Mathematik-Matura Mai 2017 · HAK Cluster W2 – Lösungen

BHS
10. Mai 2017
Angewandte Mathematik
Teil A + Teil B (Cluster 8)
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung

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Korrektur- und Beurteilungsanleitung
zur standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung
in Angewandter Mathematik
(Detaillierte Informationen dazu finden Sie für den BHS-Bereich im entsprechenden Erlass zur Beurteilung, der auf der Website https://ablauf.srdp.at/ abrufbar ist.)
Kompetenzbereiche
Im Beurteilungsmodell für die Angewandte Mathematik wird zwischen zwei Kompetenzbereichen
unterschieden:
n Kompetenzbereich A ( KA ) umfasst die unabhängig
1
erreichbaren Punkte der Komplexitätsstufen 1 und 2 aus dem Kompetenzstufenraster.
n Kompetenzbereich B ( KB ) umfasst die abhängig erreichbaren Punkte und die Punkte der
Komplexitätsstufen 3 und 4 aus dem Kompetenzstufenraster.
Die Summe der unabhängig erreichbaren Punkte aus den Komplexitätsstufen 1 und 2 ( KA ) stellt die
„wesentlichen Bereiche“ eines Klausurheftes dar.
Beurteilung
Als Hilfsmittel für die Beurteilung wird ein auf ein Punktesystem basierender Beurteilungsschlüssel angegeben. Je nach gewichteter Schwierigkeit der vergebenen Punkte in den „wesentlichen
Bereichen“ wird festgelegt, ab wann die „wesentlichen Bereiche überwiegend“ (Genügend) erfüllt
sind, d. h., gemäß einem Punkteschema müssen Punkte aus dem Kompetenzbereich A unter Einbeziehung von Punkten aus dem Kompetenzbereich B in ausreichender Anzahl abhängig von der
Zusammenstellung der Klausurhefte gelöst werden. Darauf aufbauend wird die für die übrigen Notenstufen zu erreichende Punktezahl festgelegt.
Nach der Punkteermittlung soll die Arbeit der Kandidatin / des Kandidaten nochmals ganzheitlich
qualitativ betrachtet werden. Unter Zuhilfenahme des Punkteschemas und der ganzheitlichen Betrachtung ist von der Prüferin / vom Prüfer ein verbal begründeter Beurteilungsvorschlag zu erstellen,
wobei die Ergebnisse der Kompetenzbereiche A und B in der Argumentation zu verwenden sind.
Beurteilungsschlüssel für die vorliegende Klausur:
45–50 Punkte Sehr gut
39– 44 Punkte Gut
33–38 Punkte Befriedigend
23–32 Punkte Genügend
0–22 Punkte Nicht genügend
1
Unabhängige Punkte sind solche, für die keine mathematische Vorleistung erbracht werden muss. Als mathematische Vorleistung gilt z. B. das Aufstellen einer Gleichung (unabhängiger Punkt) mit anschließender Berechnung (abhängiger Punkt).

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Handreichung zur Korrektur
der standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung
in Angewandter Mathematik
1. In der Lösungserwartung ist nur ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen.
2. Der Lösungsschlüssel ist unter Beachtung folgender Vorgangsweisen verbindlich anzuwenden:
a. Punkte sind nur zu vergeben, wenn die abgefragte Handlungskompetenz in der Bearbeitung vollständig erfüllt ist.
b. Berechnungen ohne nachvollziehbaren Rechenansatz bzw. ohne nachvollziehbare Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete Ausgangsparameter und die verwendete
Technologiefunktion müssen angegeben sein) sind mit null Punkten zu bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen bzw. Lösungswege von der Kandidatin / vom
Kandidaten angeboten und nicht alle diese Lösungen bzw. Lösungswege sind korrekt, so
ist diese Teilaufgabe mit null Punkten zu bewerten.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Das heißt zum Beispiel :
Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in einem
Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel
Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als solche
identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner Vereinfachung
der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler können vernachlässigt werden, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert ist.
h. Jedes Diagramm bzw. jede Skizze, die Lösung einer Handlungsanweisung ist, muss eine
qualitative Achsenbeschriftung enthalten, andernfalls ist dies mit null Punkten zu bewerten.
i. Die Angabe von Einheiten kann bei der Punktevergabe vernachlässigt werden, sofern sie im
Lösungsschlüssel nicht explizit eingefordert wird.

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Aufgabe 1
Vergnügungspark
Möglicher Lösungsweg
a)
0,4 0,6
Besucher aus
dem Ausland
Besucher aus
dem Inland
PKW öff. Verkehrsmittel PKW öff. Verkehrsmittel
0,55 0,45 0,9 0,1
b) Die Behauptung von Andreas ist falsch, weil nicht sicher ist, dass dieselbe Familie die maximalen Beträge von 80 Euro für Attraktionen und von 40 Euro für Essen und Getränke ausgibt.
c)
Genau 3 der 10 Personen nutzen die Attraktion.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Vervollständigen des Baumdiagramms (KA)
b) 1 × D: für die richtige Argumentation (KA)
c) 1 × C: für das richtige Ankreuzen (KA)

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Aufgabe 2
Fußballspielen im Park
Möglicher Lösungsweg
a) 0 = –0,003 · x
3
+ 0,057 · x
2
0 = x
2
· (–0,003 · x + 0,057) ⇒ x
1
= 0
–0,003 · x + 0,057 = 0 ⇒ x
2
= 19
D = [0; 19]
h ′ ( x ) = 0
x · (−0,009 · x + 0,114) = 0 ⇒ x
1
= 0
–0,009 · x + 0,114 = 0 ⇒ x
2
= 12,66... ≈ 12,7
h ( x
2
) = 3,04… ≈ 3,0
In einer horizontalen Entfernung von rund 12,7 m zur Abschussstelle erreicht der Ball seine
größte Höhe von rund 3,0 m.
Der Nachweis, dass es sich bei der Extremstelle um eine Maximumstelle handelt, und eine
Überprüfung der Ränder des Definitionsbereichs sind nicht erforderlich.
b) 1,80 = –0,003 · x
3
+ 0,057 · x
2
Lösung mittels Technologieeinsatz:
( x
1
= –5)
x
2
= 7,10… ≈ 7,1
x
3
= 16,89… ≈ 16,9
Julia kann sich in einer Entfernung von etwa 7,1 m oder von etwa 16,9 m von der Abschussstelle befinden.
c) h (10) = 2,7
Da h (10) kleiner als 2,8 m ist, kann der Ball nicht über das Klettergerüst fliegen.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Ermitteln des Definitionsbereichs (Die untere Grenze des Definitionsbereichs x
1
= 0 muss nicht explizit angegeben sein.) (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung des höchsten Punktes (beide Koordinaten)
(Der Nachweis, dass es sich bei der Extremstelle um eine Maximumstelle handelt, und
eine Überprüfung der Ränder des Definitionsbereichs sind nicht erforderlich.) (KB)
b) 1 × B: für das richtige Ermitteln der beiden horizontalen Entfernungen von der Abschussstelle (KA)
c) 1 × D: für die richtige nachweisliche Überprüfung (KA)

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Aufgabe 3
Medikamentenabbau
Möglicher Lösungsweg
a) Es liegt nahe, für die Beschreibung des Medikamentenabbaus ein exponentielles Modell zu
wählen, weil sich die Menge in gleichen Zeitabständen (von 2 h) jeweils um den gleichen Faktor (0,6) verkleinert.
N ( t ) = 100 · ℯ
k · t
60 = 100 · ℯ
k · 2
k =
ln(0,6)
2
= – 0,25541... ≈ –0,2554
N ( t ) = 100 · ℯ
–0,2554 · t
t ... Zeit in h
N ( t ) ... vorhandene Menge des Medikaments im Körper zur Zeit t in mg
N (3) = 46,4...
Zur Zeit t = 3 h sind rund 46 mg des Medikaments im Körper vorhanden.
b)
80
70
60
50
40
30
20
10
0 2 1 3 4 5 6
0
t in h
N
N ( t ) in mg

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c)
Nach einer Zeitdauer von 2 · T
1/2
sind 75 % der
Ausgangsmenge abgebaut.
d) 200 · 0,15 = 200 · ℯ
– 0,3 · t
t =
ln(0,15)
–0,3
= 6,32...
Nach rund 6,3 Stunden muss das Medikament wieder verabreicht werden.
Lösungsschlüssel
a) 1 × D: für die richtige Erklärung (KA)
1 × A: für das richtige Erstellen einer Gleichung der Exponentialfunktion (KB)
1 × B: für die richtige Berechnung der Menge zur Zeit t = 3 h (KB)
b) 1 × A: für das richtige Einzeichnen des Graphen im gegebenen Intervall (Dabei müssen die
Funktionswerte nach 1, 2, 3 und 4 Halbwertszeiten richtig eingezeichnet sein.) (KA)
c) 1 × C: für das richtige Ankreuzen (KB)
d) 1 × B: für die richtige Berechnung des Zeitpunkts (KA)

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Aufgabe 4
Rohmilchproduktion
Möglicher Lösungsweg
a) Aufgrund der konstanten absoluten Zunahme handelt es sich um eine lineare Funktion.
k =
3,393 – 2,948
18
= 0,02472... ≈ 0,0247
f ( t ) = 0,0247 · t + 2,948
t ... Zeit in Jahren seit 1995
f ( t ) ... jährliche Rohmilchproduktion zur Zeit t in Millionen Tonnen
f (22) = 3,4918...
Gemäß diesem Modell beträgt die voraussichtliche jährliche Rohmilchproduktion im Jahr 2017
in Österreich rund 3,492 Millionen Tonnen.
b)
8 701 – 3 429
3 429
= 1,53747... ≈ 153,75 %
In Dänemark war die durchschnittliche Jahresmilchleistung pro Kuh im Jahr 2012 um
rund 153,75 % höher als in Rumänien.
0
1 000
2 000
3 000
4 000
5 000
6 000
7 000
8 000
9 000
10 000
Dänemark Italien Österreich Rumänien Slowakei Tschechien Ungarn Deutschland durchschnittliche Jahresmilchleistung pro Kuh in kg
Toleranzbereich: Höhe der Säule klar erkennbar größer als 7 500 kg und kleiner als 8 000 kg
eingezeichnet
c) Aus der Angabe der konstanten Verdoppelungszeit geht hervor, dass es sich um exponentielles Wachstum handelt, nicht um lineares. Deshalb ist N nicht zur Beschreibung geeignet.
oder:
rechnerische Überprüfung: z. B. N (50) = 60 000 ≠ 20 000 · 4

9
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Erstellen einer Gleichung der Funktion f (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung der jährlichen Rohmilchproduktion im Jahr 2017 (KB)
b) 1 × B: für das richtige Ermitteln des Prozentsatzes (KA)
1 × A: für das richtige Einzeichnen der fehlenden Säule (Höhe der Säule klar erkennbar größer
als 7 500 kg und kleiner als 8 000 kg eingezeichnet) (KA)
c) 1 × D: für die richtige Argumentation (KA)

10
Aufgabe 5
Der Bodensee
Möglicher Lösungsweg
a) b = π · r ·
φ
180°
φ =
66 · 180°
6 371 · π
= 0,593...° ≈ 0,59°
Auch eine Berechnung des Winkels im Bogenmaß ist als richtig zu werten.
cos( φ ) =
6 371
6 371 + h
⇒ h =
6 371
cos( φ )
– 6 371 = 0,3418... ≈ 0,342
Die Höhe, auf der sich ein Beobachter befinden müsste, beträgt rund 342 Meter.
b)
60 – 81
18 – 12
= –3,5
Die mittlere Änderungsrate im gegebenen Intervall beträgt rund –3,5 μg pro Liter pro Jahr.
Toleranzintervall: [–4; –3,3]
Dazu ermittelt man die Nullstelle der 2. Ableitung der Funktion f im dargestellten Intervall.
In der Grafik ist klar zu erkennen, dass f im dargestellten Intervall nur eine Wendestelle hat und
dass an dieser Stelle die Abnahme am stärksten ist. Daher sind eine Überprüfung mithilfe der
1. Ableitung und eine Überprüfung der Randstellen nicht erforderlich.
c)
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
60
40
20
S
0
Zeit nach Sabines Start in h
Entfernung von Bregenz in km
J
Johanna ist 1,8 h unterwegs, bis sie Sabine einholt.
Toleranzintervall: [1,6; 2,1]
Es wird die Länge desjenigen Weges (Entfernung von Bregenz) in Kilometern berechnet, den
Otto in den ersten 2 Stunden zurückgelegt hat.

11
Lösungsschlüssel
a) 1 × B1: für die richtige Berechnung des Winkels φ (KA)
Auch eine Berechnung des Winkels im Bogenmaß ist als richtig zu werten.
1 × B2: für die richtige Berechnung der Höhe h (KB)
b) 1 × B: für das richtige Ermitteln der mittleren Änderungsrate im Toleranzbereich [–4; –3,3] (KA)
1 × C: für die richtige Dokumentation in Worten (In der Grafik ist klar zu erkennen, dass f im
dargestellten Intervall nur eine Wendestelle hat und dass an dieser Stelle die Abnahme
am stärksten ist. Daher sind eine Überprüfung mithilfe der 1. Ableitung und eine Überprüfung der Randstellen nicht erforderlich.) (KA)
c) 1 × A: für das richtige Einzeichnen des Graphen (KA)
1 × C1: für das richtige Ablesen der Fahrtdauer im Toleranzbereich [1,6; 2,1] (KB)
1 × C2: für die richtige Beschreibung im gegebenen Sachzusammenhang mit Angabe der
entsprechenden Einheit (KB)

12
Aufgabe 6 (Teil B)
Spam
Möglicher Lösungsweg
a) Beginn des Jahres 2012: S (2) = 50 · 0,6
2
+ 12 = 30
k = ln(0,6) = –0,510... ≈ –0,51
Im Zeitraum vom Beginn des Jahres 2013 bis zum Beginn des Jahres 2015 ist die Anzahl der
weltweit täglich versendeten Spam-Mails um rund 30 % gesunken.
b)
S S
—
Summe
K 0,07 0,01 0,08
K
—
0,73 0,19 0,92
Summe 0,80 0,20
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes E-Mail kein Spam ist und das Wort
„Konto“ enthält, beträgt 1 %.
E ist das Ereignis, dass ein (zufällig ausgewähltes) E-Mail Spam ist unter der Bedingung, dass
es das Wort „Konto“ enthält.
c)

4
1,05 · 1,2 · 1,25 · 0,5 – 1 = –0,0579... ≈ –0,058
Die mittlere prozentuelle Kursänderung pro Quartal beträgt rund –5,8 %.
Die angegebenen prozentuellen Kursänderungen könnten auch als Kursänderungen in Bezug
auf den Beginn des 1. Quartals aufgefasst werden. Eine diesem Ansatz entsprechende Berechnung der mittleren prozentuellen Kursänderung pro Quartal ist dann als richtig zu werten.
Lösungsschlüssel
a) 1 × D: für den richtigen Nachweis (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung von k (KA)
1 × C: für die richtige Interpretation des Ergebnisses der Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang (KA)
b) 1 × A: für das richtige Vervollständigen der Vierfeldertafel (KB)
1 × C1: für das richtige Ablesen der Wahrscheinlichkeit (KB)
1 × C2: für die richtige Beschreibung des Ereignisses im gegebenen Sachzusammenhang (KB)
c) 1 × B: für die richtige Berechnung der mittleren prozentuellen Kursänderung pro Quartal (KA)
Die angegebenen prozentuellen Kursänderungen könnten auch als Kursänderungen in
Bezug auf den Beginn des 1. Quartals aufgefasst werden. Eine diesem Ansatz entsprechende Berechnung der mittleren prozentuellen Kursänderung pro Quartal ist dann als
richtig zu werten.

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Aufgabe 7 (Teil B)
Lampenproduktion
Möglicher Lösungsweg
a) Betriebsoptimum: x
opt
= 20 ME
Toleranzbereich: [18 ME; 22 ME]
K ( x ) =
∫
(0,5 · x + 5) d x = 0,25 · x
2
+ 5 · x + C
K (20) = 20 · 15 = 300
300 = 0,25 · 20
2
+ 5 · 20 + C
C = 100
Die Fixkosten betragen 100 GE.
x in ME
30 25 20 15 10 5 0 35
30
25
20
15
10
5
0
35
K ′
K ( x ), K ′ ( x ) in GE/ME
K
b) p ( x ) = a · x + b
p (120) = 4: 4 = 120 · a + b
p (100) = 5: 5 = 100 · a + b
⇒ a = –0,05; b = 10
p ( x ) = –0,05 · x + 10
Eine Preissenkung um 10 % bewirkt einen Absatz zuwachs um 15 %.

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c) G ( x ) = E ( x ) – K ( x ) = 9 · x – (0,05 · x
2
+ 3 · x + 155) = –0,05 · x
2
+ 6 · x – 155
G ( x ) = 0:
Lösen der Gleichung mittels Technologieeinsatz: x
1
= 37,639... ME ≈ 37,64 ME,
x
2
= 82,360... ME ≈ 82,36 ME
G ′ ( x ) = 0:
0 = –0,1 · x + 6
x = 60
G (60) = 25
Der maximale Gewinn beträgt 25 GE.
Eine Überprüfung, ob an der berechneten Stelle tatsächlich ein Maximum vorliegt, z. B. mithilfe der 2. Ableitung, ist hier nicht erforderlich.
d) G ′ ( x ) = 2 · a · x + b
0 = 2 · a · x
0
+ b
⇒ x
0
= –
b
2 · a
Es muss gelten: a < 0.
Lösungsschlüssel
a) 1 × B1: für das richtige Einzeichnen des Graphen der Grenzkostenfunktion (KA)
1 × C: für das richtige Ablesen des Betriebsoptimums im Toleranzbereich [18 ME; 22 ME] (KA)
1 × A: für das richtige Erstellen der Gleichung der Kostenfunktion (ohne Berechnung der
Integrationskonstanten) (KA)
1 × B2: für die richtige Berechnung der Fixkosten (KB)
b) 1 × A: für das richtige Erstellen der Gleichung der Preisfunktion der Nachfrage (KA)
1 × C: für das richtige Ankreuzen (KA)
c) 1 × A: für das richtige Erstellen der Gleichung der Gewinnfunktion (KA)
1 × B1: für das richtige Ermitteln der Gewinngrenzen (KB)
1 × B2: für das richtige Ermitteln des maximalen Gewinns (Eine Überprüfung, ob an der
berechneten Stelle tatsächlich ein Maximum vorliegt, z. B. mithilfe der 2. Ableitung,
ist nicht erforderlich.) (KB)
d) 1 × D: für den richtigen Nachweis (KA)
1 × A: für das richtige Angeben der Bedingung (KA)

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Aufgabe 8 (Teil B)
Seegrundstück
Möglicher Lösungsweg
a) 865 000 =
100 000
1,0675
n ·
1,0675
n
– 1
0,0675
Lösung der Gleichung mittels Technologieeinsatz:
n = 13,42...
Der Kreditnehmer muss 13 volle Raten bezahlen.
(
865 000 –
100 000
1,0675
13
·
1,0675
13
– 1
0,0675
)
· 1,0675
14
= 43 077,457...
Die Höhe des Restbetrags beträgt € 43.077,46.
b) Annuität im Jahr 1: 51 467,50 + 53 532,50 = 105 000
Restschuld im Jahr 1: 865 000 – 53 532,50 = 811 467,50
Im Jahr 1 beträgt die Annuität € 105.000 und die Restschuld € 811.467,50.
Die Restschuld erhöht sich um die anfallenden Zinsen.
c) Jeweils am Ende des ersten, des dritten und des vierten Jahres erfolgt eine Einmalzahlung in
Höhe von € 100.000, € 80.000 bzw. € 110.000.
Ab dem vierten Jahr wird eine 6-mal zahlbare nachschüssige Jahresrate in Höhe von R vereinbart.
Restschuld zum Zeitpunkt t = 4 Jahre:
865 000 · 1,06
4
– 100 000 · 1,06
3
– 80 000 · 1,06 – 110 000 = 778 140,970...
778 140,970... = R ·
1,06
6
– 1
0,06
·
1
1,06
6
Berechnung mittels Technologieeinsatz: R = 158 244,793...
Die Ratenhöhe beträgt € 158.244,79.
Lösungsschlüssel
a) 1 × B1: für die richtige Berechnung der Anzahl der Vollraten (KA)
1 × B2: für die richtige Berechnung der Höhe des Restbetrags (KB)
b) 1 × B: für das richtige Ermitteln der Annuität und der Restschuld im Jahr 1 (KA)
1 × C: für die richtige Beschreibung der Auswirkungen auf die Restschuld im Jahr 2 (KA)
c) 1 × C: für die richtige Beschreibung des Rückzahlungsvorgangs (KA)
1 × A: für einen richtigen Ansatz (KB)
1 × B: für die richtige Berechnung der Ratenhöhe (KB)