Mathematik-Matura September 2017 · AHS Teil 2 – Lösungen

AHS
28. September 2017
Mathematik
Teil-2-Aufgaben
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung

2
Aufgabe 1
Aktivität und Altersbestimmung
a) Lösungserwartung:
Mögliche Vorgehensweise:
A ( t ) = | N ′ ( t )| = λ ∙ N 0 ∙ ℯ
– λ ∙ t
A 0 = λ ∙ N 0
N 0 =
A
0
λ
=
17
4,92 ∙ 10
–18
≈ 3,46 ∙ 10
18
Zum Zeitpunkt t = 0 befinden sich ca. 3,46 ∙ 10
18
Atomkerne von
238
U in der Probe.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für eine korrekte Formel. Äquivalente Formeln sind als richtig zu werten.
– Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [3,4 ∙ 10
18
Atomkerne; 3,5 ∙ 10
18
Atomkerne]
b) Lösungserwartung:
Mögliche Vorgehensweise:
lebender Organismus: A
0
= 25 ∙ 0,267 = 6,675 Bq für 25 g Kohlenstoff
4 = 6,675 ∙ ℯ
–1,21 ∙ 10
–4
∙ t
t ≈ 4 232 Jahre
Mögliche Vorgehensweise:
τ ... Halbwertszeit
N
0
2
= N
0
∙ ℯ
– λ ∙ τ
ln(2) = λ ∙ τ
τ =
ln(2)
λ
≈ 5 730
Zum Zeitpunkt des Fundes sind weniger als die Hälfte der ursprünglich vorhandenen Atomkerne zerfallen, da die Halbwertszeit von
14
C ca. 5 730 Jahre beträgt, das Holz aber erst vor
ca. 4 232 Jahren abgestorben ist.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [4 225 Jahre; 4 240 Jahre]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Begründung dafür, dass weniger als die Hälfte der
ursprünglich vorhandenen
14
C-Atomkerne zerfallen sind. Andere korrekte Begründungen
(z. B. über das Absinken der Aktivität) sind ebenfalls als richtig zu werten.

3
c) Lösungserwartung:
Mögliche Vorgehensweise:
1
2
=
N ( τ )
N
0
=
N
0
∙ 0,5
τ
c
N
0
= 0,5
τ
c
⇔
τ
c
= 1 ⇔ τ = c
Die Konstante c entspricht der Halbwertszeit eines radioaktiven Stoffes.
N ( t ), N
neu
( t )
N
t
N
0
N
neu
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für die Angabe des richtigen Zusammenhangs.
– Ein Punkt für das Einzeichnen eines korrekten Verlaufs des Graphen einer möglichen
Funktion N
neu
. Der skizzierte Graph muss den Punkt (0 | N
0
) enthalten, zwischen dem Graphen
der Funktion N und der Zeitachse liegen und als Graph einer (streng) monoton fallenden
linksgekrümmten Funktion erkennbar sein.

4
Aufgabe 2
Schwimmzonen
a) Lösungserwartung:
A ( x ) = x ∙ (180 – 2 ∙ x ) = 180 ∙ x – 2 ∙ x
2
Mögliche Vorgehensweise:
A ′ ( x ) = 180 – 4 ∙ x = 0 ⇒ x = 45
( A ″ (45) = –4 < 0 ⇒ lokales Maximum
Aus A ″ ( x ) < 0 für alle x folgt, dass A rechtsgekrümmt ist und das lokale Maximum daher ein
globales Maximum ist.)
Länge = 90 m
Breite = 45 m
Flächeninhalt = 4 050 m
2
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für einen korrekten Nachweis. Andere korrekte Nachweise sind ebenfalls als richtig zu werten.
– Ein Punkt für die Angabe aller drei richtigen Werte. Der Nachweis für das Vorliegen eines
Maximums ist nicht erforderlich.
b) Lösungserwartung:
alle Werte, die x bei h = 40 m annehmen darf: x ∈ [40; 90]
alle Werte, die h bei x = 50 m annehmen darf: h ∈ [0; 50]
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die Angabe eines korrekten Intervalls für x .
Andere Schreibweisen des Intervalls (offen oder halboffen) sowie korrekte formale oder verbale Beschreibungen sind ebenfalls als richtig zu werten.
– Ein Punkt für die Angabe eines korrekten Intervalls für h .
Andere Schreibweisen des Intervalls (offen oder halboffen) sowie korrekte formale oder verbale Beschreibungen sind ebenfalls als richtig zu werten.

5
c) Lösungserwartung:
A ( α ) = 3 600 ∙ cos( α ) + 3 600 ∙ cos( α ) ∙ sin( α )
oder:
A ( α ) = 3 600 ∙ cos( α ) + 1 800 ∙ sin(2 ∙ α )
Mögliche Vorgehensweise:
größtmöglicher Flächeninhalt: bei α = 30°
30 + 60 + 30 = 120
Der Strandabschnitt ist dabei 120 m lang.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für eine korrekte Formel. Andere korrekte Formeln sind ebenfalls als richtig zu
werten.
– Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „m“ nicht angeführt sein muss.
Toleranzintervall: [115 m; 125 m]

6
Aufgabe 3
Brasilien
a) Lösungserwartung:
Im Zeitintervall [1970; 1980] steigt die Einwohnerzahl pro Jahr um ca. 2,515 %, im Zeitintervall [1991; 2000] steigt die Einwohnerzahl pro Jahr um ca. 1,607 %.
Damit eine Beschreibung durch eine Exponentialfunktion angemessen ist, müsste die relative
jährliche Zunahme der Einwohnerzahl in den beiden betrachteten Zeitintervallen annähernd
gleich sein. Im Zeitintervall [1970; 1980] ist die relative jährliche Zunahme der Einwohnerzahl
mit ca. 2,5 % deutlich größer als im Zeitintervall [1991; 2000], wo es nur mehr ca. 1,6 % beträgt. Daher wäre eine Beschreibung der Entwicklung der Einwohnerzahl durch eine Exponentialfunktion nicht angemessen.
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für eine (sinngemäß) korrekte Deutung der beiden Werte.
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Begründung.
b) Lösungserwartung:
Mögliche Vorgehensweise:
f ( t ) = 146 917 459 + k ∙ t
k =
190 755 799 – 146 917 459
19
≈ 2 307 281
f ( t ) = 146 917 459 + 2 307 281 ∙ t
Mögliche Vorgehensweise:
f (23) = 199 984 922
199 984 922
202 740 000
≈ 0,986
Die Abweichung zur Vorhersage beträgt ca. 1,4 %.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für eine korrekte Funktionsgleichung. Äquivalente Funktionsgleichungen sind als
richtig zu werten.
Toleranzintervall für k : [2 305 000; 2 310 000]
– Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Abweichung auch als negativer Wert angegeben sein kann.
Toleranzintervall: [1 %; 2 %] bzw. [0,01; 0,02]

7
c) Lösungserwartung:
Mögliche Deutung:
Der angeführte Ausdruck gibt die Anzahl derjenigen Personen an, die die Einwohnerzahl x
n
im
Zeitintervall [ n ; n + 1] aufgrund von Geburten und/oder Todesfällen erhöhen (bzw. verringern).
Mögliche Vorgehensweise:
x
2015
≤ 1,01 ∙ x
2014
x
2014
+ x
2014
∙
14,6 – 6,6
1 000
+ m
2014
≤ 1,01 ∙ x
2014
daher
m
2014
≤
(
1,01 – 1 –
14,6 – 6,6
1 000
)
∙ x
2014
m
2014
≤ 0,002 ∙ 202 740 000 = 405 480
Damit die Einwohnerzahl im Jahr 2015 gegenüber der Einwohnerzahl im Jahr davor maximal
um 1 % größer wird, dürfen höchstens 405 480 Personen mehr zuwandern als abwandern.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für eine korrekte Deutung.
– Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [405 000 Personen; 406 000 Personen]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das
Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.

8
Aufgabe 4
Wachstumskurve von Kindern
a) Lösungserwartung:
Stichprobenanteil: 0,9
Anteil laut Diagramm: 0,94
Unterschied: 4 Prozentpunkte
Mögliche Berechnung:
0,9465 = 0,9 + 1,96 ∙

0,9 ∙ (1 − 0,9)
n
⇒ n ≈ 160 Buben
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung.
– Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [155 Buben; 165 Buben]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das
Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
b) Lösungserwartung:
Die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit in diesem Zeitraum entspricht einem Drittel
der Größenzunahme.
oder:
g (9) – g (6)
3
Das ungefähre Alter von Buben, bei dem deren momentane Wachstumsgeschwindigkeit am
größten ist, liegt bei ca. 13 Jahren.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Antwort bzw. eine richtige Formel. Äquivalente Formeln sind als richtig zu werten.
– Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „Jahre“ nicht angeführt sein muss.
Toleranzintervall: [12 Jahre; 14 Jahre]

9
c) Lösungserwartung:
Die statistische Kennzahl, die demjenigen Wert entspricht, den man auf dem 50. Perzentil
ablesen kann, ist der Median.
Die Schwierigkeiten bestehen darin, dass man zwar das 1. und das 3. Quartil sowie den
Median, jedoch weder Minimum noch Maximum ablesen kann (und auch keine Informationen
bezüglich Ausreißern hat).
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für das Anführen der korrekten statistischen Kennzahl.
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Erläuterung.