das 1,5-Fache des Interquartilsabstands rechts vom 3. Quartil liegt. Solche Ausreißer sind im obigen Boxplot nicht berücksichtigt.
– Geben Sie an, ab welcher Masse ein Apfel als „Ausreißer nach oben“ bezeichnet wird.
[1 Punkt]
b) Die Masse von Äpfeln einer bestimmten Sorte ist annähernd normalverteilt mit einem Erwartungswert von 200 g und einer Standardabweichung von 50 g.
– Berechnen Sie dasjenige um den Erwartungswert symmetrische Intervall, in dem die Masse
eines zufällig ausgewählten Apfels mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % liegt. [1 Punkt]
c) Die Masse der Äpfel in einer Lieferung ist annähernd normalverteilt mit einem Erwartungswert
von 190 g.
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Dichtefunktion dargestellt.
0,7
230 220 210 200 190 180 170 160 240
Masse in Gramm
– Interpretieren Sie die Bedeutung der markierten Fläche im gegebenen Sachzusammenhang.
[1 Punkt]
– Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein zufällig ausgewählter Apfel eine Masse von mehr als 200 g hat. [1 Punkt]

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d) Aus Erfahrung ist bekannt, dass
1
30
aller Äpfel einer Lieferung wurmstichig ist.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Zufallsstichprobe von 200 Äpfeln
höchstens 5 Äpfel wurmstichig sind. [1 Punkt]

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Aufgabe 4
Unter Wasser
a) Direkt unter der Wasseroberfläche beträgt der Druck 1 Bar. Der Druck nimmt mit zunehmender Wassertiefe gleichmäßig zu, und zwar um 1 Bar je 10 Meter Wassertiefe.
– Berechnen Sie, in welcher Wassertiefe ein Druck von 3,9 Bar herrscht. [1 Punkt]
b) Die Abnahme der Beleuchtungsstärke erfolgt unter Wasser exponentiell und kann näherungsweise durch die Funktion f beschrieben werden. Der Graph von f ist in der nachstehenden
Abbildung dargestellt.
Lichtintensität f ( x ) in Lux
f
32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 34
Wassertiefe x in Metern
0
40 000
30 000
20 000
50 000
10 000
– Lesen Sie aus der obigen Abbildung ab, in welcher Tiefe die Beleuchtungsstärke nur mehr
10 % ihres Anfangswerts beträgt. [1 Punkt]
– Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion f . [1 Punkt]
c) Zur Ermittlung der Schallgeschwindigkeit unter Wasser wurde eine Messung durchgeführt.
Der Schall benötigte 0,4 Millisekunden, um eine Strecke der Länge 0,57 Meter zurückzulegen.
– Berechnen Sie die Schallgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde mit den Daten dieses Versuchs. [1 Punkt]
d) Durch eine bestimmte Tauchermaske werden alle Gegenstände unter Wasser um ein Drittel
größer wahrgenommen, als sie tatsächlich sind.
– Ermitteln Sie, um wie viel Prozent die tatsächliche Größe kleiner als die wahrgenommene
Größe ist. [1 Punkt]

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Aufgabe 5
Maibaum aufstellen
Ein Maibaum der Höhe H steht senkrecht auf einem horizontalen Gelände.
a) Ein Maibaum der Höhe H wirft zu einem bestimmten Zeitpunkt einen 10,00 m langen Schatten. Die Sonne erscheint dabei unter dem Höhenwinkel α .
Hans stellt sich so hin, dass sein Schatten an derselben Stelle endet wie jener des Maibaums.
Hans ist 1,76 m groß und ist 8,50 m vom Maibaum entfernt.
– Veranschaulichen Sie den Sachverhalt in einer Skizze, in der die gegebenen Größen sowie
der Höhenwinkel α und die Höhe H beschriftet sind. [1 Punkt]
– Berechnen Sie den Höhenwinkel α . [1 Punkt]
b) Martin misst in einer horizontalen Entfernung von 50 m vom Maibaum den Höhenwinkel
β = 26,6° zur Spitze des Maibaums. Anschließend verkürzt er seine horizontale Entfernung
auf die Hälfte.
Er behauptet, dass sich dadurch der Höhenwinkel zur Spitze verdoppelt hat.
– Überprüfen Sie nachweislich, ob Martins Behauptung richtig ist. [1 Punkt]
c) Bei einem starken Unwetter knickt ein Maibaum der Höhe H um.
Der geknickte Teil schließt mit dem horizontalen Boden einen Winkel γ ein (siehe nachstehende
nicht maßstabgetreue Skizze).
γ
x
Knickstelle
ursprüngliche Spitze des Maibaums
H
– Stellen Sie eine Formel zur Berechnung von x aus H und γ auf.
x = [1 Punkt]

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Aufgabe 6
Buchsbäume
Buchsbäume werden in verschiedenen Sorten mit unterschiedlichem Höhenwachstum
angeboten.
a) Ein bestimmter Buchsbaum der Sorte A wuchs in den ersten 10 Jahren nach der Auspflanzung jeweils 3 cm pro Jahr. 4 Jahre nach der Auspflanzung hatte der Buchsbaum eine Höhe
von 42 cm. Die Höhe des Buchsbaums in Abhängigkeit von der Zeit nach der Auspflanzung
wird durch eine lineare Funktion f beschrieben. Der Graph dieser Funktion ist im nachstehenden Koordinatensystem dargestellt. Dabei fehlt die Skalierung der vertikalen Achse.
– Tragen Sie die fehlenden Werte in die dafür vorgesehenen Kästchen ein. [1 Punkt]
Höhe in cm
Zeit nach der Auspflanzung in Jahren
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
0
f

13
b) In den ersten 12 Jahren nach der Auspflanzung kann die Höhe eines Buchsbaums der Sorte B
näherungsweise durch die Funktion g beschrieben werden:
g ( t ) = –0,053 · t
3
+ 0,98 · t
2
+ 0,872 · t + 40 mit 0 ≤ t ≤ 12
t ... Zeit nach der Auspflanzung des Buchsbaums in Jahren
g ( t ) ... Höhe des Buchsbaums zur Zeit t in cm
t in Jahren
g
g ( t ) in cm
8 6 4 2 0 12 10
80
60
40
20
0
100
– Berechnen Sie den Zeitpunkt des stärksten Höhenwachstums. [1 Punkt]
– Beschreiben Sie, was mit folgendem Ausdruck im gegebenen Sachzusammenhang berechnet wird:
g (5) – g (0) [1 Punkt]

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Aufgabe 7 (Teil B)
Servomotor
a) Ein Servomotor steuert die Bewegung eines Bauteils. Diese kann näherungsweise durch folgende Funktion s beschrieben werden:
s ( t ) = –0,003 ∙ ℯ
– t
∙ sin(7 ∙ t ) mit t ≥ 0
t ... Zeit in Sekunden (s)
s ( t ) ... Position des Bauteils bezogen auf die Ausgangslage zum Zeitpunkt t in Metern (m)
Der Graph der Funktion s ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
Position in m
Zeit in s
–0,001
0,002
0,001
0,003
–0,002
–0,003
0
s
– Markieren Sie die Stelle t =
π
7
in der obigen Abbildung. [1 Punkt]
– Interpretieren Sie die Stelle t =
π
7
im gegebenen Sachzusammenhang. [1 Punkt]
– Bestimmen Sie denjenigen Zeitpunkt dieser Bewegung, zu dem die Geschwindigkeit erstmals null beträgt. [1 Punkt]

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b) Ein Werkstück wird von einem Servomotor auf einem geradlinigen Förderband vor- und
zurückbewegt. Das zugehörige Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm ist in der nachstehenden
Abbildung dargestellt.
Geschwindigkeit in m/s
Zeit in s
v
0 2,5 2 1,5 1 0,5 3
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
1,6
–0,2
0
– Markieren Sie in der obigen Abbildung das gesamte Zeitintervall, in dem die Beschleunigung
negativ ist. [1 Punkt]
– Erklären Sie anhand der obigen Abbildung, warum die Position des Werkstücks am Ende
der Bewegung nicht der Position am Anfang der Bewegung entspricht. [1 Punkt]

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Aufgabe 8 (Teil B)
Bügeleisen
Ein Unternehmen stellt Bügeleisen her. Die Produktionskosten lassen sich näherungsweise
durch die folgende Funktion K beschreiben:
K ( x ) = 0,001 · x
3
– 0,13 · x
2
+ 6,2 · x + 75 mit x ≥ 0
x ... Produktionsmenge in Mengeneinheiten (ME)
K ( x ) ... Kosten bei der Produktionsmenge x in Geldeinheiten (GE)
a) Im nachstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Kostenfunktion K dargestellt.
Menge in ME
Kosten in GE
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
50
100
150
200
250
300
350
400
0
K
Ein Kostenverlauf heißt in einem Bereich degressiv, wenn der Graph der zugehörigen Kostenfunktion in diesem Bereich negativ gekrümmt (rechtsgekrümmt) ist.
– Lesen Sie aus der obigen Grafik den gesamten Bereich ab, in dem der Kostenverlauf degressiv ist. [1 Punkt]
b) – Ermitteln Sie diejenige Produktionsmenge, bei der die Stückkosten (Durchschnittskosten)
minimal sind. [1 Punkt]
– Zeigen Sie, dass bei dieser Produktionsmenge die Stückkosten (Durchschnittskosten) gleich
den Grenzkosten sind. [1 Punkt]

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c) Der Graph der Erlösfunktion E mit E ( x ) = a ∙ x ² + b ∙ x für den Absatz von Bügeleisen ist in der
nach stehenden Grafik dargestellt.
Menge in ME
E
Erlös in GE
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
50
100
150
200
250
0
– Argumentieren Sie mithilfe des Funktionsgraphen, dass der Koeffizient a negativ sein muss.
[1 Punkt]
– Stellen Sie mithilfe der obigen Grafik eine Gleichung dieser Erlösfunktion auf. [1 Punkt]
– Berechnen Sie, für welche Produktionsmengen ein Gewinn in Höhe von 50 GE erzielt
werden kann, wenn die oben definierte Kostenfunktion K zugrunde gelegt wird. [1 Punkt]

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Aufgabe 9 (Teil B)
Sport und Gesundheit
a) Die Höhe eines Golfballs über dem horizontalen Boden in Abhängigkeit von der Zeit seit dem
Abschlag kann näherungsweise durch eine Funktion h beschrieben werden:
h ( t ) = v 0 · sin( α ) · t –
g
2
· t
2
t ... Zeit seit dem Abschlag in s
h ( t ) ... Höhe des Golfballs über dem Boden zur Zeit t in m
v 0 ... Abschlaggeschwindigkeit in m/s
α ... Abschlagwinkel
g ... Erdbeschleunigung in m/s
2
(konstant)
– Zeigen Sie, dass der Golfball zur Zeit t =
v 0 ∙ sin( α )
g
die maximale Höhe über dem Boden
erreicht. [1 Punkt]
– Berechnen Sie für v 0 = 60 m/s, α = 30° und g = 9,81 m/s
2
denjenigen Zeitpunkt, zu dem
der Golfball wieder auf dem Boden aufkommt. [1 Punkt]
Die Schlagweite w (in m) kann mithilfe der folgenden Formel berechnet werden:
w =
v
0
2
g
· sin(2 · α )
– Argumentieren Sie ausgehend von dieser Formel, dass bei konstanter Abschlaggeschwindigkeit v 0 die Schlagweite maximal ist, wenn α = 45° beträgt. [1 Punkt]
– Geben Sie an, wie sich die Schlagweite bei konstantem Abschlagwinkel α verändert, wenn
man die Abschlaggeschwindigkeit v 0 verdreifacht. [1 Punkt]
b) Die Vitalkapazität ist eine Kenngröße für die Funktion der Lunge.
Ein sportmedizinisches Institut berechnet den Sollwert der Vitalkapazität eines erwachsenen
Mannes mithilfe folgender Formel:
V m = (27,63 – 0,112 · x ) · y
V m ... Sollwert der Vitalkapazität in cm
3
x ... Alter in Jahren
y ... Körpergröße in cm
– Ermitteln Sie, um wie viel Liter der Sollwert der Vitalkapazität eines 180 cm großen erwachsenen Mannes in einem Zeitraum von 10 Jahren sinkt. [2 Punkte]

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c) Slacklinen ist eine Trendsportart, bei der man auf einem gespannten Gurtband, der sogenannten Slackline , balanciert.
Eine Slackline wird über einen See gespannt. Ein sportlicher Badegast versucht, über die
Slackline den See zu queren, ohne dabei ins Wasser zu fallen.
Das zugehörige Kräfteparallelogramm ist nachfolgend dargestellt:
α β
F
G
F
2
F
1
F
G
... Gewichtskraft der Person auf dem Seil
F
1
, F
2
... Seilkräfte
Im Folgenden wird für Kräfte die Schreibweise | F | = F verwendet.
– Berechnen Sie F
2
für F
G
= 588,6 Newton, α = 82° und β = 75°. [1 Punkt]

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Aufgabe 10 (Teil B)
Rolltreppen
a) Die nachstehende Abbildung zeigt den schematischen Verlauf einer Rolltreppe. Dieser Verlauf
setzt sich aus 2 Parabelstücken (Graphen der Funktionen g und h ) zwischen den Punkten A
und B bzw. C und D sowie einem geradlinig verlaufenden Stück zwischen den Punkten B und
C zusammen. Die Übergänge in den Punkten B und C erfolgen knickfrei (das bedeutet, dass
die Funktionen an den Stellen, an denen sie zusammenstoßen, den gleichen Funktionswert
und die gleiche Steigung haben).
horizontale Entfernung in cm
Höhe in cm
490
90
A
B
g
C
h
D = (580 | 245)
Für die Funktion g gilt:
g ( x ) =
1
360
· x
2
x ... horizontale Entfernung von der Einstiegsstelle in cm
g ( x ) ... Höhe an der Stelle x in cm
– Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion g im Punkt B eine Steigung von 50 % aufweist.
[1 Punkt]
Bei der Ausstiegsstelle (Punkt D ) verläuft die Rolltreppe waagrecht.
– Stellen Sie ein Gleichungssystem auf, mit dem die Koeffizienten der Funktion h mit
h ( x ) = a · x
2
+ b · x + c ermittelt werden können. [2 Punkte]

21
b) Parallel zu einer Rolltreppe verläuft eine Treppe.
Bei der Erneuerung der Treppe soll ein Treppenabsatz eingebaut werden (siehe nachstehende
Abbildung).
h
b
a
β
β
ursprünglicher Verlauf der Treppe
neuer Treppenverlauf
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Steigungswinkels β aus b , h und a .
β = [1 Punkt]
Der Steigungswinkel der ursprünglichen Treppe war kleiner als 45°.
– Erklären Sie, welche Bedingung für a gelten muss, damit auch β kleiner als 45° ist. [1 Punkt]
c) Im nachstehenden Diagramm sind die Graphen der Geschwindigkeit-Zeit-Funktionen v
1
und v
2
der Stufen zweier Rolltreppen dargestellt.
t
1
t
0
t
2
v
1
v
2
v ( t )
t
Rolltreppe 1
Rolltreppe 2
– Interpretieren Sie, was es im gegebenen Sachzusammenhang bedeutet, dass die beiden
gekennzeichneten Flächeninhalte gleich groß sind. [1 Punkt]